Seminar Finanzmathematik Simulationen zur Black-Scholes Formel von Christian Schmitz
Übersicht Zufallszahlen am Computer Optionspreis als Erwartungswert Aktienkurse simulieren Black-Scholes Formel Theorie Black-Scholes Formel diskret Exotische Optionen
Zufallszahlen am Computer
Gleichverteilte Zufallszahlen Funktion rnd Benutzt einen Algorithmus mit Startwert Für gleichen Startwert immer gleiche Zahlenfolge Relativ zufällig mit aktueller Zeit als Startwert
Weitere Verteilungen Mittels eines Algorithmus, lässt sich die Gleichverteilung umformen in: Quadratische Verteilung Normalverteilung Exponentialverteilung
Quadratische Verteilung Function RandomSquared() As double dim d as double Generiert aus Gleichverteilung mittels Algorithmus die quadratische Verteilung d=rnd*rnd if rnd<0.5 then Return d else Return -d end if End Function
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Normalverteilung Generiert aus Gleichverteilung mittels Algorithmus die Normalverteilung Bei 1000000 Aufrufen ca. 68% der Werte betragsmäßig 1. Werte bis ca. 8,45 am Computer mit double. Function RandomNormal() As double dim w,z,v1,v2 as Double do V1 = 2.0 * rnd - 1.0 V2 = 2.0 * rnd - 1.0 w = v1 * v1 + v2 * v2 loop until w < 1.0 z = V1 * sqrt(-2.0 * log(w) / w) Return z End Function
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Random Walk Startwert 0 in vielen Durchläufen wird aktueller Wert um ein kleines Delta verändert Veränderung mit ±1 oder Normalverteilung Ergebnis mit Wurzel von n skaliert (n = Anzahl der Durchläufe)
RandomWalk mit ±1 n Durchgänge jedesmal v ± 1 je nach Zufall Ergebnis skaliert mit Wurzel von r Liefert Zahl zwischen -sqrt(n) und +sqrt(n) Ergebnis annähernd Brownsche Bewegung Function RandomWalk (n as integer) As double dim i as integer dim v as integer v=0 for i=1 to n if rnd<0.5 then v=v+1 else v=v-1 end if next Return v/sqrt(n) End Function
Random Walk ±1, Anzeige skaliert von -7 bis 7
Demo
Optionspreis als Erwartungswert
Optionsarten Call und Put Optionen Europäische und amerikanische Optionen Wert der Europäischen Call Option als Erwartungswert im Martingalmaß beim Einlösen der Option.
Call Optionswert als Erwartungswert Start mögliche Aktienkurse Aktie gestiegen, Option im Geld Aktie gefallen, Option wertlos
Optionspreis als Erwartungswert Aktienkurs wird berechnet mit Brownscher Bewegung oder Normalverteilung. Wert der Option als Differenz zwischen Aktienpreis und Basispreis Durchschnitt der Preise ergeben abgezinst den Optionspreis.
Optionspreis als Erwartungswert
Durchläufe Optionswert 10 3 3,512381
Durchläufe Optionswert 10 3 3,512381 10 4 3,436795
Durchläufe Optionswert 10 3 3,512381 10 4 3,436795 10 5 3,456048
Durchläufe Optionswert 10 3 3,512381 10 4 3,436795 10 5 3,456048 10 6 3,455998
Durchläufe Optionswert 10 3 3,512381 10 4 3,436795 10 5 3,456048 10 6 3,455998 10 7 3,451847 Theoretisch: 3,452005
Demo
Aktienkurse simulieren
Aktienkurse simulieren 2 Möglichkeiten: Normalverteile Sprünge Random Walk Wir simulieren Aktienkurse für 1 Jahr. T = 1 Jahr für alle Rechnungen
Aktienkurs mit Normalverteilung µ = Drift dieser Aktie, σ = Volatilität dieser Aktie
Aktienkurs mit Brownscher Bewegung µ = Drift dieser Aktie, σ = Volatilität dieser Aktie W t = Brownsche Bewegung
Genauigkeit Diskretisierung bringt einen Verlust an Genauigkeit kleinere t für bessere Simulation Kleine Rundungsfehler des Computers summieren sich.
Aktienkurs mit Normalverteilung n=2000
Aktienkurs mit Random Walk n=2000
Aktienkurs mit Normalverteilung n=20
Aktienkurs mit Random Walk n=20
Demo
Black-Scholes Formel theoretische Handelsstrategie
Black-Scholes Formel Formel zur Bestimmung des Optionswertes im arbitragefreien Markt Selbstfinanzierende Handelsstrategie für ein Portfolio Wert der Option ist der Wert des Portfolios
Black-Scholes Formel Portofolio enthält Aktien und Geld Geld wird geliehen um Aktien zu kaufen. Berechnung, wie viel Geld geliehen wird und wie viele Aktien erworben werden.
Black-Scholes Formel Am Anfang der Laufzeit: keine Aktien keine Schulden Geldbetrag = Verkaufserlös der Option
Black-Scholes Formel Kontinuierlicher Handel: Berechnung des neuen Anteils an Aktien und an Schulden. Änderung des Aktienbestandes Neuer Schuldenstand durch neuen Aktienanteil und Änderung Aktienkurs Neuer Portfoliowert = Optionswert zu diesem Zeitpunkt
Black-Scholes Formel Am Ende der Laufzeit: Verkauf der Aktien Tilgung der Schulden Rest ist Optionswert
Black-Scholes Formel
Black-Scholes Formel Vereinfachung von b durch Abhängigkeit von a.
Black-Scholes Formel an=log(s/k)+(r+sigma*sigma/2.0)*(tt-t) at=sigma*sqrt(tt-t) a=an/at b=a-sigma*sqrt(tt-t) FA=Math.NormalVerteilung(a) FB=Math.NormalVerteilung(b) Optionspreis=S*FA-K*exp(-r*(TT-t))*FB
Optionspreis im Laufe der Zeit Preis der Option als Kurve in Abhängigkeit zur Zeit und zum Aktienpreis Konvergiert im Laufe der Zeit Am Ende 2 Halbgeraden: 0, wenn die Option aus dem Geld ist. Optionswert, wenn die Option im Geld ist.
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Demo
Black-Scholes Formel diskrete Handelsstrategie als Näherung
Handelsstrategie Selbstfinanzierung Berechnung des Aktienanteiles und Geldanteiles am Portfolio mittels Black- Scholes Formel. Am Ende genügend Geld im Portfolio um Option auszuzahlen
Handelsstrategie Endliche Auflösung von T in diskrete Abstände In der Simulation ist Δt konstant, in der realen Welt nicht. Differenz zwischen theoretischem Optionswert und erreichtem Portfoliowert Genauigkeit abhängig vom Δt
Handelsstrategie B t = Schuldenstand, F(a) = Aktienanteil
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Exotische Optionen
Look Back Option Auszahlung ist die Differenz zwischen höchstem Aktienkurs während der Laufzeit und Aktienkurs am Ende. Insbesondere ist die Auszahlung 0, wenn der höchste Aktienkurs am Ende erreicht wird.
Durchläufe Optionswert 10 2 19,80659
Durchläufe Optionswert 10 2 19,80659 10 3 16,05150
Durchläufe Optionswert 10 2 19,80659 10 3 16,05150 10 4 15,34104
Durchläufe Optionswert 10 2 19,80659 10 3 16,05150 10 4 15,34104 10 5 15,65736
Durchläufe Optionswert 10 2 19,80659 10 3 16,05150 10 4 15,34104 10 5 15,65736 10 6 15,59054 Theoretisch:?
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Welche Option ist das?
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Cash or Nothing Option Auszahlung 0, wenn Aktienpreis unter Basispreis Auszahlung 1, wenn Aktienpreis über Basispreis Grenzfall je nach Option (Irrelevant für den Preis vorher)
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Q & A
Ende Quellen: Tools for Computational Finance, Second Edition, Rüdiger Seydel