Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend und mit 0 beschränkt ist. Beweisen wir zunächst die Beschränktheit: Induktionsanfang: 0 a 0 stimmt Induktionsannahme: 0 Induktionsbehauptung: 0 + Induktionsschritt: Wir addieren zunächst zur Induktionsannahme (um letztliche auf die richtige Form für + zu kommen: Diese Ungleichungskette ordnen wir noch um: Nun können wir dividieren: 0 0 0 + Damit ist die Beschänktheit bewiesen. Nun untersuchen wir die Monotonie. Unsere Vermutung ist, dass immer + ist. Um das zu beweisen setzen wir wieder Induktion ein: Induktionsanfang: a 0 a stimmt Induktionsannahme: + Induktionsbehauptung: + + Induktionsschritt: Wir addieren wieder zur Induktionsannahme: Wieder bilden wir den Reziprokwert + + + + ()
und multiplizieren mit ( ): + + Jetzt addieren wir zu dieser Ungleichungskette: + + Auf gleichen Nenner gebracht liest sich das: Anders angeschrieben: + + + + + + + + + + + + Nun subtrahieren wir noch auf beiden Seiten + a ( n+ + + + und erhalten: + + ) () Aus der Induktionsannahme folgte ja bereits (), und daher ist auch Demnach gilt aber sicher + + + 0. + + + +, denn diese Ungleichung gilt ja sogar noch in der verschärften Variante (), bei der auf der rechten Seite noch zusätzlich eine nichtnegative Größe addiert wird. Damit ist die Behauptung bewiesen. Bei diesem Beispiel würde sich übrigens eine einfachere Art anbieten, die Monotonie zu untersuchen: + () a n a n + 0 Wegen 0 ist damit immer + 0 und die Folge ist monoton fallend. Hier lässt sich die Konvergenz sogar auf folgende Weise begründen: Wenn positiv ist, dann ist das sicher auch + und damit auch + als Quotient an +
zweier positiver Größen. Ist aber 0, dann ist sicher + an + <, da ja durch einen Ausdruck dividiert wird, der größer als Eins ist. Aus Beschränktheit und Monotonie folgt sofort die Konvergenz. Alternativ hätten wir auch das Cauchy-Kriterium verwenden können: Dazu werden wir zwar an gegebener Stelle die (bereits bewiesene) Beschränktheit verwenden, aber nie auf die Monotonie zurückgeifen: + + + + + + () (+ + ) Wir haben also eine Ungleichung der Form (+ + ) () (+ ) (+ + ) () / Nun benutzen wir die Beschränktheit 4 + + + + α + ) mit α < gefunden (hier α ). Mittels Dreiecksungleichung sowie geometrischer Summenformel (siehe Skriptum) folgt nun sofort, das ( ) eine Cauchy-Folge ist: +k +k +k + +k +k ±... + + +k +k + +k +k +... + + ( ) α k + α k +... + α + + αk α + α n a a 0 α ( für hineichend große n α αn a a 0 ) n n 4 < ε Auf welche Art auch immer man die Konvergenz nachgewiesen hat, die Berechnung des Grenzwerts ist nun eine eher elementare Angelegenheit: Es gilt a und damit natürlich auch + a. Damit wird die Rekursionsformel zu: a a a + a + a a a + a 0 a(a + ) 0 mit den beiden Lösungen a 0 und a. Wegen 0 kann hier nur die erste Lösung zutreffen, der Grenzwert ist Null. /
Beispiel: Wir untersuchen die beiden Folgen a a + + + b b b n+ + + auf Konvergenz. Berechnen der ersten Folgenglieder liefert: n b n 7 6, 66667 6, 8 5 4 8, 88889 0 9, 7 5 08, 7596 8 08, 6085 5 6 4, 08640 9 4, 845679 Das ist zwar weit weg von eindeutigen Trends, aber man kann doch schon vermuten, dass ( ) nach ersten Schwankungen monoton fallend und zudem nach unten beschränkt, also konvergent ist, während (b n ) monton zu wachsen scheint und möglicherweise sogar divergent ist. Die Beschränktheit nach unten von ( ) beweist man ohne Pobleme: Wenn und + größer gleich Null sind, so ist auch + + + 0. Auch die Beschränktheit nach oben mit Zwei beweist man leicht, + + + + 5, man benötigt sie aber in diesem Zusammenhang gar nicht. Nun zur Monotonie: Setzen wir als Induktionsannahme + und + + voraus (der Induktionsanfang gelingt bei n 4), so gilt: + + + + + + (+ + ) + } {{ } ( + ) 0 } {{ } Damit ist aber auch + +, was zu beweisen war. Die Folge ( ) ist beschänkt und monoton, also konvergent, und für ihren Grenzwert erhält man a a + a 5 6 a mit der einzigen möglichen Lösung a 0. 4
Nun versuchen wir, das monotone Wachsen von (b n ) zu zeigen: Wir nehmen an, es sei + und + +. (Induktionsanfang mit n.) Dann erhalten wir: + + + + + + (+ + ) + } {{ } (+ ) 0 } {{ } Die Folge ist also monoton wachsend. Wäre sie konvergent, dann erhielte man für den Grenzwert b die Gleichung b b + b 7 6 b, wiederum mit der einzigen Lösung b 0. Die die Folge aber ab n monoton wächst und b > 0 ist, kann das kein zulässiger Grenzwert sein, die Folge muss divergieren. Beispiel: Nun untersuchen wir die beiden Folgen: a + + n b b n+ b n + /n Die erste Folge hat die Glieder ( ) (, +, + + 9, + + 9 + ),... Man kann also vermuten: n ( ) k Das stimmt sicher für n 0, und der Induktionsschritt liefert: n + + + n Ann. ( ) k ( ) n n ( ) k + n Damit weiß man natürlich, dass ( ) konvergiert und kennt sogar den Grenzwert n a lim a ( ) k ( n lim lim )n n n Für die zweite Folge erhalten wir ( (b n ), +, + +, + + + ),... Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder ist b n+ b n b n + /n b n /n n damit wächst (b n ) über jede Schranke und ist bestimmt divergent. 5