Protokoll zum Physikalischen Praktikum III Versuch 1 - Widerstandsmessung

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1 Protokoll zum Physikalischen Praktikum III Versuch 1 - Widerstandsmessung Experimentatoren: Sebastian Knitter Thomas Kunze Betreuer: Dr. Holzhüter Rostock, den Inhaltsverzeichnis 1 Ziel des Versuches 1 2 Vorüberlegungen zu Brückenschaltungen 1 3 Messungen mit der Wheatstone- Brücke Überlegung bezüglich der Eingangsspannung Materialliste Messung des Widerstands R Urliste Zufälliger Fehler für R Systematische Fehler für R Auswertung Messung des Klemmwiderstands eines Würfels Urliste zufälliger Fehler für den Klemmwiderstand des Widerstandswürfels Systematische Fehler für den Klemmwiderstand des Widerstandswürfels Auswertung Kapazität eines Kondensators Materialliste Urliste zufälliger Fehler für die Kapazität C x Systematische Fehler für die Kapazität C x Auswertung Kondensatorentladung Vorüberlegungen Urlisten Ergebnisse der Linearen Regression Fehlerfortpflanzung Luft als Isolationswiderstand F2 als Isolationswiderstand ungewaschener Stoff als Isolationswiderstand gewaschener Stoff als Isolationswiderstand Auswertung grafische Darstellung

2 1 Ziel des Versuches Kennenlernen von Methoden zur Widerstandsbestimmung 2 Vorüberlegungen zu Brückenschaltungen Abbildung 1: Schaltplan einer Wheatstone- Brücke Das Nullinstrument (bei der Wheatstone- Brücke ein Galvanometer) ist dann stromlos, wenn der Potenzialunterschied zwischen den beiden Abgreifpunkten Null ist. Das ist genau dann der Fall, wenn die Abgleichbedingung (Gleichung 1) gilt. R 1 = R 3 (1) R 2 R 4 Angenommen, die Widerstände R 1 und R 2 bestünden aus einem langen Draht, auf dem man den Abgreifpunkt mit einem Schieber nach belieben verstellen könnte. Auf diese Weise ist es möglich, R 1 und R 2 in selbiges Verhältnis zu setzen wie es die Widerstände R 3 und R 4 vorgeben. In diesem Fall zeigt das Nullinstrument einen Potenzialunterschied von Null an. Für beliebige Leiter gilt folgende Gleichung (R = Widerstand; ρ = spezifischer elektrischer Widerstand; l = Länge des Leiters; A = Querschnittsfläche des Leiters) R = ρ l A (2) Da es sich nach obiger Konstruktion um einen Draht homogener Dicke handelt (A 1 = A 2 ) dessen spezifischer elektrischer Widerstand homogen verteilt ist (ρ 1 = ρ 2 ), lässt sich folgender Zusammenhang herleiten: R 1 R 2 = ρ 1 A 1 ρ 2 l 2 A 2 1

3 mit R 1 = R 2 l 2 = R 3 l 2 R 4 l 2 = l ist l = R 3 R 4 (3) Wenn an dieser Stelle einer der Widerstände R 3 oder R 4 bekannt ist, lässt sich der andere (R 4 oder R 3 ) ausrechnen. Für die späteren Messungen wird der Anschaulichkeit halber R 3 in R v (Vergleichswiderstand) und R 4 in R x (gesuchter Widerstand) umbenannt. Für R x gilt: Abbildung 2: Bezeichnungen nach der Vertauschung R x = R 3(l ) (4) R x = R 3l 2 l l 2 (5) 3 Messungen mit der Wheatstone- Brücke 3.1 Überlegung bezüglich der Eingangsspannung Die Versuchsanleitung gibt vor, dass die von der Messbücke aufgenommene Leistung einen Wert von P = 2W nicht übersteigen sollte. Der Widerstand des Drahtes wurde mit einem Digitalspannungsmesser ermittelt und beträgt R = 8, 67Ω. Nach dem Einsetzen in Gleichung 6 ergibt sich, dass die maximale Spannung von U = 4, 16V, die nach Möglichkeit nicht überschritten werden sollte. U mit P U 2 = R I = U I I = R P U = R P (6) Im folgenden Experiment wurde eine Eingangspannung von ca. 3V gewählt. 2

4 3.2 Materialliste Gleichspannungsquelle Galvanometer Digitalmultimeter Widerstandsdekade Schleifdraht (l = 100cm) Widerstand R 2 Widerstandswürfel (R Kante = 10Ω) 3.3 Messung des Widerstands R Urliste Für die erste Messreihe, wurde gemessen. R x wird nach Formel 4 berechnet. (l = 100 cm) R v R x cm Ω Ω 53, ,65 53, ,82 53, ,99 53, ,15 53, ,04 Für die zweite Messreihe, wurde l 2 gemessen, nachdem die Widerstände R x und R v vertauscht wurden. R x wird nach Formel 5 berechnet. (l = 100 cm) l 2 R v R x cm Ω Ω 46, ,23 46, ,40 46, ,57 46, ,38 46, , Zufälliger Fehler für R 2 Mittelwert = R x = 176,05664 Ω Standardabweichung = s Rx = 0,76828 Ω Standardabweichung vom Mittelwert = s Rx = srx 10 = 0,24295 Ω zufälliger Fehler = s Rx τ(9) = R xz = 0,54955 Ω Systematische Fehler für R 2 R xs = Rx R v u Rv + R x u l1 + R x l u l R xs = l l1 u Rv + R vl u l1 + R v u l Laut Einführung in die Behandlung von Messfehlern : l 2 1 s = a + b a = 0, 05cm 3

5 b = 10 3 s = 0,103cm = u l1 = 53,455cm ( 1 ); für l analog: l s = 0,150cm = u l l = 100cm Vergleichswiderstand 2 R v = 202,2Ω R vs R v = 1% = 0,01 R vs = 2,022Ω = u Rv R xs = 1,7600Ω + 0,7289Ω + 0,5674Ω = 3, 0563Ω Gesamtfehler: U Rx = R xz + R xs = 3, 6059Ω Ergebniszahl: R x = (176 ± 4)Ω R x = (1 ± 2,3%)176Ω Auswertung Der Widerstand wurde vor dem Versuch mit einem Digitalohmmeter ausgemessen und beträgt 174, 78Ω (auf dem Gerät waren keine Angaben zum Vertrauensbereich der Messwerte zu finden). Der auf das Bauteil aufgedruckte Widerstand war zum Zeitpunkt des Versuches nicht mehr zu erkennen. Die Diskrepanz ist insignifikant.der Fehler kann durch eine längere Messreihe oder eine Verlängerung der Länge l minimiert werden. 3.4 Messung des Klemmwiderstands eines Würfels Abbildung 3: Würfel (Schaltbild und Anordnung am Messplatz) Der Widerstand wird über den mit blau gekennzeichneten Buchsen (Abbildung 3) gemessen. 1 ist das arithmetische Mittel aller 2 R v ist das arithmetische Mittel aller R v 4

6 3.4.1 Urliste Für die erste Messreihe, wurde gemessen. R x wird nach Formel 4 berechnet. (l = 100 cm) R v R x cm Ω Ω 49,55 8 8,145 46,40 7 8,086 52,65 9 8,094 46,10 7 8,184 49,40 8 8,194 Für die zweite Messreihe, wurde l 2 gemessen, nachdem die Widerstände R x und R v vertauscht wurden. R x wird nach Formel 5 berechnet. (l = 100 cm) l 2 R v R x cm Ω Ω 50,30 8 8,097 53,40 7 8,021 47,35 9 8,094 53,70 7 8,119 51,10 8 8, zufälliger Fehler für den Klemmwiderstand des Widerstandswürfels Mittelwert = R x = 8,1395 Ω Standardabweichung = s Rx = 0,09239 Ω Standardabweichung vom Mittelwert = s Rx = srx 10 = 0,02922 Ω zufälliger Fehler = s Rx τ(9) = R x = 0,06600 Ω Systematische Fehler für den Klemmwiderstand des Widerstandswürfels R xs = Rx R v u Rv + R x u l1 + R x l u l R xs = l l1 u Rv + R vl u l1 + R v u l Laut Einführung in die Behandlung von Messfehlern : l 2 1 s = a + b a = 0, 05cm b = 10 3 für l analog: s = 0,099cm = u l1 = 48,825cm ( 3 ) l s = 0,150cm = u l l = 100cm Vergleichswiderstand 4 Rv = 7,8Ω 4 R v ist das arithmetische Mittel aller R v R vs R v = 1% = 0,01 R vs = 0,078Ω = u Rv 5

7 R xs = 0,0818Ω + 0,0324Ω + 0,0240Ω = 0, 1382Ω Gesamtfehler: U Rx = R xz + R xs = 0, 2042Ω Ergebniszahl: R x = (8,1 ± 0,3)Ω R x = (1 ± 3,7%)8,1Ω Auswertung Der Widerstand wurde vor dem Versuch theoretisch ermittelt und beträgt R x = 8,33Ω 5. Die Diskrepanz ist insignifikant. Der Fehler kann durch eine längere Messreihe oder eine Verlängerung der Länge l minimiert werden. 4 Kapazität eines Kondensators Kondensatoren wirken in Wechselstromkreisen wie Widerstände. Der Widerstand beträgt: R = 1 (7) ωc Nullinstrument ist bei diesem Versuch ein Oszillograph auf dem die angezeigte Amplitude durch Schieben am Abgreifer minimiert wird. Vertausche man R v gegen einen Vergleichskondensator (Kapazität C v und R x gegen einen unbekannten Kondensator unbekannter Kapazität C x entsteht folgender Zusammenhang (ω v = ω x ): 4.1 Materialliste Wechselspannungsquelle Oszillograph Kapazitätsdekade Schleifdraht (l = 100cm) = R v l Rx = C x l C v Kondensator C 3 auf Platte IV C x = C v l (8) C x = (l l 2)C v l 2 (9) 5 siehe P. Tipler - PHYSIK - 1. Auflage

8 4.2 Urliste Für die erste Messreihe, wurde gemessen. C x wird nach Formel 8 berechnet. (l = 100 cm) C v C x cm F F 49, ,12 49, ,25 49, ,46 49, ,75 49, ,44 Für die zweite Messreihe, wurde l 2 gemessen, nachdem die Widerstände C x und C v vertauscht wurden. C x wird nach Formel 9 berechnet. (l = 100 cm) C v C x cm F F 49, ,88 50, ,00 50, ,10 50, ,21 50, , zufälliger Fehler für die Kapazität C x Mittelwert = C x = 469,860 nf Standardabweichung = s Cx = 2,474 nf Standardabweichung vom Mittelwert = s Cx = scx 10 = 0,782 nf zufälliger Fehler = s Cx τ(9) = C x = 1,769 nf 4.4 Systematische Fehler für die Kapazität C x C xs = Cx C v u Cv + C x u l1 + C x l u l C xs = l1 l u Cv + C vl (l ) u 2 l1 + C v (l ) u 2 l Laut Einführung in die Behandlung von Messfehlern : s = a + b a = 0, 05cm b = 10 3 ( 6 ); für l analog: s = 0,100cm = u l1 = 49,760cm l s = 0,150cm = u l l = 100cm Vergleichskapazität 7 Cv = 474,4nF 6 ist das arithmetische Mittel aller 7 C v ist das arithmetische Mittel aller C v C vs C v = 1% = 0,01 C vs = 4,744nF 7

9 C xs = 4,699nF + 1,880nF + 1,403nF = 7, 982nF Gesamtfehler: C Rx = C xz + C xs = 9, 751nF Ergebniszahl: 4.5 Auswertung C x = (470 ± 10)nF C x = (1 ± 2,1%)470nF Die Kapazität des Kondensators wurde vor dem Versuch vom Bauteil abgelesen und beträgt 470 nf. Die Diskrepanz ist insignifikant. Der Fehler kann durch eine längere Messreihe oder eine Verlängerung der Länge l minimiert werden. 5 Kondensatorentladung 5.1 Vorüberlegungen Abbildung 4: Schaltskizze zum Kondensator (C) der über dem Widerstand (R) entladen wird Betrachtet man den Kondensator C als geladen gilt nach Kirchhoffscher Maschenregel: 0 = U 1 + U 2 (10) U 1 = Q C U 2 = RI = R dq dt Somit wird Gleichung 10 zur Differenzialgleichung: 0 = Q + CR dq dt dq 1 dt Q = 1 CR 1 Q dq = 1 CR dt setze c = Q 0 mit U = Q/C Q = e t CR +c Q = c e t CR U = U 0 e t CR (11) 8

10 logarithmiert man Gleichung 11 erhält man die Gleichung der Regressionsgerade in der Form: ln(u) }{{} y = 1 CR }{{} a }{{} t x +ln(u 0 ) }{{} b (12) Da die Kapazität des Kondensators bekannt ist (F = 970nF ± 3%), lässt sich R durch: R = 1 (13) Ca 5.2 Urlisten t U ln(u) s V ln(v) , , , , , , ,8459 Tabelle 1: Spannungskurve mit Luft als Isolationswiderstand t U ln(u) s V ln(v) , , , , , , , , , , ,8565 Tabelle 2: Spannungskurve mit Probe F2 als Isolationswiderstand 9

11 t U ln(u) t U ln(u) s V ln(v) s V ln(v) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7038 Tabelle 3: Spannungskurve mit ungewaschenem Stoff als Isolationswiderstand 10

12 t U ln(u) t U ln(u) s V ln(v) s V ln(v) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1092 Tabelle 4: Spannungskurve mit gewaschenem Stoff als Isolationswiderstand 5.3 Ergebnisse der Linearen Regression Fehlerfortpflanzung u R = R C C R a u a u R = 1 ac C 1 a 2 C u a C = F ± 3% C = F ± 3% C = (970,00 ± 30)nF Luft als Isolationswiderstand daraus folgt: Endergebnis: a = 5, u a = 2, R = 20,2486 GΩ u R = 1,5728 GΩ R = (20,2 ± 1,6) 10 9 Ω R = (1 ± 7,9%) 10 9 Ω 11

13 5.3.3 F2 als Isolationswiderstand daraus folgt: Endergebnis: a = 4, u a = 1, R = 21, Ω u R = 1, Ω R = (21,5 ± 1,6) GΩ R = (1 ± 7,0%) 21,5 GΩ ungewaschener Stoff als Isolationswiderstand daraus folgt: Endergebnis: a = 0, u a = 8, R = 736, Ω u R = 26, Ω R = (736 ± 27) MΩ R = (1 ± 3,6%) 736 MΩ gewaschener Stoff als Isolationswiderstand daraus folgt: Endergebnis: a = 8, u a = 5, R = 1, Ω u R = Ω R = (1,22 ± 0,05) GΩ R = (1 ± 3,7%) 1,22 GΩ 5.4 Auswertung Ein Kondensator wurde über 4 verschiedenen Isolationswiderständen entladen. Die Entladung vollzog sich unterschiedlich schnell. Es wurde deutlich, dass Luft ein sehr guter Isolator ist (gefolgt von Probe F2- Plastik- Platte). Erwartungsgemäß wird der Kondensator mit ungewaschenem Stoff zwischen den Kondensator schneller entladen als mit gewaschenem Stoff. Enthält der ungewaschene Lappen doch Partikel, die dem Stromfluss förderlicher sind als die Luftgefüllten Zellen im gewaschenen Stoff (hoher Widerstand s.o.). Leider konnte nicht in Erfahrung gebracht werden, um welche Art von Verunreinigungen es sich im ungewaschenen Tuch handelt. Im allgemeinen ist zu sagen, dass der Isolationswiderstand der Tücher um ein bis zwei Größenordnungen kleiner ist als der von Luft oder der Probe F2. 12

14 5.5 grafische Darstellung Luft Probe F2 Stoff gewaschen Stoff ungewaschen t in s U in V Abbildung 5: Grafische Darstellung der Kondensatorentladung auf linearer y- Achse 13

15 U in V Luft Probe F2 Stoff gewaschen Stoff ungewaschen t in s Abbildung 6: Grafische Darstellung der Kondensatorentladung auf logarithmischer y- Achse Abbildungsverzeichnis 1 Schaltplan einer Wheatstone- Brücke Bezeichnungen nach der Vertauschung Würfel (Schaltbild und Anordnung am Messplatz) Schaltskizze zum Kondensator (C) der über dem Widerstand (R) entladen wird Grafische Darstellung der Kondensatorentladung auf linearer y- Achse Grafische Darstellung der Kondensatorentladung auf logarithmischer y- Achse Die Fotos und Abbildungen wurden selbst hergestellt. 14