Aufgaben zu Fehlerfortpflanzung Aufgabe 1: Der ohmsche Widerstand eines Drahtes soll aus den Abmessungen und der Leitfähigkeit bestimmt werden. Der rel. Fehler bei der Längenmessung sei f l =+0,5%, bei der Fläche f A =+1%, bei der Leitfähigkeit fγ=+2%. Mit welchem Fehler F R ist maximal zu rechnen? Aufgabe 2 : Bei einer Reihenschaltung zweier Widerstände wurden folgende Spannungswerte gemessen : U 1 =200V, U 2 =1,5V Messbereich Instrument 1 : 300V Messbereich Instrument 2: 3V Ein Messgerät habe die Klasse 0,5, das andere die Klasse 2,5 Berechnen Sie für die Spannung U ( aus der Addition U 1 +U 2 ) den max. möglichen relativen Fehler f U, wenn a) U 1 mit dem ungenaueren Instrument gemessen wird b) U 2 mit dem ungenaueren Instrument gemessen wird Aufgabe 3 V U1 U V U2 Sie bestimmen die Leistung durch eine Spannungs- und Strommessung. Dabei messen Sie im 10V-Bereich eine Spannung von 4,52V und im 100mA-Bereich einen Strom von 85,6mA. Das Voltmeter hat die Klasse 0,2. Welche Klasse benötigt das Amperemeter, wenn Sie aus diesen Messungen die Leistung mit einer Genauigkeit von mindestens 1% bestimmen wollen? 2010 V2 K.Krust Aufgaben zu Fehlerfortpflanzung1.doc 1
Aufgabe 4 Sie bauen einen Spannungsteiler aus Einzelwiderständen nach folgender Schaltung auf : 10k Ω/±2% U 10V/±5% 5kΩ ±1% R3 748Ω ±0,1% UT Wie groß ist der maximale Fehler von U T? Aufgabe 5 Sie wollen den Strom in einem Stromkreis mit zwei Widerständen dadurch bestimmen, dass Sie die anliegende Spannung über beiden Widerstand messen und das ohmsche Gesetz anwenden. Der Innenwiderstand des Messgerätes sei vernachlässigbar. Die Widerstände sind 7,5 kω, E12 ( 10%) und 18kΩ, E24 (5%). Sie messen mit einem Voltmeter der Klasse 0.5 eine Spannung von 3,4V im 10V-Bereich. Mit welchem relativen Fehler ist für den Strom zu rechnen? Aufgabe 6 : Sie haben eine Parallelschaltung eines Metallschichtwiderstandes 10Ω / +1% und eines Kohleschichtwiderstandes 10Ω /+5% vorliegen. Wie groß ist der resultierende relative Fehler der Gesamtschaltung maximal? Aufgabe 7 Berechnen Sie die folgenden Ergebnisse (Ergebniswerte, absolute und relative Fehler). Die relativen Fehler der Ausgangsgrößen sollen im Sinne von Zwischenwerten zweistellig, die der Verknüpfungen als Endergebnisse einstellig angegeben werden. Beispiel Analogmultimeter. Berechnen Sie mit der Güteklasse den Gesamtfehler von Spannung und Strom (Ergebnisintervall) und anschließend den Widerstand des Messobjekts. Fehlerangabe des Multimeters : Klasse 1,5 Messbereich 100 Skt = 10V 30 Skt = 300mA Ablesung + Ablesefehler (61,5+0,3 Skt) (24,3+0,1 Skt) Ergebnisintervall (von bis) U= I= Relativer Fehler f U = f I = Ergebnis für R= U/I R= Relativer Fehler für R f R = 2010 V2 K.Krust Aufgaben zu Fehlerfortpflanzung1.doc 2
Aufgabe 8 Nennfehler und Fehlerfortpflanzung: Beispiel 3-stell. Digitalmultimeter. Der Fehler von Digitalmultimetern wird durch eine proportionalen (% vom Messwert) und einen konstanten Anteil charakterisiert (Digits). Berechnen sie entsprechend der vorhergehenden Aufgabe: Fehlerangabe des Multimeters : +(0,5% v.m. + 1 D) Messbereich 10,0V 300mA Ablesung + Ablesefehler 6,26 257 Ergebnisintervall (von bis) Relativer Fehler Ergebnis für R= U/I Relativer Fehler für R Aufgabe 9 Fehlerfortpflanzung : Berechnen Sie die fehlenden Werte Größe Wert Abs. Fehler Rel. Fehler a 235 2 b 48,7 0,1 c 0,548 0,001 a+b a b c (a-b)/c 2010 V2 K.Krust Aufgaben zu Fehlerfortpflanzung1.doc 3
Lösungen Aufgabe 1: Formelbeziehung zur Widerstandsbestimmung: R = ρ l A l = γ A Daraus folgt für die fehlerbehafteten Parameter ( Multiplikation und Division mit unbekanntem Vorzeichen!) f Rmax =+( f l + fγ + f A )=+(0,5%+2%+1%)=+3,5% Aufgabe 2: a) Instrument 1 : Klasse 2,5, Messbereich 300V Absoluter Fehler F 1 =+2,5% 300V=+7,5V Wahrer Wert U 1R =U 1 -F 1 =200V+7,5V Rel. Fehler : f 1 =+(F 1 /U1)=+3,75% Instrument 2: Klasse 0,5, Messbereich 3V Absoluter fehler : F 2 =+0,5% 3V=+15mV Wahrer Wert : U 2R =U 2 -F 2 =1,5V+15mV Rel. Fehler : f 2 =+(F 2 /U 2 )=+1% Addition zweier Messwerte => Addition der absoluten Fehler : F U =F 1 +F 2 =+7,515V (F U /U)=+(7,515V/201,5V)=+3,73% b) b) Instrument 1 : Klasse 0,5, Messbereich 300V Absoluter Fehler F 1 =+0,5% 300V=+1,5V Wahrer Wert U 1R =U 1 -F 1 =200V+1,5V Rel. Fehler : f 1 =+(F 1 /U 1 )=+0,75% Instrument 2: Klasse 2,5, Messbereich 3V Absoluter fehler : F 2 =+2,5% 3V=+75mV Wahrer Wert : U 2R =U 2 -F 2 =1,5V+75mV Rel. Fehler : f 2 =+(F 2 /U 2 )=+5% Addition zweier Messwerte => Addition der absoluten Fehler : F U =F 1 +F 2 =+1,575V (F U /U)=+(1,575V/201,5V)=+0,78% Es empfiehlt sich, zur Messung des größeren Wertes das genauere Gerät zu nehmen. Aufgabe 3 2010 V2 K.Krust Aufgaben zu Fehlerfortpflanzung1.doc 4
Voltmeter : F=+0,2% 10V=+0,02V. => Rel. Fehler bei 4,52V : fu=+(0,02v/4,52v) 100%=+0,443% Fehlerfortpflanzung : f P =+(<f U + f I )=+(0,443%+ f I ) f Imax = +0,557% f I =+F I /85,6mA = +0,00557 F I =85,6mA 0,00557=+0,477mA Bezogen auf den Messbereich von 100mA bedeuten 0,477mA : Max. Anzeigefehler f A =+0,477mA/100mA 100%=0,477% Somit benötigt das Amperemeter mindestens Klasse 0,2 Klasse0,5 reicht nicht! Gegenrechnung : F I0,5 =+0,2% 100mA=+0,2mA f I =±0,2mA/85,6mA 100%=±0,234% und der Gesamtfehler wird zu f P =± (fu+fi)= ±( 0,443% + 0,234% )=±0,677% Aufgabe 4 UT U R3 = + R3 R3 UT = U + R3 = U + R3 + + R3 = U Stufenweise berechnet : F= ±1% 5000Ω=50Ω FR3=±0,1% 748Ω=0,748Ω R3=650,661 ( + R3) = U ( + R3) ( + R 2 + R3) ( + R 2 + R3) Rmin1=(5050 Ω 748,748 Ω)/(5050 Ω +748,748 Ω)=652,068 Ω Rmin2=(4950 Ω 747,252 Ω)/(4950 Ω +747,252 Ω)=649,242 Ω Rmax1=(5050 Ω 747,252 Ω)/(5050 Ω +747,252 Ω)=650,933 Ω Rmax2=(4950 Ω 748,748 Ω)/(4950 Ω +748,748 Ω)=650,371 Ω f+%=((652,068 Ω -650,661 Ω) /650,661 Ω) 100%=0,216% f-%=((649,242 Ω -650,661 Ω) /650,661 Ω) 100%=-0,218% -> näherungsweise fr3=±0,217% F+Rp=±(200 Ω+1,407 Ω)=±201,407 Ω fr1rp=±1,891% fmax=±( fu + fp + frp )=±(5%+0,217%+1,891%)=±7,108% Aufgabe 5: Klassenfehler 0.5% bei 10V -> +/-0,05V, damit ist der absolute Fehler +/- 0,05V 2010 V2 K.Krust Aufgaben zu Fehlerfortpflanzung1.doc 5
Der rel. Fehler beträgt f R = F/x = +/- 0,05V / 3,4V => +/- 1,47% Die Berechnung des Stromes erfolgt per ohmschem Gesetz I = U/(+) Zuerst berechne ich also den Fehler bei der Addition + : F = +/- 0,75k F = +/- 0,9k => + = 25,5k +/- 1,65k Daraus der rel. Fehler f R = F/R = 1,65k/25,5k = 0,0647 -> 6,47% Jetzt kann der max.rel. Gesamtfehler bestimmt werden f max = +/- ( 1,47% + 6,47% ) = 7,94 % für den berechneten Strom Aufgabe 6 : Formel der Parallelschaltung : Rges = + Für den Nenner muss zuerst über den Weg der absoluten Fehler der rel. Gesamtfehler bestimmt werden : f =+1% => =+0,1Ω f =+5% => =+0,5Ω R Nenner = + =+0,6Ω f nenner = ( R Nenner /R Nenner )=(+0,6Ω/20Ω)=+0,03, also +3% Daraus folgt für den Gesamtfehler : f ges =+( 1% + 5% - 3% )=+3% Achtung : Auch wenn das Fehlervorzeichen nicht bekannt ist, so ist es doch für dasselbe Bauteil, das gleiche. Durch Berechnung der Einzelabweichung kommt man nahezu zum gleichen Ergebnis: Nenner: R Nmin =9,9Ω+9,5Ω=19,4Ω R Nmax =10,1Ω+10,5Ω=20,6Ω Zähler: R Zmin =9,9Ω 9,5Ω R Zmax =10,1Ω 10,5Ω R min =4,848Ω R max =5,148Ω R min =-0,152Ω f min =-0,152/5=-0,0304 entspricht -3,04% R max =0,148Ω f max =0,148/5=0,0296 entspricht 2,96% Aufgabe 7 Fehlerangabe des Multimeters : Klasse 1,5 => F U =±1,5% 10V=±0,15V F I =±1,5% 300mA=±4,5mA 2010 V2 K.Krust Aufgaben zu Fehlerfortpflanzung1.doc 6
Messbereich 100 Skt = 10V 30 Skt = 300mA Ablesung + Ablesefehler (61,5+0,3 Skt) (24,3+0,1 Skt) Ergebnisintervall (von bis) U=6,15V± (0,03V+0,15V) U=5,97 6,33V I=243mA± (1mA+4,5mA) I=237,5mA 248,5mA Relativer Fehler f U =±2,93% f I =±2,26% Ergebnis für R= U/I R=25,31Ω±1,31 Ω Relativer Fehler für R f R =±(2,93%+2,2%)=±5,19% Aufgabe 8 Fehlerangabe des Multimeters : +(0,5% v.m. + 1 D) F U =±(0,5% 6,26V+1 0,1V)= ±(0,03V+0,1V)=±0,13V F I =±(0,5% 257mA+1 1mA)= ±(1,29mA+1mA)=±2,29mA Messbereich 10,0V 300mA Ablesung + Ablesefehler 6,26 257 Ergebnisintervall (von bis) U=6,26V+0,13V I=257mA+2,29mA Relativer Fehler f U =+2,1% f I =+0,89% Ergebnis für R= U/I R=24,36Ω +0,73 Ω = 23,63 Ω 25,09 Ω Relativer Fehler für R f R =+3% Aufgabe 9 Größe Wert Abs. Fehler Rel. Fehler a 235 2 0,85% b 48,7 0,1 0,21% c 0,548 0,001 0,18% a+b 283,7 2,1 0,74% a b c 6272 77,8 1,2% (a-b)/c 340 2,86 0,84% 2010 V2 K.Krust Aufgaben zu Fehlerfortpflanzung1.doc 7