Blattfaltungen oder: Wie eine Unterlage zur Vorlage wird

H. Schupp, Universität des Saarlandes Blattfaltungen oder: Wie eine Unterlage zur Vorlage wird 1

1 wohlbekannt: Seitenlängen und Seitenverhältnisse der DIN-An-Rechtecke a b = a = 2 b b a / 2 2

Normierung: Für das Ausgangsformat A0 soll gelten a0 b0 = 1 (m²) und a0 = 2 b0 Daraus folgt: 1/ 4 1/ 4 a0 = 2 und b0 = 2 Für das Format An gilt: an = b(n-1) und bn = an/2 Daraus folgt: 2n 1 2n 1 + 4 4 an = 2 und bn = 2 Insbesondere für DIN-A4: 7 9 4 4 a4 = 2 0,297 und b4 = 2 0,210 3

Vereinbarung: 3 1 2 4

2 Faltung an der Diagonale A' 1 x D T S x C M y 1 P N A 2 B 5

Es entsteht ein symmetrisches, konkaves Fünfeck. Die unbekannten Seitenlängen x,y ergeben sich aus y + x = 2 2 2 y x = 1 1 3 mit x= 2 (und y= 2) 4 4 Nach der Faltung trennen sich die beiden längeren Seiten in S mit dem rationalen (!) Verhältnis 1:3. Nach dem Kathetensatz in A DC gilt 1² = DM 3, d.h. 1 DM = 3 Anders: M und N dritteln die Diagonale. 3 6

Nach dem Höhensatz in A DC hat das Lot A M die Länge 2 1 = 6 3 3 Daraus folgt (Strahlensatz): 3 1 1 SP = 6 = 6 4 3 4 Schließlich: Fünfeck = DBC + DAS = 1 1 1 5 2 + 2 = 2 2 2 4 8 7

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Was an diesen Ergebnissen ist typisch für DIN-Rechtecke, was hingegen gilt schon für jedes nichtquadratische Rechteck? x M x y b a Wiederum entsteht ein symmetrisches konkaves Fünfeck; allgemeiner gilt: x + y = a und y² x² = b². 9

Daraus folgt: a + b a b y a + b y = und x =, also = 2a 2a x a b 2 2 2 2 2 2 2 2 Die beiden längeren Seiten trennen sich immer dann im rationalen Verhältnis, wenn die Seitenlängen rationale Zahlen oder Quadratwurzeln solcher Zahlen sind. Beispiel: Mit a = 3 und b = 2 erhalten wir y/x = 5. 10

3 Faltung zur Gegenecke D' D V C Z z y y x A U B 11

Die Faltung bringt A nach C. Faltachse ist die Senkrechte zur Diagonale durch deren Mittelpunkt. Es entsteht wiederum ein diesmal konvexes, aber auch (zur Diagonale) symmetrisches Fünfeck. Denn UVC weist diese Symmetrie aus und die beiden nach sws kongruenten Dreiecke VCD` und UCB sind zueinander symmetrisch in Bezug auf AC. Für die Streckenlängen x und y gilt: x + y = 2 und y² x² = 1, somit 1 3 x = 2 und y = 4 4 2 1 Schließlich gilt UV = 2 6. 12

Für das zweite Fünfeck errechnet man denselben Flächeninhalt wie für das erste, obwohl es recht verschiedene Form hat. Wir zeigen dies durch direkten Vergleich, und zwar schon für irgendein nichtquadratisches Ausgangsrechteck. Beide Fünfecke bestehen aus einem halben Ausgangsblatt und einem aufgesetzten Dreieck. Die beiden Dreiecke sind kongruent, ja symmetrisch. 13

A' D' b c c b D d V S d C Z b A U c B 14

4 Faltung an einer Winkelhalbierenden D 1 R C 2 2 1 A Q B 15

Faltachse hat die Länge 2. Rückfalten und entsprechendes Neufalten führt zum größten Quadrat auf dem Blatt. Entsprechendes Falten des jeweiligen Restes erbringt je zwei exhaurierende Quadrate und ein ähnliches Restrechteck. 16

D C A B 17

vgl. mit goldenem Rechteck 18

Die Blattfaltung an allen Winkelhalbierenden führt zu einer interessanten Aufteilung des DIN-Blattes. D S R C G H F E A P Q B 19

a vgl. b a b 20

Kommentar alltägliches Medium wird zum mathematischen Objekt Kombination enaktiver, ikonischer und symbolischer Bemühungen Ergebnisse gut zu erreichen, aber kaum bekannt und nicht trivial unaufdringlicher Einsatz früherer Kenntnisse Feld für weitere Entdeckungen Objektexploration statt Methodendemonstration insgesamt: Bereicherung der Mittelstufengeometrie 21

5 Faltung Ecke zur längeren Gegenseite so dass ein Dreieck aufgefaltet wird 22

Dazu gibt es viele Möglichkeiten zwischen den beiden Randlagen (schwarz). Sind die Dreiecksinhalte konstant oder gibt es Extrema? 23

Überprüfen durch eine DGS B d(o;x)*d(o;y)/2 20,98 P C Y M b O a X A 24

d(o;x)*d(o;y)/2 20,47 d(o;x')*d(o;y')/2 21,62 B P P' C Y' Y M' M b O a X' X A Offensichtlich existiert ein Minimum in P und zwei Randmaxima. 25

B p P (p;b) Koordinatisierung C Y (0;y) M (p/2;b/2) b O a Kathetensatz in OXM: Kathetensatz in OYM: X (x;0) p x = OM 2 b y = OM 2 2 2 A mit 2 1 ( 2 2 OM = p + b ) 4 26

Für den Faltdrachen OXPY gilt demnach OXPY = xy = ( p + b ) 4bp 2 2 2 Wir betrachten nun also die Funktion (1) f ( p) = ( p + b ) 4bp 2 2 2 Für ihren Definitionsbereich ist zu beachten, dass b x b 2 und y b sein muss. Daraus ergibt sich für ihn das Intervall b ( 2 1); b 27

Das erkennt man auch unmittelbar. Y B P P C Y b O b 2 X A X Als linker Randwert ergibt sich 2b²( 2 1) 0,83 b². Als rechter Randwert ergibt sich b². 28

Der Graph der Funktion (mit b = 21,0 (cm)) bestätigt die Vermutung. 29

Das absolute Minimum von f bestimmen wir über f (p) = 0. (2) 2 2 '( ) ( ) f p = p + b 3p b 2 4bp 2 2 b b 3 3 2 2 2 2 2 2 f '( p) 0 3p b 0 3p b p p b/ 3 0,58b liegt im Definitionsbereich. Für p b/ 3 ist f monoton fallend, für p b/ 3 monoton steigend, für p b/ 3 beides streng. Also hat f bei b/ 3 das absolute Minimum. Für das Minimum ergibt sich 4/9 3 b² 0,77 b². 30

B b/ 3 P C Y M b X O a A Das optimale Drachenviereck ist charakterisiert durch die Gleichseitigkeit von OXB. XOP = BPO BPO ist Winkel im halben gleichseitigen OPB. 31

B b/ 3 P C 60 Y 120 M N b 30 60 60 X O a A Obere Rechteckseite berührt den Drachenumkreis. 32

Vorzüge des Problems: Es ist neu. Es gestattet enaktiven, ikonischen und symbolischen Zugang. Es ist nicht trivial, aber machbar. Es zeigt die Vorteile des Umgangs mit Monotonie beim Bestimmen von Extremstellen. Die Lösung ist geometrisch eindrucksvoll interpretierbar. Es gibt weitere Lösungswege, aber der elementargeometrische macht Mühe. Die Lösung ist unabhängig von der längeren Blattseite. 33

B P' T P C Y Y' S N Z' O 60 M Z X X' A Inhaltsvergleich optimaler Drachen vs. konkurrierender Drachen Inhaltsvergleich OXY vs. OX Y Inhaltsvergleich Zwickel Y YS vs. Zwickel X XS (<?) 34

In der Funktionsgleichung (1) tritt nur die Rechteckbreite b auf. Deshalb scheint unser Resultat für jedes Rechteck zu gelten. Aber Vorsicht: Die Länge b 2 der DIN-A4-Seite trat auf bei der Bestimmung des Definitionsbereichs. Geht man allgemeiner von einem Rechteck mit den Seitenlängen a,b (a > b) aus, so ist zu beachten: x 2 2 p + b = a und 2 p y 2 2 p + b = b, also 2b 2 2 a a b p b 35

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Liegt die (bisherige) Minimumstelle b/ 3 im Definitionsbereich? 2 2 b 2b a a b a 3 3 Fallunterscheidung: α) 2b a 1,15 b 3 wie bisher β) 2b a < 1,15 b 3 Nun ist f > 0, f also streng monoton wachsend. Das gesuchte Minimum liegt auf dem linken Rand. 37

B b/ 3 P Y b O a X 38

Die Aufgabe lässt mehrere Varianten zu. Zwei Beispiele: Das linke obere Eckdreieck YPB ist maximal für b/ 3! Das Trapez XACP ebenfalls. Die Faltachse XY ist minimal für b/ 2. 39

Andere Faltungsprobleme: Welche n-ecke können beim Falten entstehen? Können sie größere Inhalte haben als das Ausgangsrechteck? (trivialerweise nein) größere Umfänge (?) und Einsichten z.b. bei einer Quadratfaltung 40

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