Finanzmathematik mit Excel 1 Einfache Zinsrechnung 2 Folgende Begriffe werden benötigt: Begriff Definition Kapital Geldbetrag, der angelegt oder einem anderen überlassen wird. Laufzeit Dauer der Überlassung. Zinsen Vergütung für die Überlassung innerhalb einer Zinsperiode. Zinsperiode Zeitintervall für die Verzinsung (häufig: Jahr, Quartal, Halbjahr, Monat) Zinssatz Zinsbetrag in Prozent, der innerhalb einer Zinsperiode zu zahlen ist. Auch Zinsfuß genannt. Zeitwert Der von der Zeit abhängige Wert eines Kapitals Die folgenden Bezeichnungen finden Verwendung: Symbol Bedeutung t Zeitpunkt in der Einheit der Verzinsungsperiode T Zinstage K, K t Kapital, Kapital zum Zeitpunkt t K 0 Anfangskapital; Barwert Z t, Z T Zinsen für den Zeitraum t bzw. für T Zinstage p Zinssatz; Zinsfuß i Zinsrate: i = p/100 Zinsformel Zinsen hängen in der einfachen Zinsrechnung proportional von dem Kapital, der Laufzeit und dem Zinssatz ab: Z t = K * p/100 * t = K*i*t Wir gehen davon aus, dass das Jahr 360 und ein Monat 30 Tage hat. Daher gilt: Und wir erhalten: t = T/360 Z T = K * p/100 * T/360 = K*i* T/360 Beispiel 1 a) Welche Zinsen fallen an, wenn ein Kapital von 3500 vom 3. März bis 18. August eines Jahres mit einem Zinssatz von 3,25% p.a. angelegt wird? Nützlich ist eine Excel Funktion, welche die Tage zwischen zwei Datumsangaben ausrechnet. Diese ist durch die Funktion Ta 1 Siehe: Starthilfe Finanzmathematik, Bernd Luderer 2 Einfach heißt: keine Zinseszinsrechnung. Diese wird im nächsten Abschnitt behandelt.
ge360 gegeben. Sie liefert 165 Tage. Für die Zinsrechnung können Sie nun die obige Formel verwenden. (52,14 ) b) Wie hoch ist der Kredit, für den in einem halben Jahr bei 8% Jahreszinsen 657,44 Zinsen gezahlt wird. Umstellen der Formel nach K liefert 16435. c) Am 31.12. erfolgt eine Einzahlung von 3000 ; das Geld bleibt drei Jahre stehen, die Verzinsung betrage 4%. Welche Gesamtsumme an Zinsen ergibt sich, wenn die Zinsen jährlich ausgezahlt werden? (360 ) d) Ein Wertpapier über 5000 mit einem Nominalzins von 6,25% wurde von Frau Müller Einige Zeit nach dem Emissionsdatum erworben. Daher wurden ihr Stückzinsen in Höhe von 36,46 berechnet. Wie viele Zinstage wurden Frau Müller berechnet? (42 Tage) Zeitwerte und Grundaufgaben Berechnung des Zeitwertes (Endwertes) einfachen Zinsrechnung: Wir wollen den Zeitwert (Endwert) K t zum Zeitpunkt t berechnen. Da erhalten wir mit K = K 0 : K t = K 0 + Z t, K t = K 0 (1+i*t)= K 0 (1+p/100*t) Beispiel 2 Am 3.März erfolgt die Einzahlung von 3500.. Auf welchen Endwert wächst das Guthaben bis zum 18. August desselben Jahres bei 3% Jahreszins? (3548,13 ) Berechnung des Barwertes: K 0 = K t /(1 + i*t) = K t /(1 + p/100*t) Beispiel 3 In einem halben Jahr ist eine Forderung von 8000 fällig. Wie viel ist bei einer Sofortzahlung zu leisten, wenn mit einem Kalkulationszinssatz von 5% gerechnet wird? (7804,88 ) Die Berechnung des Barwertes aus dem Endwert nennt man Abzinsen oder Diskontieren. Der Barwert wird häufig zum Vergleich mehrerer Zahlungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten herangezogen. Beispiel 4 a) Beim Verkauf eines Gegenstandes werden dem Verkäufer zwei Angebote unterbreitet: Entweder 9000 in 30 Tagen oder 9085 in 90 Tagen. Welches Angebot ist günstiger, wenn mit einem jährlichen Zinssatz von 6% (bzw. 3%) gerechnet wird? Bei welchem Zinssatz ergibt sich Gleichheit? b) Ein Schuldner muss in 8 Monaten 6000 und in 10 Monaten 4000 zurückzahlen. Wie groß ist die Gesamtschuld am heutigen Tag, wenn mit einer jährlichen Verzinsung von 6% gerechnet wird?
Berechnung des Zinssatzes: Auflösen der Gleichung für den Endwert ergibt: p= 100/t(K t /K 0 1) Beispiel 5 Ein Kredit von 84000 wurde 60Tage in Anspruch genommen, wofür Zinsen in Höhe von 1260. Mit wie viel Prozent jährlich wurde der Kredit verzinst? (9%) Berechnung der Laufzeit: Durch Umformen erhalten wir: t= 100/p(K t /K 0 1) Beispiel 6 In welcher Zeit wächst eine Spareinlage von 1200 bei 7,5% jährlicher Verzinsung auf 1267.50 an? (9 Monate) Benutzerdefinierte Funktionen Formeln, die sie häufiger benötigen, können sie zu Funktionen zusammenfassen. Sie müssen die Formel dann nicht immer wieder neu eintippen, sondern rufen stattdessen die entsprechende Funktion auf. Eine Funktion hat einen Namen, mit dem sie sie ansprechen können. Unter diesem Namen ist sie beispielsweise im Funktionsassistenten unter der Kategorie benutzerdefinierte Funktionen aufgelistet. Weiterhin besitzt eine Funktion eine Parameterliste. Diese gehen als Operanden in die Formel ein, die sie mit dieser Funktion darstellen. Funktionen werden mit Visual Basic definiert. Wir werden hier nicht näher auf Visual Basic eingehen, das machen wir im nächsten Semester. Jedoch können in Visual Basic arithmetische Operationen, und damit Formeln genau so erstellt werden, wie in einer Zelle einer Exceltabelle. Somit sind sie ohne tiefere Programmierkenntnisse in der Lage, Formeln als Funktionen darzustellen. Um eine Funktion zu definieren, müssen sie den Visual Basic Editor öffnen. Das geschieht über die Menüfolge Extras/Makros/Visual Basic Editor. Visual Basic Code ist in Projekten organisiert. Wenn sie den Visual Basic Editor öffnen, ist automatische jeder Arbeitsmappe ein Projekt zugeordnet. Weitere Projekte könne durch so genannte Add Ins eingebunden werden. Sie können auch eine Arbeitsmappe als Ad In speichern (Dateierweiterung: xla statt xls, Menüfolge: Datei/Speichern unter). Ein Projekt ist wiederum untergliedert. Für unsere Zwecke interessieren wir uns für Module. Ein Modul ist ein Programmbaustein, das aus Funktionen besteht. Wenn sie eine benutzerdefinierte Funktion erstellen, müssen sie sie stets in einem Modul unterbringen. Ein Modul dient dazu, Namenskonflikte zu vermeiden. Innerhalb eines Moduls müssen die Bezeichnungen der Funktionen eindeutig sein, sowie die Bezeichnungen der Module innerhalb eines Projektes eindeutig sein müssen. Eine Excel Funktion ist wie folgt aufgebaut:
Function Funktionsname(Parameterliste) Funktionsname = Formel End function Die Parameter der Parameterliste werden hier nicht wie bei ihrem Aufruf durch Semikolon getrennt, sondern durch Kommata. Beispiel 7 Die folgende Funktion berechnet die Zinsen ohne Zinseszinsen: Function Zinsen(Anfangskapital, Zinsrate, Laufzeit) Zinsen = Anfangskapital * Zinsrate * Laufzeit End Function Einzelne Module können auch als Datei gespeichert und wieder geladen werden. Dies geschieht durch die Menüfolge Datei\Datei exportieren bzw. Datei\Datei importieren. Aufgabe: Erstellen sie ein Modul Einfache_Zinsrechnung, in der alle Formeln der einfachen Zinsrechnung als Funktionen zur Verfügung gestellt werden. Das Modul ist dann zu ergänzen, wenn bis jetzt noch nicht behandelte Formeln erörtert werden. Mehrfache konstante Zahlungen Hier wird die Verzinsungsperiode in m Teilperioden unterteilt, z. B. ein Jahr in 12 Monate. In jeder der Perioden wird ein konstanter Betrag r eingezahlt, der aber während der gesamten Verzinsungsperiode verzinst wird. Wir betrachten hier das Jahr als Verzinsungsperiode, das wir in 12 Monate unterteilen. Die Einzahlungen sollen zunächst am Monatsanfang, also vorschüssig, erfolgen. Da die Januarzahlung das ganze Jahr verzinst wird, erhalten wir am Jahresende: r(1+i)= r(1+i 12/12). Für die Februarzahlung bekommen wir am Jahresende: r(1+i 11/12). Entsprechend können wir den Endwert für jeden Monat ausrechnen und dies summieren: R=r(1+i*12/12+1+i*11/12+. + 1+i*1/12)= r(12 + i/12*(12+11+ +1))= r(12+ 6,5 *i) Beispiel 8 Frau Schubert spart zu Monatsbeginn 200. Über welche Summe verfügt sie am Jahresende, wenn die Verzinsung 6% p. a. beträgt? (2478 ) Erfolgen die monatlichen Zahlungen am Monatsende, also nachschüssig, dann gilt:
R=r(12+ 5,5 *i) Wir wollen nun den bisher behandelten Fall verallgemeinern. Als Verzinsungsperiode betrachten wir nicht nur ein Jahr, sondern ein beliebige Zeitintervall, das wir in m gleichlange Intervalle unterteilen. Auch in diesem Fall spricht man von unterjährigen Zahlungen. Der entstehende Endbetrag heißt Jahresersatzrate (wird später klar, warum). Jahresersatzrate bei vorschüssiger Zahlung: R vor = r*(m + (m+1)/2*p/100) Jahresersatzrate bei nachschüssiger Zahlung: R nach = r*(m + (m 1)/2*p/100) Um jährliche Verzinsung und monatliche Ratenzahlung bzw. monatliche Rentenzahlung einander anzupassen, werden 12 Monatsraten zu einer Jahresersatzrate zusammengefasst. Beispiel 9 Ein Student schließt einen Sparplan über eine Laufzeit von einem Jahr mit folgenden Konditionen ab: Einzahlung von 75 zu Monatsbeginn (Monatsende), Verzinsung von 4% p. a., Bonus am Jahresende in Höhe von 1% aller Einzahlungen. (928,50 /925,50 ) Renditenberechnung Bei der sofortigen Bezahlung von Waren oder Dienstleistung vor dem Fälligkeitstermin wird häufig ein Nachlass (Skonto) gewährt. Wir bezeichnen mit s den Prozentsatz des Nachlasses, mit T die Differenztage der Zahlungszeitpunkte und mit R den Rechnungsbetrag. Bei sofortiger Zahlung ist dann der folgende Betrag fällig: (1 s/100)r. Um den zugrunde liegenden Effektivzins zu berechnen, setzen wir diese Formel mit der Barwertformel gleich: Durch Umformung erhalten wir: (1 s/100)r= R*1/(1+p/100*T/360). p=s/(1 s/100)*360/t. Beispiel 10 Auf einer Handwerksrechnung lauten die Zahlungsbedingen: entweder Zahlung innerhalb von 10 Tagen mit 2% Skonto oder Zahlung innerhalb von 30 Tagen ohne Nachlass.
Zinseszinsrechnung Im Unterschied zum vorangegangenem abschnitt werden hier typischerweise mehrere Zinsperioden betrachtet. Es werden folgende Bezeichnungen verwendet: Symbol Bedeutung K 0 Anfangskapital; Barwert n Anzahl der Zinsperioden p Zinssatz; Zinsfuß i Zinsrate K n Kapital am Ende der n ten Zinsperiode K t Kapital zum Zeitpunkt t q Aufzinsungsfaktor Es gilt der Zusammenhang: i=p/100 und q = 1+i. Zinseszinsrechnung Nach der Zinsformel erhalten wir für t=1: K 1 =K 0 (1+i)=K 0 q Wenn wir berücksichtigen, dass das Endkapital des ersten Jahres gleich dem anfangskapital des zweiten Jahres ist, bekommen wir: Sukzessiv erhalten wir: K 2 =K 1 (1+i)=K 0 q 2 K n =K 0 q n Beispiel 11 Frau Weber erwirbt einen Sparbrief über 2000, der 5 Jahre hinweg unter Zinssammlung konstant mit 6% p. a. verzinst wird. Welche Summe erhält Frau Weber am Ende des 5. Jahres? Für den Endwert der Zinseszinsrechnung kann die Excelfunktion ZW benutzt werden (zukünftige Wert), die unter der Kategorie Finanzmathematik zu finden ist. Die Parameter bedeuten folgendes: Excelparameter Bedeutung Zins Zinsrate Zzr Laufzeit, Zahlunszeitraum Rmz Rate, Regelmäßige Zahlung Bw Barwert F Fälligkeit, 0 = nachschüssig, 1 = vorschüssig
Excel berücksichtigt die Richtung der Zahlungen. Beträge, die eingezahlt werden, müssen negativ sein, Beträge, die ausgezahlt werden, sind positiv. Der Barwert und die Fälligkeit sind optionale Parameter. Wenn für die anderen Parameter kein Wert angeben wird, dann wird er null gesetzt. Gibt es keine regelmäßigen Zahlungen, dann muss der Barwert angegeben werden. Beispiel 12 In eine Rentenversicherung sollen 20 Jahre lang jährlich monatlich vorschüssig 100, eingezahlt werden. Der Zinssatz beträgt 5,5% p. a. Wie hoch ist die Rente, wenn sie nach 20 Jahren sofort ausgezahlt wird. Wenn sie stattdessen 15 Jahre jährlich nachschüssig mit 4% Zinsen ausbezahlt wird. Wie hoch ist dann die jährliche Rente? Hinweis: Benutzen sie die Funktion Rmz (regelmäßige Zahlung). Wenn die Rente monatlich nachschüssig ausbezahlt wird, wie hoch ist dann die monatliche Rente? Hinweis: benutzen sie die Formel für Jahresersatzrate bei nachschüssiger Zahlung. Der Barwert wird durch die Excelfunktion BW ermittelt. Excelparameter Bedeutung Zins Zinsrate Zzr Laufzeit, Zahlunszeitraum Rmz Rate, Regelmäßige Zahlung Zw Endwert, zukünftiger Wert F Fälligkeit, 0 = nachschüssig, 1 = vorschüssig Wird keine regelmäßige Zahlung geleistet, dann muss der zukünftige Wert angegeben werden. Die Fälligkeit muss in diesem Fall nicht angegeben werden, da sie sich auf die regelmäßigen Zahlungen beziehen. Beispiel 13 Aus eine Geschäftsbeteiligung soll nach Ablauf von 4 Jahren eine Gewinnausschüttung von 5000 getätigt werden. Wie groß ist der Barwert der zukünftigen Ausschüttung, wenn mit 8% p. a. verzinst wird? (3.675,15 ) Die finanzmathematischen Argumente stehen in Excel in der folgenden Beziehung: Wenn Zins ungleich 0: Wenn Zins gleich 0: Bw*(1+Zins) Zzr + Rmz*(1+Zins*F)*[(1+Zins) Zzr 1]/Zins+Zw=0 Rmz*Zzr+Bw+Zw=0