E44 Messung zum Induktionsgesetz

Physikalisches Anfängerpraktikum Universität Stuttgart SS 2014 Protokoll zum Versuch E44 Messung zum Induktionsgesetz Johannes Horn, Robin Lang 13. Mai 2014 Verfasser: Robin Lang (BSc. Mathematik) Mitarbeiter: Johannes Horn (BSc. Mathematik) Gruppennummer: ST Datum: 23.04.2014 Betreuer: Anica Sattelmaier 1

Inhaltsverzeichnis E44 Messung zum Induktionsgesetz Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabenstellung 3 2 Grundlagen 3 2.1 Magnetische Feldstärke................................ 3 2.2 Lorentzkraft....................................... 3 2.3 Induktionsgesetz.................................... 3 3 Fragen 4 4 Messprinzip mit Skizze und Versuchsablauf 4 4.1 Versuchsaufbau..................................... 4 4.2 Versuchsdurchführung................................. 4 4.2.1 Aufgabe 1.................................... 5 4.2.2 Aufgabe 2.................................... 5 4.2.3 Aufgabe 3.................................... 5 4.2.4 Aufgabe 4.................................... 5 4.2.5 Aufgabe 5.................................... 6 4.3 Verwendete Geräte................................... 6 5 Benötigte Formeln 6 5.1 Berechnung des Spulenwiderstands......................... 6 5.2 Theoretischer Widerstand der Spule......................... 6 5.3 Magnetfeld einer Zylinderspule............................ 7 5.3.1 Berechnung der Flussdichte aus der Induktionsspannung........ 7 6 Messwerte 7 6.1 Aufgabe 1........................................ 7 6.2 Aufgabe 2........................................ 7 6.3 Aufgabe 3........................................ 8 7 Auswertung 8 7.1 Aufgabe 1........................................ 8 7.2 Aufgabe 2........................................ 10 7.3 Aufgabe 3........................................ 11 7.4 Aufgabe 4........................................ 12 7.5 Aufgabe 5........................................ 14 8 Fehlerdiskussion und Fehlerrechnung 14 8.1 Qualitative Fehlerdiskussion............................. 14 8.2 Quantitative Fehlerrechnung............................. 14 8.2.1 Fehlerfortpflanzung für Aufgabe 1...................... 14 8.2.2 Fehlerfortpflanzung für Aufgabe 2...................... 15 9 Zusammenfassung 16 10 Literatur 17 Seite 2 von 17

2 GRUNDLAGEN E44 Messung zum Induktionsgesetz 1 Aufgabenstellung In einer Reihe von Messversuchen soll das Induktionsgesetz überprüft werden. Hierbei gliedert sich der Versuch in fünf Teile: 1) Es soll der Innenwiderstand einer Spule durch Messung des Übertragungsverhaltens in Abhängigkeit der Frequenz der angelegten Spannung ermittelt und mit dem theoretisch ermittelten Wert verglichen werden. 2) In Abhängigkeit der Position einer inneren Spule, welche in die äußere Spule eingeführt wird, wird die in ihr induzierte Spannung gemessen und somit der magnetische Feldstärkenverlauf untersucht. 3) Weiter soll durch Variation der Frequenz der angelegten Spannung die induzierte Spannung graphisch abgetragen und das Ergebnis diskutiert werden. 4) Die bisherige Untersuchung des angelegten Sinus-Signals wird nun auf Dreieck- und Rechtecksignale ausgeweitet und die dabei entstehenden Graphen der induzierten Spannung diskutiert. 5) Schließlich soll der Versuchsaufbau bei kurzgeschlossener Spule betrachtet werden. 2 Grundlagen 2.1 Magnetische Feldstärke Magnetfelder entstehen einerseits durch permanente Magnete und andererseits durch sich bewegende Ladung, z.b. in einem Leiter. Magnetfelder sind im Gegensatz zum elektrischen Feld quellenfrei, also sind alle Feldlinien geschlossen. Um die magnetische Feldstärke H eines Leiters zu berechnen nutzt man das 1. Maxwellsche Gesetz: H ds = j da (1) A wobei j die elektrische Stromdichte beschreibt. Eine weitere Größe für die Stärke eines Magnetfelds ist die magnetische Flussdichte B. Sie berechnet sich aus der magnetischen Feldstärke durch B = µ 0 µ r H. (2) Hier geht neben der magnetischen Feldkonstante µ 0 die Permeabilitätszahl µ r ein. Sie hängt vom Material im Magnetfeld ab und ist im Vakuum per Definition und in Luft näherungsweise µ r = 1. 2.2 Lorentzkraft Wird Ladung in einem Magnetfeld bewegt, wirkt eine Kraft auf die Ladung - die Lorentzkraft: F L = q(v B) (3) Sie wirkt der elektrostatischen Kraft, die durch die bewegte Ladung verursacht wird, entgegen. 2.3 Induktionsgesetz Umgekehrt wird auf einer Leiterschleife bei Änderung des Magnetfelds ein Strom induziert. Dabei bewirkt sowohl eine Veränderung der magnetischen Flussdichte als auch eine Veränderung der Größe der Fläche, die vom Magnetfeld durchdrungen wird, einen Induktionsstrom. Seite 3 von 17

4 MESSPRINZIP MIT SKIZZE UND VERSUCHSABLAUF E44 Messung zum Induktionsgesetz Diese beiden Variablen werden im magnetischen Fluss zusammengefasst: Φ = B da (4) A Hierbei bezeichnet da den Normalenvektor auf ein differentielles Flächenstück, dessen Länge der Größe des Flächenstücks entspricht. Für eine flache Leiterschleife vereinfacht sich dieser Ausdruck zu Φ = B A (5) Die Induktionsspannung entspricht dann nach dem 2. Maxwellschen Gesetz der negativen Ableitung des magnetischen Flusses U ind = Φ (6) 3 Fragen Siehe handschriftliche Bearbeitung im Anhang. 4 Messprinzip mit Skizze und Versuchsablauf 4.1 Versuchsaufbau Wie in Abbildung 1: Versuchsaufbau dargestellt, besteht der Versuch aus einem Frequenzgenerator, welcher an eine lange (überbrückbaren) Spule angeschlossen ist. Spulendaten der äußeren Spule: Länge l = 233 mm Windungszahl n a = 117 Radius r = 25 mm Drahtdurchmesser d = 1 mm Innerhalb dieser Spule befindet sich eine horizontal verschiebbare innere Spule. Um die Verschiebung messen zu können, ist sie am Ende einer Messleiste montiert, welche ebenfalls dafür sorgt, dass die beiden anderen Raumrichtungen der Spule unverändert bleiben. Spulendaten der inneren Spule: Windungszahl n i = 1000 Fläche A = 350 mm 2 Des Weiteren besteht die Möglichkeit sowohl die Ein- und Ausgangsspannungen der äußeren Spule, als auch die in der inneren Spule induzierte Spannung mithilfe eines 2-Kanal Oszilloskops zu visualisieren und die jeweils auftretenden effektiven Spannungen abzulesen. Hierzu werden die drei eben genannten Messpunkte mittels Koaxial-Kabel an das Oszilloskop angeschlossen. Dieser Teil des Aufbaus wird im Laufe des Versuches mehrmals geändert werden. 4.2 Versuchsdurchführung Wie schon in Kapitel Abschnitt 1 angesprochen, ist der Versuch in fünf Abschnitte unterteilt, welche hier einzeln aufgeführt werden sollen: Seite 4 von 17

4 MESSPRINZIP MIT SKIZZE UND VERSUCHSABLAUF E44 Messung zum Induktionsgesetz Abbildung 1: Versuchsaufbau [2] 4.2.1 Aufgabe 1 Zuerst soll der Innenwiderstand der äußeren, langen Spule gemessen werden. Hierzu wird das Übertragungsverhalten, also das Verhältnis der Ausgangsspannung U a zur Sinus-förmigen Eingangsspannung U e, auf einem Frequenzbereich von 100 60000 Hz untersucht, um mithilfe einer auf die Messwerte angewendeten Extrapolation für f 0 den ohmschen Spulenwiderstand zu berechnen. 4.2.2 Aufgabe 2 Nun wird bei konstanter Frequenz ( f = 100 Hz) des Eingangssignals und einer effektive Spannung von U a 1 V des Ausgangssignals eine kleinere Testspule in die äußere Spule eingeführt, die in ihr induzierte Spannung für verschiedene Positionen auf der horizontalen Mittelachse der Spule gemessen und grafisch aufbereitet. Hierbei sind 27 Messungen im Abstand von 1 cm durchzuführen. Aus der so aufgenommenen Messreihe von Induktionsspannungen kann nun die magnetische Feldstärke und damit auch die magnetische Flussdichte an diesen Positionen bestimmt werden. Diese ist für die Position am Spulenende mit einer theoretischen Berechnung zu vergleichen. 4.2.3 Aufgabe 3 Für nun konstante Eingangsspannung wird, die Testspule wieder in der Ausgangslage in der Mitte der äußeren Spule positioniert, das in der Testspule induzierte Spannungssignal aufgezeichnet und untersucht. Diese Messreihe wird unter Variation der Frequenz des Sinus- Signals (20 300 Hz in 20 Hz Schritten) durchgeführt und anhand einer grafischen Aufbereitung der Messergebnisse diskutiert. 4.2.4 Aufgabe 4 Als nächstes sollen für eine konstante Eingangsfrequenz von f = 100 Hz und einer effektive Eingangsspannung von U e 1 V die für angelegte Sinus-, Dreieck- und Rechtecksignale in der Testspule induzierte Spannung mit dem Oszilloskop aufgezeichnet und anschließend diskutiert werden. Seite 5 von 17

5 BENÖTIGTE FORMELN E44 Messung zum Induktionsgesetz 4.2.5 Aufgabe 5 Schließlich wird als Eingangssignal die Rechteckspannung beibehalten und eine Frequenz von 1 khz, sowie eine effektive Eingangsspannung von U e 1 V an die äußere Spule angelegt. Während diese nun überbrückt (kurzgeschlossen) wird, sollen die Signalverläufe von Eingangsspannung und in der Testspule induzierter Spannung aufgezeichnet, diskutiert und erklärt werden. 4.3 Verwendete Geräte Digitales 2-Kanal Oszilloskop Frequenzgenerator für Sinus-, Dreieck- und Rechtecksignale mit regelbarer Spannung (Koaxial-) Kabel Äußere Spule, überbrückbar Innere (Induktions-) Spule, fixiert an Messleiste 5 Benötigte Formeln 5.1 Berechnung des Spulenwiderstands Der Spulenwiderstand R Sp und der Ohmsche Widerstand R sind in Reihe geschaltet, deshalb gilt nach dem Ohmschen Gesetz und Damit ergibt sich für den Quotient U e = ( R + R Sp ) I (7) U a U e = U a = RI. (8) R R + R Sp (9) und für den Spulenwiderstand ( ) Ue R Sp = R 1. (10) U a 5.2 Theoretischer Widerstand der Spule Für eine Zylinderspule mit n Windungen und einem Außendurchmesser r ergibt sich folgende Formel für die Länge des Drahtes L. ( L = n 2π r d ) (11) 2 Hierbei bezeichnet d den Durchmesser des Spulendrahtes. Die Differenz r d 2 rührt von dem Zusammenspiel von Außendurchmesser r und Drahtradius r Draht = 2 d, welcher sonst den tatsächliche Umfang einer Windung verfälscht. Der Widerstand eines Drahtes der Länge L mit Drahtquerschnittsfläche A Draht = πr 2 Draht ist wiederum gegeben durch R theo Sp L = ρ, (12) A Draht wobei ρ den spezifischen Widerstand des Draht-Materials bezeichnet. Seite 6 von 17

6 MESSWERTE E44 Messung zum Induktionsgesetz 5.3 Magnetfeld einer Zylinderspule Für das Magnetfeld einer Zylinderspule an einem Punkt im Abstand z von der Spulenmitte gilt H = n I 2l z + 2 l z l ( ) 2 2 ( r 2 + z + 2 l r 2 + z 2 l ) 2. (13) Hierbei bezeichnet I die Stromstärke im Spulendraht, n die Windungszahl der Spule, sowie l die Länge und r den Radius des Spulenzylinders. (13) ergibt sich dann mithilfe des Biot-Savartschen Gesetzes. Andererseits lässt sich die magnetische Feldstärke auch aus der Induzierten Spannung berechenen. Wenn A konstant ist ergibt sich aus (5) und (6) in 2.3 und damit 5.3.1 Berechnung der Flussdichte aus der Induktionsspannung U ind = ḂA (14) Ḃ = U ind A. (15) Da weiter die Ableitung der magnetischen Feldstärke für die Kreisfrequenz ω wegen (1) von der Form Ḣ(t) = n a I(t) = n a ωî cos(ωt) (16) l ist, ergibt sich mit (2) durch Integration für den Betrag B der magnetischen Flussdichte B 1 B = µ 0 U ωn i Aµ ind = U ind 0 ωn i A. (17) 6 Messwerte 6.1 Aufgabe 1 Messtabelle der Ein- und Ausgangsspannungen in Abhängigkeit von der Frequenz f. 6.2 Aufgabe 2 Frequenz [Hz] U e [V] U a [mv] 100 1,01 724 200 1,01 713 400 1,02 697 800 1,01 653 1600 1,01 524 3200 1,02 345 6400 1,01 183 12800 1,00 92,4 25600 1,01 52,7 51200 1,02 28,4 60000 1,00 23,5 Bei einer konstanten Eingangsspannung U e 996 mv und einer Frequenz f = 100 Hz ergeben sich folgende Messerte: Seite 7 von 17

7 AUSWERTUNG E44 Messung zum Induktionsgesetz z [cm] U ind [mv] z [cm] U ind [mv] 0 91,8 14 13,4 1 91,7 15 8,54 2 91,6 16 5,76 3 91,3 17 4,15 4 90,8 18 3,17 5 90,2 19 2,47 6 89,3 20 1,98 7 87,7 21 1,66 8 85,2 22 1,40 9 80,7 23 1,22 10 71,7 24 1,07 11 56,3 25 0,941 12 37,3 26 0,830 13 22,0 6.3 Aufgabe 3 Bei einer Eingangsspannung von U e f f e = 1, 00 V ergaben sich folgende Messwerte: Frequenz f [Hz] U ind [mv] 20 18,6 40 37,1 60 55,4 80 74,2 100 92,5 120 114 140 130 160 147 180 165 200 184 220 201 240 219 260 237 280 259 300 276 7 Auswertung 7.1 Aufgabe 1 Hier werden die Quotienten U e U a, das sogenannte Übertragungsverhalten, berechnet. Exemplarisch ergibt sich für den ersten Messwert V 1 := U(1) a U e (1) = 724 10 3 V 1, 01 V 0, 717. Seite 8 von 17

7 AUSWERTUNG E44 Messung zum Induktionsgesetz Frequenz [Hz] V 100 0,717 200 0,706 400 0,683 800 0,647 1600 0,519 3200 0,338 6400 0,181 12800 0,092 25600 0,052 51200 0,027 60000 0,024 Damit ergibt sich folgende grafische Aufbereitung der Messwerte: Abbildung 2: Grafische Aufbereitung des Übertragungsverhaltens (rot) und Annäherung für kleine Frequenzen (blau) Während sich für kleine Frequenzen (< 1000 Hz) das Übertragungsverhältnis nahezu konstant verhält, fällt es für große Frequenzen logarithmisch-linear (also exponentiell) ab. Durch Extrapolation mit einem (natürlichen) kubischen Spline (da keine an die Plot-Software zu übergebende Fit-Funktion gegeben wurde) gewinnen wir das Übertragungsverhalten bei f = 0 Ṽ. Es ergibt sich (vgl. obige Abbildung 2) Ṽ 0.71 Mit dem aus der Extrapolation gewonnenen Wert lässt sich nun mit Unterabschnitt 5.1 Benötigte Formeln (und R = 1 Ω) der Spulenwiderstand berechnen: ( ) ( ) Ue 1Ṽ R Sp = R 1 = R U 1 0, 408 Ω a Weiter ergibt sich folgender theoretischer Wert: Sei ρ = 1, 7 10 2 Ω mm2 m der spezifische Widerstand von Kupfer, so wie es in Elektrokabeln verwendet wird. Mit der Drahtlänge L = n a 2π (r 0, 5 mm) = 117 2π 24, 5 mm = 18, 0108 m (18) erhält man mit dem Drahtradius r draht = d 2 = 0, 5 mm und obig berechneter Drahtlänge nach (12) einen theoretischen Innenwiderstand von R theo Sp = ρ L πr 2 draht = 1, 7 10 2 Ω mm2 m 18, 0108 m π 0, 5 2 0, 390 Ω. mm2 Seite 9 von 17

7 AUSWERTUNG E44 Messung zum Induktionsgesetz 7.2 Aufgabe 2 Mithilfe des in (16) berechneten Innenwiderstands der äußeren Spule, dem fest verbauten in Reihe geschalteten Widerstand R = 1 Ω, der Permeabilitätskonstante µ 0, der Wicklungszahl n a, der Spulenlänge l, dem Spulenradius r, dem variablen Abstand z und den Formeln (2) und (13) erhält mit dem daraus resultierenden maximalen Strom für den Betrag B(z) der Flussdichte B(z) am Spulenende z = 2 l ( ) ( ) l 117 1 A l B = µ 0 2 2 l r 2 + l 2 Î = U a R = 1 V 1 Ω = 1 A (19) = 4π 10 7 117 1 2 (0, 025) 2 + (0, 233) 2 A Vs Am m 313, 7 µt Weiter folgt für die Messreihen aus Abschnitt 6 mit (17) exemplarisch für den 12. Messwert an der Stelle z = 11 cm, also kurz vor dem Spulenende B 11 = 56, 3 10 3 V 2π 100 1 256, 01 µt. s 1000 0, 00035 m2 Da das eigentliche Spulenende bei z = 11, 65 cm liegt ist dies kein schlechter Wert, denn die Flussdichte nimmt am Spulenende sehr deutlich ab, wie man am Wert für z = 12 cm sieht. Hier gilt bereits B 12 = 169, 61 µt (s.u.). Mit der gleichen Rechnung wie oben ergeben sich für die anderen Messungen folgende Flussdichten und man erhält somit folgendes Schaubild: z [cm] B [µt] z [cm] B [µt] 0 417,44 14 60,93 1 416,99 15 38,83 2 416,53 16 26,19 3 415,17 17 18,87 4 412,90 18 14,41 5 410,17 19 11,23 6 406,07 20 9,00 7 398,80 21 7,55 8 387,43 22 6,37 9 366,97 23 5,55 10 326,04 24 4,87 11 256,01 25 4,28 12 169,61 26 3,77 13 100,04 Seite 10 von 17

7 AUSWERTUNG E44 Messung zum Induktionsgesetz Abbildung 3: Verlauf der magnetischen Flussdichte 7.3 Aufgabe 3 Durch grafisches Abtragen der Messwerte erhält man die grafische Aufbereitung aus Abbildung 4. Es ist deutlich der lineare Zusammenhang zwischen Frequenz der Eingangsspan- Abbildung 4: Frequenzabhängigkeit der Induktionsspannung nung und der Induktionsspannung zu erkennen (gnuplot liefert hierbei für eine Fit-Funktion der Form f (x) = ax einen Wert a 0.91). Der Grund für den linearen Anstieg ist die für höher werdende Frequenzen gleichermaßen ansteigende Geschwindigkeit der Flussdichten- Änderung durch die innere Probespule, welche in direktem Zusammenhang mit der Induktionsspannung steht (U ind = n Φ). Seite 11 von 17

7 AUSWERTUNG E44 Messung zum Induktionsgesetz 7.4 Aufgabe 4 Unter den vorgegebenen Bedingungen (Ue e f f 1 V und f 100 Hz) ergeben sich folgende Schaubilder. Hierbei beschreibt der obere (gelbe) Graph die Eingangsspannung während der untere (blaue) Graph die Induktionsspannung graphisch darstellt. Abbildung 5: Sinus-förmiges Signal Abbildung 6: Dreiecksignal Abbildung 7: Rechtecksignal Die Graphen lassen sich aus dem Zusammenhang der Induktionsspannung und der Feld- Seite 12 von 17

7 AUSWERTUNG E44 Messung zum Induktionsgesetz stärke der Spule erklären. Nach Gleichung (13) aus Abschnitt 5 ist die Feldstärke H proportional zur Stromstärke. Also gilt nach (2) in Abschnitt 2 auch B H I, wobei I die Spannung an der äußeren Spule beschreibt. Wenn man einen Wechselstromkreis mit einer Spule und einem Ohmschen Widerstand betrachtet, ist die Stromstärke zur Spannung um π 2 phasenverschoben. Da die Spannungsübertragung zum Oszilloskop aber mit einem Koaxialkabel erfolgt, hebt sich diese Phasenverschiebung gerade wieder auf und es gilt I U e. Insgesamt erhält man also folgenden Zusammenhang: B U e Andererseits gilt für die Induktionsspannung mit Formel (5) und (6) aus 2.3: und damit mit (7?) U ind = ḂA U ind Ḃ U ind U e. (20) Dies bestätigen auch obige Schaubilder. Im ersten Fall, Abb. (5), hat das Eingangssignal Sinusform, also U e sin(ωt). Die Induktionsspannung lässt sich durch einen negativen Cosinus beschreiben. Dies entspricht genau der negativen Ableitung von U e, wie sie sich aus (20) ergibt. Beim Dreieckssignal, Abb. 6, ist die Induktionsspannung immer konstant negativ bzw. positiv solange die Spannung linear wächst bzw. fällt, also eine positive bzw. negative konstante Ableitung besitzt. Lediglich beim dem Rechtecksignal gibt es einen Abweichung von dem theoretischen Verhalten. Nach Formel (20) müsste das Signal konstant Null sein, da die Rechteckspannung stückweise konstant ist. In Abb. 7 sieht man aber einen Peak in der Induktionsspannung jeweils beim Vorzeichenwechsel der Rechteckspannung. Dies rührt von Selbstinduktion in der äußeren Spule her. Durch den plötzlichen Spannungsabfall bewirkt diese eine kurze Gegenspannung in der äußeren Spule. Dadurch wechselt die Polung nicht sofort, sondern etwas verzögert und kontinuierlich. Während dieser kurzen Umpolungsphase ändert sich das Magnetfeld ebenfalls kontinuierlich und erzeugt den kurzen Peak in der Induktionsspannung. Seite 13 von 17

8 FEHLERDISKUSSION UND FEHLERRECHNUNG E44 Messung zum Induktionsgesetz 7.5 Aufgabe 5 Schließt man nun die äußere Spule kurz und beobachtet die Ausgangsspannung U a am Oszilloskop, so ergeben sich bei einer Rechteckspannung folgende Graphen: Abbildung 8: Rechtecksignal unter Kurzschluss der Spule Dieses Ergebnis entspricht den Erwartungen eines nahezu von induktiven Widerständen freien Schaltkreises. Somit besteht der Schaltkreis aus lediglich ohmschen Widerständen, welche keine Phasenverschiebung verursachen; die Ein- und Ausgangskurven fallen zusammen. 8 Fehlerdiskussion und Fehlerrechnung 8.1 Qualitative Fehlerdiskussion Mögliche Fehlerquellen sind: 1. Der Frequenzregler der Spannungsquelle war trotz vorhandenem Feinregler recht unpräzise. 2. Der Spannungsregler der Spannungsquelle verhinderte ebenfalls eine präzise Einstellung der gewünschten Spannungswerte. 3. Durch die Verwendung von Koaxial-Kabeln, welche Bauart-bedingt eine Kapazität besitzen, traten ungewollte Oszillationen auf (vergleiche RLC-Schwingkreis). 4. Die nicht vorhandene Abschirmung des Experiments von äußeren Einflüssen bewirkt unter Umständen Messungenauigkeiten. 5. Durch Kabel, Stecker, Geräte usw. auftretende Verluste wurden bei den Messreihen nicht berücksichtigt. 6. Die Extrapolation in Aufgabe 1 ist ein numerisches Verfahren und kann somit weitere Fehler bei der Bestimmung des Innenwiderstandes der äußeren Spule produzieren. 8.2 Quantitative Fehlerrechnung 8.2.1 Fehlerfortpflanzung für Aufgabe 1 Der Spulenwiderstand wird durch Extrapolation aus folgender Formel berechnet: ( ) Ue R Sp = R 1 U a Seite 14 von 17

8 FEHLERDISKUSSION UND FEHLERRECHNUNG E44 Messung zum Induktionsgesetz Der Widerstand R ist nicht fehlerbehaftet, während wir für U e bzw. U a einen Fehler von U e bzw. U a annehmen. Damit erhält man für den Fehler des Spulenwiderstands ( ) ( ) R Sp = Ue R 1 U e + Ue U e U a R 1 U a = R U a U a U e + R U e U a. Mit den Fehlern U e = 0, 02 V und U a = 1 mv der beiden Spannugen und R = 1 Ω erhält man daraus für die verschiedenen Frequenzen folgende Fehler des Spulenwiderstands: U a Frequenz [Hz] U e [V] U a [mv] R Sp [Ω] 100 1,01 724 0,0296 200 1,01 713 0,0300 400 1,02 697 0,0308 800 1,01 653 0,0330 1600 1,01 524 0,0418 3200 1,02 345 0,0665 6400 1,01 183 0,1394 12800 1,00 92,4 0,3336 25600 1,01 52,7 0,7432 51200 1,02 28,4 1,9689 60000 1,00 23,5 2,6618 U 2 a Also einen mittleren Fehler von R Sp = 0, 5526 Ω. 8.2.2 Fehlerfortpflanzung für Aufgabe 2 Die magnetische Flussdichte berechnet sich mit Formel (17) aus Abschnitt 5. Damit ergibt sich mit einem Fehler ω = 2π f der Kreisfrequenz und einem Fehler U ind der Induktionsspannung folgender Fehler für die Feldstärke B = Û ind ω ωn i A ω + Û ind Û ind ωn i A U ind = Û ind ω 2 n i A ω + 1 ωn i A U ind. Damit ergeben sich, wenn man von Fehlern ω = 2π 3 Hz= 18, 85 1 s und Û ind = 0, 3 mv ausgeht, für die verschiedenen Messungen folgende Fehler für die Flussdichte. Dabei ist f =100 Hz und damit ω = 628, 3 1 s. z [cm] U ind [mv] B [µt] z [cm] U ind [mv] B [µt] 0 91,8 13,89 14 13,4 3,19 1 91,7 13,87 15 8,54 2,53 2 91,6 13,86 16 5,76 2,15 3 91,3 13,82 17 4,15 1,93 4 90,8 13,75 18 3,17 1,80 5 90,2 13,67 19 2,47 1,70 6 89,3 13,54 20 1,98 1,63 7 87,7 13,33 21 1,66 1,59 8 85,2 12,99 22 1,40 1,56 9 80,7 12,37 23 1,22 1,53 10 71,7 11,15 24 1,07 1,51 11 56,3 9,05 25 0,941 1,493 12 37,3 6,45 26 0,830 1,477 13 22,0 4,37 Seite 15 von 17

9 ZUSAMMENFASSUNG E44 Messung zum Induktionsgesetz 9 Zusammenfassung Zusammenfassend ergibt sich ein ohmscher Innenwiderstand der Spule von 0, 408 ± 0, 553 Ω. Der berechnete Fehler ist hier groß, trotzdem kommt das Ergebnis dem theoretisch berechneten Wert von 0, 390 Ω sehr nahe. Auch die Bestimmung der Flussdichte ergibt ein realistisches Bild. Im Spuleninneren ist das Feld nahezu homogen, die Flussdichte ändert sich also kaum, während sie am Spulenende sehr stark abnimmt. In weiter Entfernung von der äußeren Spule ist die Veränderung wieder sehr gering, da sich hier das Magnetfeld kaum noch bemerkbar macht. Auch die theoretische Fehlerberechnung ergibt für kleine z einen kleinen relativen Fehler δ rel, z. B. für z=0 B = 417, 44 µt, B = 13, 89 µt δ rel = 13, 89 = 0, 033 = 3, 3 %. 417, 44 Wenn die innere Spule aber weiter von der äußeren entfernt ist, verschlechtert sich der relative Fehler stark. Dies kann aber auch nicht anders erwartet werden, da der Einfluss der Spule kleiner wird und deshalb die Messwerte immer störungsanfälliger werden. Besonders schön war die Beobachtung der Induktionsspannung bei verschiedener Form des Eingangssignals. Hier konnte man sehr gut die Proportionalität zwischen der negativen Ableitung der Flussdichte und der Induktionsspannung erkennen. Seite 16 von 17

10 Literatur E44 Messung zum Induktionsgesetz 10 Literatur [1] Demtröder, Wolfgang.: Experimentalphysik 2 - Elektrizität und Optik V. Auflage. Springer, Berlin 2008 [2] Versuchsanleitung vom 28.04.2014 www3.physik.uni-stuttgart.de/studium/praktika/ap/pdf_dateien/e44.pdf [3] Uni Stuttgart vom 28.04.2014 http://www3.physik.uni-stuttgart.de/studium/praktika/ap/bilder/?name=e44. jpg Seite 17 von 17