Mathematik für Wirtschaftsinformatiker

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1 UNIVERSITÄT SIEGEN Prof. Dr. Alfred Müller 12. Februar 2009 Klausuraufgaben Mathematik für Wirtschaftsinformatiker Beachten Sie folgende Hinweise: (1) Überprüfen Sie Ihr Exemplar auf Vollständigkeit! Die Klausur besteht aus 6 Aufgaben und 18 Seiten. Das letzte Blatt ist Konzeptpapier und darf herausgetrennt werden. Der Inhalt dieser Seite wird nicht gewertet. Abgesehen davon darf die Klausur nicht auseinandergenommen werden! (2) Tragen Sie die Lösungen und den Rechenweg, soweit verlangt, direkt bei den Aufgaben ein. Benützen Sie falls nötig die am Ende eingefügten leeren Seiten für weitere Nebenrechnungen. (3) Es werden nur Ergebnisse mit nachvollziehbarem Lösungsweg gewertet! (4) Erlaubte Hilfsmittel: - 4 handgeschriebene Seiten DIN A4 einseitig oder 2 handgeschriebene Blätter DIN A4 zweiseitig mit eigenen Notizen, - ein nicht-graphikfähiger Taschenrechner. Maximal zu erreichende Punktzahl: 60 Erreichte Punktzahl: 60 Zur Benotung: Als 100% galten 50 Punkte; 23 Punkte genügten zum Bestehen. Aufgabe Mögliche Punkte Erreichte Punkte

2 Aufgabe 1 ( Punkte). Kreuzen Sie an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Richtige Antwort: 2 Pluspunkte; falsche Antwort: 2 Minuspunkte; keine Antwort: 0 Punkte. Ist die Gesamtpunktzahl negativ, wird die Aufgabe mit 0 Punkten bewertet. Aussage wahr falsch Jedes Polynom 2-ten Grades hat eine Extremstelle. X Jede differenzierbare Funktion f : R + R ist stetig. X Jede monoton wachsende Funktion f : R R + hat eine Nullstelle. Für jede reelle Zahl x gilt X X n=1 x n = 1 1 x. Es gilt die Gleichung k 2 = 5 n. k=3 n=1 X Es wird nur das Ergebnis gewertet! Zu 1: Dass die Behauptung wahr ist, ist an der Scheitelgleichungsformel abzulesen bzw. lässt sich damit begründen, dass die Ableitung (ein Polynom ersten Grades) eine Nullstelle besitzt. Kanonischerweise ist R sowohl als Definitionsmenge als auch als Bildbereich zu verstehen. Zu 2: Die Behauptung ist wahr, denn der Differentialquotient (die Ableitung) existiert nur, falls beim Grenzübergang von h mit dem Nenner des Differenzenquotienten auch der Zähler gegen 0 konvergiert; das ist die Stetigkeit der Funktion. Zu 3: Die Behauptung ist falsch und zwar schlechthin, weil 0 im Bildbereich R + von f nicht enthalten ist. Speziell kann man die e-funktion betrachten und hat auch dann die Behauptung einzusehen. Zu 4: Die Behauptung ist falsch, weil für reelle x die Konvergenz nur für x mit 1 < x < 1 vorliegt. Im Besonderen erfolgt die Summation von 1 ab, statt von 0. Zu 5: Diese Behauptung ist wahr, denn die Formel ist korrekt: Der Laufindex kann umbenannt werden und ist auch korrekt geshiftet worden. 2

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4 Aufgabe 2 (3 + 5 Punkte). Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n N gilt: n 2 k = 2 (2 n 1). k=1 Hinweis: Gliedern Sie explizit nach Induktionsanfang und Induktionsschritt. Markieren Sie jede Verwendung der Induktionshypothese. Beweis: Induktionsanfang: (n = 1) l.s.: 1 k=1 2k = 2 1 = 2 r.s.: 2 (2 1 1) = 2 also: l.s. = r.s. Alternativ: 1 k=1 2k = 2 1 = 2 = 2 (2 1 1) (w) Induktionshypothese: Die behauptete Gleichung gilt für ein n N n 2 k = 2 (2 n 1). k=1 Unter Verwendung der Induktionshypothese ist im Induktionsschritt die behauptete Gleichung für dessen Nachfolger zu zeigen. Induktionsschritt: (n n + 1) n+1 2 k = 2 n+1 + n k=1 k=1 2 k IH = 2 n (2 n 1) = 2 n n+1 2 = (1 + 1) 2 n+1 2 = 2 2 n = 2 (2 n+1 1) q.e.d. 4

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6 Aufgabe 3 ( Punkte). Sie wollen Euro für 10 Jahre anlegen, und haben die Auswahl zwischen den beiden folgenden Angeboten: Angebot A: Ihre Hausbank bietet Ihnen einen 10-jährigen Sparbrief an, bei dem das Guthaben in den ersten 4 Jahren jeweils mit 2 % und in den letzten 6 Jahren jeweils mit 4 % verzinst wird. Angebot B: Eine Online-Bank garantiert Ihnen bei beliebiger Laufzeit eine jährliche Verzinsung von 3.5 %. (a) Berechnen Sie für beide Angebote Ihren Kapitalstand K in Euro nach Ablauf der 10 Jahre. Kapitalstand K in Euro bei Angebot A: Kapitalstand K in Euro bei Angebot B: (b) Welcher konstante Zinssatz p liefert nach 5 Jahren den Kapitalstand von Euro? Zinssatz p: = 8.4% (c) Wieviele Jahre n müssen Sie bei der Online-Bank Ihr Geld mindestens anlegen, um einen Kapitalstand von Euro zu überschreiten? Anlagedauer (in Jahren) n: 21 (mindestens) Rechnungen: Zu a): K A (10) = ( ) 4 ( ) K B (10) = ( )

7 Zu b): K p (5) = (1 + p) 5! = p = (1.5) 1/ Zu c): K B (n) = ( ) n! n ln(2) ln(1.035) (20, 21] N 0. 7

8 Aufgabe 4 ( Punkte). Gegeben sei die Funktion f : R R mit f(x) = e x + x. (a) Begründen Sie die Behauptung: Im Intervall [ 1, 0] liegt eine Nullstelle von f. Es gibt ein x [ 1, 0] mit f(x) = 0 nach dem Zwischenwertsatz, weil f stetig, f( 1) = e 1 + ( 1) negativ und f(0) = e = 1 positiv ist. (b) Berechnen Sie eine verbesserte Näherung [x l, x r ] [ 1, 0] für diese Nullstelle. Führen Sie dazu einen Schritt des Regula-falsi-Verfahrens durch. x l = x r = 0 (c) Bestimmen Sie den Funktionsausdruck S(x) der Sekante S : R R, die den Graphen G f in den beiden Punkten ( 1, f( 1)), (0, f(0)) schneidet. S(x) = (2 e 1 )x + 1 (d) Bestimmen Sie den Funktionsausdruck T (x) einer Tangente T : R R an G f Steigung 2. mit T (x) = 2x + 1 Rechnungen: Zu a): Es gibt ein x [ 1, 0] mit f(x) = 0 nach dem Zwischenwertsatz (ZWS), weil f stetig, f( 1) = e 1 + ( 1) negativ und f(0) = e = 1 positiv ist. Zu b): Sei also x 1 = 1 und x 2 = 0. Dann ist x 3 nach der Iterationsformel des Regula-falsi- Verfahrens folgendermaßen zu berechnen x 3 = x 2 x 2 x 1 f(x f(x 2 ) f(x 1 ) 2) x 3 = x 1f(x 2 ) f(x 1 )x 2 f(x 2 ) f(x 1 ) = 0 0 ( 1) f(0) f( 1) f(0) = ( 1)f(0) f( 1)(0) f(0) f( 1) (e 0 +0) 0 (e 0 +0) (e 1 +( 1)) 1 = (e 0 +0) (e 1 +( 1)) (e0 + 0) = = 1 = 1 2 e 1 2 e 1 = =

9 und damit weiter f(x 3 ) = e x 3 + x 3 = e 1 2 e e 1 = < 0. Demnach ist x 1 = 1 zu ersetzen durch x 3 = ; es gilt x l := x 3 und x r := x 2. Zu c): Es ist ( 1, f( 1)) = ( 1, e 1 1) und (0, f(0)) = (0, 1). Die Zweipunkteformel für Geraden liefert für die Sekante S den Funktionsausdruck Zu d): Es ist f (x)! = 2 nach x aufzulösen. f(0) f( 1) S(x) = (x 0) + f(0) 0 ( 1) = 1 (e 1 1) x = (2 e 1 )x + 1. f (x) = e x + 1 = 2 gdw. e x = 1 gdw. x = 0 Die Einpunkteformel für Geraden liefert für die Tangente T den Funktionsausdruck f T (x) = 2(x 0) + f(0) = 2x

10 Aufgabe 5 ( Punkte). Gegeben sei die Funktion f : R + 0 R mit f(x) = ln (e x + x) (a) Berechnen Sie die ersten beiden Ableitungen der Funktion f. f (x) = ex +1 e x +x f (x) = xex 2e x 1 (e x +x) 2 (b) Was folgt aus (a) über stationäre Punkte und Monotonieverhalten von f? Stationäre Punkte: keine Monotonieverhalten: streng monoton wachsend (c) Bestimmen Sie die Wertemenge W f = f(r + 0 ) der Funktion. W f = [42, ) Rechnungen: Zu a): f(x) = ln (e x + x) + 42 f (x) = 1 e x + x (ex + 1) + 0 = ex + 1 e x + x f (x) = (ex + x)(e x ) (e x + 1)(e x + 1) (e x + x) 2 = e2x + xe x e 2x 2e x 1 (e x + x) 2 = xex 2e x 1 (e x + x) 2 [Es sind f, f und f stetig (auf D f ) und differenzierbar (auf D f \ {0}).] Zu b): Es ist e x + 1, e x + x > 0 und damit auch f (x) positiv für jedes x R + ; der Fall x = 0 ist hier 10

11 irrelevant. Also wächst f auf ganz D f streng monoton und besitzt keine stationären Punkte (keine lokalen Extrema). Zu c): Es ist W f = [42, ). Denn zunächst gilt: lim f(x) = x 0 ln(e0 + 0) + 42 = ln(1) + 42 = = 42 lim f(x) = lim ln(x) + 42 = + 42 =. x x und Weil f stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz für jedes y [42, ) ein x [0, ) mit f(x) = y; also ist [42, ) W f ; wegen der Monotonie von f und [0, ) = R + 0 = D f gilt also die Gleichheit. 11

12 Aufgabe 6 ( Punkte). Bestimmen Sie die folgenden vier Grenzwerte: ln(x) + x (a) lim x x 2 + 1, 2x x (c) lim x 0 x x 3 1 (b) lim x 1 x 1, e x, (d) lim x 4. x lim x ln(x)+x x 2 +1 = 0 lim x 1 x 3 1 x 1 = 3 lim x 0 2x x x = lim x e x 4 x = 0 Rechnungen: Zu a): mit L H: ln(x) + x lim x x = lim x x 2x = 0 Zu b): mit L H: 0 0 x 3 1 lim x 1 x 1 = lim 3x 2 x 1 1 = 3 alternativ: mit geometrischer Summenformel Zu c): mit Kürzen und ( 2 1) positiv x 3 1 lim x 1 x 1 = lim x 1 (x2 + x + 1) = 3 lim x 0 Zu d): mit 1 < e 4 < 1 2x x alternativ: mit (ln(4) 1) > 0 x x( 2 1) = lim x 0 x = lim x 0 e x ( e ) x lim x 4 = lim = 0 x x x = + e x lim x 4 = lim x x e(1 ln(4))x = lim e (ln(4) 1)x = 0 x 12

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14 Weitere Nebenrechnungen: (Geben Sie eindeutig an, auf welche Aufgaben sich die Nebenrechnungen beziehen, und geben Sie bei den entsprechenden Aufgaben einen Hinweis auf die weiteren Nebenrechnungen hier!) 14

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17 Konzeptpapier, das nicht gewertet werden soll: 17

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