6. Übungsblatt zur Experimentalphysik (Besprechung ab dem 3. Dezember 2006) Aufgabe 6. Loch in der Regentonne Eine h 2m hohe, voll gefüllte Regentonne steht ebenerdig. Versehentlich wird nun die Regentonne in h 0 m Höhe beschädigt, so dass sie ein Loch mit d 2cm Durchmesser aufweist und ein Wasserstrahl austritt. a) Nach welcher maximalen Entfernung trifft der Wasserstrahl auf den Boden? b) Wie lang dauert es, bis die Tonne mit der Grundfläche A T m 2 zur Höhe h.5m geleert ist? Aufgabe 6.2 Zusammenprall zweier Autos An einer Kreuzung kommt es zum Zusammenstoß zweier Kraftwagen. Der m P.2t schwere Personenwagen fährt mit v P 52 km /h in x-richtung in die Kreuzung ein, wohingegen der beteiligte m L 5t LKW mit v L 62 km /h in y-richtung unterwegs war. Die Karosserien der Wagen verkeilen sich dabei ineinander. a) Welche Erhaltungssätze müssen bei diesem Vorgang berücksichtigt werden? b) Mit welcher Geschwindigkeit und in welche Richtung werden sich die verkeilten Wagen bewegen? c) Ist der Energie-Erhaltungssatz erfüllt? Berechnen Sie die Differenz der Energien vor und nach dem Zusammenprall E p und vergleichen Sie diese mit der Energie des PKW vor dem Zusammenprall! d) Offensichtlich ist die überschüssige Energie von der Wagenform unabhängig. Was bringt dann eine Knautschzone am Auto? Aufgabe 6.3 Klick-Klack-Spiel 5 harte Kugeln sind in einer Reihe so aufgehängt, dass sie nur in einer Richtung ausgelenkt werden können. Die Kugeln hängen dabei ohne Abstand hintereinander! a) Welche Erhaltungssätze spielen für die Dynamik des Systems eine Rolle? b) Was passiert, wenn eine/zwei Kugel(n) nach rechts ausgelenkt werden? c) Was passiert, wenn eine Kugel nach rechts und eine/zwei nach links ausgelenkt werden? d) Wodurch wird die Frequenz der Schwingungen beeinflußt?
Aufgabe 6.4 Schuß auf Holzpendel Eine eiserne Gewehrkugel (m K 6g) wird mit v K 200 m /s in einen Holzblock (m H kg) geschossen, der an einem h, 50m langen, masselosen Seil aufgehängt ist. Der Holzblock beginnt zu pendeln. a) Um welchen Winkel schwingt der Holzblock? b) Um wieviel Grad wird die Kugel beim Schuß in den Holzblock erwärmt? (c Eisen 0, 449 kj /kgk)
6. Lösung zur Experimentalphysik Aufgabe 6. Loch in der Regentonne a) Machen wir mal den einfachen Energieansatz m g (h h 0 ) 2 m v2 () für ein infinitesimales Wasserelement auf Höhe h in der Tonne. Dieses Wasserelement tritt also mit der Geschwindigkeit v(h ) 2 g (h h 0 ) (2) aus der Tonne aus. Die Höhe des Austritts ist h 0. Damit benötigt der Wassertropfen 2h0 t g, (3) um auf den Boden zu fallen und legt damit horizontal 2h0 x(h) v(h) t 2 g (h h 0 ) (4) g 2 h 0 (h h 0 ) (5) zurück. Die maximale Reichweite des Wasserstrahls beträgt damit x(2m) 2 m (2m m) 2 m 2 2m. (6) b) Aus obiger Aufgabe ergibt sich für die Ausflussrate bei der Lochfläche A L V (h ) v(h ) A L 2 g (h h 0 ) A L. (7) Damit ergibt sich für die Zeit t h h h h V (h ) A T dh (8) A T dh 2 g (h h 0 ) A L (9) h h 0 h h 0 2 g h A L A T dh (0) A T A L 2 g h h0 [ A T 2h 2 A L 2 g h h h 0 ] h h0 2A ( T h h 0 A L 2 g 2 dh () (2) h h 0 ) h h 0 (3) 2 m 2 ( ) 2m m.5m m (4) (cm) 2 π 2 9.8 m /s 2 42s 7min. (5)
Aufgabe 6.2 Zusammenprall zweier Autos a) Natürlich gelten Energie- und Impulserhaltungssatz, beim Energieerhaltungssatz muss natürlich aber auch die thermische Energie berücksichtigt werden! b) Der Impuls vor dem Zusammenstoß ergibt sich zu p P m P v P (6) p L m L v L (7) p p P + p L m P v P + m L v L. (8) Nach dem Verkeilen ergibt sich für den Gesamtimpuls beider Fahrzeuge p 2 (m P + m L ) v 2. (9) Für die Geschwindigkeit der Kollission ergibt sich daher mit Hilfe des Impulserhaltungssatzes v 2 p 2 m ( P v P + m L v L 0 m P + m L m P + m L 50 ) km/h. (20) Die Wagen rutschen also mit v 2 5 km /h, wobei der LKW nur α arctan vx v y aus seiner Fahrtrichtung gestoßen wird., 4 c) Aus energetischer Sicht ergibt sich für diesen Vorgang die Anfangsenergie E 0 2 m P v 2 P + 2 m Lv 2 L. (2) Die kinetische Energie der Fahrzeuge nach der Kollission ist E k 2 (m P + m L ) v 2 2 2 (m P + m L ) ( ) 2 mp v P + m L v L. (22) m P + m L Aus dem Energie-Erhaltungssatz kann nun die Energie E p errechnet werden, die als Wärme frei werden muss. Es gilt 2 (m P + m L ) ( ) m 2 P vp 2 + m 2 LvL 2 + Ep 2 m P vp 2 + 2 m LvL 2 (23) Führen wir zur Vereinfachung die normierte Massen k m P m L und die normierte Geschwindigkeit ṽ v P vl ein, so erhalten wir für obige Gleichung (k + ) ( m 2 2m LvL 2 k2ṽ 2 + ) + E p L 2 m ( LvL 2 kṽ 2 + ). (24) Die Energie des PKW vor dem Aufprall ist E P 0 2 m P v 2 P 2.2t (52km /h) 2 25kJ (25)
Die überschüssige Energie ergibt sich daher zu E p 2 m Lv 2 L ( kṽ 2 + ) 2 (k + ) m L v 2 L ( k2ṽ 2 + ) (26) 2 m Lv 2 L (( kṽ 2 + ) (k + ) ( k 2 ṽ 2 + )) (27) 2 m LvL 2 k (ṽ2 + ) E P 0 k + k + ( ) E P 0 k + ṽ + 2 25kJ.2t 5t + ṽ 2 + ṽ 2 (28) (29) ( ) 2 62 km/h + 244kJ. (30) 52 km /h d) Eine wesentliche Rolle bei Autounfällen spielt die maximal auf den Körper einwirkenden Kraft. Durch die Knautschzone wird die Zeit, in der abgebremst wird, verlängert und so die maximal auf den Körper einwirkende Kraft verkleinert (F a ). Ein Teil der Energie wird in Verformungsenergie umgewandelt. Wegfliegende Teile nehmen Energie t mit. Aufgabe 6.3 Klick-Klack-Spiel In der Literatur heisst das auch Kugelstosspendel! a) Es gilt der Energie- und der Impulserhaltungssatz. b) Betrachten wir die Einzelstöße zwischen jeweils zwei Kugeln. Dort gilt mv + mv 2 mv + mv 2 (3) mv 2 + mv 2 2 mv 2 + mv 2 2. (32) Die Lösung des Gleichungssystems ergibt, dass die Kugeln jeweils ihre Geschwindigkeiten austauschen. Lenkt man also eine Kugel aus, so wird der Impuls hintereinander auf jeweils die nächste weitergegeben und am Schluß wird die eine eben wegfliegen. Bei zwei Kugeln ergibt es sich analog. c) Die Betrachtung ist ebenso wie in b), da die Kugeln nur immer ihre Geschwindigkeiten austauschen. Es existieren also zwei voneinander unabhängige Bewegungen. d) Man kann jede Einzelkugel als ein Pendel betrachten. Der einzige Einfluss auf die Schwingungsfrequenz ist damit durch die Pendellänge gegeben. Aufgabe 6.4 Schuß auf Holzpendel a) Offensichtlich gilt der Impuls-Erhaltungssatz. m K v K (m K + m H ) v H (33) Damit ergibt sich für die Geschwindigkeit des Holzblocks mit Kugel v H m Kv K m K + m H 3.5 m /s. (34)
Für die kinetische Energie der fliegenden Kugel E K ergibt sich und für die des Endsystems E K 2 m Kv 2 K (35) E kin 2 (m K + m H ) vh 2 m 2 KvK 2. (36) 2 m K + m H Mit der kinetischen Energie kann der Holzblock mit Kugel h 0 in die Höhe gehoben werden. Das entspricht E kin (m K + m H ) g m 2 KvK 2 2 5cm (37) 2g (m K + m H ) α arccos h h 0 h 48. (38) b) Beim Stoß wird E d E K E kin 2 m KvK 2 m 2 KvK 2 ( ) 2 m K + m H 2 m KvK 2 m K 35J m K + m H (39) an Energie in thermische Energie umgewandelt. Damit ergibt sich für die Temperaturänderung der Kugel T E d c K m K 35J 0, 449 J /gk 6g 43.8K. (40) Man muss berücksichtigen, dass die Energie auch in Verformungsarbeit und Erwärmung des Holzblocks umgesetzt wird.