1 Elektromagnetismus 1.1 Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters Ein Strom, der durch einen Leiter fließt, erzeugt um diesen Leiter herum ein magnetisches Feld. Um diesen Sachverhalt zeichnerisch darzustellen, lassen sich Feldlinien um den Leiter einzeichnen. Bei einem runden Einzelleiter verlaufen dies bspw. in Form konzentrischer Kreise. Die Richtung der Feldlinien wird entsprechend der Spulenregel gewählt. 1.1.1 Spulen-Regel Die Richtung der Feldlinien entspricht dabei der Spulen-Regel: Zeigt der Daumen der rechten Hand in Flussrichtung des Stromes, so zeigen die gekrümmten Finger die Richtung der magnetischen Feldlinien um den Leiter an. 1.1.2 Magnetfelder stromdurchflossener Leiteranordnungen Einzelleiter Luftspule - 1.1 -
Elektromagnet in Hufeisenform: N I U B I S 1.2 Magnetische Grössen 1.2.1 Magnetische Durchflutung Θ Wickelt man einen Einzelleiter in Form einer Spule auf, so verstärkt sich das Magnetfeld entsprechend der Anzahl der Windungen. Als eine magnetische Größe, die zur Berechnung von Magnetfeldern verwendet wird, wird deshalb die magnetische Durchflutung verwendet. Das Produkt N I das zur Berechnung der magnetischen Feldstärke benötigt wird, wird als elektrische Durchflutung bezeichnet. Formelzeichen: Θ Formel: Θ = N I Mit : I = Stromstärke in A N = Windungszahl der Spule Einheitenzeichen: A Die elektrische Durchflutung gibt an, wie oft der Strom I die Fläche durchsetzt, die von einer Feldlinie umrandet wird. Im Fall der Ringspule tut er dies so oft wie die Spule Windungen hat, d.h. N-mal. - 1.2 -
D d Betrachtete Feldlinie 1.2.2 Magnetische Feldstärke H Die magnetische Feldstärke gibt die Stärke eines magnetischen Feldes an. Formelzeichen: H Formel: H = H = Θ l m I N l m Mit : I = Stromstärke in A N = Windungszahl der Spule l m = Mittlere Feldlinienlänge [H] = A m Einheitenzeichen: A m - 1.3 -
Bedeutung der mittleren Feldlinienlänge Im Inneren einer Ringspule ist die Feldstärke nicht konstant. Sie hat auf jeder Feldlinie einen anderen Wert. Auf einer Feldlinie am äußeren Rand ist sie am kleinsten, am Innenrand ist sie am größten. In der Praxis lässt man diesen Unterschied außer Acht, und rechnet dafür für die ganze Spule mit einer mittleren Feldstärke. Dies ist die Feldstärke, welche genau durch die Mitte der Ringspule verläuft. Die Länge dieser Feldlinie bezeichnet man als mittlere Feldlinienlänge l m. Mittlere Feldlinienlänge bei einer Ringspule l m = π D + 2 d Mittlere Feldlinienlänge bei einer schlanken Zylinderspule l >> d Bei der schlanken Zylinderspule wird das Außenfeld vernachlässigt, und als mittlere Feldlinienlänge angesetzt: l m l - 1.4 -
1.2.3 Magnetische Flussdichte B (auch Induktion genannt) Die magnetische Flussdichte gibt an, welcher magnetische Fluss Ф die Fläche von 1 m 2 senkrecht durchsetzt. Formelzeichen: B Einheit: Tesla Vs Einheitenzeichen: T ( 2 ) m Die magnetische Flussdichte eines Elektromagneten ist abhängig von der magnetischen Feldstärke und dem verwendeten Material des Kerns der Spule, dessen Einfluss durch die Werkstoffgröße µ berücksichtigt wird. Es ergibt sich die folgende Gleichung, die man Materialgleichung nennt: B = µ H Mit H = Magnetische Feldstärke in A m µ = Permeabilität in Vs Am Lufstpule B = µ 0 H Mit µ 0 = Magnetische Feldkonstante (= Permeabilität des Vakuums Permeabilität von Luft) µ 0 = 4π 10-7 Vs Am - 1.5 -
Spule mit Eisenkern Linearer Bereich: Bei einer Spule mit Eisenkern richten sich die Elementarmagnete im Eisenkern unter Einfluss des Spulenfeldes in eine Richtung aus. Sie verstärken dann den Magnetismus der Spule. Solange nicht alle Elementarmagnete ausgerichtet sind, ist die Verstärkung durch den Eisenkern gegenüber der Luftspule linear. Dies lässt sich durch einen Multiplikationsfaktor berücksichtigen, die relative Permeabilität µ r. Es gilt dann: µ = µ 0 µ r µ r = Relative Permeabilität µ r = Zahl (einheitenlos) die angibt um das wie vielfache das verwendete Material das Magnetfeld verstärkt (für Vakuum und Luft gilt µ r = 1) Für die Flussdichte ergibt sich dann: B = µ 0 µ r H Sättigungsbereich: Wegen der Eisensättigung strebt das Ausrichten der Elementarmagnete einem Endwert zu, ab welchem keine weiteren Elementarmagnete mehr ausgerichtet werden können. Die relative Permeabilität ist daher nicht konstant, sondern von der Feldstärke H abhängig. Sie ist anfänglich sehr hoch und strebt bei hohen Feldstärken einem Endwert zu. Aus diesem Grund rechnet man in der Praxis nicht mit dem Zusammenhang B = µ 0 µ r H, sondern entnimmt die magnetische Flussdichte aus der Magnetisierungskennlinie. - 1.6 -
Magnetisierungskennlinie B Sättigung α B Luft B i B B sat Spule ohne Fe-Kern α H H i H Bemerkung Für irgendeine Feldstärke H i erhält man die entsprechende Flussdichte B i. Bei dieser Feldstärke lässt sich dann die relative Permeabilität ermitteln. Bi µ ri = µ H 0 i Aufgabe Ermittle den Grenzwert von µ ri, wenn H gegen strebt. - 1.7 -
Differentielle Permeabilität Wichtig ist unter anderem bei Glättungsdrosseln die so genannte differentielle Permeabilität µ rdiff. Sie lässt sich definieren, wenn der Gleichstromvormagnetisierung eine Wechselstrom- Aussteuerung überlagert ist. Der Arbeitspunkt liegt dann fest durch den Gleichstromanteil des zu glättenden Gleichstromes. Die Schwankungen des Stromes verursachen die Feldstärkenänderung H. Diese wiederum ergeben die Flussdichteänderung B. Die differentielle Permeabilität lässt sich dann ermitteln aus: µ rdiff = 1 B µ H 0 Die differentielle Permeabilität ergibt sich als Steigung der Magnetisierungskennlinie bei der betrachteten Feldstärke. B Tangente B m B H H H m - 1.8 -
1.2.4 Magnetischer Fluss Ф Der magnetische Fluss ist die Gesamtheit der magnetischen Wirkung eines Magneten. (Anschaulich: Gesamtanzahl der Feldlinien, die aus einem Pol austreten). Formelzeichen: Ф Formel Ф = B A Vs [Ф] = 2 m 2 m Einheit: Weber oder Voltsekunden Einheitenzeichen: Wb oder Vs Der magnetische Fluss ist konstant, d.h. er hat an jeder Stelle des Magnetfeldes die gleiche Größe. Er ist z.b. bei einer Zylinderspule innerhalb der Spule so groß wie außerhalb. Innerhalb der Spule sind die Feldlinien allerdings auf einen engen Querschnitt zusammengedrängt, so dass die magnetische Flussdichte dort viel größer ist als außerhalb der Spule. A a N S A i I Φ i = Φ a A a >> A i B a << B i H a << H i - 1.9 -
1.2.5 Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises Magnetische Größen Magnetischer Kreis Elektrische Größen Stromdurchflossener Leiter Φ l m l A A I I N U Φ = B A Φ = µ B = µ H H = B = µ Θ l m A Θ l m Θ l m U = R l I U = R l = l χ A l χ A I Leiterwiderstand R l Θ = m µl A Φ Magnetischer Widerstand R m Analogie zwischen Ohmschen Gesetz und Ohmschen Gesetz vom Magnetismus: U Θ I Φ R l R m A A l lm χ µ - 1.10 -
1.2.6 Die magnetische Spannung Die Formel H = N I l m bzw. H l m = N I = Θ wurde abgeleitet am Beispiel einer Ringspule. Hier hatten wir gesehen, dass die Feldstärke H auf einer Feldlinie überall denselben Wert hatte. Die Flussdichte B ist überall in der Spule gleich. Das Feld ist homogen. Bei der Zylinderspule dagegen war H i >> H a. Das bedeutet, dass auf ein und derselben Feldlinie die Feldstärke nicht mehr konstant ist. In diesem Fall kann das Produkt H l m nicht mehr gebildet werden, denn mit welchem Wert für H sollte man rechnen? Aus diesem Grund unterteilt man die betrachteten Feldlinien in lauter kleine Teilstrecken, die so klein H 1 1 H 2 l 1 H H 4 3 l l 4 3 l 2 H 5 l 5 2 sind, dass auf jeder Teilstrecke die Feldstärke als konstant angesehen werden kann. I Das Produkt H lm lässt sich somit in viele kleine Summanden H i l i aufspalten. Dann gilt: Θ = N I = H 1 l 1 + H 2 l 2 + + H n l n oder Θ = N I = n i= 1 H l i i Je größer die Anzahl der Teilstrecken gewählt wird, umso genauer wird das Ergebnis. Im Grenzfall wird die Anzahl der Teilstrecken unendlich gewählt. Dafür ergeben sich dann differentiell kleine Abschnittslängen dl. In diesem Fall gilt: Θ= N I = H dl Dieses über eine ganze Feldlinie gebildetes Integral bezeichnet man als Umlaufintegral, oder magnetische Umlaufspannung. Wird das Integral dagegen nur auf einen begrenzten Teil der Feldlinie gebildet, z.b. in obiger Skizze von Punkt 1 bis Punkt 2, so schreibt man: 2 V = H dl aber V12 Θ (V 12 = Magnetische Spannung) 12 1-1.11 -
1.2.7 Das Durchflutungsgesetz Die Formel: Θ= N I = H dl wird als Durchflutungsgesetz bezeichnet. In obiger Formel kommt folgende Gesetzmäßigkeit zum Ausdruck: Das im Feld über einen beliebigen geschlossenen Weg gebildete Umlaufintegral der magnetischen Feldstärke ist gleich der Durchflutung durch die vom berandeten Weg umrandete Fläche. Beispiel 1 : Ringspule I d D D = 12 cm d = 10 cm N = 1000 I = 5 A Ermittle den Fluss a) ohne Eisenkern b) mit Eisenkern aus Stahlguss Beispiel 2 : Zylinderspule 1 2 l I - 1.12 -
1.4 Der magnetische Kreis 1.4.1 Magnetischer Kreis mit überall gleichem µr In diesem Fall verlaufen die Feldlinien auf ihrer ganzen Länge durch ein Medium mit überall gleicher Permeabilität. Die Feldstärke ist überall auf der betrachteten Feldlinie gleich. Einen solchen magnetischen Kreis bildet z.b. die Ringspule mit und ohne Eisenkern. 1.4.2 Magnetischer Kreis mit unterschiedlichem µr, aber überall gleichem Querschnitt Hier verlaufen die Feldlinien durch Medien mit unterschiedlicher Permeabilität: Eisen und Luft I N l Fe l Lu Das Durchflutungsgesetz N I = H dl muss deshalb so angewendet werden, indem das Umlaufintegral aufgespaltet wird in 2 Summanden: N I = H Fe l Fe + H Lu l Lu Rechenweg : a) Häufig ist eine bestimmte Induktion im Luftspalt gegeben B Lu. b) Wegen Φ Lu = Φ Fe = Φ und A Lu = A Fe = A folgt: B Fe = B Lu c) Aus der Magnetisierungskennlinie ergibt sich eine bestimmte Feldstärke: B Fe H Fe BLu d) Aus B Lu berechnet sich : H Lu = µ 0-1.13 -
e) Die erforderliche Durchflutung (und damit der erforderliche Strom) ergibt sich aus: Θ = H Fe l Fe + H Lu l Lu oder N I = H Fe l Fe + H Lu l Lu 1.4.3 Magnetischer Kreis mit unterschiedlichem µr und unterschiedlichem Querschnitt I N Joch l J l S Schenkel l S l Lu Rechenweg : a) Häufig ist eine bestimmte Induktion im Luftspalt gegeben B Lu. b) Φ Lu = B Lu A Lu c) Φ S = Φ J = Φ Lu = Φ d) B S = φ A S e) H S wird aus der Magnetisierungskennlinie entnommen. f) B J = φ A J g) H J wird aus der Magnetisierungskennlinie entnommen. BLu h) H Lu = µ 0 i) Die erforderliche Durchflutung (und damit der erforderliche Strom) ergibt sich aus: Θ = H Lu l Lu + H J l J + 2 H S l S oder N I = H Lu l Lu + H J l J + 2 H S l S - 1.14 -
1.4.4 Magnetisierungskennlinien - 1.15 -
1.4.5 Beispiel Gegeben ist untenstehende Anordnung: Joch und Schenkel bestehen aus Dynamo-Blechen, der Anker aus Grauguss. Ermittle die erforderliche Durchflutung, damit im Luftspalt eine Induktion von 1,2 T entsteht. l A = 2 cm A A = 1,5 cm 2 l Lu = 1 cm A Lu = 1,5 cm 2 l S = 7 cm A S = 1,5 cm 2 l J = 6 cm A J = 1,2 cm 2 S A J S - 1.16 -
1.4.6 Flussverteilung bei Mehrschenkelanordnungen Erklärung anhand eines Beispiels: 1 2 3 60 120 I 250 Φ 1 Φ 2 Φ N 3 Gegeben ist die obenstehende Anordnung eines Eisenkerns (legiertes Blech) mit drei quadratischen Schenkeln mit. Die Aufgabenstellung besteht darin die magnetische Durchflutung der Spule zu berechnen, wenn im mittleren Schenkel ein Fluss von 3 mvs gefordert wird. Zudem sollen die Flüsse der anderen Schenkel bestimmt werden. Bei dieser Aufgabe ergeben sich 3 unbekannte Größen: Θ, Φ 1, Φ 2 Die Lösung der Aufgabe lässt sich darauf zurückführen, dass magnetische Kreise sich ähnlich wie Widerstandskreise berechnen lassen (Man erinnere sich U Θ, I Φ)=. Man kann also auf die Erkenntnisse aus der Netzwerktheorie zurückgreifen. Im angegebenen Beispiel ergeben sich eine Knotengleichung und zwei Maschengleichungen. - 1.17 -
1.4.7 Beispiel 2 1 2 3 60 120 I 1 250 I 3 N Φ 1 Φ 2 Φ 3 1 N 3 Gegeben ist die obenstehende Anordnung eines Eisenkerns (legiertes Blech). Schenkel 3 trägt eine Wicklung, die eine Durchflutung von Θ 3 = 150 A erzeugt. Berechne die Durchflutung des Schenkels 1, damit im mittleren Schenkel 2 ein Fluss von 3 mvs entsteht. - 1.18 -
1.5 Aufgaben Aufgabe 1.1 Eine Stromschiene ist von einem Eisenkern mit Luftspalt umgeben. Die mittlere Eisenlänge beträgt 400 mm. Jeder der beiden Luftspalte hat eine Länge von 1,5 mm. Im Luftspalt wird mit einer Hallsonde eine Flussdichte von 0,78 T gemessen. Der Eisenkern besteht aus Stahlguss. Ermittle die Stromstärke in der Stromschiene. Aufgabe 1.2 Gegeben sind 3 Leiter in einer Ebene. Ihr Abstand beträgt 20 cm. Die Stromstärken betragen I 1 = I 3 = 50 A ; I 2 = 100 A. Ermittle die magnetische Feldstärke in den Punkten A, B und C nach Größe und Richtung. Aufgabe 1.3 Gegeben ist nebenstehende Leiteranordnung. Wo muss sich ein vierter stromdurchflossener Leiter befinden, damit die magnetische Feldstärke im Punkt B Null wird? (Summer der 4 Ströme = 0). Der Abstand von B ist rechnerisch, die Richtung ist zeichnerisch zu bestimmen (Examen 10.6.92). Aufgabe 1.4 Gegeben ist die nebenstehende Anordnung aus 3 dünnen Leitern. I 1 = I 3 = 40 A. a) Berechne den Strom I2 damit die magnetische Feldstärke im Punkt A Null wird. b) Wie hoch ist die magnetische Feldstärke im Punkt B? (x- und y- Komponenten berechnen) (Examen 6.6.91) - 1.19 -
Aufgabe 1.5 Zwei konzentrische Metallrohre werden in entgegengesetzter Richtung von 2 gleichgroßen Gleichströmen I a = I b = I = 100 A durchflossen. Ermittle den Verlauf der magnetischen Feldstärke für r = 0 cm, 1 cm, 1,5 cm, 2 cm, 2,5 cm, 3 cm, 3,5 cm, 4 cm. Für jeden Bereich ist dabei die Formel herzuleiten. Aufgabe 1.6 Ermittle die erforderliche Stromstärke um im Luftspalt eine magnetische Flussdichte von 1,2 T zu erzeugen. Mittlere Längen: l 1 = 9 cm, l 2 = l 4 = 12 cm, l 3 = 8 cm, l 5 = l 6 = 2 mm Querschnittsflächen: A 1 = A 2 = A 4 = A 5 = A 6 = 3 cm 2, A 3 = 2,5 cm 2. Material : Bereich 2,3,4 Dynamoblech, Bereich 5,6 Luft, Bereich 1 Grauguss Aufgabe 1.7 Gegeben ist nebenstehende Anordnung aus Dynamoblech. Wie hoch muss der Spulenstrom sein um im Schenkel 3 einen Fluss von 0,72 mvs zu erzeugen. Es gilt N = 2000 und die Dicke des Blechpakets beträgt überall 30 mm. - 1.20 -
Aufgabe 1.8 Gegeben ist der nebenstehende Eisenkern mit Spule aus Dynamoblech (Dicke T = 15 mm). Die Flussdichte im Luftspalt beträgt 1,2 T. Berechne die erforderliche Durchflutung.(Examen 10.6.92) Aufgabe 1.9 Der abgebildete Rahmen aus Stahlguss hat einen Mittelsteg (II) aus legiertem Blech. Mit welchem Strom muss die auf Schenkel I befindliche Spule von 800 Windungen gespeist werden, wenn der magnetische Fluss im Schenkel III 0,4 mwb betragen soll? (Examen 91) Aufgabe 1.10 Gegeben ist der nebenstehende magnetische Kreis (legiertes Blech).Berechne den Strom I 1, damit der magnetische Fluss im Schenkel II 5,25 mwb beträgt. Es gilt: N 1 = 1200, N 2 = 2500, I 3 = 362 ma. Aufgabe 1.11 Der abgebildete Dreischenkelkern aus Dynamoblech hat im Schenkel III einen Riss (Luftspalt). Berechne die Durchflutung, die erforderlich ist, um im Schenkel III eine Flussdichte von 0,8 T aufrechtzuerhalten. - 1.21 -
Aufgabe 1.12 Der nebenstehende Dreischenkelkern aus Dynamoblech hat im mittleren Schenkel einen Luftspalt von 1 mm. Im Luftspalt soll die Flussdichte 0,8 T betragen. Der Schenkel 1 trägt eine Spule mit 1500 Windungen. I 1 beträgt 0,6 A. Die Spule auf dem Schenkel III hat 750 Windungen. Ermittle die erforderliche Stromstärke I 3. Aufgabe 1.13 Bei nebenstehendem Eisenkern aus Dynamoblech beträgt die Dicke des Blechpakets überall 20 mm. Ermittle die erforderliche Durchflutung auf dem mittleren Steg, damit im Luftspalt des dritten Schenkels eine Induktion von 0,8 T entsteht. (Alle Maße sind in mm angegeben). Aufgabe 1.14 Ermittle für die folgende Leiteranordnung die magnetische Feldstärke im Punkt A. (Maßstab 1 A/m 1 cm) Die Stromstärken haben die Werte: I 1 = 10 A, I 2 = 5 A, I 3 = 5 A. Wo müsste sich ein vierter Leiter befinden, damit die Gesamtfeldstärke im Punkt A Null wird, wenn die Summer aller 4 Ströme ebenfalls Null sein soll? - 1.22 -
Aufgabe 1.15 Bei nebenstehendem Motor soll im Luftspalt eine Induktion von 0,8 T erzeugt werden. Die beiden Durchflutungen Θ 1 und Θ 2 teilen sich in dieser Aufgabe gleichmäßig auf. Der Eisenkern besteht aus Dynamoblech und hat zu beiden Seiten des Ankers einen Luftspalt von jeweils 1 mm. Ermittle die beiden erforderlichen Durchflutungen. Aufgabe 1.16 Wo müsste sich in der nebenstehenden Anordnung ein vierter Leiter befinden, damit die magnetische Feldstärke im Punkt A Null wird. Die Summer der vier Ströme soll dabei ebenfalls Null sein. Aufgabe 1.17 Im Luftspalt des schematisch dargestellten Wischermotors soll eine Induktion von 0,6 T aufgebaut werden. Die Länge des Luftspalts beträgt 2 x 2 mm. Alle Eisenteile bestehen aus Dynamoblechen. Die Dicke des Blechpakets beträgt überall 15 mm. Alle Maße sind in mm angegeben. Ermittle die notwendige Durchflutung der Erregerwicklung. - 1.23 -
Aufgabe 1.18 Ermittle für den nebenstehenden Eisenkern aus Dynamoblech die erforderlichen Durchflutungen auf den beiden äußeren Schenkeln, damit im Luftspalt des mittleren Schenkels eine Induktion von 1,2 T entsteht. Die beiden Durchflutungen sind gleich groß. Alle Maße sind in mm angegeben. - 1.24 -