Bruchzahlen Zeichne Rechtecke von cm Länge und cm Breite. Dieses Rechteck soll Ganzes ( G) darstellen. Hinweis: a.) Färbe ; ; ; ; ; ; 6 b.) Färbe ; ; ; ; ; ; 6 von diesem Rechteck. von diesem Rechteck. ; ; ; sind Brüche oder Bruchzahlen. Jeder Bruch besteht aus zwei natürlichen Zahlen, von denen sich eine über dem so genannten Bruchstrich und eine unter dem Bruchstrich befindet. Jede dieser bei- den Zahlen hat eine bestimmte Bedeutung. ein Halbes: (ein Ganzes Halbe) G : ein Viertel: (ein Ganzes Viertel) G : ein Drittel: (ein Ganzes Drittel) G : 6 6 6 6 6 6 ein Sechstel: 6 (ein Ganzes 6 Sechstel) G : 6 6 ein Achtel: (ein Ganzes Achtel) G : ein Zwölftel: (ein Ganzes Zwölftel) G : ein Vierundzwanzigstel: (ein Ganzes Vzstel) G : Seite von 6
MERKE:.) Eine Bruchzahl besteht aus: Zähler (natürliche Zahl) Nenner (natürliche Zahl).) Ist der Zähler eines Bruches Teile ein Ganzes zerlegt wird. ; ; ; usw., so gibt der Nenner an, in wie viele gleich große.) Je größer der Nenner eines solchen Bruches ist, desto kleiner sind die Teile, die man erhält. Teile G in Teile (Nenner), färbe davon (Zähler). Teile G in Teile (Nenner), färbe davon (Zähler). 6 Teile G in 6 Teile (Nenner), färbe davon (Zähler). Teile G in Teile (Nenner), färbe davon (Zähler). Teile G in Teile (Nenner), färbe davon (Zähler). Teile G in Teile (Nenner), färbe davon (Zähler). Teile G in Teile (Nenner), färbe davon (Zähler). Seite von 6
MERKE:.) Der Nenner eines Bruches gibt an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes zerlegt wird..) Der Zähler eines Bruches gibt an, wie viele solcher Teile genommen werden sollen. Stelle den Bruch ; a.) an einem geeigneten Rechteck und b.) an einer geeigneten Strecke dar. zu a.) ( mögliches Beispiel): zu b.) ( mögliches Beispiel) Seite von 6
Gemischte Schreibweise Zeichne Rechtecke von cm Länge und cm Breite. Dieses Rechteck soll Ganzes ( G) darstellen. zu a.) a.) Färbe ; ; b.) Färbe ; ; von diesem Rechteck. von diesem Rechteck. Ganzes Rechteck Viertel Ganze Rechtecke Viertel Ganze Rechtecke Viertel zu b.) Ganzes + Viertel + Ganze + Viertel + Ganze + Viertel + Seite von 6
Umwandlung: Unechter Bruch Gemischte Schreibweise.) Unechter Bruch Gemischte Schreibweise: Wie viele Ganze sind in den folgenden Brüchen enthalten, und welcher Bruchteil bleibt übrig? 6 ; ; ; ; ; 6 0 G 6 G 6 6 6 6 ; ; ; ; ; 6 6 0 0.) Gemischte Schreibweise Unechter Bruch: Verwandle folgende Brüche aus der gemischten Schreibweise in unechte Brüche: ; ; ; ; ; 0 G + G + G + G G G + + + G + G + G + 0 0 0 G G G 0 0 + + + 0 0 0 Seite von 6
Einteilung der Brüche.) Echte Brüche: Brüche, bei denen der Zähler kleiner als der Nenner ist, bezeichnet man als echte Brüche. Echte Brüche sind: ; ; ; ; ; 6 0 Für diese Brüche gibt es keine andere Schreibweise..) Unechte Brüche: Brüche, bei denen der Zähler größer als der Nenner ist, bezeichnet man als unechte Brüche. Unechte Brüche sind: 0 ; ; ; ; ; 6 0 Alle unechten Brüche lassen sich in gemischte Brüche umwandeln..) Gemischte Brüche: Brüche, die aus einer natürlichen Zahl und einem echten Bruch bestehen, bezeichnet man als gemischte Brüche. Gemischte Brüche sind: ; ; ; ; ; 6 0 Alle gemischten Brüche lassen sich in unechte Brüche umwandeln..) Scheinbrüche: Brüche, bei denen der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist, bezeichnet man als Scheinbrüche. Scheinbrüche sind: 0 60 ; ; ; ; ; 6 0 Alle Scheinbrüche lassen sich in eine natürliche Zahl umwandeln. Seite 6 von 6
Einteilung der Brüche.) a.) Ordne die folgenden Brüche untereinander in die richtige Spalte der unteren Tabelle ein: ; ; ; ; ; ; ; ; 0 6 ; ; ; ; ; ; ; ; 0 6 6 6 6 ; ; ; ; ; ; ; ; 6 0 b.) Wandle alle Brüche, die sich auch in einer anderen Darstellung schreiben lassen, in der Tabelle um. Echte Brüche Unechte Brüche Gemischte Brüche Scheinbrüche gem.bruch unechter B. natürl.zahl Seite von 6
Einteilung der Brüche (Lösung).) a.) Ordne die folgenden Brüche untereinander in die richtige Spalte der unteren Tabelle ein: ; ; ; ; ; ; ; ; 0 6 ; ; ; ; ; ; ; ; 0 6 6 6 6 ; ; ; ; ; ; ; ; 6 0 b.) Wandle alle Brüche, die sich auch in einer anderen Darstellung schreiben lassen, in der Tabelle um. Echte Brüche Unechte Brüche Gemischte Brüche Scheinbrüche gem.bruch unechter B. natürl.zahl () 0 6 6 6 () 0 6 () 0 0 6 0 6 6 6 0 6 6 6 (6) 6 ( 6) () () Seite von 6
Brüche als Divisionsaufgaben Aufgaben:.) Äpfel sollen gerecht unter Kindern verteilt werden. Wie viel erhält jedes Kind?. Kind. Kind. Kind. Kind Jedes Kind erhält erst einmal ganze Äpfel: : Der übrig gebliebene Apfel wird nun in gleich große Teile aufgeteilt: Jedes Kind erhält noch einmal Apfel. Also insgesamt: + Apfel. Dafür lässt sich auch folgende Divisionsaufgabe schreiben: Äpfel : Äpfel Äpfel.) Mädchen wollen sich Tafeln Schokolade teilen. Wie viel erhält jede?. Kind. Kind. Kind Kind. Kind. Kind : Jedes Kind erhält der Tafeln Schokolade..) Drei Mädchen wollen sich Tafeln Schokolade teilen. : Jede erhält Tafeln Schokolade..) Fünf Jungen wollen sich Pizzen teilen. : Jede erhält Pizza. Seite von 6
Berechne:.) :.) :.) :. ) 00 : : 0 + ( : ) 0 + : + (: ) + : + ( : ) + 00 00 : + (: ) + MERKE: Den Quotienten zweier natürlicher Zahlen kann man auch als Bruch schreiben: : oder : : Dabei wird der Dividend zum Zähler des Bruches und der Divisor zum Nenner des Bruches. Dividend : Divisor Dividend (Zähler) Divisor (Nenner) Brüche mit Maßeinheiten Wandle in eine kleinere Maßeinheit um:.) Liter l v on l (G) von 000 ml : 000 ml 00 ml 00 ml.) Stunde h von h (G) von 60 min : 60 min min min.) Schulstunde sh von sh (G ) von min : min min 0 min.) Meter m von m (G) von 00 cm : 00 cm 0 cm 0 cm.) Tonnen t von t (G) von 000 g 000 g g g : Seite 0 von 6
MERKE: Wendet man einen Bruch auf eine Maßeinheit an, so muss man folgendes beachten: Der Zähler des Bruches ist der Mal-Operator. Der Nenner des Bruches ist der Durch-Operator. Liter bedeutet also: Teile die nächst mögliche kleinere Maßeinheit durch und multipliziere dieses Ergebnis mit : : Liter von 000 ml 000 ml 00 ml 00 ml Zähler Mal Operator( ) Nenner Durch Operator(:) : Gemischte Schreibweise bei Maßeinheiten Was bedeutet:.) m.) l.) kg 0 m + m 00 cm + cm cm, m l + l 000 ml + 00 ml 00 ml, l kg + kg 0 000 g + 00 g 00 g, kg.) h h + h 0 min+ min min h min Seite von 6
Brüche und ihre Eigenschaften.) Wandle die folgenden Brüche in unechte, gemischte Brüche oder in eine natürliche Zahl um: 0 6 a.) b.) c.) d.) e.) f.) g.) h.) 6 6 6 6 6 i.) j.) k.) l.) m.) n.) o.) p.) 0 6 0 q.) r.) s.) t.) u.) v.) 6.) Verwandle in die nächst kleinere Einheit: a.) kg b.) Liter c.) cm d.) d e.) h f.) km 6 g.) ha h.) g i.) h j.) t k.) min l.) d 0 0 0 m.) 6 n.) a o.) dm p.) w q.) g r.) sh 0.) Gib die Ergebnisse der folgenden Divisionsaufgaben mit Hilfe eines gemischten Bruches an: a.) : b.) : c.) : d.) 00 : e.) : 6 f.) : g.) 0 : h.) 6 : i.) : j.) : k.) 6 : l.) : m.) : n.) : o.) :.) Markiere den Bruch in den folgenden Figuren:.) Färbe stets den Teil, der angegeben ist: 6 Seite von 6
Brüche und ihre Eigenschaften (Lösungen).) Wandle die folgenden Brüche in unechte, gemischte Brüche oder in eine natürliche Zahl um: 0 a.) 6 b.) c.) d.) e.) f.) g.) h.) 6 6 i.) j.) k.) l.) m.) n.) o.) p.) q.) r.) s.) 0 t.) u.) v.) 6 6.) Verwandle in die nächst kleinere Einheit: a.) 00 g b.) ml c.) mm d.) h e.) min f.) 0 m g.) 0 a h.) 6 mg i.) 6 min j.) 00 kg k.) 0 s l.) 06 h m.) 60 C n.) 6 m o.) cm p.) d q.) 60 mg r.) 0 min.) Gib die Ergebnisse der folgenden Divisionsaufgaben mit Hilfe eines gemischten Bruches an: a.) b.) c.) 0 d.) e.) 6 6 0 f.) g.) h.) i.) 6 j.) 0 k.) l.) 6 m.) n.) o.).) Markiere den Bruch in den folgenden Figuren:.) Färbe stets den Teil, der angegeben ist: 6 Seite von 6
Bruchteile von beliebigen Größen ( Grundaufgaben).) Bestimmen eines Teils von einer Größe Ein neu geplanter Autobahnabschnitt ist 0 Kilometer lang. Im ersten Bauabschnitt sollen, im zweiten Bauabschnitt und im letzten Bauabschnitt des ganzen Autobahnabschnitts fertig gestellt werden. a.) b.) Veranschauliche die einzelnen Bauabschnitte mit Hilfe einer Zeichnung. Wie viele Kilometer sind die einzelnen Bauabschnitte jeweils lang? zu a.) 0 km ( Ganzes) km km km km km km km. Abschnitt. Abschnitt. Abschnitt zu b.) von 0 km : 0 km : km 0 km von 0 km 0 km von 0 km :0 km : km 60 km von 0 km 60 km von 0 km : 0 km : km km von 0 km km Seite von 6
MERKE: Die Rechenanweisung: von 0 km bedeutet:.) Dividiere 0 km durch..) Multipliziere das Ergebnis () mit. oder:.) Multipliziere 0 km mit..) Dividiere das Ergebnis (0) durch. Der Zähler des Bruches ist also der Mal-Operator, der Nenner des Bruches der Durch-Operator. Mal Operator() Durch Operator() : : : Das Ganze Ergebnis.) Bestimmen des Ganzen Wegen einer Grippeerkrankung fehlen Schüler einer Klasse, das sind genau der Klasse. Wie viele Schüler gehören zu der Klasse? (Das Ganze) x Operator : (Ergebnis) : (Das Ganze) 0 6 (Ergebnis) Die Klasse zählt insgesamt 0 Schüler. Gegenoperator MERKE:.) Der Bruchoperator von macht das rückgängig, was der Bruchoperator von bewirkt hat..) Man nennt den Gegenoperator (Kehrwert) zu von..) Der Gegenoperator (Kehrwert) wird immer dann benutzt, wenn das Ganze (Anfangswert) gesucht ist. Seite von 6
.) Bestimmen des Bruchteils Jonas hat von 6 Aufgaben richtig gelöst. Welchen Bruchteil aller Aufgaben hat er richtig? :y x 6 : 6 : 6 : MERKE: Um den richtigen Bruchoperator bestimmen zu können, muss man eine Zahl finden, die sowohl im Anfangswert als auch im Endwert enthalten ist. Diese gemeinsam enthaltene Zahl soll dabei möglichst groß sein. Beispiele dazu: Welcher beste Bruchoperator führt den Anfangswert in den Endwert über? :y x.) :y x.) :y x.) 6 0 :y x.)0 0 : : 6 : 6 0 0 0 : :y x :.) 00 0 00 0 0 0 Übersicht über die drei Grundaufgaben: Gesucht ist der Endwert (das Ergebnis): Bruchoperator.) Anfangswert (Das Ganze) Endwert (Erge bnis) Beispiel: Wie viel sind von 0 : 0 Gesucht ist der Anfangswert (das Ganze): Bruchoperator.) Anfangswert (Das Ganze) Endwert (Ergebnis) Gegenoperator Endwert (Ergebnis) Anfangswert (Das Ganze) Beispiel: Von welchem Betrag sind : x 0 Gesucht ist der Bruchoperator: Bruchoperator.) Anfangswert (Das Ganze) Endwert (Ergebnis) Anfangswert ( Das Ganze) Zwischenwert : Nenner Zähler Endwert (Ergebnis) Beispiel: Welcher Bruchteil sind 0 von : : 0 0 Seite 6 von 6
Das Ganze - Operator - Gegenoperator.) Bestimme jeweils den Wert des Platzhalters. a.) j.) b.) 6 k.) 6 d.) 0 60 l.) 00 e.) 6 m.) g.) n.) h.) 0 0 o.) 0 i.) 6 p.) 66.) Bestimme den (Bruch-) Anteil; versuche jeweils den besten Bruch zu finden: a.) min von 60 min c.) h von h b.) cm von 0 cm d.) 6 g von 00 g.) Selina hat von ihrem Opa 60 zu Weihnachten erhalten. Davon spart sie für die Skiferien. a.) Wie viel Euro spart sie für die Skiferien? b.) Wie viel Euro bleiben ihr übrig? c.) Wie heißt der Bruchteil für die Euro, die ihr übrig bleiben?.) Landwirt Pflüger besitzt ha Wald. Das sind seiner gesamten Nutzfläche. a.) Über wie viel Hektar Nutzfläche verfügt Landwirt Pflüger insgesamt? b.) Wie viel m sind das? c.) Auf seiner Nutzfläche pflanzt Landwirt Pflüger Kartoffeln an. Wie viel Hektar und wie viel m sind das? Seite von 6
Das Ganze - Operator Gegenoperator (Lösungen).) Bestimme jeweils den Wert des Platzhalters. a.) j.) b.) 6 k.) 6 6 d.) 0 60 l.) 0 00 e.) 6 m.) g.) 0 n.) h.) 0 0 o.) 0 i.) 6 p.) 66.) Bestimme den (Bruch-) Anteil; versuche jeweils den besten Bruch zu finden: a.) min von 60 min c.) h von h b.) cm von 0 cm d.) 6 g von 00 g zu.) : a.) von 60 : 60 6 b.) 60 6 c.) von 60 : : 60 6 zu.) a.) : ha : ha ha ha b. ) ha 0.000 m c.) : ha ha 0 ha Seite von 6
Gleichheit von Brüchen (Erweitern und Kürzen) Aufgabe : Zeichne Rechtecke mit jeweils cm Länge und cm Breite. Vergleiche dann die Brüche ; und 6 mit Hilfe dieser Rechtecke. Was stellst du fest? 6 Aufgabe : Anke hat zum Geburtstag bekommen. Vergleiche die Brüche 6 0 ; und. von : : 0 von 0 6 von : : 6 0 6 von 0 0 von 0 0 von : : 0 0 MERKE: Die Brüche ; und 6 6 0 (Aufgabe ) und die Brüche ; und Anwendung auf das Ganze (Rechteck, ) das gleiche Ergebnis erzielen. (Aufgabe ) sind wertgleich, da sie bei Wie erhält man nun wertgleiche Brüche? Bilde Brüche, die zu dem Bruch wertgleich sind. Erweiterungszahl 6 0 6 0 Erweitern eines Bruches! (mit den Zahlen, und 6) Seite von 6
MERKE: Man erhält wertgleiche Brüche, in dem man Zähler und Nenner mit der gleichen natürlichen Zahl (Erweiterungszahl) multipliziert. Diesen Vorgang nennt man Erweitern von Brüchen. Man kann durch das Erweitern unendlich viele wertgleiche Brüche herstellen. Bilde Brüche, die zu dem Bruch wertgleich sind. 6 6 Kürzen eines Bruches! (mit den Zahlen, und 6) Kürzungszahl Welche Bedeutung besitzt dabei der Bruch? ist der letzte Bruch in der Kürzungskette. Man bezeichnet des Bruches. als die Grunddarstellung MERKE: Man erhält wertgleiche Brüche, in dem man Zähler und Nenner mit der gleichen natürlichen Zahl (Kürzungszahl) dividiert. Diesen Vorgang nennt man Kürzen von Brüchen. Ein Bruch, der sich nicht mehr kürzen lässt, bezeichnet man als Stammbruch oder die Grunddarstellung des Bruches. Seite 0 von 6
Grundaufgaben zum Erweitern.) Erweitere den Bruch nacheinander mit den Erweiterungszahlen,,,, 6: 6.) Erweitere die Brüche ; ; ; 6 ; so, dass a.) der Nenner 0 ist; b.) der Zähler 0 ist. 0 0 Gib jeweils die Erweiterungszahl über dem Gleichheitszeichen () an! a.) Nenner 0: b.) Zähler 0: 6 0 0 6 0 0.) Setze für die passende Zahl ein. Gib auch die Erweiterungszahl über dem Gleichheitszeichen an: a.) b.) c.) d.) e.) 0 0 0 00.) Erweitere die Brüche so, dass sie dann () einen gemeinsamen Nenner haben; () einen gemeinsamen Zähler haben: () gemeinsamer Nenner: a.) ; b.) ; c.) ; ; 0 6 () gemeinsamer Zähler: a.) ; b.) ; c.) ; ; 0 6.) Erweitere die Brüche; sie sollen einen möglichst kleinen gemeinsamen Nenner haben: a.) ; ; b.) ; ; ; 6 6 c.) ; ; ; d.) ; ; ; ; 0 0 0!! Wenn du alle Aufgaben gelöst hast, klebe bitte dieses Arbeitsblatt in dein Merkheft ein!! Seite von 6
.) Kürze den Bruch 6 Grundaufgaben zum Kürzen nacheinander mit den Kürzungszahlen,,,, : 6 6 6 6 6 60 6 0.) Kürze die Brüche ; ; ; ; schrittweise bis zur Grunddarstellung (Stammbruch): 0 0 0 Gib jeweils die Kürzungszahl unter dem Gleichheitszeichen () an! a.) Grunddarstellung : b.) Grunddarstellung : 0 c.) 60 Grunddarstellung : 0 d.) 6 Grunddarstellung : e.) 0 Grunddarstellung : 0.) Setze für die passende Zahl ein. Gib auch die Kürzungszahl unter dem Gleichheitszeichen an: a.) b.) c.) d.) 0.) Kürze schrittweise bis zur Grunddarstellung: 6 a.) b.) 0 c.) d.) 0 6 e.) f.) 0 0 0 g.) h.) 0 0 i.) j.) 00 0!! Wenn du alle Aufgaben gelöst hast, klebe bitte dieses Arbeitsblatt in dein Merkheft ein!! Seite von 6
Ordnen von Brüchen Zeichne -mal eine Strecke von 6 cm. zu a.) a.) Färbe und der Strecke. (Die Brüche besitzen den gleichen Nenner!) b.) Färbe und der Strecke. (Die Brüche besitzen den gleichen Zähler!) 6 Man erkennt: < denn < zu b.) Man erkennt: < denn Zwölftel < Se chstel 6 MERKE Bruchzahlen lassen sich leicht der Größe nach vergleichen, wenn sie a.) gleiche Nenner oder b.) gleiche Zähler besitzen: a.) Haben Brüche den gleichen Nenner, so ist derjenige kleiner (größer), der den kleineren (größeren) Zähler besitzt. b.) Haben Brüche den gleichen Zähler, so ist derjenige kleiner (größer), der den größeren (kleineren) Nenner besitzt. Ordne folgende Brüche nach der Größe. Beginne mit dem kleinsten Bruch. ; ; ; ; ; ; 0 0 Möglichkeit : Man wendet alle Brüche auf eine Einheit an, z.b. km 000 m: : : km 000 m m 6 m() km 000 m m m() :0 : km 000 m 00 m 00 m() km 000 m 0 m 0 m() 0 : : km 000 m 00 m 00 m() km 000 m 0 m 0 m(6) km 000 m : 00 m 00 m( ) 0 Seite von 6
Möglichkeit : Man versucht, alle Brüche auf den gleichen Nenner zu bringen, um dann die Zähler vergleichen zu können: 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 < < < < < < 0 0 0 0 0 0 0 < < < < < < 0 0 MERKE: Um Brüche, die verschiedene Nenner besitzen, in ihrer Größe vergleichen zu können, erweitert man sie auf einen möglichst kleinen gemeinsamen Nenner und vergleicht dann die Zähler. Den Vorgang, Brüche auf einen gleichen Nenner zu bringen, bezeichnet man als Brüche gleichnamig machen. Brüche auf dem Zahlenstrahl Entwicklung eines Zahlenstrahles, an dem man auch die Position von einigen Brüchen erkennen kann: 0 6 0 Zwischen 0 und befinden sich alle echten Brüche Hinter der liegen alle unechten Brüche und gemischten Brüche MERKE:.) Alle echten Brüche liegen zwischen 0 und auf dem Zahlenstrahl..) Alle unechten und gemischten Brüche liegen hinter der auf dem Zahlenstrahl..) Alle Scheinbrüche liegen an der Stelle der natürlichern Zahlen. Seite von 6
Anordnung der Brüche auf dem Zahlenstrahl Welche Brüche werden durch die Pfeile am Zahlenstrahl dargestellt? Notiere für jeden Buchstaben den entsprechenden Bruch in der GRUNDDARSTELLUNG oder als GEMISCHTEN BRUCH..) 0 A B C D E F G H.) 0 A B C D E F G H.) 0 A B C D E F G H.) 0 A B C D E F G H.) 0 A B C D E F G H 6.) 0 A B C D E F G H.) 0 A B C D E F G H.) 0 ½ A B C D E F G H Seite von 6
Anordnung der Brüche auf dem Zahlenstrahl (Lösungen) zu.) A B C D 0 0 E F G H 0 0 0 0 zu.) A B C D 6 E F G H 6 6 zu.) 6 A B C D 6 6 E F G H 6 6 zu.) 6 A B C D 6 E F G H zu.) 6 A B C D 6 6 E F G H 6 6 zu 6.) A B C D 0 0 E F G H 0 0 zu.) 6 A B C D 6 E F G H zu.) 6 A B C D E F G H Seite 6 von 6