EinfuhrungundGrundlagen Lie-Gruppen HansGeorgFreiermuth HermannSchonecker FlorentineBunke MathiasSchulze NorbertGob Wintersemester1996/1997 Sommersemester1996 1

Inhaltsverzeichnis 1Lie-Gruppen:DenitionundBeispiele 1.1TopologischeGrundlagen... 1.2DenitionderLie-Gruppe... 2LiealgebrenundlinksinvarianteVektorfelder 1.3DirekteFolgenderDenition... 1.4Beispiele... 8634 3BeispielevonLiealgebren 3.1DenitionderLiealgebra...12 3.2BeziehungenzwischenLiegruppenundLiealgebren...12 3.3DieLiegruppeRundihreLiealgebra...12 3.4DieLiegruppeGL(n;R)undihreLiealgebra...13 4Links{invarianteFormen 3.5DieLiealgebreneinigerklassischerGruppen...15 4.2p{FormenalsalternierendemultilineareAbbildungen...20 4.1NotationenundVorbemerkungen...18 4.3Links{invarianteFormen...22 4.4DielinksinvariantenFormenderGL(n;R)...28 18 5Homomorphismen 6FlusseundEinparametergruppen 6.1BeziehungzwischenFlussenundVektorfeldern...34 6.2FlusseaufLie{Gruppen...36 30 7DieExponentialabbildungaufLie-Gruppen 7.1DenitionundEigenschaften...39 7.2Beispiele...42 2

1Denition1.1EintopologischerRaumMheitzusammenhangend,wennfuralleoenenTeil- mengen;6=a;bmmita[b=mfolgt,daa\b6=;. (vgl.[heuser]). Denition1.2EineTeilmengeAMeinestopologischenRaumesheit Denition1.3Seip2MeinElementeinestopologischenRaumes,soheitdiegrotezusam- zusammenhagend,wennainderinduziertentopologiezusammenhagendist. 1.1TopologischeGrundlagen Lie-Gruppen:DenitionundBeispiele OhneBeweis. Lemma1.4DieZusammenhangskomponenteneinerMannigfaltigkeitMsindoen. menhagendeteilmengezmmitp2zdiezusammenhangskomponentevonp. Lemma1.5EintopologischerRaumMistgenaudannzusammenhagend,wennM;;dieeinzigen Beweis: Mengensind,diezugleichoenundabgeschlossensind. ")\SeiMzusammenhagend,;6=AMoenundabgeschlossen.(AlsoAC:=MnAoen).Dann "(\SeienM;;dieeinzigenoenenundabgeschlossenenMengen,;6=A;BMoenmitA[B=M. ista[ac=munda\ac=;.damzusammenhagendist,kannnurac=;gelten. Lemma1.6DasBildeinerzusammenhagendenMengeuntereinerstetigenAbbildungistzusammenhagend. AngenommenA\B=;.DannwareA=BCoen,d.h.Babgeschlossen.Widerspruch. f?1(a)=:a;f?1(b)=:boen(dafstetig).dafsurjektivist,sinda;b6=;(daa;b6=;).sei zusammenhagend.danngabeesoeneteilmengen;6=a;bnmita[b=n,a\b=;.also nunx2a\b,soistf(x)2a\b=;,alsoistaucha\b=;.seiandererseitsx2m.dannist Beweis:SeiMzusammenhagend,f:M!Nstetigundsurjektiv.Angenommen,Nwarenicht f(x)2a[b,alsof(x)2aoderf(x)2b,d.h.x2aoderx2b.daheristx2a[b=m. Lemma1.6istbewiesen. Mzusammenhagendist.DahermudieAnnahme,Nseinichtzusammenhagend,falschseinunddas Danun;6=A;BmitA[B=MundA\B=;gefolgertwurde,widersprichtderTatsache,da Denition1.7Sei(M;O)eintopologischerRaum.EineTeilmengeBOheitBasisvonO,wenn sichjedeoenemengeo2oalsvereinigung darstellenlat,wobeibi2b. [i2ibi=o 1.2DenitionderLie-Gruppe Lie-Gruppe,wenndieAbbildungGG!G,(;)7!?1eineC1-Abbildungist. Denition1.8EineGruppe(G;),diegleichzeitigeinedierenzierbareMannigfaltigkeitist,heit 3

Corollar1.9SeiGeineLie-Gruppe,dannsind 1.3DirekteFolgenderDenition C1-Abbildungen. Beweis: 7!?1und(;)7! 2.(;)7!istKompositionvon(;)7!(;?1)7!(?1)?1=unddaherC1. 1.7!?1istdieKompositionderC1-Abbildungen7!(1;)7!1?1=?1,alsoebenfalls einec1-abbildung. Corollar1.10SeiGeineLie-Gruppe.Danngilt: Beweis: 2.dieZusammenhangskomponentenvonGsinddieomorphzuE. 1.dieZusammenhangskomponenteEGdesneutralenElements1istebenfallseineLie-Gruppe. 1. Eistzusammenhagend,alsoistEnachLemma1.4oen.DaheristEGeineUntermannigfaltigkeitvonhochstensgleicherDimension. {Seix2E.WegenCorollar1.9istdieAbbildungf:E!G,7!xdierenzierbar,also insbesonderestetig.nachlemma1.6istf(e)zusammenhagend.wegenf(1)=x2e istf(e)e,wieunmittelbarausderdenitionderzusammenhangskomponente EistUntergruppevonG: DaheristEUntergruppevonG {Analogfolgtausg:E!G,x7!x?1istC1,dag(E)E,denng(1)=12E.Also istmitx2eauchx?12e. hervorgeht.alsoist8x;y2eauchxy2e. 2.SeiZGeineZusammenhangskomponente,z2Zbeliebig.AnalogzuobigemistE!G, Insgesamtfolgt,daEeineLie-Gruppeist. 7!zeineC1-Abbildung.Daherist(1z=z2Z,Lemma1.6)EzZ.EbensoistZ!G, Abbildungenzueinanderinverssind,alsoDieomorphismenzwischenEundZ. 7!z?1eineC1-Abbildung,alsoZz?1E.Durcheinsetzensiehtmandadiebeideno.g. abzahlbarvielenzusammenhangskomponenten. tability\).daherbesitztdorteinelie-gruppeinsbesondereeineabzahlbarebasis. Corollar1.11SeiGeineLie-GruppemithochstensabzahlbarerBasis.DannbestehtGaushochstens Bemerkung:Bei[Warner]besitztjedeMannigfaltigkeitperdef.eineabzahlbareBasis("secondcoun- Sk2KiBk,Bk6=;,;6=KiN(sonstZi=;).Daherist SeiB=:(Bn)n2NeineabzahlbareBasisvonG.Seii2I.DaZioenist(Lemma1.4),istZi= Beweis:Seien(Zi)i2I(IeineIndexmenge)dieZusammenhangskomponentenvonG,d.h.G=[i2IZi. G=[i2IZi =[i2i[ = k2[ i2ikibk [ k2kibk 4

insbesonderebkzi\zj=;,waseinwiderspruchzubk6=;ware.daalso[i2ikinist,kann maniinneinbettenvermogei,!n,i7!min(ki).alsoistiabzahlbar. Esistalso[i2IKiN,dennwaredieVereinigungnichtdisjunkt,sowaremitk2Ki\Kjfuri;j2I Lemma1.12IstGeinezusammenhagendeLie-GruppeundUGeineUmgebungvon1.Dannist wobeiun:=(nyi=1xijxi2u). G=1[n=1Un; oen).sei Beweis:SeiVUoenmit12V,s.d.V?1=V(V?1:=f?1j2Vg).(z.B.V=U\U?16=;, fallsuoen,dennderschnittvonoenenmengenistoen,12u\u?1,7!?1stetigalsou?1 HGisteineUntergruppe,wiemansofortveriziert.WeiterhinistVnistoen,da82Hdie AbbildungV!Vstetigist.AlsoistHGoen,alsVereinigungoenerMengen.DaHGruppeist, H:=1[n=1Vn1[n=1Un: istxy:,xy?12heineaquivalenzrelation.dieseunterteilthin(disjunkte)aquivalenzklassen. Alsoist DajedesxHoenist,istauchHCoen.AlsoistHoenundzugleichabgeschlossen,H6=;,Gist HC=[ zusammenhangend.alsofolgtmitlemma1.5,dah=g. [x]6=[1]xh: Basis,dennRdhateineabzahlbareBasis.NachdemLemma1.12hatdamitauch Beweis:SeiVGeineUmgebungder1.UberdieKarteVstetig Corollar1.13IstGeinezusammenhagendeLie-Gruppe,sohatGeineabzahlbareBasis. G=1[n=1Vn!ARdbesitztVeineabzahlbare Corollar1.14BestehteineLie-GruppeGausabzahlbarvielenZusammenhangskomponenten,sobesitztGeineabzahlbareBasis. Beweis:AlleZusammenhangskomponentensinddieomorphzurKomponenteder1(Corollar1.10). alsoeineabzahlbarebasisvong. Komponentenbesteht,istdieVereinigungderBasendereinzelnenKomponentenwiederabzahlbar, DiesebesitztwegenCorollar1.13eineabzahlbareBasis.DaGausabzahlbarvielenabzahlbaren eineabzahlbarebasis. 5

1.4Beispiele Beispiel1.15(Rn;+)isteineLie-Gruppe. Beweis:MitdemAtlasfidg,d.h.mitderVervollstandigungdesAtlas,dernurdieIdentitatidauf ist,istsieinsbesonderec1. Rnenthalt,istRneinedierenzierbareMannigfaltigkeit.DadieAbbildung(x;y)7!x?ypolynomial Beweis:MitdemAtlasf(x+{y)7!(x;y)gistCeinedierenzierbareMannigfaltigkeit.DieGruppenabbildung Beispiel1.16(C;)isteineLie-Gruppe.(C:=Cnf0g). istc1,dasierationalundy6=0ist. (x1+{x2;y1+{y2)7!xy?1= y21+y2(x1y1+x2y2+{(x2y1?x1y2)) 1 Beispiel1.17DerEinheitskreisS1CisteineLie-GruppemitderMultiplikationaufC. Beweis:Seip=(0;p2)2f(0;1);(0;?1)g,soistfurx=(x1;x2)6=pdieAbbildung einekarte(stereographischeprojektion),dieeinenc1-atlaserzeugt.alsoists1einedierenzierbare Mannigfaltigkeit.DieGruppenoperation((x1;x2);(y1;y2))7!xy?1=(x1y1+x2+y2;x2y1?x1y2)ist x7!p2x1 C1(vgl.Beispiel1.16).Alsoist(S1;)Lie-Gruppe. p2?x2 StrukturalsC1-MannigfaltigkeiteineLie-Gruppe. Beispiel1.18SeienG;HLie-Gruppen,soistGHmitden"Produktoperationen\undderProdukt- Beweis:GHistHausdorschinderProdukttopologie(vgl.Vektoranalysis).DieProduktkarten sindc1.weiterhinistdiegruppenoperation ':GH!RnRm ((x1;x2);(y1;y2))7!(x1x?1 (x;y)7!('(x); 2;y1y?1 (y)) koordinatenweise,alsoinsgesamt,c1.daheristgheinelie-gruppe. 2) Beweis:(S1)nistLie-GruppewegenBeispiel1.17undBeispiel1.18. Beispiel1.19Dern-Torus(S1)nisteineLie-Gruppe Beispiel1.20DieGruppeGL(n;R)derinvertierbarennn-MatrizenistmitderMatrix-MultiplikationeineLie-Gruppe. 6

detalspolynomialefunktionstetigist,gibteseineumgebungu(a)rnnmitu(a)gl(n;r). Beweis:GL(n;R)Rn2istHausdorschalsTeilraum.FuralleA2GL(n;R)istdet(A)6=0.Da DaheristidU(A)eineKartevonGL(n;R).DeshalbistfidgeinC1-Atlas,alsoGL(n;R)einedifferenzierbareMannigfaltigkeit.NunzudenGruppenoperationen:(A;B)7!AB= nx=1aibj! AbbildungenC1unddeshalbGL(n;R)Lie-Gruppe. tenweiserationalefunktionc1.damitistinsbesonderediekomposition(a;b)7!ab?1dieser istkomponentenweisepolynomial,alsoc1.aucha7!a?1=1 det(a)det(aji)ijistalskomponen- ij Beweis:DGL(n;R)istUntermannigfaltigkeit(vgl.Beispiel1.20).DistauchUntergruppevon Beispiel1.21DieMengeDderoberenDreiecksmatrizeninRnnisteineLie-Gruppe. GL(n;R),denn 0B@ 0... 1 CA0B@ 0... 1 CA=0B@ 0... 1 CA 0... 1 CA?1= det()0b@ AlsoistDeineLie-Gruppe. 1 0... 1 CA: Anschauung:MankanndieseLie-GruppealsdieGruppederanenAbbildungen("Bewegungen\) desrnansehenmit(a;x) Beispiel1.22GL(n;R)RnistmitderOperation(A;x)(B;y):=(AB;Ay+x)eineLie-Gruppe. keit(vgl.beispiele1.15und1.20).mitdemneutralenelement(id;0)istgl(n;r)rneinegruppe, dieserabbildungen. Beweis:AlsProduktzweierMannigfaltigkeitenistGL(n;R)RneinedierenzierbareMannigfaltig- dadieoperationdiekompositionderdurchdieelementegegebenen(invertierbaren)abbildungen!(7!a+x).diegruppenoperationistdannlediglichdiekomposition einelie-gruppe. C1.Wegen(A;x)(A?1;?A?1x)=(AA?1;A(?A?1x)+x)=(id;0)ist(A;x)?1=(A?1;?A?1x)und ist.dadiegruppenoperation(a;x)(b;y)=(ab;ax+y)komponentenweiselinearist,istsieauch daherist(a;x)7!(a;x)?1einec1-abbildung(vgl.beweiszubeispiel1.20).alsoistgl(n;r)rn Beispiel1.23RRistLie-Gruppemit(s1;t1)(s2;t2):=(s1s2;s1t2+t1). AnschauungundBeweis:DiesisteinSpezialfallvonBeispiel1.22. 7

2 LiealgebrenundlinksinvarianteVektorfelder Denition2.1Vektorfelder SeiMeineC1-Mannigfaltigkeit. EineAbbildungX:M!T(M):=_Sm2MTmMmitXm:=X(m)2TmM,furallem2M,heit VektorfeldaufM. FureineC1-Funktionf2C1(U)aufUMoen,seidieFunktionX(f)durchX(f)(m):= X(m)(f)=Xm(f),furallem2M,deniert. XheitC1,wennX(f)2C1(U),furallef2C1(U)mitUMoen. Denition2.2Differential SeienMundNC1-Mannigfaltigkeiten,m2Mund:M!NeineC1-Abbildung. DieAbbildungTm:TmM!T(m)NmitTm(m)(g):=m(g),furallem2TmMund g2c1(u((m))),heitdierentialvoninm. DieAbbildungT:T(M)!T(N)istdannpunktweisedeniertdurchT(m):=Tm(m)2N(m), furallem2tmm. Bemerkung2.3Istf2C1(M)eineC1-Funktion,sobezeichnedmfdasElementdmf2TmM:= (TmM)desCotangentialraumesvonMinmmitdmf(m):=m(f),furallem2TmM.Durch punktweisedenitiondf(m):=dmf(m),furallem2tmm,erhaltmandastotaledierentialvon f. IdentiziertmanR=TxRdurchddr(x)=1,furallex2R,soist Tmf(m)(g)=m(gf) =m(f)ddr(f(m))(g);8m2tmm;g2c1(u(f(m))),tmf(m)=dmf(m)ddr(f(m))=dmf(m);8m2tmm,tf=df: SatzundDenition2.4Lie-Klammern IstMeineC1-MannigfaltigkeitundsindXundYC1-VektorfelderaufM. Dannerhaltmandurch[X;Y]m():=Xm(Y())?Ym(X()),furallem2M,einVektorfeld[X;Y] aufm,daslie-klammervonxundyheit. Beweis: SeienUMoen,f;g2C1(U)und;2Rbeliebig. DaX;Y2C1(U)istX(f);Y(f)2C1(U)undsomitXm(Y(f))?Ym(X(f))deniert. WegenX(fg)(m)=Xm(fg)=f(m)Xm(g)+g(m)Xm(f) =f(m)x(g)(m)+g(m)x(f)(m) =(fx(g)+gx(f))(m);8m2u istx(fg)=fx(g)+gx(f)undanalogy(fg)=fy(g)+gy(f). MitX(Y(fg))?Y(X(fg))(m)=Xm(Y(fg))?Ym(X(fg)) =Xm(fY(g)+gY(f))?Ym(fX(g)+gX(f)) =f(m)xm(y(g))+y(g)(m)xm(f) +g(m)xm(y(f))+y(f)(m)xm(g)?f(m)ym(x(g))?x(g)(m)ym(f)?g(m)ym(x(f))?x(f)(m)ym(g) =f(m)xm(y(g))+ym(g)xm(f) +g(m)xm(y(f))+ym(f)xm(g)?f(m)ym(x(g))?xm(g)ym(f)?g(m)ym(x(f))?xm(f)ym(g) =f(m)(xm(y(g))?ym(x(g))) +g(m)(xm(y(f))?ym(x(f))) =(f(x(y(g))?y(x(g))) +g(x(y(f))?y(x(f))))(m);8m2u 8

folgtx(y(fg))?y(x(fg))=f(x(y(g))?y(x(g)))+g(x(y(f))?y(x(f)))undsomit[x;y](fg)= f[x;y](g)+g[x;y](f). Denition2.5Lie-Algebren Ebensoleichtzeigtman[X;Y](f+g)=[X;Y](f)+[X;Y](g). EinR-VektorraumgmiteinembilinearenOperator[;]:gg!gheitLie-Algebra,fallsfuralle Alsoist[X;Y]m2TmM,furallem2M,undsomit[X;Y]einVektorfeldaufM. x;y;z2ggilt: Denition2.6InvarianteVektorfelder [x;y]=?[y;x] [[x;y];z]+[[z;x];y]+[[y;z];x]=0 (Anti-Kommutativitat) Furjedes2GdeniertmandieDieomorphismen SeiGeineLie-Gruppe. (Jakobi-Identitat) SeiXeinVektorfeldaufG. Xheitlinks-invariant,wennTlX=Xl,furalle2G. r():= l():= (Rechts-Translation) (Links-Translation) Satz2.7SeiGeineLie-GruppeundgdieMengederaufGlinks-invariantenVektorfelder.Dannist Xheitrechts-invariant,wennTrX=Xr,furalle2G. geinr-vektorraumunddieabbildung:g!tegmit(x)=x(e)einisomorphismus. Beweis: gisteinr-vektorraum: DeniertmandieAdditionundR-Skalar-MultiplikationaufgpunktweisefuralleX;Y2gund sowerdendier-vektorraumgesetzeaufgdurchdieaufdentangentialraumeninduziert. ;2Rdurch SindX;Y2g,soist (X+Y)():=X()+Y(); unddaherx+y2g.=(x+y)l Tl(X+Y)=TlX+TlY =Xl+Yl istsurjektiv: istoensichtlichlinear. Seie2TeG. DeniertmandasVektorfeldX():=Tel(e),furalle2G,soistX2g,denn X(l())=X() =(TlTel)(e) =Te(ll)(e) =Tel(X(e)) =Tel(e) =X(l(e)) )Xl=TlX; =Tl(Tel(e))=Tl(X());82G 9

undesist (X)=X(e) istinjektiv:=tele(e)=e: SeienX;Y2gmitX(e)=(X)=(Y)=Y(e). DannistX()=X(e) =X(l(e)) =Tl(X(e)) =Tl(Y(e)) =Y(l(e)) =Y(e)=Y();82G )X=Y: Corollar2.8dim(g)=dim(TeG)=dim(G). Bemerkung2.9SeiMeineC1-MannigfaltigkeitmitKoordinatenumgebungen(U;x1;:::;xn)und (V;y1;:::;yn).MMistdanneineC1-MannigfaltigkeitmitdenKoordinatenumgebungen(U V;z1;:::;z2n)mitzi(;)=xi()undzn+i(;))=yi(),furallei=1;:::;n,undsomit @ @zi((;))f(;)=@ @xi()f(;) @ @zn+i((;))f(;)=@ @yi()f(;); furalle(;)2uvundf2c1(uv). Seiennun X=Pni=1i()@ @xi();82u Y=Pni=1 i()@ @yi();82v C1-VektorfelderaufM. Dannist(X;Y)(;)deniertdurch (X;Y)(;)(f(;)):=X(f(;))+Y(f(;)) =Pni=1i()@ @xi()f(;)+pni=1 i()@ @yi()f(;) =Pni=1i()@ @zi((;))f(;)+pni=1 i()@ @zn+i((;))f(;) =Pni=1i()@ @zi+pni=1 i()@ @zn+i(;)(f(;)) einc1-vektorfeldaufmm. Satz2.10SeiGeineLie-Gruppe.DannsinddieaufGlinks-invariantenVektorfelderC1. Beweis: SeigdieMengederaufGlinks-invariantenVektorfelder,X2gundf2C1(G).Wegen X(f)()=X()(f) =X(l(e))(f) =Tl(X(e))(f) =Tl(Xe)(f)=Xe(fl) istzuzeigen,da7!xe(fl)einec1-funktionist. DiesgeschiehtdurchDarstellungalsKompositionderC1-Abbildungen :GG!G;(;):=; (;):G!GG;(;)():=(;); (;):G!GG;(;)():=(;):10

YseieinbeliebigesC1-VektorfeldaufGmitY(e)=X(e). undsomit(0;y)(f)(;e)einec1-funktionaufg. (0;Y)istdanneinC1-VektorfeldaufGG, Nunist (0;Y)(f)(;e)()=(0;Y)(f)(;e) =0(f(;e))+Ye(f(;)) =(0;Y)(;e)(f) torfeldernselbsteinaufglinks-invariantesvektorfeld. Satz2.11SeiGeineLie-Gruppe.DannistdieLie-KlammervonzweiaufGlinks-invariantenVek- =Xe(f(;))=Xe(fl): Beweis: SeigdieMengederaufGlinks-invariantenVektorfelderundX;Y2g.Nach2.10sinddannXund NunistTl([X;Y]m)(f)=[X;Y]m(fl) YC1unddaherihreLie-Klammer[X;Y]deniert. =Xm(Y(fl)())?Ym(X(fl)()) =Xm(Y()(fl))?Ym(X()(fl)) =Xm(Tl(Y())(f))?Ym(Tl(X())(f)) =Xm(Y(l())(f))?Ym(X(l())(f)) =Xm(Y(f)(l()))?Ym(X(f)(l())) =Xm(Y(f)l)?Ym(X(f)l) =Tl(X(m))(Y(f))?Tl(Y(m))(X(f)) =X(l(m))(Y(f))?Y(l(m))(X(f)) =Xl(m)(Y(f))?Yl(m)(X(f)) Lie-KlammeralsOperatoristgdanneineLie-Algebra. Satz2.12SeiGeineLie-GruppeundgdieMengederaufGlinks-invariantenVektorfelder.Mitder )Tl[X;Y]=[X;Y]l: =[X;Y]l(m)(f);8m2G;f2C1(G) Beweis: Anti-Kommmutativitat: Nach2.7istgeinR-Vektorraum. Sei[;]dieLie-Klammer.Dannist[;]:gg!gnach2.11deniertundoensichtlichbilinear. Jakobi-Identitat: )[X;Y]=?[Y;X]: [X;Y]m()=Xm(Y())?Ym(X()) =?(Ym(X())?Xm(Y()))=?[Y;X]m();8m2G [[X;Y];Z]m()+[[Z;X];Y]m()+[[Y;Z];X]m()= +[Z;X]m(Y())?Ym([Z;X]()) +[Y;Z]m(X())?Xm([Y;Z]())= [X;Y]m(Z())?Zm([X;Y]()) +Zm(X(Y()))?Xm(Z(Y()))?Zm(X(Y()))+Zm(Y(X())) +Ym(Z(X()))?Zm(Y(X()))?Ym(Z(X()))+Ym(X(Z())) Xm(Y(Z()))?Ym(X(Z())) )[[X;Y];Z]+[[Z;X];Y]+[[Y;Z];X]=0:?Xm(Y(Z()))+Xm(Z(Y()))=0;8m2G 11

Denition3.1Liealgebra 3.1DenitionderLiealgebra 3 BeispielevonLiealgebren SeiGeineLiegruppe.DieLiealgebragderaufGlinksinvariantenVektorfeldermitderLieklammerals v;w2tegundsindx;y2g;sodax(e)=vundy(e)=w;dannistdiesedurch[v;w]=[x;y](e) TeGmit(X)=X(e)(vgl.Satz2.4)erhaltderTangentialraumTeGeineLiealgebrenstruktur:Sind OperatorwirddiezurLiegruppeGgehorendeLiealgebragenannt.DurchdenIsomorphismus:g?! geinebasisvong,wobeixrdeniertistdurchxr:7?!tl(vr).diesesvektorfeldistgeradedas BemerkungzurBasisdarstellung deniert.mitdieserzusatzlichenstrukturwirdauchofttegalsdieliealgebravongbezeichnet. sichnunalslinearkombinationdieserbasiselementedarstellen,insbesonderegiltalsoauchfurdas Urbildvonvr2TeG,unterdemIsomorphismus(Satz2.4).JedeslinksinvarianteVektorfeldlat Klammerprodukt:[Xi;Xj]=PhchijXh.DiereellenKoezientenchijwerdenalsStrukturkonstantenvonGbezeichnet.IndergegebenenBasisistdanndieMultiplikationinTeGdeniertdurch [vi;vj]=phchijvh.tegundgsindalsliealgebreneindeutigdurchdiestrukturkonstantenbestimmt, welcheabergewissebedingungen,wiechij+chji=0undpr(crijcsrk+crjkcsri+crkicsrj)=0erfullen mussen,damitdieantikommunitativitatunddiejakobi-identitatgelten. Bildenv1;:::;vn2TeGeineBasisdesTangentialraumesTeG,dannbildendieVektorfelderX1;:::;Xn2 EinwichtigerGrundfurdieBetrachtungderLiealgebrenistdieTatsache,dadieseeinnutzliches BemerkungzurMotivationderBetrachtungderLiealgebren 3.2BeziehungenzwischenLiegruppenundLiealgebren HilfsmittelbeiderUntersuchungundKlassizierungderLiegruppenbisauflokaleIsomorphiedarstellen. soda furx;y2uundxy2ugilt'(xy)='(x)'(y)und ZweiLiegruppenGundHheienlokalisomorph,wennesUmgebungenUundVderEinselementegibt undwenneseinebijektive,c1-abbildung'mitc1-umkehrabbildung Denition3.2LokaleIsomorphie furz;w2vundzw2vgilt (zw)=(z)(w). gibt,':gu?!vh, Esgiltdannfolgender Satz3.3ZweiLiegruppensindgenaudannlokalisomorphwennihreLiealgebrenisomorphsind. schendenisomorphieklassenderliealgebrenunddenisomorphieklasseneinfachzusammenhangender SinddieLiegruppenzusatzlicheinfachzusammenhangend,sogibteseinebijektiveZuordnungzwi- Liegruppen.(Esexistierennicht-isomorphe,zusammenhangendeLiegruppenmitisomorphenLiealgebren,z.B.gilt:RmTnundRsTl,mitm6=s;n6=l,aberm+n=s+l:=k,sindnicht-isomorphe 3.3DieLiegruppeRundihreLiealgebra LiegruppenmitLiealgebraRk.) XisteinlinksinvariantesVektorfeldaufR() Beispiel:DieLiegruppeRundihreLiealgebra DieGruppenoperationistdieAddition:RR?!Rmit(;)7?!+.EsseidieLinkstranslation f(l())ddr(l())g=tl(f()ddr())(g) X(l())(g)=Tl(X())(g)furalle2R() lgegeben:l:r?!rmit7?!l()=+. SeiXeinVektorfeldaufR;X=f()ddr()SeigeineC1-FunktionaufR.Nungilt: =f()ddr(l())g =f()ddr()(gl)=f()ddr(l()gddr()l 12

=)f(l())=f(+)=f()furalle2r AuerdemgiltfurdasLiescheKlammerproduktzweiersolcherVektorfelderX=ddrundY=ddr: Insgesamtfolgt:DieLiealgebravonRbestehtausdenkonstantenVektorfeldernfddrj2RgaufR. =)f==const: [X;Y]m(f):=Xm(Y(f))?Ym(X(f)) =)X=ddr(). DiesgibtAnlazufolgender =X(Y(f))(m)?Y(X(f))(m) Denition3.4EineLiealgebragheitabelsch,wenn[X;Y]=0furalleX;Y2g:Dannistdie =ddr(ddrf)(m)?ddr(ddrf)(m)=0 Denition3.5SeiengundhzweiLiealgebren.EineAbbildung':g?!hheiteinLiealgebrenhomomorphismus,wenngilt:'istlinearundvertraglichmitdemLieschenKlammerprodukt: '[x;y]=['(x);'(y)]furallex;y2g: bren. Beispiel:DieLiegruppeGL(n;R)undihreLiealgebra 1.SeiMat(n;R)dieMengederreellennn?Matrizen.MitderkomponentenweisenAdditionund 3.4DieLiegruppeGL(n;R)undihreLiealgebra LiealgebragleichihremZentrumC(g):=fX2gj[X;Y]=0furalleY2gg DieKlasseallerLiealgebrenzusammenmitdenMengenHom(g;h)bildetdieKategoriederLiealge- 2.BetrachteGL(n;R)Mat(n;R). SkalarmultiplikationwirdMat(n;R)einR-Vektorraum.DeniertmanfurA;B2Mat(n;R) Esgilt:DieDeterminantenfunktiondet:Mat(n;R)?!Ristdierenzierbarundsomitstetig. Jakobi-IdentitaterfulltundMat(n;R)wirddamitzueinerLiealgebra. denbilinearenoperator[a;b]:=ab?ba,sosinddieantikommutativitatunddie =)GL(n;R)=(det?1f0g)Cistoen =)det?1f0gistabgeschlossen =)GL(n;R)besitzteineStandardstrukturalsoeneUntermannigfaltigkeitvonMat(n;R). EsbezeichnenunxfolgendeglobaleKarte: MitderMatrizenmultiplikationalsGruppenoperationistauerdemdieAbbildung(A;B)?! A=(aij)1i;jn GL(n;R) (xij)1i;jn 7?! (a11;:::a1n;a21;:::;ann) Rn2 3.SeinungdieMengederlinksinvariantenVektofelderaufGL(n;R). AB?1C1.AlsoistGL(n;R)eineLiegruppe. oeninmat(n;r))mitx7?!x(e)=xederisomorphismusaussatz2.4.dannsei= Sei:g?!Te(GL(n;R))=Te(Mat(n;R))(=IdentizierungderTangentialraume,daGL(n;R) vonmat(n;r)mitihremtangentialraumindereinheitsmatrixe. Sei:Te(Mat(n;R))?!Mat(n;R);:v7?!(v(xij))1i;jndiekanonischeIdentizierung Behauptung:isteinLiealgebrenisomorphismusundsomitkannMat(n;R)alsLiealgebravon Xg Te(Mat(n;R)) X(e)=Xe (Xe(xij))1i;jn GL(n;R)betrachtetwerden. Beweis: 13

(a)vertraglichkeitmitdemlieschenklammerprodukt: Zuzeigen:([X;Y])ij=[(X);(Y)]ij;8X;Y2g Dazu:(xijl)()=xij()=Pkxik()xkj() (1) AuerdemgiltmitY2g: (Y(xij))()=Y()(xij) =Y(l(e))(xij) =Tl(Y(e))(xij) =Tl(Ye)(xij) =Ye(xijl) (1) =Ye(Pkxik()xkj) =Pkxik()Ye(xkj) =Pkxik()(Ye)kj =Pkxik()((Y))kj =Pkxik()(Y)kj (2) Nunfolgt: ([X;Y])ij=[X;Y]e(xij) =Xe(Y(xij))?Ye(X(xij)) (2) =Xe(Pkxik(Y)kj)?Ye(Pkxik(X)kj) =PkXe(xik)(Y)kj?PkYe(xik)(X)kj =Pk(X)ik(Y)kj?Pk(Y)ik(X)kj =((X)(Y))ij?((Y)(X))ij =((X)(Y)?(Y)(X))ij =[(X);(Y)]ij (b)zunachstgilt: SeixdieobigeKartevonGL(n;R),dannbildendieVektoreneij:=(@ @xij)eeinebasis destangentialraumeste(gl(n;r)).daslinksinvariantevektorfeldxij,welchesdeneij entsprechendenbasisvektorvongbildet,erhaltmandurch:(vgl.abschitt3.1) g7?!tlg(eij) Dafurgilt(miteinerC1-Funktionf): Tlg(eij)(f)=Tlg(@ @xijje)(f) =@ @xijje(flg) =Pr;s@ @xrsjlg(e)f@ @xijje(phgrhxhs) =Ph;r;s(@ @xijgrhxhs)e(@ @xrs)g(f) =Ph;r;s(grh@ @xijxhs)e(@ @xrs)g(f) =Ph;r;s(grhihjs)e(@ @xrs)g(f) =Prgri(@ @xrj)g(f) =) Xij(g) =Prxri(g)(@ @xrj)g =) Xij =Prxri@ @xrj Dannfolgt:[Xij;Xkl]=kjXil?ilXkj Beweis: MitXij=Prxri@ @xrjundxkl=psxsk@ @xslgilt Xij(Xkl)=Prxri@ @xrj(psxsk@ @xsl) =Prsxri(rskj@ @xsl+xsk@ @xrj@ @xsl) =Prxrikj@ @xrl+pr;sxrixsk@ @xrj@ @xsl =kjxil+pr;sxrixsk@ @xrj@ @xsl 14

undanalog Darausfolgt: Xkl(Xij)=ilXkj+Pr;sxskxri@ [Xij;Xkl]=Xij(Xkl)?Xkl(Xij) @xsl@ =kjxil?ilxkj @xrj: NachderBemerkungzurBasisdarstellung(siehe3.1)istdieMultiplikationinTe(GL(n;R)) inderbasisfeijggegebendurch[eij;ekl]=kjeil?ilekj. AndererseitsbesitztMat(n;R)diekanonischeBasisfEij;1i;jngmitEij=(ir js)1r;sn,inderdieliealgebrenstrukturdeniertistdurch dersichentsprechendenliealgebren: DerdurchXij7?!eij7?!EijdenierteVektorraumisomorphismusistderIsomorphismus [Eij;Ekl]=EijEkl?EklEij g =kjeil?ilekj: Beispiel SeiGL(n;C)Mat(n;C)dieTeilmengederinvertierbaren,komplexenMatrizen.Mat(n;C)istmit X 7?! Te(Mat(n;R)) Xe 7?! (Xe(xij))1i;jn (n;r) derbasisfekl;1k;lng[fiekl;1k;lngeinvektorraumderdimension2n2,der durch[a;b]=ab?bazueinerliealgebrawird.dieoeneteilmengegl(n;c)istmitihrer LiealgebravonGL(n;C)angesehenwerden. Mannigfaltigkeit-undGruppenstruktureineLiegruppe.AnalogzuBeispiel3.4kannMat(n;C)alsdie SeiVeinn-dimensionalerreellerbzw.komplexerVektorraum.DannistdieMengeEnd(V)derEndomorphismenvonVeinreellerbzw.komplexerVekorraumderDimensionn2bzw.2n2.Deniert manfurf;g2end(v)[f;g]:=fg?gf,wirdend(v)zueinerliealgbra.diemengeaut(v) BemerkungAllgemeinergilt: LiealgebraEnd(V)angesehenwerdenkann. derkompositionalsgruppenoperationzueinern2-bzw.2n2-dimensionalenliegruppe,alsderen derautomorphismenerhaltalsoeneteilmengeeinemannigfaltigkeitsstrukturundwirddannmit IstAeineR-AlgebramitEinselement,dannbildetdieMengeAderinvertierbarenElementevon AeineLiegruppeunddieLiealgebravonAkannmitdermitihrerVektorraumstrukturunddem Kommutator[x;y]=xy?yxversehenenAlgebraAidentiziertwerden. Denition3.6 3.5DieLiealgebreneinigerklassischerGruppen 1.SeiGeineLiegruppe.EineLiegruppeH,diesowohleineUntergruppealsaucheineUntermannigfaltigkeitvonGist,heiteineLie-UntergruppevonG. 2.EineTeilmengeheinerLie-AlgebragheiteineLie-Unteralgebravong,wennheinUntervektorraumvongistundwennfurX;Y2hauch[X;Y]2hist. I+A+A2 Satz3.7FureinA2Mat(n;C)seidieExponentialabbildungexpgegebendurchexp(A)=eA= exp(u\h)=h\v,soistheinelie-untergruppevongl(n;c),histeinelie-unteralgebravon derexponentialabbildungdieomorphzueinerumgebungvderidentitatingl(n;c)ist.giltdann einuntervektorraumderliealgebramat(n;c).seiueineumgebungder0inmat(n;c),dieunter 2!+A3 3!+:::=P1k=0Ak Mat(n;C)undhistdieLiealgebravonH. k!.seiheineuntergruppederliegruppegl(n;c)undseih 15

(vgl.[warner],p.104,3.34) Beispiel:DiespeziellelineareGruppeundihreLiealgebra sl(n;c):=fa2(n;c)jspur(a)=0g. Esgilt:SL(n;C)=fA2GL(n;C)jdet(A)=1gisteineLie-UntergruppevonGL(n;C)mitLiealgebra 1.Esgilt:det(eA)=espur(A) Beweis:A2Mat(n;C)isttrigonalisierbar,d,hesexistierteinB2GL(n;C)mitBA B?1=0B@1::: 0B@e1::: 0:::n... 1 CA,wobei1;:::;ndieEigenwertebezeichnen.Dannfolgt:eBAB?1= DarausfolgterstenseA2GL(n;C)furalleA2Mat(n;C)undzweitenserhaltman 0:::en..... 1 CAundsomitdet(eA)=det(eBAB?1)6=0. det(ea=det(ebab?1) =espur(bab?1) =e1+:::+n =e1:::en denn(?spur(a))istgleichdemkoezientenvort(n?1)descharakteristischenpolynomsund wegena(t)=bab?1(t)giltalsospur(a)=spur(bab?1). =espur(a); 2.Esfolgtnun: Beispiel:DieUnitareGruppeundihreLiealgebra ()espur(a)=e0=1=det(ea) ea2sl(n;c)\v A2sl(n;C)\U derantihermiteschenmatrizenmitu(n)=fa2(n;c)ja+at=0galsliealgebra. Beweis: SeiUeineUmgebungvon0inMat(n;C),dieomorphunterderExponentialabbildungzueiner UmgebungVderIdentitatinGL(n;C).Mankannannehmen,damitA2UauchA;AT;?A2U. Esgilt:U(n)=fA2GL(n;C)jAT=A?1gisteineLie-UntergruppevonGL(n;C)mitderMenge IstnunA2U\u(n),dannist (ea)tea (ea)?1 =e?aea=e0=i =eat=e?a IstumgekehrtA2UundeA2U(n)\V,danngilt: ==)ea2u(n)\v: =(ea)t ==)?A=AT(mit?A;AT2U) e?a=(ea)?1=(ea)t=eat BemerkungAllgemeinergilt: gegeben(ff=ida)mit(x)?=x?;2k(linearitat). SeiAeineendlich-dimensionaleK-AlgebramitEinselementundseiaufAeineInvolutionf:x7?!x? A 2U\u(n) DannistdieMengeHderx2A(=MengederinvertierbarenElementevonA)mitx?ax=a;a2A 16

beliebig,eineliescheuntergruppevonaunddielieschealgebravonhlatsichmitdemvektorteilraumvonaidentizieren,derdurchdiegleichungx?a+ax=0gegebenist. Darausergibtsichnochdas mitliealgebra Beispiel DiebezuglicheinerbeliebigennichtentartetenHermiteschenForm'mitGramscherMatrixunitaren TransformationenmitMatrixdarstellungSbildeneineLiegruppe:fS2GL(n;C)jSTS=g Beispiel:DieLiealgebrenandererklassischerGruppen 1.KomplexeorthogonaleGruppe: fs2mat(n;c)jst+s=0g: 2.SpezielleunitareGruppe: O(n;C)=fA2GL(n;C)jA?1=ATgistLie-UntergruppevonGL(n;C)mitLiealgebrao(n;C)= SU(n):=U(n)\SL(n;C)istLie-UntergruppevonGL(n;C)mitLiealgebrasu(n):=u(n)\ fa2mat(n;c)ja+at=0g 3.ReellespeziellelineareGruppe: sl(n;c) 4.ReelleorthogonaleGruppe: SL(n;R):=SL(n;C)\GL(n;R)istLie-UntergruppevonGL(n;R)mitLiealgebrasl(n;R)= fa2mat(n;r)jspur(a)=0g 5.SpezielleorthogonaleGruppe: O(n):=U(n)\GL(n;R)istLie-UntergruppevonGL(n;R)mitLiealgebrao(n)=fA2 Mat(n;R)jA+AT=0g SO(n):=O(n)\SL(n;R)istLie-UntergruppevonGL(n;R)mitLiealgebrao(n)\sl(n;R)=o(n),denno(n)sl(n;R),dafurjedesA2o(n)gilt: 0=spur(0)=spur(A+AT)=spur(A)+spur(AT)=2spur(A) ======)spur(a)=0 char(r)6=2 ==)A2sl(n;R) 17

Sei(M)2AeineFamilievonR{Moduln.WieublichwirddaskartesischeProduktals 4.1NotationenundVorbemerkungen 4 Links{invarianteFormen deniert. Y2AM:=f(x)2A2Abb(A;[ M2AMY2AM 2AM)jx2M82Ag Denition4.1SeiMeinedierenzierbareMannigfaltigkeitderDimensionn.Mansetzt: seidiemengeder(x),furdienurendlichvielex6=0sind. ("AuereAlgebravonTmM\) ptm:=[m2mptmm TmM:=RTmM2TmM3TmMnTmM ;m2m ("Aueresp{BundeluberM\) ("BundelderAuerenFormenuberM\) TM:=[m2MTmM BemerkungenInderDenitionwurdefurTmMderBegri"Algebra\verwendet.Diesistgerechtfertigt,dennTmMistzusammenmitderWedge{Multiplikationeine(nichtkommutative) R{Algebra.DieseOperationistfolgendermaenerklart:Seien0++i;0++j2TmM. Dannist wobeim:=pp+q=mp^qgesetztwird.das^inderletztensummeistuberdiemultiplikationsabbildungdeniert.seien(u;x1;:::;xn)koordinatenmitm2u: (0++i)^(0++j):=0++m+; ptmmqtmm =(X i1<<ipi1:::ipdmxi1^:::^dmxip)^(x?!p+qtmm;(pq):=p^q := 1j1<:::<jqni1:::ipj1:::jqdmxi1^:::^dmxip^dmxj1^:::^dmxjq 1i1<:::<ipn X j1<<jqj1:::jqdmxj1^:::^dmxjq) FurdieseAbbildungveriziertmansofort(p^q)^r=p^(q^r)undp^q=(?1)pqq^p.Man rechnetleichtnach,datmmmitdiesenoperationen"+\,"^\undderublichenskalaroperation einealgebraderdimension2nist(weiteresvgl.[la-skript],x20). 18

Denition4.2SeiMeinedierenzierbareMannigfaltigkeitderDimensionn. EineAbbildungM!p gebungen(u;x1;:::;xn)diekoezientenfunktionenfi1:::ipderjeweiligenlokalendarstellung!pju= 1i1<<ipnfi1:::ipdxi1^:::^dxip X?!pTMheit(dierenzierbare)p{Form,wennfuralleKoordinatenum- AnalogheiteineAbbildungM! dargestellt: C1aufUsind.DieMengederdierenzierbarenp{FormenwirdmitEp(M)bezeichnet. zientenfunktionenc1sind.seiwieder(u;x1;:::;xn)einekarte.indiesemfallwird!juso?!tm(dierenzierbare)form,wenndielokalenkoe- wobei:=p(f1;:::;ng)istunddx:=dxi1^:::^dxipfur=fi1<<ipgbzw. dx:=1c1(u)fur=;sind.diemengeallerdierenzierbarenformenwirde(m)genannt.!ju=xfdx; BemerkungEp(M)undE(M)sindR{VektorraumeundC1(M){Moduln,E(M)istsogarR{ Algebra.MandeniertdieOperationenpunktweise:!;2Ep(M)bzw.!;2E(M),2R: (!+)(m):=!(m)+(m) (!)(m):=!(m) 8m2M 8m2M DieVektorraum-undAlgebrengesetzewerdennunvondenenaufdenRaumenpTmMundTmM!;2E(M): induziert.esbleibtzuzeigen,dasummeundproduktauchc1sind.diesfolgtunmittelbarausden RingeigenschaftendesRaumesderC1(U){Koezientenfunktionen,wennman!+,!^,!und (!^)(m):=!(m)^(m) 8m2M f!lokalausrechnet. ZumSchludiesesAbschnitteswerdennochdiezumDierentialdualeAbbildung,dieKotangentialabbildung,undderenVerallgemeinerungaufpTmM,dieLiftungsabbildung,eingefuhrt. Denition4.3SeienMundNdierenzierbareMannigfaltigkeitenundM TmMTm?T(m)N;Tm()():=(Tm)()furalle2T(m)Nund2TmM?!T(m)NdualeAbbildung:?!NeinedierenzierbareAbbildung.DiezumDierentialTmMTm heitkotangentialabbildung. DieAbbildungTistpunktweiseR{linearundTisteinkontravarianterFunktorvonderKategorie SeienM derdierenzierbarenmannigfaltigkeitennachderkategoriedervektorraume,also: AufgrundderLinearitatkannmanTverallgemeinern: Tm(?!N,N )=TmT(m)?!Pdierenzierbar.Danngilt: Tm(idM)=idTmM 19

wirdmit:=ptabgekurztundliftungsabbildunggenannt.esgilt: Denition4.4DieT(m)NTm ptm:pt(m)n?!ptmm?!tmmzugeordnetelineareabbildung furmonomialeelemente1^:::^p2pt(m)n. DankderLiftungsabbildungistesmoglich,p{Formen,dieuberderBildmannigfaltigkeitNdeniert (1^:::^p)=Tm(1)^:::^Tm(p) sind,"zuruckzuziehen\,d.h.zueinerp{formubermzumachen. Lemma4.5SeienMundNdierenzierbareMannigfaltigkeitenderDimensionmbzw.nundM einedierenzierbareabbildung.dannberuhenaufderdenitionderliftungsabbildung pt(m)n?!ptmmu.a.diefolgendenfeststellungen:?!n Sei!p2Ep(N)einep{Form.Dannistdurch(!p)(m):=(!p((m))einedierenzierbarep{ einemit(m)2vund:=y.dannhat!paufudielokaledarstellung: FormaufMdeniert.Sei(U;x1;:::;xm)eineKoordinatenumgebungmitm2U,(V;y1;:::;yn) wenn!pjv=pf1pdy1^:::^dyp. (!p)ju= 11<<pn(f1p)d1^:::^dp; X Seien;2R,!p;!0p2Ep(N)und!q2Eq(N).Dannist: SeiN (!p+!0p)=!p+!0p?!peinedierenzierbareabbildungund!p2ep(p).esgilt:( (!p^!q)=!p^!q: DieangefuhrtenEigenschaftenwerdenimubernachstenAbschnittbenotigt. dbezeichnedieauereableitung.sei!p2ep(n).dannist:d!p=d!p. )!p=(!p) 4.2p{FormenalsalternierendemultilineareAbbildungen renp{formenmitmultilinearen,alternierendenabbildungenvonglattenvektorfeldernaufc1(m){ SeiMeinedierenzierbareMannigfaltigkeitderDimensionnundm2M.MachtmanGebrauchvon denisomorphismenptmm=(ptmm)=altmult((tmm)p;r)solassensichdiedierenzierba- demc1(m){modulv(m)ist.ebensogiltdieumkehrung. Funktionenidentizieren.Denn: Beweis!2Ep(M)eineAbbildung~!:V(M)p?!C1(M)zugeordnet,diealternierendundmultilinearuber Lemma4.6V(M)bezeichnedieMengederdierenzierbarenVektorfelderaufM.Dannwirdjedem weisedeniertenoperationenauf,soistwegenderuniverselleneigenschaftdesauerenproduktsauch NachdemBasissatzfuralternierendeProdukteistdieAbbildungpTmM monomialeelementesiehtdiezuordnungsvorschriftvonsoaus: phismusderbeidenr{vektorraume.fatmanaltmult((tmm)p;r)alsr{vektorraummitargument- (ptmm)?!altmult((tmm)p;r)einestrukturtreueabbildung(vgl.hierzu[la-skript],x18).fur?!(ptmm)einisomor- 1^:::^p7?!(1^:::^p); 20

wobeifurbeliebiges(1;:::;p)2tmmpgilt: (1^:::^p)(1;:::;p)=((1^:::^p))(1;:::;p) Sei!2Ep(M),X1;:::;Xp2V(M),m2Mbeliebig,undseien(U;x1;:::;xn)lokaleKoordinaten mitm2u.jedem!(m)isteindeutigeinealternierendemultilinearform~!(m):=()(!(m)) =(1^:::^p)(1^:::^p) zugeordnet.diehierdurchinduzierteabbildung~!(x1;:::;xp):m?!rmit =det(i(j)) istelementvonc1(m),dennfurallem2mgilt: ~!(X1;:::;Xp)(m):=~!(m)(X1(m);:::;Xp(m)) ~!(X1;:::;Xp)(m)=~!(m)(X1(m);:::;Xp(m)) =0@X i1<<ipfi1:::ip(m)det0b@dmxi1(x1(m))dmxi1(xp(m)) i1<<ipfi1:::ip(m)(dmxi1^:::^dmxip)1a(x1(m)^:::^xp(m)) dmxip(x1(m))dmxip(xp(m)).. 1 CA i1<<ipfi1:::ip(m)det0b@x1(m)(xi1)xp(m)(xi1) X1(m)(xip)Xp(m)(xip) CA = i1<<ipfi1:::ip(m)det0b@x1(xi1)(m)xp(xi1)(m) Dadiefi1ip2C1(U)unddieX(xi)ebenfallsC1sind,istauch~!(X1;:::;Xp)2C1(M). X X1(xip)(m)Xp(xip)(m).. 1 CA Diessiehtmansofort,dadieAbbildung~!(m)alternierendundmultilinearuberRist: SeienX;Y2V(M)undf;g2C1(M)beliebiggewahlt.Furjedesm2Mgilt: rendundmultilinearuberdemc1(m){modulv(m)ist. Esbleibtzuzeigen,dadieAbbildungV(M)p~!?!C1(M);(X1;:::;Xp)7!~!(X1;:::;Xp)alternie- ~!(X1;:::;fX+gY;:::;Xp)(m)=~!(m)(X1(m);:::;f(m)X(m)+g(m)Y(m);:::;Xp(m)) =f(m)~!(x1;:::;x;:::;xp)(m) =f(m)~!(m)(x1(m);:::;x(m);:::;xp(m)) +g(m)~!(m)(x1(m);:::;y(m);:::;xp(m)) ~!(X1;:::;Xi?1;X;Xi+1;:::;Xj?1;X;Xj+1;:::;Xp)(m) =(f~!(x1;:::;x;:::;xp)+g~!(x1;:::;y;:::;xp))(m) +g(m)~!(x1;:::;y;:::;xp)(m) NunzurUmkehrung. SeiV(M)p~! ~!(m)(x1(m);:::;xi?1(m);x(m);xi+1(m);:::;xj?1(m);x(m);xj+1(m);:::;xp(m))=0?!c1(m)einealternierende,c1(m){multilineareabbildung.angenommen,diefunktionswerte~!(x1;:::;xp)(m)derbildfunktionwarennurvondenwertendervektorfelderander = Sei(1;:::;p)2(TmM)pbeliebig.WahleV1;:::;Vp2V(M)derart,daVi(m)=i;i=1;:::;p. p{form!.explizit: Stellemabhangig. auf(tmm)pzuordnen,undsomitgabeesuberdieeingangsangefuhrtenisomorphismenzur~!eine DannlieesichderAbbildung~!inumgekehrterRichtungeinealternierendemultilineareForm~!(m) 21

DieseglattenVektorfelderexistieren,daesaufMeinedierenzierbarePartitionderEinsgibt.Denieredann: istdanneinep{formdeniert.dieseistauchglatt. derabbildung~!folgtsofortdiederform~!(m).setze!(m):=(?1?1)(~!(m)).durchm7!!(m) ~!(m)istnachannahmewohldeniert,alsounabhangigvonderwahldervi.ausdermultilinearitat ~!(m)(1;:::;p):=~!(v1;:::;vp)(m) Vj(m)=j(z.B.j,wenneineglatteFunktionmit=1aufVUund=0aufMnUist). unabhangigetangentialvektoren1;:::;n2tmmundzuihnenglattevektorfelderv1;:::;vnmit DerBeweisderDierenzierbarkeitwirdfurp=1gefuhrt: Danngiltfurallej2f1;:::;ng: Seim02Mbeliebigund(U;x1;:::;xn)eineKartemitm02U.Zuzeigenist,dadieKoezientenfunktionenfiinderDarstellung!jU=PfidxiaufUC1sind.Seim2Ubeliebig.Wahlenlinear DadieVjglattsind,sinddieFunktionenVj(xi)2C1(U).Ebensoist~!(Vj)nachVoraussetzungauf Mdierenzierbar.Weitersinddiejlinearunabhangig,ebensodiedmxiausdemdazugehorigenDualraum.Somitgiltdet(Vj(m)(xi))6=0furallem2U.DannistaberdasLGSPifi(m)Vj(m)(xi)= gezeigt.dieseberuhtaufderannahme,da~!(x)(m)nurvondemwertdesfeldesxanderstelle mabhangt.imfallp=1reichteszuzeigen,daausx(m)=0auch~!(x)(m)=0folgt,denn ~!(Vj)(m)eindeutiglosbarunddieLosungsfunktionenfisindglattaufU. ~!(m)(j)=nxi=1fi(m)(dmxi)(j)=xifi(m)j(xi)=xifi(m)vj(m)(xi)=~!(vj)(m) ZumSchludesBeweiseswirdnunexemplarischfurp=1dieWohldeniertheitderForm~!(m) Insbesondereistfi(m)=0.WahlewiebereitsobenundsetzeXi:=@ AlsoseiX(m)=0.Wieublichseien(U;x1;:::;xn)Koordinatenmitm2U.LokalgiltXjU=Pfi@ seienx;y2v(m)mitx6=y,aberx(m)=y(m)=.dannist(x?y)(m)=0.darausfolgt: ~!(X?Y)(m)=0.Wegender(Multi-)linearitatvon~!giltsomit~!(X)(m)=~!(m)()=~!(Y)(m). renzierbar.furxjuhatmandann: @xi.diefelderxisinddie- Dahergilt: XjU=nXi=1fiXi+(1?)XjU AlsoimpliziertX(m)=0wiebehauptet~!(X)(m)=0. ~!(X)(m)=nXi=1fi(m)~!(Xi)(m)+((1?)(m))(~!(X)(m))=0 AnmerkungImfolgendenAbschnittwirdmanchmal~!mit!identiziertundsowohldieFormals DerBegriderLinks-InvarianzkannmitHilfederLiftungsabbildungauchfurFormeneingefuhrt 4.3Links{invarianteFormen auchdieabbildungmit!bezeichnet. werden.inanalogiezudenvektorfeldernstelltsichheraus,daeinebeliebigelinks{invarianteform bereitsvollstandigdurchdenwert,densieanderstelleeannimmt,bestimmtist. Denition4.7SeiGeineLie{GruppederDimensionn. Eine(nichtnotwendigdierenzierbare)p{Form!pheitlinks{invariant,wennl!p=!pfur alle2ggilt.diemengederlinks{invariantenp{formenseieplinv(g). 22

EineForm!=!0++!p,pnnenntmanlinks{invariant,wennfurq=0;:::;pdie q{formen!qlinks{invariantsind.weitersei diemengederlinks{invariantenformen. Elinv(G)=nMp=0Eplinv(G) Dielinks{invarianten1{FormensindauchalsMaurer{CartanFormenbekannt. ErlauterungenDieDierenzierbarkeitderlinks{invariantenFormenmunichtvorausgesetztwerden,dadieLinks-InvarianzdieDierenzierbarkeitimpliziert(vgl.Satz4.8). DieLinks-Invarianzbedeutetgenauer:(l!p)()=l(!p(l()))=l(!p())=!p()furalle2G. Beispielsweisegiltfureine0{Form,alsofurf2C1(G): E1linv(G)siehtman: Alsosindallelinks{invarianten0{FormendiekonstantenFunktionenaufG.Fureine1{Form2 f()=(l?1f)()=(fl?1)()=f(e) ()=(l?1)()=l?1((e))=tl?1((e))=(e)tl?1 82G Satz4.8SeiGeinen{dimensionaleLie{Gruppe.Danngilt: DieallgemeineSituationerkenntmanausPunkt(2)desfolgendenSatzes. 82G 2.Elinv(G)isteineUnteralgebraderAlgebraE(G)allerdierenzierbarenFormenaufG.Die 1.Links{invarianteFormensinddierenzierbar. AbbildungElinv(G) 3.Gilt!2E1linv(G)undX2g,soistdieFunktion!(X)2C1(G)konstantaufG.Diesist dieseabbildungeinennaturlichenisomorphismuszwischene1linv(g)undteg.nachsatz2.7 kannmane1linv(g)alsdualraumderlie{algebragauassen.?!teg;(!):=!(e)isteinr{algebren{isomorphismus.speziellliefert 4.Seien!2E1linv(G)undX;Y2g.Dannistd!2E2linv(G),undfurdieFunktiond!(X;Y) genaudereekt,wennmannach(2)!alselementvongansiehtundeinlinks{invariantes Vektorfeldauf!anwendet. 5.Sei!1;:::;!ndiezueinergegebenenBasisX1;:::;XnvongdualeBasisvonE1linv(G).Dann gilt:d!(x;y)=?![x;y] gibtesdurchdiedarstellung eindeutigbestimmtestrukturkonstanten,diefolgendeeigenschaftenhaben: [Xi;Xj]=nXk=0ckijXk 8i;j=1;:::;n (a) (b) ckij+ckji=0 furallei;j;k;s2f1;:::;ng. nxr=1(crijcsrk+crjkcsri+crkicsrj)=0 DieauerenAbleitungender!ksindgegebendurchdieMaurer{CartanGleichungen: d!k=x 1i<jnckij!j^!i 23

p{formenglattsind. Sei!2Eplinv(G).Dannist(l?1!)()=l?1(!(e))=!()furalle2G,daherhatman: Beweis (1)NachderDenitonvonElinv(G)alsdirekteSummereichteszuzeigen,dadielinks{invarianten (U;t1;:::;tn)seieineKoordinatenumgebungvone.DieAbbildung l?1:pteg?!ptg;!(e)7!!()=(l?1!)() istc1nachdenitionderlie{gruppe.ohneeinschrankungseivumgebungdereinsmitkoordinatenx1;:::;xn.nunsei02gbeliebig.dannbildet UU?!V;(;)7!?1 auchnachvab,denn20u()?1 0U0U?!G;(;)7!?1?1=~?1?1 0=:~2U3~:=?1 00~=~?1~2V 0 02U,also: Diep{Form!habeinedieDarstellung: Wahlejetztf:=xl?1,alsof(;)=x(?1).fistsomitC1auf0U0U.!(e)=X Sei20Ufest.Setzenun: i1<<ipci1:::ipdexi1^:::^dexip Danngiltfuralle20U:!:=f?1!j0U=X i1<<ipci1:::ipdfi1^:::^dfip: Speziellalso:!()=X j1<<jp 0 @X i1<<ipci1:::ip@(fi1;:::;fip) @(tj1;:::;tjp)(;)1adtj1^:::^dtjp!()=(l?1!)()=!() AusderDierenzierbarkeitvonci1:::ip@(fi1;:::;fip) = j1<<jp X 0 @X i1<<ipci1:::ip@(fi1;:::;fip) keitvon!. @(tj1;:::;tjp)(;)auf0u0ufolgtsomitdiedierenzierbar- @(tj1;:::;tjp)(;)1adtj1^:::^dtjp (2)Behauptung:Elinv(G)isteineR{UnteralgebravonE(G). Danach(1)allelinks{invariantenFormenglattsind,sinddieOperationenaufElinv(G)dievon E(G)=Lnp=1Ep(G)induzierten.Elinv(G)istbezuglichdieserOperationenauchabgeschlossen, furalle2g.weiterwahle2rbeliebig.dannistzuzeigen,da!+!0,!^!0und!elemente denn: Seien!=!0++!pund!0=!0++!0qlinks{invarianteFormen,alsol!i=!iundl!0i=!0i vonelinv(g)sind.nachdenitionderoperationen(siehe4.1)unddenitionderlinksinvarianzbei Formen,reichtes!i+!0i,!iund!i^!0jmit!i;!0i2Eilinv(G)und!0j2Ejlinv(G)zubetrachten: l(!i+!0i)=l!i+l!0i=!i+!0i; 24

furalle2g(vgl.lemma4.5).damitistdiebehauptunggezeigt. l(!i)=l!i=!i l(!i^!0j)=l!i^l!0j=!i^!0j; NunzumAlgebren{Isomorphismus.Zuerstwirdgezeigt,daEplinv(G)p R{Vektorraum{Isomorphismusist.MansiehtmitdengleichenArgumentenwieobenbeiElinv(G),da Eplinv(G)alleR{Vektorraumeigenschaftenhat.OenbaristpauchR{linear:Seien!p;!0p2Eplinv(G) unda;b2r.danngilt:?!pteg;!p7!!p(e)ein Mehrnoch,seien!p2Eplinv(G)und!0q2Eqlinv(G)mitm=p+q) p(a!p+b!0p)=(a!p+b!0p)(e)=a!p(e)+b!0p(e)=ap(!p)+bp(!0p) pistinjektiv,dennseien!p;!0p2eplinv(g)mitp(!p)=p(!0p).danngiltfuralle2g: m(!p^!0q)=(!p^!0q)(e)=!p(e)^!0q(e)=p(!p)^q(!0q) per!p()=l?1(p).dieseistlinks{invariant,dennfuralle2ggilt: Alsoist!p=!0p. DieAbbildungistaberauchsurjektiv,dennseip2pTeGbeliebig,sodeniereeinep{Form!p!p()=(l?1!p)()=l?1(!p(e))=l?1(!0p(e))=(l?1!0p)()=!0p() Seinun!=!0++!p2Elinv(G)beliebig.DenieredanndieAbbildung: Dap(!p)=!p(e)=le(p)=pgilt,istpalsoVektorraum{Isomorphismus. (l!p)()=l(!p()=l(l()?1(p))=(l?1?1l)(p)=l?1(p)=!p() Elinv(G) sind,folgtp=qundi(!i)=i(!0i)furi=1;:::;p.ausderinjektivitatderifolgt!i=!0iund also0(!0)++p(!p)=0(!0)++q(!0q).dadiesummeninderletztengleichungdirekt Dieseistinjektiv.Dennseien!=!0++!p;!0=!0++!0q2Elinv(G)mit(!)=(!0),?!TeG;!7!(!):=0(!0)++p(!p) undesgilt: somit!=!0. istauchsurjektiv.sei=0++p2tegbeliebig.denieredanneineform!folgenderma- en:!():=!0()++!p()furalle2g,wobei!i():=l?1(i)ist.somitist!links{invariant ZumSchluwirdgezeigt,dastrukturtreuist. Esseien!=!0++!p;!0=!0++!0q2Elinv(G)unda;b2R.O.B.d.Aseipq.Danngilt: (!)=0(!0)++p(!p)=0++p=: (a!+b!0)=((a!0+b!0)++(a!p+b!0p)+b!0p+1++b!0q) =pxi=0i(a!i+b!0i)+p+1(b!0p+1)++q(b!0q) =pxi=0(ai(!i)+bi(!0i))+bp+1(!0p+1)++bq(!0q) =a(!)+b(!0) =apxi=0i(!i)+bqxi=0i(!0i) 25

(!^!0)=((!0++!p)^(!0++!0q))=0B@p+q Xi=0X = Xi=0i0B@X p+q p;q!^!01ca=p+q p;q!^!01ca +=i Xi=0X p;qi(!^!0) +=i +=i =p+q Xi=0X p;q(!)^(!0) (3)BetrachtezuerstreinformaldieAbbildungG!(X) =(0(!0)++p(!p))^(0(!0)++p(!0p))=(!)^(!0) +=i Dierenzierbarkeitimpliziert.Mehrnoch,furalle2Ggiltdann: istdiesec1aufg,dadielinks{invarianzsowohldesfeldesxalsauchder1{form!jeweilsdie!(x)()=!()(x())=(l?1!)()(x())?!r,!(x)():=!()(x()).nachlemma4.6 Damitist!(X)konstantaufG. Alternativkannman,wennman(2)undSatz2.7verwendet,gemaderfolgendenIsomorphiekette =l?1(!(e))(x())=(!(e)tl?1)(x()) die1{form!mitdemelement!(e)~2gidentizieren: =!(e)(tl?1(x()))=!(e)(x(e)) Danngiltaber!(X)=(!(e)~)(X)=!(e)(~(X))=!(e)(X(e))=konst. E1linv(G)! 7?!!(e)7?!!(e)~?!TeG~ (4)Sei!2E1linv(G).Dannistd!2E2linv(G).Esgiltnamlichfuralle2G: SeienX;Y2g.WahleeinebeliebigeKarte(U;x1;:::;xn).LokalhabedieFormdieDarstellung!jU=Pfidxi.Furalle2Ufolgtdann: l(d!)=d(l!)=d! d!(x;y)()=d!()(x();y()) =nxi=1(dfi^dxi)(x();y()) =Xidetdfi(X())dfi(Y()) =Xi[dfi(X())dxi(Y())?dfi(Y())dxi(X())] dxi(x())dxi(y()) =Xi[X()(fi)Y()(xi)?Y()(fi)X()(xi)] Andererseitsistnach(3)!(Y)=konst,also =Xi[X()(fi)Y(xi)()?Y()(fi)X(xi)()] c= Xifi()dxi!(Y())=Xifi()Y()(xi)= XifiY(xi)!()82U 26

Furalle2Ufolgtdann: Somitgilt: 0=X() XifiY(xi)!=XiX()(fiY(xi))=Xi[fi()X()(Y(xi))+Y(xi)()X()(fi)] Analogerhaltman:?Xifi()X()(Y(xi))=XiY(xi)()X()(fi) EineSubstitutionergibtdann:?Xifi()Y()(X(xi))=XiX(xi)()Y()(fi) d!(x;y)()=xifi()[y()(x(xi))?x()(y(xi))]=?xifi()([x;y]()(xi)) DadieKartebeliebiggewahltwar,folgtdieBehauptung. (5)WahleeineBasisX1;:::;XnderLiealgebrag(z.B.XimitXi():=Tel(@ =?Xifi()dxi([X;Y]())=?!([X;Y])() 82U [Xi;Xj]links{invariant.SomitexistiertfolgendeBasisdastellung: @x1(e);:::;@ @ @xn(e)diebasisvontegindenkoordinaten(u(e);x1;:::;xn)ist).nachsatz2.11ist @xi(e)),wenn Nungiltckij+ckji=0,dennfurallei;j=1;:::;nist XkckijXk=[Xi;Xj]=?[Xj;Xi]=Xk(?ckji)Xk: [Xi;Xj]=nXk=0ckijXk 8i;j=1;:::;n DadieXkeineBasisbilden,folgtauchckij=?ckji8k2f1;:::;ng. EbenfallsdirektausdenLiealgebra{Eigenschaftenerhaltman: Denn: Xr=1(crijcsrk+crjkcsri+crkicsrj)=0furallei;j;k;s2f1;:::;ng: 0=[[Xi;Xj];Xk]+[[Xj;Xk];xi]+[[Xk;Xi];Xj] n =Xrcrij[Xr;Xk]+Xrcrjk[Xr;Xi]+Xrcrki[Xr;Xj] ="XrcrijXr;Xk#+"XrcrjkXr;Xi#+"XrcrkiXr;Xj# XscsrkXs!+Xrcrjk XscsriXs!+Xrcrki XscsrjXs! DadieXslinearunabhangigsind,folgt: =Xs Xr(ckijcsrk+crjkcsri+crkicsrj)!Xs nxr=1(crijcsrk+crjkcsri+crkicsrj)=0 8s2f1;:::;ng 27

ZumSchlunochderBeweisderMaurer{CartanGleichungen.FasseE1linv(G)nach(2)alsDualraum eineeindeutigedarstellung: mit1i<jneinebasisvon2e1linv(g)=e2linv(g).nach(4)giltd!2e2linv(g)daherexistiert derliealgebragauf.sei!1;:::;!ndiezux1;:::;xndualebasisvone1linv(g).dannsinddie!i^!j Zuzeigenist,daakij=?ckijgilt.BetrachtewieinAbschnitt4.2dieIsomorphiekette d!k=x 1i<jnakij!i^!j: Einerseitsist 2E1linv(G)?!(2g) gd!k(xi;xj)= Xm<nakmn^?!Altmult(g2;R): danachdembasissatzfuralternierendeproduktedie(!m^!n)dualzudenxi^xjsind.andererseits istnach(4):d!k(xi;xj)=?!k([xi;xj]),umgenauerzusein:gd!k(xi;xj)=?f!k([xi;xj]).dann (!m^!n)!(xi;xj)=xm<nakmn(!m^!n)(xi^xj)=akij; gilt:gd!k(xi;xj)=?f!k(xlclijxl)=?xlclijf!k(xl)=?xlclij(!k)(xl)=?ckij DaszweiteGleichheitszeichengiltwegenderMultilinearitatderAbbildungf!k(vgl.4.2),dasletzte wegendesbasissatzes. Alsohatman: d!k=xi<jakij!i^!j=?xi<jckij!i^!j=xi<jckij!j^!i: GL(n;R)istmitderOperationundderglobalenKarte 4.4DielinksinvariantenFormenderGL(n;R) GL(n;R)xij Linksinvariante0{Formen einelie{gruppederdimensionn2.?!r;a=(aij)7!aij Seif2C1(GL(n;R)).NachVoraussetzungist(lA?1f)(A)=f(A)furalleA2GL(n;R).Dahergilt f(i)=f(a)8a,alsofc.dielinksinvarianten0{formensindsomitdiekonstantenfunktionen. Linksinvariantep{Formen WegenEplinv(GL(n;R))=pE1linv(GL(n;R))reichtes,dielinksinvarianten1{Formenauszurechnen. AusSatz4.8verwendetmandenIsomorphismus: Behauptung:DieFormen E1linv(GL(n;R))!ij:A7!Xkxik(A?1)dAxkj?!TIGL(n;R) bildeneinebasisvone1linv(gl(n;r))undentsprechenunterdendixij. 28

Beweis:Esgilt!ij(A)=dIxijTAlA?1.Manrechnetsofortnach,dagilt: Andererseitsistaber!ijvonderForm:!ij(A)@!ij(A)=Xr;sfij @xkl(a)=xik(a?1)jl unddaher:!ij(a)@ rs(a)daxrs!ij(a)=xk;lxik(a?1)jldaxkl=xkxik(a?1)daxkj: @xkl(a)=fij kl(a).dadurcherhaltman: 29

5Denition5.1SeienG,HLie-Gruppen.EineAbbildung':G!Hheit(Liegruppen-)Ho- momorphismus,wenn'c1undgruppenhomomorphismusist.'heitisomorphismus,falls' zusatzlicheindieomorphismusist.imfalleg=hheiteinisomorphismusauchautomorphismus.isth=aut(v)fureinenvektorraumvoderh=gl(n,c)oderh=gl(n,r),dannheitein Homomorphismen Homomorphismus':G!HDarstellungderLiegruppeG. Denition5.2Seieng,hLie-Algebren.EinLiealgebrenhomomorphismus lungderliealgebrag,fallsh=end(v)fureinenvektorraumvoderh=gl(n;c)oderh=gl(n;r). TeG(=:Ge)nachTeH.MitderIdentikation1:g!TeGmit1(X)=X(e);2:h!Hemit Sei':G!HHomomorphismus.Da'(eG)=eH,istTe'(=:d'e=:d')einelineareAbbildungvon :g!hheitdarstel- 2(Y)=Y(e)erhaltmaneineinduzierteAbbildung,dieauchmitTe'bezeichnetwird: TeGTe' "1?!TeH Bemerkung.FurX2gistdaslinksinvarianteVektorfeldTe'(X)2heindeutigbestimmtdurch g 99K "2 Te'(X)(e)=Te'?X(e): h Beweis.SeiY2hlinksinvariantesVektorfeld,Y(e)=Te'?X(e)=Te'(X)(e).Sei2H.Dannist DamitistY=Te'(X). Denition5.3SeienM,NMannigfaltigkeiten,':M!NC1.Zwei(glatte,d.h.C1)-Vektorfelder Y()=Y?l(e)=Tel(Y(e))=Tel?Te'(X)(e)=Te'(X)?l(e)=Te'(X)(): Lemma5.4Sei':M!NC1.SeienX;X0(glatte)VektorfelderaufMbzw.Y;Y0aufN.Falls XaufM,YaufNheien'-vertraglich,falls X'-vertraglichmitYundX0'-vertraglichmitY0,soist[X;X0]'-vertraglichmit[Y;Y0]. Te'X=Y': Beweis.NachVoraussetzunggiltTe'X=Y'undTe'X0=Y0'.Zuzeigenist: ZurAbkurzungdeniereXfdurchXf(m):=X(m)(f),analog(Te'X)(f)(m):=(Te'X)(m)(f) Danngilt:(Y0')(f)=Y0f',denn(Y0')(f)(m)=(Y0')(m)(f)=Y0('(m))(f)=(Y0f')(m). furf2c1(n),m2m. Te'[X;X0]=[Y;Y0]': Seiennunm2M,f2C1(N).Dannistzuzeigen: Te'([X;X0](m))(f)=[Y;Y0]('(m))(f): Te'([X;X0](m))(f)Def.Te' Def.[;] [X;X0](m)(f') X(m)?X0(f')?X0(m)?X(f') X(m)?(Te'X0)(f)?X0(m)?(Te'X)(f) Def.Te' X(m)?(Y0')(f)?X0(m)?(Y')(f) Def.[;] X(m)(Y0f')?X0(m)(Yf') = Te'(X(m))(Y0f)?Te'(X0(m))(Yf) Y('(m))(Y0f)?Y0('(m))(Yf) [Y;Y0]('(m))(f) 30

Satz5.5SeienG,HLie-GruppenmitLiealgebrengundh.Sei':G!HHomomorphismus.Dann gilt:1.furjedesx2gsindxundte'(x)'-vertraglich. Beweis.(a)Sei~X:=Te'(X).Danngiltfur2G 2.Te':g!histLiealgebrenhomomorphismus. DannfolgtmitderLinksinvarianzvon~XundX: l'()'='l; ~X?'()=~X?l'()(e)=Tel'()~X(e)=Tel'()?Te'(X(e)) da'()'()='(): =Te(l'()')?X(e)=Te('l)?X(e)=Te'?dl(X(e))) zuzeigen,dafurx,y2g (b)te'istalstangentialabbildunglinear.damitte'liealgebrenhomomorphismusist,genugtesalso also Te'(X)'=Te'X: =Te'?X(l(e))=Te'?X(); EsistX'-vertraglichmit~XundYmit~Y.NachLemma5.4folgt,da[X;Y]'-vertaglichmit[~X;~Y] ist,d.h.te'[x;y]=[~x;~y]'.damitfolgt Te'?[X;Y]=[Te'(X);Te'(Y)]oder^ [~X;~Y](e)=[~X;~Y]('(e))=Te'?[X;Y](e) [X;Y]=[~X;~Y] AuerdemistnachKap.2[~X;~Y]linksinvariant.NachBemerkungist^ dasjenigelinksinvariantevektorfeldaufh,dessenwertimeinselementte'?[x;y](e)ist.alsoist [X;Y]=[~X;~Y]: ^ [X;Y]eindeutigbestimmtals ErinnerungandieKotangentialabbildung:SeienN,MMannigfaltigkeiten,':M!NC1,m2M. HomomorphismenundlinksinvarianteFormen Dannsei Tm'=':T'(m)N!TmM Denition5.6EineFamilie(!1;:::;!n)von1-FormenaufeinerMannigfaltigkeitMheitunabhangig,fallsfurjedesm2MdieFamilie(!1(m);:::;!n(m))TmMlinearunabhangigist. Denition5.7EinIdealJE(M)heitdierenzierbaresIdeal,fallsesabgeschlossenunter Lemma5.8Sei':G!HLiegruppenhomomorphismus.Ist!linksinvarianteForm,soistdie Beweis.('!)(m):='?!('(m))istnachKap.4dierenzierbareFormaufG.Auerdemgilt Liftung'(!)='!dierenzierbareFormaufG. diedualeabbildungzutm'(=d'). '(!)(v)=!?tm'(v)fur!2t'(m)n;v2tmm auererdierentiationdist,d.h.d(j)j. wegenderlinksinvarianzvon!.damitistauch'!linksinvariant. l'!=('l)!=(l'()')!='l'()!='! 31

(!)=!(e) Somitist':E1linv(H)!E1linv(G)bzw.mitdenIdentikationenE1linv(G)!TeG=gmit Seinunf!1;:::;!ngBasisvonE1linv(H).DannexistierennachdenMaurer-Cartan-Gleichungen diedualeabbildungvonte':g!h,dennfur!2e1linv(h),x2gist?'(!)(x)=!?te'(x). ':h!g Strukturkonstantencijk,soda DadieLiftung'mitderauerenDierentiationdvertauschbarist(Vektoranalysis-Vorlesung),folgt dannd?'!i='(d!i)=xj<kcjki'!k^'!j: d!i=xj<kcjki'!k^'!j: Projektionen.DiesesindauchLiegruppen-Homomorphismen.SeiJdas(zweiseitige)IdealvonFormen BetrachtenundieLie-GruppeGH.Seien1,2vonGHnachGbzw.Hdiekanonischen DieseMengevon1-FormenaufGHistunabhangig,denndie!isindunabhangig,ebensoihre aufgh(d.h.imringe(gh)),daserzeugtistvonden1-formen Liftungen. f1'!i?2!i:i=1;:::;dg: Bemerkung. Beweis. 2.Dieerzeugenden1-Formensindlinkinvariant. 1.JistdierenzierbaresIdeal. (a)d?1'!i?2!i =Xj<kcjki?[1'!k?2!k]^1'!j+2!k^[1'!j?2!j]2J =Xj<kcjki?1'!k^1'!j?2!k^2!j (b)sei(;)2gh.esist1l(;)=l1und2l(;)=l2.dannfolgt l(;)?1'!i?2!i=l(;)1'!i?l(;]2!i =(l1)'!i?(l2)!i wegenderlinksinvarianzvon'!iund!i. =1'!i?2!i =1l'!i?2l!i ist BetrachtenuneinenHomomorphismus :E1linv(H)!E1linv(G)? (!)(X)=!? (X)fur!2E1linv(H),X2g: :g!hderliealgebrenvongundh.diedualeabbildung Bemerkung.SeiJdasIdealderFormenaufGH,daserzeugtistvondenunabhangigen1-Formen Seiwiederf!igBasisvonE1linv(H). f1? (!i)?2!i:i=1;:::;dg: 32

DannistJdierenzierbaresIdealunddieerzeugendenFormensindlinksinvariant. DieseFormelgilt,dennseienX,Y2glinksinvarianteVektorfelderaufG.DannistnachKap.4 Beweis.DieBemerkungfolgtnachanalogerAusrechnungwieebenunterBenutzungderFormel d? d? (!i)=xj<kcjki (!i)(x;y)=? (!k)^ (!i)[x;y]=?!i (!j): =Xj<kcjki!k^!j? =?!i[ (X);(Y)]=d!i? (X);?[X;Y] (Y) (X);(Y) Denition5.9SeienN,MMannigfaltigkeiten.Sei nicht-singular,d.h.injektiv,istfurjedesn2n. (!k)^ (!j)(x;y): Denition5.10EineUntermannigfaltigkeit(N; )heituntermannigfaltigkeitvonm,falls)vonmheitintegral-mannigfaltigkeiteines eineinjektiveimmersionist. :N!MC1. heitimmersion,fallsd n IdealsJE(M),fallsfurjedes!2J FormenaufM.Setzefurjedesii:=1f!i?2!i.SeiJE(NM)dasIdealderFormen,das Seinunf:N!MC1,1,2diekanonoischenProjektionenvonNMaufNbzw.M.Seienf!ig erzeugtistvondeni.!0. DieUntermannigfaltigkeit(N;g)vonNMmitg(n)=(n;f(n))heitGraphvonf. DieseistIntegral-MannigfaltigkeitvonJ:Zuzeigenist Esgilt:1g=idund2g=funddamit gi=(1g)f!i?(2g)!i=f!i?f!i=0: gi=0furallei: Lemma5.11Seif!1;:::;!dgeineBasisder1-FormenaufM.Sein02N,m02MundseiUN einezusammenhangende,oeneumgebungvonu0.weiterseif:u!mc1mitf(n0)=m0und f!i=:ijufuri=1,...,d.dasidealjderformenaufnm,daserzeugtistvon Graphenvon~fbzw.faufU,d.h.~g(n)=?n;~f(n),g(n)=?n;f(n)furn2U.Dannsindsowohl seidierenzierbar.dannistfeindeutigbestimmt. Beweis.Sei~feineanderesolcheAbbildung(d.h.~f(n0)=m0,~f!i=ijU).Seien(U;~g),(U;g)die f1i?2!i:i=1;:::;dg (U;g)alsauch(U;~g)Integral-MannigfaltigkeitenvonJ. Esseinun EsistH6=;,dag(n0)=m0=~g(n0).HistabgeschlossenwegenderStetigkeitvongund~g.Histaber auchoen:seig(n)=~g(n).nachdemfrobenius-theorem(dashierohnebeweisverwendetwird),ist dieintegral-mannigfaltigkeitumneindeutigbestimmt.deshalbexistierenumgebungenw(n),~w(n) H:=fn2U:g(n)=~g(n)g: Satz5.12SeienG,HLiegruppen,Gzusammenhangend,', LiealgebrenhomomorphismenTe',Te DaUzusammenhangendist,folgtdannH=U,alsog=~gaufUundschlielichf=~faufU. mitg(w)=~g(~w).nachdenitionvongund~gfolgtw=~wundgjw=~gjwunddamitwh. Beweis.WegenTe'=Te '= :E1linv(H)!E1linv(G): giltfurdiedualeabbildung :g!hseienidentisch.dannistbereits'= :G!HHomomorphismen.Die. i=1;:::;dgerzeugtist,dierenzierbar.mitn0=eg,m0=eh,u=g,'(e)=e= NacheinerBemerkungistweiterhindasIdealinE(NM),dasvondenFormenf1'!i?2!i: C1folgtnachLemma5.11:'=. 33 (e),'und