Der pn-übergang im Gleichgewicht: Potenziale und Bandstruktur

Kapitel 6 Der pn-übergang im Gleichgewicht: Potenziale und Bandstruktur 6.1 Allgemeine Formulierung Ein pn-übergang besteht aus einer p-dotierten und einer n-dotierten Halbleiterschicht, die aneinander grenzen. Beide Dotierungen sind etwa gleich stark. Es folgt eine Beschreibung im Detail. 6.1.1 Die isolierten Halbleiter Wir nehmen an, dass der Wirtshalbleiter auf beiden Seiten der Gleiche ist. Weiterhin setzen wir für die isolierten Halbleiter die folgenden Energie-Diagramme voraus: Abbildung 6.1: Energiediagramm der isolierten Halbleiter. Die Lage der Bandkanten E V und E L sei unabhängig von der Dotierung. Sie wird vom Vakuumniveau aus gemessen. Das Vakuumniveau ist die Energie eines ruhenden Elektrons im feldfreien Raum, d. h. weit außerhalb des Festkörpers. Schaltungstechnisch gesehen kann das Vakuumniveau mit der Erde identifiziert werden. Der Energieunterschied zwischen Vakuumniveau und Leitungsbandkante ist die Elektronen- 1

2KAPITEL 6. DER PN-ÜBERGANG IM GLEICHGEWICHT: POTENZIALE UND BANDSTRUKTUR Affinität des Halbleiters. Das chemische Potenzial im n-dotierten Teil µ n ist höher als dasjenige im p- dotierten Teil µ p. Es lässt sich daher ein sogenanntes built-in Potenzial ev bi mit definieren. ev bi = µ n µ p > 0 (6.1)

6.1. ALLGEMEINE FORMULIERUNG 3 6.1.2 Der Kontakt Bei Kontakt wandern zum Ausgleich der chemischen Potenziale Elektronen vom n-bereich in den p- Bereich. Dort rekombinieren sie mit den vorhandenen Löchern. Es entsteht eine Raumladungsschicht ρ(x), die im Wesentlichen auf der n-seite aus zurückgebliebenen positiven Donatorionen und auf der p-seite aus negativen Akzeptorionen besteht. Die Raumladungszone wird auch Verarmungszone genannt, denn auf der n-seite fehlen durch den Elektronenwanderungsprozess die Elektronen und auf der p-seite die Löcher als freie Ladungsträger. Abbildung 6.2: Verarmungsschicht in einem pn-übergang. Die Raumladung erzeugt ein Coulombpotenzial V(x), das durch die Poisson-Gleichung beschrieben wird 2 V(x) = 1 ρ(x). (6.2) x 2 ɛ 0 ɛ Die Raumladungsschicht befindet sich zwischen x p auf der p-seite und x n auf der n-seite. Für x x n und x x p verschwinde die Raumladungsdichte und nach Gl. (6.2) ist das elektrostatische Potenzial dort krümmungsfrei und damit konstant. Wir setzen voraus, dass die p-seite geerdet ist und wählen daher die Randbedingung V(x x p ) = 0 = Ψ(x x p ), (6.3) d. h. der p-dotierte Halbleiter bleibt in seinem Inneren wegen seiner Erdung bei Kontakt unverändert. Die Energie pro Elektron im elektrostatischen Potenzial ist Ψ = ev(x), mit der Elementarladung e, sodass mit Gl. (6.2) 2 Ψ(x) = e ρ(x). (6.4) x 2 ɛ 0 ɛ

4KAPITEL 6. DER PN-ÜBERGANG IM GLEICHGEWICHT: POTENZIALE UND BANDSTRUKTUR Wir werden zeigen, dass im Gleichgewicht eine zweite Randbedingung Ψ(x x n ) = ev bi, (6.5) gelten muss d. h. die Absenkung der elektrostatischen Energie auf der n-seite gleicht das dortige höhere chemische Potenzial im kontaktfreien Fall (s. Gl. (6.1)) aus. Die beiden Randbedingungen Ψ(x x n ) = 0 und Ψ(x x p ) = ev bi sowie die Poissongleichung (6.4) legen bei gegebener Raumladung Ψ eindeutig fest.

6.1. ALLGEMEINE FORMULIERUNG 5 Abbildung 6.3: Einteilung der Verarmungszone in Systemwürfel. 6.1.3 Lokale Gleichgewichte Man stellt sich den Festkörper aus lauter kleinen, lokal homogenen Würfeln ( Systemwürfel ) zusammengesetzt vor. In jedem dieser Würfel wird die potenzielle Energie des Elektrons ev(x) als konstant vorausgesetzt, sodass sie als additive Konstante zu sämtlichen elektronischen Eigenzustandsenergien hinzukommt. Für die Bandkanten gilt insbesondere E L/V (x) = E L/V ev(x) = E L/V + Ψ(x). (6.6) Wie aus obiger Abbildung hervorgeht, entsteht außerhalb der Verarmungszone im p-bereich Ψ(x < x p ) = 0 ein gegenüber den Anfangsbedingungen unveränderter p-dotierter (Volumen-)Halbleiter. Im n-bereich Ψ(x > x n ) = ev bi entsteht ein um den Betrag ev bi abgesenkter aber ansonsten unveränderter n-halbleiter. Wir definieren das elektrochemische Potenzial φ = µ(x) + Ψ(x), µ(x) = { µp für x x p µ n für x x n, (6.7) wobei µ(x) dass lokale chemische Potenzial ohne elektrostatisches Potenzial ist. Das elektrochemische Potenzial ist die Energie, mit der man ein Teilchen unter Beibehaltung des Gleichgewichts in Gegenwart des elektrostatischen Feldes entfernen oder hinzufügen kann. Es besteht aus dem lokalen chemischen Potenzial µ ohne elektrostatische Energie plus der elektrostatischen Energie. Sind zwei Systeme im Gleichgewicht, muss φ identisch sein, d. h. es muss in jedem Systemwürfel denselben Wert haben. Im Inneren des p- Halbleiters erhält man mit Ψ(x x p ) = 0 φ(x < x p ) = µ p. (6.8)

6KAPITEL 6. DER PN-ÜBERGANG IM GLEICHGEWICHT: POTENZIALE UND BANDSTRUKTUR Abbildung 6.4: Skizze zur Besetzung der Donator- und Akzeptorniveaus Im Inneren des n-halbleiters ist Ψ(x x n ) = ev bi und (6.1) daher φ(x > x n ) = µ n ev bi = (µ p + ev bi ) ev bi = µ p. (6.9) Das elektrochemische Potenzial ist also im Inneren der p- und der n-seite tatsächliech identisch. Den Wert für φ = µ p fordern wir für alle Systemwürfel (s. Abb. (6.3)). In Gegenwart eines elektrostatischen Potenzials ist in der Fermifunktion die Ersetzung µ φ = µ p vorzunehmen, f (E, µ) f (E, φ) = 1 exp ( E φ k B T ) + 1. (6.10) Weiterhin liegt in jedem Systemwürfel bei gegebener Energie eine andere Zustandsdichte vor, z. B. für das Leitungsband D(E) = N v 2(m ) 3/2 π 2 3 (E E L ) 1/2 Θ(E E L ) D(E, x) = N v 2(m ) 3/2 π 2 3 [E E L (x)] 1/2 Θ[E E L (x)]. (6.11) Unter Annahme der Boltzmannverteilung folgen wieder die freien Ladungsträgerdichten in den Systemwürfeln aus ( ) φ E n(x) = ded(e, x) f (E, φ) ded(e, x) exp E L (x) E L (x) k B T [ = N L exp E ] [ L(x) φ = N L exp E ] L + Ψ(x) φ. (6.12) k B T k B T Der letzte Schritt wird in den Übungen gezeigt. Analog gilt [ p(x) = N V exp φ E ] [ V(x) = N V exp φ E ] V Ψ(x). (6.13) k B T k B T Für die Störstellenniveaus ergibt sich bei ortsabhängiger Dotierungsdichte N D (x) = Θ(x)N D der Donatoren N D + (x) = N 1 D(x) 1 + 2e = Θ(x)N 1 β(e D D(x) φ) 1 + 2e β(e D+Ψ(x) φ) (6.14)

6.1. ALLGEMEINE FORMULIERUNG 7 und für die Akzeptoren NA (x) = N 1 AΘ( x) 1 + 2e. (6.15) β(e A+Ψ(x) φ) Die Gleichungen (6.12), (6.13), (6.14) und (6.15) bilden mit φ = µ p, der Poissongleichung und den Randbedingungen 2 Ψ(x) = e e2 ρ(x) = x 2 ɛ 0 ɛ ɛ 0 ɛ [p(x) + N+ D (x) n(x) N A (x)] (6.16) Ψ(x x p ) = 0 und Ψ(x x n ) = ev bi (6.17) ein eindeutiges, selbstkonsistent zu lösendes Problem zur Bestimmung von Ψ(x) und damit von allen anderen Größen.

8KAPITEL 6. DER PN-ÜBERGANG IM GLEICHGEWICHT: POTENZIALE UND BANDSTRUKTUR Abbildung 6.5: Abrupter pn-übergang. Die Ladungsdichte ist ähnlich wie in Abb. 6.1, jedoch als stückweise konstant idealisiert. 6.2 Näherung des abrupten pn-übergangs 6.2.1 Berechnung der Verarmungsschicht und Sperrspannung Um analytische Näherungen für die Lösung des genannten Selbstkonsistenzproblems zu ermöglichen, führen wir die Idealisierung des abrupten Überganges ein: Der Verarmungszone = Raumladungsbereich dehne sich von x p bis +x n aus. Man nimmt an, dass im n-teil der Verarmungszone sämtliche Donatoren ionisiert sind, N D = N D + = n und dass im p-teil sämtliche Akzeptoren, N A = NA = p. Bei Kontakt fließen aus dem n dotierten Halbleiter im Bereich 0 < x x n sämtliche Leitungselektronen ab und hinterlassen vollständig ionisierte positive Donatoren (im n-dotierten Halbleiter wird p vernachlässigt). Im p-material rekombinieren sie im Gebiet x p < x 0 mit sämtlichen Löchern und hinterlassen als Raumladung die negativen Akzeptoren. Es ergibt sich ρ(0 x x n ) = en D (6.18) sowie ρ( x p x 0) = en A (6.19) (siehe Abbildung). Im p-gebiet machen wir für die Lösung der Poisson-Gleichung den Ansatz Ψ(x) = e2 ɛɛ 0 N A 2 (x + x p) 2, x p < x < 0, (6.20) und Ψ(x x p ) = 0. Dieser stetig differenzierbare Ansatz erfüllt die Poissongleichung mit der Randbedingung Ψ(x < x p ) = 0 (s. Gl. (6.3)). Im n-gebiet 2 Ψ(x) x 2 = e ɛ 0 ɛ ( en A) (6.21) Ψ(x) = e2 ɛɛ 0 N D 2 (x x n) 2 ev bi, 0 < x < x n. (6.22)

6.2. NÄHERUNG DES ABRUPTEN PN-ÜBERGANGS 9 erfüllt die Poissongleichung und die Randbedingung (6.17). Aus der Stetigkeit von Ψ und dψ dx bei x = 0 folgen und Sodann Damit können wir die Breite des pn-übergangs berechnen, ɛɛ0 2V bi N D x p = e N A N D + NA 2 e 2 ɛɛ 0 N A x 2 p + e2 ɛɛ 0 N D x 2 n = 2eV bi (6.23) N A x p = N D x n. (6.24) e 2 ɛɛ 0 x 2 pn A (1 + N A N D ) = 2eV bi. (6.25) (6.26) und x n = ɛɛ0 2V bi N A. (6.27) e N A N D + ND 2 Für den Betrag der Gesamtflächenladungsdichte Q auf jeder Hälfte des pn-übergangs ergibt sich Q = en A x p = en D x n. (6.28)

10KAPITEL 6. DER PN-ÜBERGANG IM GLEICHGEWICHT: POTENZIALE UND BANDSTRUKTUR 6.3 Sperrschichten im belasteten (bespannten) pn-übergang Legt man eine Spannung an den pn-übergang, vergrößert sich die Verarmungszone in Sperrpolung, in Durchlasspolung verkleinert sich die Verarmungszone (s. Abbn. 6.6 (b) und (c)). Darüber hinaus fließt ein Strom, der in Durchlassrichtung exponentiell mit der Spannung anwächst. In diesem Kapitel wird zunächst eine vereinfachte Theorie des belasteten pn-überganges im Rahmen des Gleichgewichtsformalismusses dargelegt. In dieser Theorie kann die Veränderung der Verarmungszonengröße beschrieben werden, nicht jedoch der auftretende Strom. Hierzu ist eine später erfolgende verbesserte Diskussion im Rahmen der Nichtgleichgewichtstheorie notwendig. Wir betrachten zunächst einen pn-übergang mit einer in Durchlassrichtung angelegten Spannung (s. Abb. 6.6). Der Pluspol der Spannungsquelle ist mit der geerdeten p-dotierten Seite verbunden und der Minuspol der Batterie mit der n-dotierten Seite. Wie in Abb. 6.6 (c) dargestellt, ist dann die Spannungsdifferenz V > 0 in Pfeilrichtung, d. h. von n-seite zu p-seite positiv. Infolgedessen wird die Energie des Elektrons auf der n-seite um die Energie U = ev > 0 erhöht. Es folgen die veränderten Randbedingungen Ψ(x x p ) = 0 und Ψ(x x n ) = ev bi + U e(v bi V). (6.29) Es ist unmittelbar ersichtlich, dass durch eine angelegte Spannung in Durchlassrichtung die Potenzialstufe verkleinert wird. Auf Grund der Verkleinerung der Potenzialstufe durch die angelegte Spannung in Durch- Abbildung 6.6: a) Der pn-übergang ohne Spannung, b) der pn-übergang bei Durchlasspolung, c) Schaltkreis mit angelegter Spannung V, die in Pfeilrichtung positiv ist. d) Im Schaltsymbol der Diode weist der Pfeil immer in Richtung der durchgelassenen technischen Stromrichtung, nämlich von der p-seite zur n-seite (de facto fließen die Elektronen natürlich anders herum). Achtung! Bei Vorwärtspolung muss unbedingt zur Strombegrenzung ein Widerstand in Reihe liegen. Ansonsten wird die Diode zerstört. lassrichtung schrumpft die Breite der Sperrschicht: Setzen wir unserem Ansatz (6.22) enes abrupten Über-

6.4. KAPAZITÄTSDIODEN 11 gangs für das Potenzial auf der n-seite V bi V bi V ergibt sich ɛɛ0 2(V bi V) N D x p (V) = e N A N D + NA 2 (6.30) und ɛɛ0 2(V bi V) N A x n (V) =. (6.31) e N A N D + ND 2 Analog führt die Sperrpolung V V zu einer wachsenden Breite der Sperrschicht. 6.4 Kapazitätsdioden Die Kapazitätsdiode (auch Varactor genannt) ist ein in Sperrichtung betriebener Übergang. Es liegt eine strukturelle Ähnlichkeit zu einem Plattenkondensator vor: Zum Einen ist wegen der Sperrpolung der Strom durch das Bauelement vernachlässigbar. Zum Anderen existiert wie im Plattenkondensator eine Aufteilung der Raumladungszone in eine Hälfte mit positiver Flächenladungsdichte (auf der n-dotierten Seite) und eine Hälfte mit negativer Flächenladungsdichte (auf der p-dotierten Seite). Der Betrag Q einer solchen Flächenladungsdichte lässt sich mit Gln. (6.28) und (6.31) berechnen. Da die Breite der Verarmungsschicht und damit die effektive Plattenladung mit der angelegten Spannung nichtlinear wächst, ergibt sich eine spannungsabhägige differenzielle Kapazität der Form C = dq dv = C(V). (6.32) Es steht somit eine mit V elektrisch steuerbare differenzielle Kapazität zur Verfügung. Die Kapazitätsdiode wird zur Abstimmung von Schwingkreisen in Filtern und Oszillatorschaltungen verwendet (z. B. automatischen Feinabstimmung (AFC) in Radios, Fernsehempfängern oder FM-Sendern) und ersetzt dort Drehkondensatoren oder veränderbare Induktivitäten (Variometer). Durch geeignete Dotierung können Kapazitäten im Bereich von 3 pf bis 300 pf erreicht werden. In unserem Modell eines abrupten Übergangs erhalten wir Abbildung 6.7: Kapazitätsdioden-Kennlinie (6.34), die Kapazität skaliert mit der Diodenfläche. aus Gln. (6.28) und (6.31) Q(V) = en D ɛɛ0 2(V bi + V) e N A. (6.33) N A N D + ND 2

12KAPITEL 6. DER PN-ÜBERGANG IM GLEICHGEWICHT: POTENZIALE UND BANDSTRUKTUR Hiermit ergibt sich die Sperrschichtkapazität C = e ɛɛ0 e NA N D N A + N D (V bi + V) 1/2 = C(0) 1 + V/Vbi (6.34) mit C(0) = ɛɛ0 e 2 NA N D N A + N D V 1/2 bi. (6.35) Dieser Ausdruck ist in qualitativer Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen. 6.5 Esaki-Diode (Tunneldiode) Bei extrem starker Dotierung wird die Sperrschicht nach Gln (6.30) und (6.31) immer enger. Zudem entartet das Elektronengas auf beiden Seiten: Die Fermi-Energie gerät über die Bandkante und das Teilchengas nimmt einen metallischen Charakter an. Wegen der Nähe der Verunreinigungen zueinander, wird der Überlapp der Störstellenwellenfunktionen immmer größer, die Beweglichkeit und damit die Abschirmung der Störstellenpotenziale wächst und es findet ab einem Dotierungsgrad ein Metall-Isolator-Übergang statt. Die Fermi-Energien berechnen sich dann wir in einem freien Gas mit der gegebenen Bandmasse. Wegen der guten Abschirmung der Störstellenpotentiale verschwindet die Streuung und der Elektronentransport tritt in das ballistische Regime ein. Hier nehmen die Elektronen im ganzen Bauelement kohärente Zustände ein. Im Gegensatz dazu, im Isolatorregime, wird die Phase der Wellenfunktionen durch inelastische Stöße auf sehr kurzen Längen gebrochen. Der Transport hat daher einen diffusiven Anteil und eine Driftkomponente. Dieser drift-diffusive Transport unterscheidet sich physikalisch erheblich vom ballistischen Transport. Als eine solche Struktur hat L.Esaki 1957 die Esakidiode (Tunneldiode) erfunden. Für die Entdeckung des in diesen Bauelementen vorkommenden quantenmechanischen Tunneleffekts, der durch die niedrige Breite der Sperrschicht von 10nm ermöglicht wird, bekam Esaki 1973 Nobelpreis. Die Esaki-Diode wird damit als erstes Quantenbauelement angesehen. Wichtig ist der in der Esakidiode auftretende negative differenzielle Widerstand. Tunneldioden werden gewöhlich aus Germanium hergestellt, können aber auch aus Galliumarsenid oder Silizium bestehen. Sie finden Verwendung als Oszillatoren, Verstärker, Frequenzwandler und Detektoren.

6.5. ESAKI-DIODE (TUNNELDIODE) 13 Abbildung 6.8: Schmaler pn-übergang zwischen entartetem Elektronen- und Lochgas.

14KAPITEL 6. DER PN-ÜBERGANG IM GLEICHGEWICHT: POTENZIALE UND BANDSTRUKTUR Abbildung 6.9: Kennlinienbereiche der Esakidiode: Erklärung des negativen differenziellen Widerstands.

Literaturverzeichnis [1] S. M. Sze. Physics of Semiconductor Devices. John Wiley and Sons, New York, 1981. 15