8 Wheatstonesche Brücke

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1 9 8 Wheatstonesche Brücke 8. Einführung In der Messtechnik erfolgt die Messung physikalischer Größen oft durch einen Vergleich mit geeigneten Normalen. Eine Möglichkeit zur Realisierung solcher Messverfahren ist die Verwendung sogenannter Messbrücken. Dieser Versuch soll in einfache, mit Gleich- und Wechselspannung betriebene Brückenschaltungen einführen. Hierbei wird als Widerstandsmessbrücke eine Schleifdrahtbrücke nach Wheatstone betrachtet. Weitere Aufgaben befassen sich mit der Bestimmung von Kapazitäten und Induktivitäten mit Hilfe von einfachen Messbrücken. 8.. Die Brückenschaltung Eine Messbrücke besteht im einfachsten Fall aus einer Parallelschaltung zweier Spannungsteiler, die an einer Brückenspeisespannung U 0 betrieben werden. Dieser Aufbau wird nach dem Physiker Sir Charles Wheatstone als Wheatstonesche Brücke bezeichnet. R R 3 U 0 A A R M B U D R 4 Abbildung 8.: Brückenschaltung Prinzipiell unterscheidet man zwei Arten von Messbrücken: Abgleichmessbrücken und Ausschlagmessbrücken Von einem Abgleich spricht man, wenn durch den Brückenzweig mit dem Messinstrument kein Strom fließt, das heißt, wenn zwischen den Punkten A und B keine Spannung abfällt. Hieraus leitet sich auch die Abgleichbedingung ab.

2 8. Einführung 9 Fällt zwischen A und B keine Spannung ab, müssen beide Punkte auf gleichem Potential liegen. Das heißt: U A R + U 0 U B R 4 R 3 + R 4 U 0 (8.) (R 3 + R 4 )U 0 R 4 (R + )U 0 (8.) R 3 + R 4 R R 4 + R 4 (8.3) R R 3 R 4 (8.4) Ein Abgleich wird also erzielt, wenn das Widerstandsverhältnis der beiden Spannungsteiler gleich ist. Bei der Ausschlagmessbrücke wird ausgenutzt, dass die Brückendiagonalspannung U D sehr empfindlich auf eine Verstimmung der Brücke reagiert. Verstimmung heißt hierbei, das sich der Wert eines Widerstandes aus der Brücke leicht ändert, so das kein Abgleich mehr vorhanden ist. Auf den genauen Abgleich kann verzichtet werden, wenn Widerstandsänderungen in der Nähe des Arbeitspunktes der Brücke gemessen werden sollen. Hierzu wird die Brücke auf einen bestimmten Wert des interessierenden Widerstandes abgeglichen. Bei kleinen Änderungen des Widerstandswertes wird auf einen erneuten Abgleich verzichtet und die sich einstellende Diagonalspannung U D als Maß für die Widerstandsänderung genommen. Hierdurch wird eine zeitlich kontinuierliche Widerstandsmessung möglich. Für U D ergibt sich hierbei folgender Zusammenhang: U D U A U B U 0 ( R R ) 4 R + R 3 + R 4 (8.5) U D U 0 R + R 4 R 3 + R 4 (8.6) Mit der Vereinfachung R R 3 R und R 4 R x ar mit a 0 folgt: U D U 0 a + a (8.7) Die Diagonalspannung U D ist nichtlinear abhängig von R x bzw. a. 8.. Widerstandsmessung mit der Wheatstonebrücke Wir beschränken uns in diesem Praktikumsversuch auf die Abgleichmessbrücken.

3 8. Einführung 93 R N l R A R M U 0 l U D R x Abbildung 8.: Schleifdrahtbrücke Eine Sonderform der Abgleichbrücke ist die Schleifdrahtmessbrücke (Abbildung 8.). Hierbei wird der Spannungsteiler R + durch einen Widerstandsdraht mit variablem Mittelabgriff ersetzt; R 3 entspricht einem bekannten Widerstand R N. Mit dieser Anordnung lässt sich ein unbekannter Widerstand R 4 R x wie folgt leicht bestimmen. Der Widerstand eines Widerstandsdrahtes ergibt sich nach R ρ l A (8.8) Hierbei ist ρ der spezifische Widerstand des Drahtes, l die Drahtlänge und A die Querschnittsfläche des Drahtes. Mit dieser Beziehung folgt für die Abgleichbedingung: R l l R 3 R 4 R N R x (8.9) und somit l l R N R x (8.0) R x R N l l (8.) 8..3 Impedanzmessbrücken In ähnlicher Weise verfährt man auch bei Impedanzmessbrücken. Diese werden eingesetzt, um Impedanzen zu messen. Impedanzen sind komplexe Wechselstromwiderstände Z linearer passiver Zweipole, also Widerstände R, Kapazitäten C und Induktivitäten L. Der Aufbau einer Impedanzmessbrücke entspricht dem bereits bekannten Prinzip der gekoppelten Spannungsteiler. Im Unterschied zur Widerstandsmessbrücke werden nun aber komplexe

4 8. Einführung 94 Impedanzen Z bis Z 4 eingesetzt. Weiterhin wird die Brücke an einer Wechselspannungsquelle u 0 (t) betrieben. Für den Abgleich ergeben sich hieraus folgende Konsequenzen: mit Aus der Abgleichbedingung wird Z R + jx Z e jϕ (8.) Z + X (8.3) R R 3 R 4 bzw. R R 4 R 3 (8.4) Z Z 4 Z Z 3 (8.5) Je nachdem, welche Einsetzung aus 8. vorgenommen wird, ergeben sich folgende Abgleichbedingungen:. Mit Z R + jx folgt (R + jx )(R 4 + jx 4 ) ( + jx )(R 3 + jx 3 ) und hieraus die beiden Abgleichbedingungen R R 4 X X 4 R 3 X X 3 (Realteil) R X 4 + R 4 X X 3 + R 3 X (Imaginärteil). Mit Z Z e jϕ folgt Z e jϕ Z 4 e jϕ 4 Z e jϕ Z 3 e jϕ 3 und hieraus die beiden Abgleichbedingungen Z Z 4 Z Z 3 (Betrag) ϕ + ϕ 4 ϕ + ϕ 3 (Phase) Kapazitätsmessbrücken Mit der Schleifdrahtbrücke nach Abbildung 8.3 lassen sich nach diesem Prinzip die Werte von Kondensatoren (Kapazitäten) bestimmen. Wie oben beschrieben benötigt eine Impedanzmessbrücke zwei unabhängig voneinander einstellbare Parameter, um beide Abgleichbedingungen zu erfüllen. In unserer Schaltung wurde auf einen Phasenabgleich verzichtet, da bei den hier verwendeten Frequenzen (f khz) und Kapazitäten (C µf) die Phasenverschiebung unbedeutend ist.

5 8. Einführung 95 C N u 0 l R V l U D C x Abbildung 8.3: Kapazitätsmessbrücke L N l R V R 3 u 0 R 4 l U D L x Abbildung 8.4: Induktivitätsmessbrücke Induktivitätsmessbrücken Mit der Schleifdrahtbrücke nach Abbildung 8.4 lassen sich die Werte von Spulen (Induktivitäten) bestimmen. Wie oben beschrieben benötigt eine Impedanzmessbrücke zwei unabhängig voneinander einstellbare Parameter, um beide Abgleichbedingungen zu erfüllen. Dies wird in unserer Schaltung durch die Einführung eines weiteren Schleifdrahtes realisiert. Hierdurch entsteht je ein einstellbarer Widerstand in Reihe zu den vorhandenen Induktivitäten. Unter der ideal real Abbildung 8.5: Vereinfachtes Ersatzschaltbild einer Induktivität Annahme des in Abbildung 8.5 dargestellten vereinfachten Ersatzschaltbildes einer realen Induktivität, ergibt sich eine Abgleichmöglichkeit durch Anpassen der Phasenlage beider Induktivitäten.

6 8. Vorbereitungen Vorbereitungen 8.. Allgemein Bereiten Sie sich mit Hilfe der Einleitung, den Vorlesungsunterlagen und mit weiteren Quellen (Bibliothek, Internet) ausführlich vor. Sollten Fragen offen bleiben, wenden Sie sich bitte rechtzeitig an einen Betreuer oder Herrn Schneider, R. -35, WA Fragen zur Vorbereitung Beantworten Sie bitte zur Vorbereitung dieses Versuches schriftlich folgende Fragen: Gegeben sei eine Schleifdrahtbrücke nach Abbildung 8. mit folgenden Werten: R R + 5 Ω, l + l m, R N R x kω, R M 0 Ω und U 0 V.. Widerstandsmessbrücke (a) Wie groß wird das Verhältnis U D /U 0 bei einer Abweichung von mm vom Abgleichpunkt bei einer Schleifdrahtlänge von m? Hinweis: Es gilt die Annahme, dass die Spannungsteiler der Brücke unbelastet sind. (b) Wie groß wird der Fehlerstrom I D im obigen Fall für U 0 V und R M 0 Ω? (c) Wie groß ist die Änderung R x von R x, wenn sich der Abgleichpunkt um mm verändert?. Kapazitätsmessbrücke (a) Warum kommt es überhaupt zur Stromlosigkeit in der Brücke, obwohl die Ströme im kapazitiven und ohmschen Zweig um 90 gegeneinander verschoben sind? (b) Wodurch wird ein Phasenabgleich in der Brückenschaltung nach Abb. 8.3 hervorgerufen? (c) Leiten Sie die Abgleichbedingung für die Kapazitätsmessbrücke her. Hinweis: Rechnen Sie mit idealen Kapazitäten. (d) Welchen Fehler ruft ein Leckwiderstand von Cx hervor, und wie kann er kompensiert werden? 3. Induktivitätsmessbrücke (a) Leiten Sie die Abgleichbedingung für die Induktivitätsmessbrücke her. Hinweis: Rechnen Sie mit idealen Induktivitäten. (b) Zeigen Sie, wie mit Hilfe des zweiten Schleifdrahtes der Phasenabgleich zustande kommt.

7 8.3 Versuchsdurchführung Versuchsdurchführung 8.3. Widerstandsmessbrücke Aufzubauen ist eine Widerstandsmessbrücke nach Abbildung 8.. Hierbei ist R N der Referenzwiderstand kω, sowie R x und R M jeweils eine Widerstandsdekade in der Einstellung kω. Versorgt wird die Schaltung über eine Gleichspannungsquelle mit U 0 V. R N kω Formel: R x R N a b Messung a/ cm b/ cm R x / Ω 3 R N mit R x 4 vertauschen 5 6 R x 6 6 R x R x (Rx R x) 6(6 ) R x R x ± R x

8 8.3 Versuchsdurchführung Kondensatormessbrücke Aufzubauen ist eine Kondensatormessbrücke nach Abbildung 8.3. Hierbei ist C N die Referenzkapazität µf, welche über eine Kapazitätsdekade einzustellen ist. An Stelle von C x werden je nach Messung zwei Kondensatoren C x, C x oder eine Kombination (Reihen-/Parallelschaltung) von ihnen eingesetzt. Auch sie werden wieder aus Dekaden gebildet. Versorgt wird die Schaltung über eine Wechselspannungsquelle mit U 0 V SS. C N Formel: C x Kapazität C x : Messung a/ cm b/ cm C x / µf C N mit C x 3 C x C 4 x C x (Cx C x ) 4(4 ) C x C x ± C x

9 8.3 Versuchsdurchführung 99 Kapazität C x : Messung a/ cm b/ cm C x / µf C N mit C x 3 C x C 4 x C x (Cx C x ) 4(4 ) C x C x ± C x

10 8.3 Versuchsdurchführung 00 Parallelschaltung von C x und C x : Messung a/ cm b/ cm C x, / µf C N mit C x, 3 C x, C 4 x, C x, (Cx, C x, ) 4(4 ) C x, C x, ± C x,

11 8.3 Versuchsdurchführung 0 Reihenschaltung von C x und C x : Messung a/ cm b/ cm C x, / µf C N mit C x, 3 C x, C 4 x, C x, (Cx, C x, ) 4(4 ) C x, C x, ± C x,

12 8.3 Versuchsdurchführung Induktivitätsmessbrücke Aufzubauen ist eine Induktivitätsmessbrücke nach Abbildung 8.4. Hierbei ist L N die Referenzinduktivität. An Stelle von L x werden je nach Messung zwei Spulen L x, L x oder eine Kombination (Reihen-/Parallelschaltung) von ihnen eingesetzt. Versorgt wird die Schaltung über eine Wechselspannungsquelle mit U 0 V SS. L N Formel: L x Induktivität L x : Messung a/ cm b/ cm c/ cm d/ cm L x / mh L N mit L x 3 L x L 4 x L x (Lx L x ) 4(4 ) L x L x ± L x

13 8.3 Versuchsdurchführung 03 Induktivität L x : Messung a/ cm b/ cm c/ cm d/ cm L x / mh L N mit L x 3 L x L 4 x L x (Lx L x ) 4(4 ) L x L x ± L x

14 8.3 Versuchsdurchführung 04 Parallelschaltung von L x und L x : Messung a/ cm b/ cm c/ cm d/ cm L x, / mh L N mit L x, 3 L x, L 4 x, L x, (Lx, L x, ) 4(4 ) L x, L x, ± L x,

15 8.4 Literatur 05 Reihenschaltung von L x und L x : Messung a/ cm b/ cm c/ cm d/ cm L x, / mh L N mit L x, 3 L x, L 4 x, L x, (Lx, L x, ) 4(4 ) L x, L x, ± L x, 8.4 Literatur [] CLAUSERT, H. ; WIESEMANN, G. : Grundgebiete der Elektrotechnik. 8. Auflage. München, Wien : Oldenbourg, 003 [] TIETZE, U. ; SCHENK, C. : Halbleiter-Schaltungstechnik.. Auflage. Berlin : Springer, 00