Kursprüfung Methoden der VWL Klausurteil Dynamische Methoden der VWL (Prof. Dr. Lutz Arnold) Sommersemester 2012 7.8.2012 Bitte gut leserlich ausfüllen: Name: Vorname: Matr.-nr.: Wird vom Prüfer ausgefüllt: Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 Punkte Wichtige Hinweise: Bearbeiten Sie 6 der 8 Aufgaben nach Ihrer Wahl. In jeder der Aufgaben sind maximal je 10 Punkte erreichbar. Machen Sie bei Ihren Antworten von allen Zahlenangaben Gebrauch (keine allgemeinen Lösungen oder Zwischenschritte!). Notation und Symbole sind aus der Vorlesung übernommen. Die Bearbeitungszeit beträgt für die Klausurteile Dynamische Methoden und Quantitative Methoden zusammen 90 Minuten. Zugelassenes Hilfsmittel: nicht-programmierbarer Taschenrechner. Bitte überprüfen Sie vor Beginn der Bearbeitung, ob Ihr Aufgabenteil alle Seiten enthält. Er beginnt mit Seite 1 und endet mit Seite 9. 1
Aufgabe 1: Sparen Geld kann zum festen Zins von r = 4% pro Jahr angelegt werden. Formulieren Sie die DGL, die den Zusammenhang zwischen den Vermögensniveaus x t 1 und x t in aufeinander folgenden Jahren angibt (wenn das gesamte Vermögen stets komplett wieder angelegt wird). Leiten Sie die allgemeine Lösung der DGL aus Aufgabenteil mittels des Versuchs mit x t = Aλ t her. Wie lautet die Lösung für gegebenes x 0? Welches Anfangsvermögen braucht man, um nach 30 Jahren e 1 Mio. angespart zu haben? Welches Anfangsvermögen braucht man, um nach 30 Jahren e 1 Mio. angespart zu haben, wenn man stets die Hälfte der Zinserträge abhebt, statt sie wiederanzulegen? 2
Aufgabe 2: Stabilität in linearen DGLs 1. Ordnung Betrachten Sie die allgemeine Lösung x t = Aa t der DGL x t = ax t 1. Illustrieren Sie grafisch und benennen Sie stichpunktartig, wie sich x t entwickelt, wenn A 0 ist und a > 1 und A > 0; 0 < a < 1 und A < 0; 1 < a < 0; a < 1. Wie lässt sich eine divergente Entwicklung vermeiden, wenn a > 1 ist? 3
Aufgabe 3: Stabilität eines Marktes Nachfrage und Angebot in einem Markt lauten: D t = 40 2,5 p t S t = 10 + 5 p t. Die Preisanpassung erfolgt, ausgehend vom Startwert p 0 = 8, gemäß p t+1 p t = 1 5 (D t S t ). Berechnen Sie den Preis p t, der den Markt räumt (d.h. zu D t = S t führt). Leiten Sie aus den Formeln für D t und S t eine DGL in p t her. Eliminieren Sie die Konstante aus der DGL in Aufgabenteil. Wie hoch ist der Mittelwert von p t, der die DGL aus Aufgabenteil erfüllt? Was lässt sich aus der DGL aus Aufgabenteil über das dynamische Verhalten des Preises (Stabilität, Monotonität) ablesen? Berechnen Sie p t und p t für t = 1, 2, 3. 4
Aufgabe 4: Lineare DGL 2. Ordnung Betrachten Sie die folgende lineare DGL 2. Ordnung: x t = 1 4 x t 1 + 1 8 x t 2. Mit einer Lösung welcher Form probiert man es? Leiten Sie die quadratische Gleichung her, die die Eigenwerte λ der DGL bestimmt. Lösen Sie diese quadratische Gleichung nach den beiden Eigenwerten auf. Wie lautet die allgemeine Lösung der DGL? Wie lauten die beiden Gleichungen, die bei gegebenen Startwerten x 1 = 0 und x 0 = 3 die Konstanten A 1 und A 2 bestimmen? Lösen Sie die beiden Gleichungen aus Aufgabenteil nach A 1 und A 2 auf. Wie lautet die Lösung der DGL bei den gegebenen Startwerten folglich? 5
Aufgabe 5: Stochastische lineare DGL 1. Ordnung Betrachten Sie die stochastische lineare DGL 1. Ordnung x t = ax t 1 + ε t. Ermitteln Sie x 1, x 2 und x 3 durch iteratives Einsetzen. Welche Lösung der DGL lässt sich anhand Ihrer Antwort zu Aufgabenteil erkennen? Beweisen Sie die Richtigkeit der Formel aus Aufgabenteil durch vollständige Induktion. 6
Aufgabe 6: Erwartungs-DGL Betrachten Sie die Erwartungs-DGL x t = a 1 E t x t+1 + ε t. Wie vereinfacht sich die Erwartungs-DGL, wenn es keine Schocks gibt (d.h. ε t identisch gleich null ist)? Wie lautet die Lösung der dann resultierenden DGL? Wie lautet die eindeutige beschränkte Lösung für den Fall a > 1 (keine Herleitung notwendig)? Wie ergibt sich aus der Antwort zu Aufgabenteil die in in Aufgabenteil ermittelte Lösung? Welche Lösungen gibt es im Fall a < 1? Was ist im Zusammenhang mit der Antwort zu Aufgabenteil mit Indeterminiertheit gemeint? 7
Aufgabe 7: Dynamische Programmierung Betrachten Sie das Maximierungsproblem max {c t+i,x t+1+i } i=0 i=0 [ ] u(xt+i, c t+i ) E t (1 + ρ) i u.d.n.: x t+1 = f(x t, c t, ε t ). Definieren Sie (in Worten) die Wertfunktion v(x t ). Wie lautet die Bellman-Gleichung für das Maximierungsproblem? Wie lautet die notwendige Bedingung für die optimale Wahl von c t? Leiten Sie die Bellman-Gleichung nach x t ab. Leiten Sie mit dem Ergebnis aus Aufgabenteil die Enveloppen-Bedingung für das Problem her. 8
Aufgabe 8: Cake eating Betrachten Sie das folgende dynamische Optimierungsproblem (ohne Diskontierung): mit gegebenem x 0. max {c t+i,x t+i } 11 i=0 11 i=0 ln c t+i u.d.n.: x t+1 = x t c t Stellen Sie die Bellman-Gleichung für dieses Problem auf. Leiten Sie aus der Bellman-Gleichung die beiden notwendigen Optimalitätsbedingungen her. Leiten Sie aus den notwendigen Bedingungen aus Aufgabenteil eine DGL in c t her. Wie hoch ist c t für t = 0,..., 11? Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe des Ergebnisses aus Aufgabenteil. Interpretieren Sie das Problem als Cake-eating -Problem. Was besagt in dieser Interpretation die Lösung aus Aufgabenteil? 9