1 Lösungsvorschläge zu der Zinsaufgaben 33 37 (bzw. 6 10): 33) (bzw. 6) ) p = 7(%), K 0 = 0, 100(Euro) werden am Ersten des Monats eingezahlt, also vorschüssige Zahlung. I) monatliche Zinsgutschrift: m = 12, q m = q 12 = 1.0058, R = 100 ( ) 7 1 + 12 100 a) Wie groß muss n sein, damit K n > 15000 =: G ist? Nach Formel (6.19) mit > statt gilt: n > ln(g + R q m 100 m/p) ln(k 0 + R q m 100 m/p) ln q m ln(15000 + 100 1.0058 100 12/7) ln(0 + 100 1.0058 100 12/7) = = 108.2 ln 1.0058 109 Monate = 9 Jahre und 1 Monat Alternativ zu der Benutzung der Formel (6.19) kann man die Grenze für n auch direkt über die Grundformel (6.16) bestimmen, wobei ln 1.0058 > 0 und ln x streng benutzt wird: q K n = Rq m 1 n m = 100 1! q 1.00581.0058n m 1 > 15000 0.0058 1.0058 n >! 0.0058 150 + 1 = 1.870 1.0058 n >! ln 1.870 ln 1.0058 = 108.2 b) 7 Jahre = 84 Monate, d.h. n = 84. Nach Formel (6.17) gilt: R = (K n K 0 q n m) q m 1 q m (q n m 1) = (10000 0) 0.0058 1.0058 (1.0058 84 1) Alternativ zu der Benutzung der Formel (6.17) kann R auch direkt über die Grundformel (6.16) bestimmen: K 84 = R 1.0058 1.005884 1 0.0058! = 10000 = = 92.20 (Euro)
2 II) jährliche Zinsgutschrift: R = 10000/108.460 = 92.20 (Euro) a) n Jahre, r = 100 monatliche Einzahlung, m = 1, l = 12, q m = q 1 = 1.07 Nach Formel (6.20) gilt: K n = K 0 q n m + r = 0 + 100 ( 12 + ( l + ) (l + 1) p 200 m ) (12 + 1) 7 200 1 qn m 1 q m 1 1.07n 1 0.07 ( = 100 12 + 0.065 7 ) 1.07n 1 = 17792.86 (1.07 n 1) >! 15000 1 0.07 1.07 n >! 15000 + 1 = 1.843 n ln1.07 > ln 1.843 n > 9.04 17792.86 Dabei wurde benutzt, dass ln streng monoton wachsend ist und dass ln 1.07 > 0 ist. Es dauert also 10 Jahre, wenn man nach dem Ende des 9. Jahres, bei dem das Guthaben von 15000 Euro noch nicht überschritten ist, ein volles Jahr weiter einzahlt. Genauere Rechnung: K 9 = 100 (12 + 0.065 7) 1.079 1 0.07 = 14918.58 Euro Dies ist das Guthaben am Ende des 9. Jahres, d.h. am 31.12.2010. Mit der Einzahlung am 02.01.2011 wird der Betrag von Euro 15000 überschritten, also praktisch nach 9 Jahren. b) 7 Jahre K 7 = r (12 + 0.065 7) 1.077 1 0.07 r = 10000/107.782 = 92.78 Euro! = 10000 34) (bzw. 7) ) Bei dieser Aufgabe erfolgen alle Einzahlungen (Auszahlungen = negative Einzahlungen) vorschüssig am Anfang jeder Zinsgutschriftsperiode, und zwar jährlich, d.h. m = 1.
3 a)k 0 = 0, R = 3000, p = 5, q = 1.05. Die Anwendung der Formel (6.9), also ergibt: K n = K 0 q n + R q qn 1 q 1 K 30 = 0 + 3000 1.05 1.0530 1 = 209282.36 0.05 b) Nach dem Ende des 30. Jahres beginnt die Rentenzahlung mit der Auszahlungsrate von 15000 Euro, die jeweils am Jahresanfang gezahlt wird, über 20 Jahre. Wir rechnen also mir der Rate R = 15000. Nach 20 Jahren soll das angesparte Vermögen aufgebraucht sein. Der Barwert der Rente ist genau gleich dem angesparten Vermögen, also K 0 = K 30. c) p und damit q sind zunächst unbekannt und müssten aus den bisherigen Daten bestimmt werden. Nach Formel (6.18) für den Barwert gilt: K 30 = 209282.36 = K 0 = q m n+1 ( R) qn 1 q 1 = q 19 15000 q20 1 q 1 Um q zu bestimmen müssten wir ein Polynom 20-ten Grades auflösen, was in der Regel nicht explizit möglich ist. Es ist aber gar nicht verlangt, q zu bestimmen, sondern es nur gefragt, ob p über 5% liegt, d.h. ob q über dem Wert 1.05 liegt. Wenn nun q = 1.05 wäre, würden wir den Barwert K 0 = 1.05 19 15000 1.0520 1 0.05 = 196279.81 erhalten. Für die Rentenzahlung ist aber nach Teil b) ein höherer Barwert erforderlich. Also ist der tatsächlich gewährte Zinssatz für den Anleger ungünstiger, also kleiner als 5%. Diese (für die Lösung des Aufgabenteils ausreichende) verballogische Argumentation lässt sich zusätzlich mathematisch absichern: Wir untersuchen K 0 in Abhängigkeit von q, oder besser von := q 1, und benutzen dazu die
4 Formel über die endliche geometrische Reihe auf S.41 : K 0 = ( R) q n+1 qn 1 q 1 n 1 n+1 = ( R) q q k = ( R) n 1 q k n+1 = ( R) n 1 n k 1 Da ( R) hier > 0, der letzte Summand konstant, n k 1 n (n 2) 1 = 1 > 0 und n k 2 n (n 2) 2 = 0 ist, gilt d d K 0 ( ) = ( R) n 2 (n k 1) n k 2 > 0, d.h. K0 ( ) ist streng monoton wachsend auf (0, ). Wird der Zinssatz größer und damit ρ kleiner, so wird der Barwert kleiner. p = 5% ergibt K 0 = 15000 1.0520 1 1.05 19 0.05 = 196279.81 < K 30 Der wahre Zinssatz, bei dem K 0 = K 30 ist, ist also kleiner als 5%. 35) (bzw. 8) ) i) Bei monatlicher Zinsgutschrift kann man vollständig mit Monaten (wobei die Monate von 2009 mit eingeschlossen sind) statt mit Jahren als Zeitabschnitte rechnen: ( ) 6 Zinsfaktor: q 12 := 1 + = 1.005, Zahl der Monate: 10 12 = 120. 100 12 Es wird am Anfang des Monats eingezahlt, also vorschüssige Zahlung. Endkapital: R q 12 q120 1 q 12 1 = 150 1.005 1.005120 1 0.005 = 24704.81. ii) Es werden auch die Zinsen für die Teilabschnitte berechnet, aber nicht am Ende des Monats, sondern erst am Ende des Jahres gutgeschrieben.
5 Da es sich um vorschüssige Zahlungen handelt, ist wie in Aufgabe 36 II) die Formel (6.13) anzuwenden, und daher erhalten wir als Endkapital mit dem (Jahres )Zinsfaktor q := 1 + 6/100: r (12 + 0.065p) q10 1 q 1 = 150 (12 + 0.065 1 6)1.0610 = 24496.51. 0.06 36) (bzw. 9) ) S = 5000, 5%, q = 1.05 a) Feste Tilgungsrate: Restschuld Tilgung Zinsen Zahlung 1.1.04 5000 0 0 0 1.1.05 4000 1000 5000 0.05 = 250 1250 1.1.06 3000 1000 4000 0.05 = 200 1200 1.1.07 2000 1000 3000 0.05 = 150 1150 1.1.08 1000 1000 2000 0.05 = 100 1100 1.1.09 0 1000 1000 0.05 = 50 1050 5000 750 5750 b) Feste Zahlungsrate A=1250: Zahlung Zinsen Tilgung Restschuld 1.1.04 0 0 0 5000 1.1.05 1250 5000 0.05 = 250 1250-250=1000 5000-1000 =4000 1.1.06 1250 4000 0.05 = 200 1250-200=1050 4000-1050=2950 1.1.07 1250 2950 0.05 = 147.5 1250-147.5=1102.50 2950-1102.50 =1847.50 1.1.08 1250 1847.50 0.05 1250-92.38= 1157.62 1847.50-1157.62 1.1.09 689.88 +34.49 =92.38 =689.88 =724.37 689.88 0.05 = 34.49 689.88 0 5724.37 724.37 5000
6 37) (bzw. 10) ) S = 100000, m = 4, p = 10, vierteljährlicher Zinsfaktor: q 4 = 1 + 10 4 100 = 1.025, Laufzeit: N = 4 30 = 120 (Quartale) A = S q N 4 q 4 1 q N 4 1 = 100000 1.025 120 0.025 1.025 120 1 = 2636.18(Euro) Tilgung am Ende des ersten Jahres, d.h. des vierten Quartals? Schuld am Ende des 3. Quartals: Zinsen: S 3 0.025 = 2489.53 S 3 = S q 3 4 A q3 4 1 q 4 1 = 99581.16 Tilgung am Ende des ersten Jahres: 2636.18 2489.53 = 146.65 Tilgung am Ende des letzten Jahres? Zinsen: S 119 0.025 = 64.28 S 119 = S q4 119 A q119 4 1 q 4 1 = 2571.38 Tilgung am Ende des letzten Jahres: 2636.18 64.28 = 2571.90