Grundlagen der Halbleiterphysik

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1 Grundlagen der Halbleiterphysik Notizen zur Vorlesung Elektronik WS 2017/18 I

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Der Markt Überblick über die Eigenschaften von Halbleitern Halbleitermaterialien Halbleiterbauelemente Bandstrukturen Qualitative Bemerkungen Modell freier Elektronen Freie Elektronen im periodischen Gitter Bandlücke Effektive Masse Zustandsdichte Ladungstägerstatistik Fermi-Statistik Intrinsische Halbleiter Dotierte Halbleiter Majoritäts- und Minoritäts-Ladungsträger Ladungstägertransport Bewegung des Bloch-Elektrons Drift der Ladungsträger Diffusion von Ladungsträgern Der pn-übergang Thermisches Gleichgewicht Verarmungs-Zone Kapazität der Verarmungszone Strom-Spannungs-Kennlinie Kurze Diode Durchbruch Der Bipolar-Transistor Entwicklung des Transistors Grundlegende Funktion Schaltung mit gemeinsamer Basis Idealisierte Grundschaltungen und Operationsbereiche Modell der dünnen Basis Ströme Summe der Ströme Emitterschaltung Unipolare Strukturen Metall-Halbleiter-Kontakte Der JFET MESFETs Heteroübergang-MESFET II

3 7.5 MOSFET Vergleich FET zu Bipolar-Transistor Integration Literatur 82 1

4 1 Einführung Überblick über: 1. Halbleiterindustrie und Halbleitermarkt 2. wichtigste Eigenschaften von Halbleitern 3. Halbleitermaterialien 4. einige Bauelemente Lehrbücher: S.M. Sze, Semiconductor Devices Physics and Technology F. Thuselt, Physik der Halbleiterbauelemente World market (Bio. US$) communication memory other total forecast Year Abbildung 1.1: Entwicklung der Umsätze in der Halbleiterindustrie. Verschiedene Quellen. 1.1 Der Markt Halbleiterbauelemente in allen Bereichen des Lebens: 1. Computer 2. Telekommunikation 3. Steuerungsanlagen vom Garagentor und Dimmer bis zu Industrieanlagen 4. Messgeräte: Wissenschaft, Ingenieurswesen, Medizintechnik 5. Automobile: ABS bis GPS Umsatz der Halbleiterindustrie: s. Abb. 1.1 Beschäftigte in der Halbleiterindustrie z.b.: Infineon: in 2016 weltweit, 6.4 Mrd. EUR Umsatz Toshiba Year 2014 TI SK Hynix Micron + Elpida Qualcomm TSMC Samsung Intel Sales (Bio. US$) Abbildung 1.2: Führende Unternehmen. Quelle: IC Insights. 2

5 Historisch: 1. Prognose des Feldeffekttransistors: Julius Lilienfeld (1925) 2. Patent zum FET: Oskar Heil (1935) 3. Realisierung eines Bipolar-Transistors W. Shockley, W. H. Brattain und J. Bardeen (1949) [1] Punkt-Kontakt-Transistor Nobelpreis für Physik (1956) 4. Khang und Atalla, Bell (1960) : erster Si/SiO 2 MOS-Feldeffekttransistor 5. Integrierter Schaltkreis: Entwicklung durch J. Kilby (1958), (Arbeitsgebiet: u.a. Hörgeräte) auf einzelnem Substrat durch R. Noyce (1959) Abbildung 1.3: Der erste Transistor (nach Ref. [2], S. 109). Das obere Foto zeigt den Ge-Transistor von Bardeen und Brattain [1]. Das untere Foto zeigt William P. Shockley, Walter H. Brattain und John Bardeen. Sie erhielten 1956 den Nobelpreis für die Verstärkung von Strömen in Halbleitern (nach Ref. [3], S. 542). 3

6 Die Zukunft: Moore sche Gesetze: zeitlich exponentieller Anstieg der Dichte der Halbleiter-Baulemente der Geschwindigkeit k Blood cell Transistors per chip Intel Motorola AMD Itanium Athlon Power PC 586 (Pentium) Minimum feature size ( m) k 4M Bacteria 64M 256M 1G 4G 16G Virus 32G Year , Z Year Abbildung 1.4: Moore sches Gesetz zur Transistordichte. Abbildung 1.5: Moore sches Gesetz zum kleinsten produzierbaren Element. Trend: Nano-Bereich relevant: Quanteneffekte 4

7 1.2 Überblick über die Eigenschaften von Halbleitern Eine Unterscheidung der Halbleiter von anderen Formen der kondensierten Materie ist nicht leicht: 1. üblicherweise kristalline Festkörper anorganisch: Si, Ge, GaAs,... organisch: Pentazen, Rubren, aber z.b. auch amorphes Si 3. glasförmige Halbleiter (Polymere) Praktische Unterscheidungsmerkmale von Halbleitern: Conductivity (arb. units) Semiconductor Metal (*10 x ) Temperature (arb. units) 1. Die elektrische Leitfähigkeit liegt zwischen denen von Metallen und typischen Isolatoren. 2. Die elektrische Leitfähigkeit steigt mit der Temperatur. 3. Die elektrische Leitfähigkeit steigt mit der Beleuchtungsstärke. Conductivity (arb. units) Semiconductor Metal (*10 x ) Light Power (arb. units) Abbildung 1.6: Verhalten der elektrischen Leitfähigkeit in Abhängigkeit von Temperatur und Beleuchtungsleistung. 5

8 Leitfähigkeit der Halbleiter: weiter Bereich: 10 9 S/cm < σ < 10 3 S/cm kontrollierbar durch Dotierung elektrisch kontrollierbar Resistivity [ cm] S Fused quartz NiO Diamond Glass GaP CdS Conductivity [S/cm] Si GaAs Ge Bi Pt Al Ag Cu Abbildung 1.8: Bandabstände und Lage der Fermi-Energien von Metallen, Halbleitern und Isolatoren. Insulators Semiconductors Conductors Abbildung 1.7: Typischer Bereich der Leitfähigkeiten von Isolatoren, Halbleitern und Metallen. Nach Ref. [2] S. 1. Hintergrund: Energiebänder Bandabstand Leitungsband (meist vollkommen unbesetzt) Valenzband (meist vollkommen besetzt) Abbildung 1.9: Thermisch aktivierte Ladungsträgerdichte und optische Anregung von Elektronen. 6

9 1.3 Halbleitermaterialien Element-Halbleiter: Germanium (Ge): 1. der Halbleiter der ersten Stunde 2. kann hochrein, sogar isotopenrein hergestellt werden 3. aber: kein stabiles Oxid Silizium (Si): 1. heute wichtigster Halbleiter 2. kann hochrein hergestellt werden 3. Durchmesser der Substrate bis zu 30 cm 4. Versetzungsdichten kleiner als 1000 cm 3 5. Verunreinigungen kleiner als cm 3 6. preiswerte Herstellung der Substrate (Erdkruste: 25% Silikate) 7. bildet stabiles Oxid (Grund für die Durchsetzung gegenüber Ge) Eigenschaften des Kristallgitters von Si und Ge: 1. Beide kristallisieren im Diamant-Kristallgitter (α-sn). 2. Die Atome haben die Koordinationszahl Kovalente Bindungen zwischen den Atomen Abbildung 1.11: Diamantgitter. Ein Tetraeder der Bindungen ist hervorgehoben Verbindungs-Halbleiter: z.b. GaAs, SiC, GaN, InGaAs. Bindungsart: Kovalent mit leicht ionischem Charakter. Alle Bindungen sind gesättigt, aber polar. Bindungsmöglichkeiten ergeben sich nach dem Periodensystem (s. Tabelle 1.1). Binäre Verbindungshalbleiter: z.b. GaAs, InP etc. (s. Tab. 1.2) Abbildung 1.10: Schematische zweidimensionale Darstellung eines perfekten Diamantgitters. Nach Ref. [4] S. 4. Periode Gruppe II Gruppe III Gruppe IV Gruppe V Gruppe VI 2 B C N 3 Mg Al Si P S 4 Zn Ga Ge As Se 5 Cd In Sn Sb Te 6 Hg Pb Tabelle 1.1: Teil des Periodensystems. 7

10 Element IV-IV III-V II-VI IV-VI Halbleiter Halbleiter Halbleiter Halbleiter Halbleiter Si SiC GaAs CdS PbS Ge InP CdSe PbTe InSb ZnO GaN ZnS AlN ZnTe Tabelle 1.2: Einige wichtige binäre Verbindungshalbleiter. Ternäre Verbindungshalbleiter: z.b. In x Ga 1 x As. Die Stöchiometrie lässt sich oft beliebig einstellen. Dotierungen: Kontrolle der Leitfähigkeit räumlicher Verlauf der Energiebänder: bipolar-bauelemente: Dioden, Transistoren, etc.: Abbildung 1.13: Erhöhung der Elektronenkonzentration durch Einbau von Donatoratomen. Abbildung 1.12: Zinkblende-Gitter bestehend aus zwei verschiedenen Elementen Nach [2], S. 5. 8

11 1.4 Halbleiterbauelemente Abbildung 1.14: Schema zu einer pn-diode nebst Drift- und Diffusionsströmen. 0.3 Current (arb. units) Reverse breakdown Forward conduction Bias (V) Abbildung 1.16: Schema zu einem pnp-bipolartransistor. Abbildung 1.15: Strom-Spannungscharakteristik einer pn-diode 9

12 2 Bandstrukturen Ziele: 1. Qualitatives Verständnis der Bandstrukturen 2. Eigenschaften der Bänder Stichworte: Freies-Elektronen-Modell, Dispersion, effektive Masse, Bandabstand Lehrbuch: z.b. P. Yu und M. Cardona [5] oder K. Seeger [4] Fragestellung: Wie kommt es zu Energiebändern und welche Eigenschaften haben sie? 2.1 Qualitative Bemerkungen Beschreibung der Elektronen mittels Schrödinger-Gleichung: HΨ = EΨ (1) Herausforderung: Ψ = ψ(r 1, s 1, r 2, s 2...r n, s n ) mit n nahezu ebenso viele Atompotentiale Hamiltonian kann sehr komplex sein. Praktische Herangehensweise: Ein-Elektronen-Näherung Ausnutzung der periodischen Eigenschaften Abbildung 2.1: Bandstruktur von Germanium nach Ref. [5], S

13 2.2 Modell freier Elektronen Start: Gänzlich freie Elektronen, d.h. ebene Wellen Ψ e ikx mit k = 2mE 2 (2) Annahme: Elektronen nahezu frei, d.h. schwaches periodisches Potential, welches nur für die Symmetriebedingungen benötigt wird. Hamiltonian in Ein-Elektronen-Näherung: Periodisches Potential: H = 2 2m 2 + V (r) (3) Potential (arb. units) V(r) atoms Konsequenz: V (r) = V (r + R) (hier eindimensional) (4) Ψ muss mit R periodisch sein Ψ enthält einen periodischen Modulationsanteil u n,k mit Bloch-Funktion: u n,k (r) = u n,k (r + R) später: Definition von n,k (5) Ψ n,k (r) = e ikr u n,k (r) (6) Re(functions) (arb. units) (r) u(r) e ikr erfüllt Welleneigenschaften erfüllt Periodizität s. Abb r (arb. units) Abbildung 2.2: Schwaches periodisches Potential und Wellenfunktion. 11

14 2.3 Freie Elektronen im periodischen Gitter Eigenschaft: Konsequenzen: 1. Periodizität in k: ψ n, k = ψ n, k+ G (8) 2. Zahlreiche Dispersionsrelationen (jetzt 1D): e i k a = 1 k = G mit Gitterabstand a (7) E(Ψ(k)) = E(Ψ(k + G)) (9) mit G = 2π a j j ϵ Z Anmerkung 1: Der Wellenvektor k kann immer auf die erste Brillouin-Zone begrenzt werden (reduziertes Zonenschema). Anmerkung 2: An einigen Punkten ist die Dispersionsrelation entartet: Zwei Wellenfunktionen liefern den gleichen Energieeigenwert. E(Ψ(k)) = E(Ψ(k + G)) (10) mit G = 2π a j j ϵ Z Abbildung 2.3: Schema zur Dispersion im periodischen Gitter und zum reduzierten Zonenschema. 12

15 2.4 Bandlücke Voraussetzungen: periodisches Gitter schwaches Potential (V (r) 0) Herleitung: über Störungstheorie s. Ashcroft, S. 152 liefert für den Bandabstand E = E + E = 2 V G = 2 V (± π a ) (11) Einige Energielücken: Nach Ref. [6] E g [ev] E g [ev] Kristall Lücke 0 K 300 K Si indirekt Ge indirekt GaAs direkt InP direkt InAs direkt E ((2 hk) 2 /2m) E 0 k k (2 /a) E + E - 2V G E 0 k-g Abbildung 2.4: Part of the band structure according to the nearly-free electron model. 13

16 Abbildung 2.5: Bandstruktur von GaAs nach einer Pseudopotentialrechnung [5]. In Rot sind die wichtigsten Abschnitte der Bandstruktur dargestellt. 14

17 2.5 Effektive Masse Anmerkung 3: Der Wellenvektor k unterscheidet sich vom Impuls des Elektrons p: Es war: Ψ n,k (r) = e ikr u n,k (r) (12) pψ nk = i Ψ nk = i ( e ikr u nk (r) ) = kψ nk + e ikr i u nk(r) (13) Der letzte Term führt zum Unterschied: p k (14) Zusammenhang mit der Dispersion: Effektive Masse beschreibt den Energiegewinn bei Änderung des Wellenvektors E = wobei m die effektive Masse ist. Definition der effektiven Masse: m = 2 ( d 2 E dk 2 2 2m k2 (15) ) 1 (16) Bez. Einheit GaAs InP In 0.53 Ga 0.47 As Bandlücke (bei 300 K) E g ev Bandabstand Γ 6 L 6 E ΓL ev Bandabstand Γ 6 X 6 E ΓX ev Bandabstand Γ 8 Γ 7 E so ev Masse des Elektrons bei Γ 6 m e m e Masse des Elektrons bei L 6 m e m e Masse des Elektrons bei X 6 m e m e Masse des schweren Lochs bei Γ 8 m hh m e Masse des leichten Lochs bei Γ 8 m lh m e Masse des Split-Off-Lochs bei Γ 7 m so m e Tabelle 2.1: Parameter der Bandstrukturen für GaAs, InP und InGaAs. 1. Konvention: m h ist positiv und gleichzeitig q h > 0 2. Alternativ: Bewegung vieler Elektronen negativer Masse Konzept der effektiven Masse: nicht mehr notwendig: Kenntnis der Atompotentiale, Lösung der SG allein m beschreibt Energiegewinn durch Änderung von k anwendbar: Newton schen Gesetze aber Quasipartikel: Bloch-Elektron Krümmung: Enge Krümmung bedeutet kleine Masse. Typische Werte: mit m e = kg GaAs: m e = m e Si: m e = 0.19 m e Effektive Masse der Löcher: (nach [4], S. 15) 15

18 W 2.6 Zustandsdichte Frage: Wie viele Zustände für Elektronen gibt es innerhalb eines Energie- Intervalls? Bekannt: Bloch sches Theorem: Zusammenhang im 1D: Ψ( r + m a) = Ψ( r) mit m ϵ Z (17) Länge des Kristalls: L mit ma = L Born-von Karman sche Bedingung (periodische Grenzbedingung) Konsequenzen: e ikl = e ikma = 1 (18) Erlaubte k-werte haben einen Abstand von k = 2π. L Im reziproken Raum hat ein Zustand das Volumen: ( ) 3 2π Ω = (19) L Durch Integration erhält man die Anzahl der Zustände: exp ( ikna ) Surface m=2 m=4 m=1 m=3 m=10 Surface Position (arb. units) Abbildung 2.6: Stehende Wellen in einem Festkörper begrenzter Ausdehnung. N = ( 2π L ) 3 dk x dk y dk z = ( 2π L ) 3 4πk 2 dk (20) Mache hieraus eine Dichte: n = N L = 4 3 8π 3 πk2 dk mit n = N c (E) de (21) ergib sich die sogenannte Zustandsdichte des Leitungsbands (Index c): N(E) = 1 2π 2 ( ) 2m 3/2 h E Ec (22) 2 Abbildung 2.7: Gitterpunkte im reziproken Raum und Zelle. 16

19 3 Ladungstägerstatistik Ziele: 1. Beschreibung der Ladungsträgerdichten 2. Verständnis der Funktion von Donatoren und Akzeptoren Stichworte: Fermi-Energie, Fermi-Dirac-Verteilung, Maxwell- Boltzmann-Verteilung, Donatoren, Akzeptoren, effektive Zustandsdichte, Majoritäts/Minoritäts-Ladungsträger Lehrbuch: z.b. S.M. Sze [2] oder K. Seeger [4] Fragestellung: Wie verteilen sich Ladungsträger über die Bandstruktur? 3.1 Fermi-Statistik Charakteristika: 1. Elektronen sind ununterscheidbar. 2. Jeder Zustand kann gleichzeitig nur durch zwei Elektronen besetzt werden (Pauli-Prinzip). Fermi-Dirac-Verteilung: f(e) = 1 e (E E F )/k B T +1 = 1 e β(e E F ) +1 mit β = 1 k B T Boltzmann-Konstante: k B = J/K Fermi-Energie: E F, bisher unbestimmt (irgendwo in der Bandlücke) (23) f e K 100 K K 500 K E - E f [ev] Abbildung 3.1: Fermi-Dirac-Verteilung. 17

20 3.2 Intrinsische Halbleiter Intrinsisch: Ausschließlich Zustände des reinen Halbleiterbandes: keine Dotieratome keine Störstellen keine optische Anregungen, etc.. Frage: Wahrscheinlichkeit eines besetzten Zustands? Beispiel: Intrinsisches GaAs bei Raumtemperatur k b T = J/K 300 K = J ev Annahme: Femi-Energie in der Mitte der Bandlücke von GaAs (E g = 1.4 ev ): Ausgangspunkt: Zustandsdichte N c (E) = 1 2π 2 N v (E) = 1 2π 2 ( ) 2m 3/2 e E Ec (25) 2 ( ) 2m 3/2 h Ev E (26) 2 Praktisch: Verschiebung der Energieachse. Das Leitungsbandminimum sei bei E = 0. N c (E) = 1 2π 2 ( ) 2m 3/2 e E (27) 2 Für die niedrigsten Zustände an der Leitungsbandkante: E C E F = 0.7 ev (E C E F )/k B T = 0.7 ev/0.026 ev 27 f(e) = 1 e (E c E F )/k BT + 1 = 1 e = 1 e = (24) Ergebnisse: Wahrscheinlichkeit ca e e 27 Näherung? Effektive Zustandsdichte Umformulierung: Wieviel Elektronen sind im gesamten Leitungsband? n = = 0 0 N(E) f(e) de 1 2π 2 ( ) 2m 3/2 e E Ec 2 Schwer zu berechnen, daher Vereinfachung: kaum Besetzungswahrscheinlichkeit nicht-entartetes System Fermi-Energie tief im Bandgap Näherung: FDV MBV Ergebnis: effektive Zustandsdichte N c = 1 2π de e (E E F )/k BT + 1 ( ) 2m 3/2 e π (k 2 B T ) 3/2 2 einfach handzuhaben Konstante für jeden HL (bei Raumtemperatur) (28) (29) 18

21 Bedeutung: Summe aller verfügbaren Zustände im Band Vorsicht: nur bei nicht-entarteten Besetzungen hängt von T ab. Aber meist nur T 300 K interessant. Ladungsträgerdichte über einfache Rechnung: n = N c e E c E F k B T p = N v e E F E v k B T (30) Beispiel: Effektive Zustandsdichte, GaAs, 300 K: ( ) m 3/2 N c = 2 e k B T 2π ( kg J/K 300 K = 2 2π( Js) 2 = 2 ( ) 3/2 m 3 ) 3/2 n i (cm -3 ) Si GaAs = m 3 = cm 3 Intrinsiche Ladungsträgerdichte n i und p i mit n i = p i exponentielle Abhängigkeit von E g s. Abb Temperature (K) Abbildung 3.2: Intrinsische Ladungsträgerdichte n i für Si und GaAs in Abhängigkeit von der Temperatur. 19

22 3.3 Dotierte Halbleiter Ziel: deutlich mehr Ladungsträger als intrinsiche Dichte n i Dotierung: 1. meist Substitution eines Gitteratoms durch ein Fremdatom 2. meist geringe Konzentrationen < cm 3 N D Dichte von n-dotierenden Atomen (Donatoren) N A Dichte von p-dotierenden Atomen (Akzeptoren) Beispiel Arsen (As) in Si: 1. As bildet kovalente Bindungen mit umgebenden Si Atomen 2. fünftes Valenzelektron frei: donated 3. Si ist n-dotiert 4. Kristall bleibt neutral: As As + + e Beispiel Bor (B) in Si: 1. B bildet kovalente Bindungen mit umgebenden Si Atomen 2. fehlendes Elektron: Loch 3. Si ist p-dotiert 4. Kristall bleibt neutral: B B + p + Abbildung 3.3: Schema zu den Bindungen in Si. a) für n-dotierung mit As. b) p-dotierung mit B. Nach Ref. [2], S

23 Abbildung 3.4: Schema zu Energiebändern n-dotierter Halbleiter. Links: Temperatur nahe dem absoluten Nullpunkt. Rechts: hohe Temperatur. Abbildung 3.5: Schema zu Energiebändern p-dotierter Halbleiter. Links: Temperatur nahe dem absoluten Nullpunkt. Rechts: hohe Temperatur. Massenwirkungsgesetz: gilt unter Gleichgewichtsbedingungen (keine Stromflüsse) Dichte der Elektronen und Löcher: n, p intrinsische Diche: n i n 2 i = n p (31) Abbildung 3.6: n-dotierter Halbleiter. a) Bandschema, b) Zustandsdichte, c) Fermi-Verteilung, d) Ladungsträger-Dichte. Nach Ref. [2], S

24 Flache Störstellen: 1. vorläufige Annahme: Dotieratome wenige mev von den Bandkanten entfernt Donatoren: E c E D < k B T Akzeptoren: E A E v < k B T 2. bei Raumtemperatur (26 mev) vollständig ionisiert (fully ionized) n-dichte bei vollständiger Ionisierung: Mit der effektiven Zustandsdichte N c n N D (32) n = N c e E c E F k B T N D (33) ergibt sich die Fermi-Energie: ( ) Nc E c E F = k B T ln p-dichte bei vollständiger Ionisierung: N D (34) Energy [ev] E c E F (N D =10 16 cm -3 ) E F (N D =10 14 cm -3 ) E F (N D =10 12 cm -3 ) E F (N A =10 12 cm -3 ) E F (N A =10 14 cm -3 ) E F (N A =10 16 cm -3 ) Temperature [K] E v Mit der effektiven Zustandsdichte N v p N A (35) p = N v e E F E v k B T N A (36) Abbildung 3.7: Lage der Fermi-Energie in GaAs in Abhängigkeit von der Ladungsträgerdichte. Berücksichtigt wurden die vollständige Ionisierung und die Temperaturabhängigkeit der Bandkante. Hintergrund: E c E F = k B T ln( N c /N D ) ( ) Nv E F E v = k B T ln N A (37) 22

25 3.4 Majoritäts- und Minoritäts-Ladungsträger Generalisierung: gleichzeitige n- und p-dotierung Majoritäts-Ladungsträger: Majority carriers 1. n n Elektronen in einem n-dotierten Halbleiter 2. p p Löcher in einem p-dotierten Halbleiter Minoritäts-Ladungsträger: Minority carriers 1. n p Elektronen in einem p-dotierten Halbleiter 2. p n Löcher in einem n-dotierten Halbleiter Frage: Wieviel Ladungsträger liegen in den entsprechenden Bändern vor? Ansatz: Ladungsneutralität & Massenwirkungsgesetz ionisierte Akzeptoren: negativ ionisierte Donatoren: positiv n + N A = p + N D falls vollständig ionisiert (38) Das Massenwirkungsgesetz gilt stets im Gleichgewicht: n 2 i = n p (39) Für einen p-halbleiter: p p = 1 2 n p = n2 i p p p p [ ] N A N D + (N A N D ) 2 + 4n 2 i Vereinfachung in dieser Lehrveranstaltung: (41) p n n n und n p p p (42) Beispiel: dotiertes Silizium bei Raumtemperatur n-dotierung: N D = cm 3 intrinsische Dichte von Silizium bei 300 K: n i = cm 3 Majoritätsladungsträger: Elektronen n n N D = cm 3 (43) Minoritätsladungsträger: Löcher p n = n2 i n n n2 i N D = 2000 cm 3 (44) Für einen n-halbleiter: n n = 1 2 [ ] N D N A + (N D N A ) 2 + 4n 2 i (40) p n = n2 i n n n n 23

26 3.4.1 Temperaturabhängigkeit 1. Bei niedrigen Temperaturen werden die Dotierungen nicht ionisiert (freeze-out). 2. Bei hohen Temperaturen nimmt die intrinsische Ladunsgträgerdichte exponentiell zu. Man unterscheidet: 1. ausgefrorenen Bereich 2. extrinsischen Bereich 3. intrinsischen Bereich Abbildung 3.8: Dichte der Elektronen in Abhängigkeit von der Temperatur für Silizium mit einer Dichte von Donatoren von cm 3. Nach Ref. [2], S

27 4 Ladungstägertransport Ziele: 1. Beschreibung des Transports im elektrischen Feld 2. Beschreibung der Diffusion Stichworte: Beschleunigungstheorem, Mobilität, Diffusionskonstante, Lehrbuch: z.b. S.M. Sze [2] oder P. Yu und M. Cardona [5], (für Bloch Oszillationen: Ashcroft & Mermin [7]) Fragestellung: Wie funktioniert der Ladungsträger-Transport? 4.1 Bewegung des Bloch-Elektrons Gruppengeschwindigkeit: Beschreibt: Bewegung des Teilchens Herleitung: Störungstheorie Ansatz: Entwicklung der Dispersion E n (k + k) = E n (k) + k k E n (k) +... (45) gibt die Gruppengeschwindigkeit: v gr = 1 k E n(k) (46) Diskusssion: Transport einer Gruppe erfordert Wellenpaket um k herum Bloch-Funktionen sind Eigenzustände des Hamiltonians mit folgenden Konsequenzen: Bloch-Zustände werden durch das Potential nicht gestreut eine konstante Gruppengeschwindigkeit liegt vor (s. Gl. 46) Beschleunigungs-Theorem im reziproken Raum Beschleunigung Kraft greift an Elektron an z.b. elektrisches Feld E geleistete Arbeit: mit: dw = F ds = F v }{{ gr dt = de(k) dt (47) } dt A de dt = ke dk dt = v gr dk }{{ dt} A (48) Aus Vergleich von Gl. (47) und Gl. (48) folgt das Beschleunigungs- Theorem: F = dk dt dp dt Diskussion: Die angreifende Kraft ist proportional zu der Änderung des Kristallimpulses k aber nicht zur Änderung des Impulses p (49) 25

28 4.2 Drift der Ladungsträger Drift: Gleichgewicht zwischen Beschleunigung und Streuung Thermische Geschwindigkeit: Elektron oder Loch etc. 1 2 m e v 2 th = 3 2 k BT (50) Zeitskala der Streuprozesse: τ m 100 fs = s Freie Weglänge: th = v th τ m Impuls-Relaxationszeit: τ m Beispiel: Thermische Geschwindigkeit Elektron in GaAs, m e = m e, τ m = 100 fs v th = 3 m e k B T = m/s = 45 km/s th = v th τ m = m/s 100 fs = m Abbildung 4.1: Bewegung eines Ladungsträgers im Raum. a) ohne elektrisches Feld E, b) mit elektrischem Feld. Die vollständige klassische Bwgl. ist: m d2 r dt 2 + m τ m ( dr dt ) = ee (53) was zum gleichen Resultat führt, wenn der Term der Beschleunigung Null gesetzt wird Klassischer Ansatz zur Leitfähigkeit Hintergrund: Drude-Modell, Paul Drude (1900), Ref. [8] Impuls: Beschleunigung des Elektrons über eine Zeit τ m. 1 oder: p = eeτ m = mv (51) v = eτ m m E (52) 1 Der Ansatz ist gültig in der Nähe der Bandextrema. Hier ist in guter Näherung p = k. Drift-Geschwindigkeit: v n oder v p Durchschnittliche Geschwindigkeit im Feld. Mobilität: µ n oder µ p mit der Einheit [µ] = cm 2 /Vs v n = µ n E mit µ n = eτ m,n m n v p = µ p E mit µ p = eτ m,p m p Typischer Wert: µ n (n-si, bei 300 K) 1200 cm 2 /Vs Anwendungsbereich: moderate Felder bis etwa E 10 kv/cm (54) (55) 26

29 4.2.2 Leitfähigkeit und spezifischer Widerstand Abbildung 4.2: Mobilitäten und Diffusionskonstanten in Si und GaAs bei 300 K in Abhängigkeit von der Dotierungsdichte. Nach Ref. [2], S. 34. Abbildung 4.3: Prozess der Stromleitung in einem n-dotierten Halbleiter. Links: im thermischen Gleichgewicht. Rechts: bei Anlegung einer elektrischen Spannung. Nach Ref. [2], S. 35. Spannungsabfall über der Probe: 2 V Ladungsträger durchläuft Potential: ψ = ev Elektrisches Feld: E = dψ dx 2 Wie in angelsächsischer Literatur V für voltage. 27

30 Leitfähigkeit: σ = (enµ n + epµ p ) mit [σ] = Ω 1 m 1 (62) Spezifischer Widerstand: Abbildung 4.4: Elektrische Leitung durch eine homogene Halbleiterprobe. Nach Ref. [2], S. 36. Stromdichte der Elektronen: (s. Abb. 4.4) Die Anzahl der Elektronen pro Zeiteinheit durch die Fläche A ist (n ist die Elektronendichte): Dann ist der Strom: und die Stromdichte: 3 N t = n A v n (56) I n = e N t = en A v n (57) ρ = 1 σ = 1 enµ n + epµ p mit [ρ] = Ωm (63) Bei dotierten Proben dominiert eine Art von Ladungsträgern. 1 enµ n bei n-dotierung ρ 1 epµ p bei p-dotierung Bei einer n-dotierung ist die Leitfähigkeit: σ enµ = en eτ m m Analoges gilt für p-dotierung. (64) = ne2 τ m m (65) j n = I A = e n n v n = enµ n E mit [j] = A/m 2 (58) Analog für Löcher: j p = epµ p E (59) Gesamtstrom: j = j n + j p = (enµ n + epµ p ) E (60) = σe (61) 3 j = enµe ist positiv, da bei Elektronen die Geschwindigkeit negativ ist. 28

31 4.2.3 Streuprozesse Vielzahl von Streuprozessen: Streuung an 1. Verunreinigungen (Dotierungen) 2. Phononen (akustisch & optisch) 3. Ladungsträgern Summe aller Streuprozesse Nach der Matthies schen Regel ergibt sich: 1 τ m = 1 τ m,lattice + 1 τ m,impurities + 1 τ m,carriers +... (66) Abbildung 4.5: Temperaturabhängigkeit der Mobilität der Elektronen in Si für verschiedene n-dotierungsdichten. Nach Ref. [2], S

32 4.3 Diffusion von Ladungsträgern Diffusionsprozess Taylor-Reihe um n(x = 0): R = 1 {[ 2 v th n(0) l dn ] [ n(0) + l dn ]} dx dx = v th l dn dx = D dn dx (70) (71) (72) Abbildung 4.6: Elektronendichte und Ströme. Nach Ref. [2], S. 41. Def. Diffusionskonstante: D = v th l mit Einheit [D] =m 2 /s Stromdichte von Elektronen durch Diffusion: j n = er = ed dn dx Einstein-Smoluchowski-Relation (73) Annahmen: Es war: D = v th l = v 2 th τ m (74) 1. thermische Geschwindigkeit v th 2. freie Weglänge l 3. Streuzeit τ m und µ = eτ m τ m m = mµ e (75) Betrachte in Abb. 4.6 die Ebene bei x = 0. Die Rate R 1, mit der sich Elektronen von links nach rechts durch eine Ebene bewegen, ist: [ ] 1 l R 1 = 2 n( l) = 1 τ m 2 n( l) v th (67) also: D = v 2 th mµ e (76) Und von rechts nach links: R 2 = 1 2 n(l) v th (68) Die Gesamtrate: R = R 1 R 2 = 1 2 v th [n( l) n(l)] (69) 30

33 5 Der pn-übergang Ziele: 1. Verständnis der Physik des pn-übergangs 2. Diskussion der elektrischen Eigenschaften von pn-dioden Stichworte: Thermisches Gleichgewicht, Verarmungszone, abrupter und linearer pn-übergang, Strom-Spannungs-Kennlinie, Kapazitäts- Spannungs-Kurve, Zener-Effekt Lehrbuch: z.b. S.M. Sze [2] Charakteristik der pn-diode: s. Abb Durchlass-Richtung (forward bias): Stromfluss 2. Sperr-Richtung (reverse bias): kein Stromfluss 3. Durchbruch (break-down): abrupter Anstieg des Stromflusses 2 Anregung: Wie läßt sich eine nichtlineare Arbeitsweise eines Halbleiters erzielen? Nichtlinearer Response: z.b. I/U const Grundvoraussetzung für AND, NAND, Speicher, etc... Bisher: linearer Response eines Halbleiters: I(U) Ohmsches Gesetz nichtlinear: Tempearturabhängigkeit, aber technisch nicht relevant Current I (arb. units) Reverse bias Reverse break down Forward bias Bias (V) Abbildung 5.1: Schaltsymbol der Diode. Die ideale Diode sperrt jeden Stromfluss entgegen der Pfeilrichtung. Abbildung 5.2: Strom-Spannungs-Kennlinie eines pn-übergangs. 31

34 5.1 Thermisches Gleichgewicht Herstellung eines pn-übergangs: 1. Epitaxie von verschieden dotierten Halbleitern 2. Eindiffusion von Dotierungen 3. Implantation von Dotierungen Gedankenexperiment: Schichten zusammenfügen 1. Ziel: Bestimmung der Ladungsträger-Dichten (nicht Dotierungs- Dichten) 2. Abb. 5.3: Unterschiedliche Fermi-Niveaus 3. Transportmechanismen: Diffusion & Drift Fragen: Bandstruktur im Gleichgewicht? oder: Kriterium für Abbruch des Transportes? Diffusion: Löcher von p-region zur n-region Elektronen von n-region zur p-region diffundierte Minoritätsladungsträger rekombinieren mit Majoritäts- Ladungsträgern Konsequenz: in p-region: N A aber zu wenig Löcher, also unkompensiert in n-region: N + D aber zu wenig Elektronen, also unkompensiert Aufbau eines elektrischen Feldes Wichtige Gleichungen der Elektrostatik: ψ = E i q Zusammenhang Potential & Bandstruktur (77) E = dψ dx Elektrisches Feld & Potential (78) Abbildung 5.3: Gedankenexperiment: Unterschiedlich dotierte Halbleiter werden zusammengefügt. Beachte das elektrische Feld, welches durch verbleibenden Ionen entsteht, nachdem die Ladungsträger ins Nachbarmaterial diffundiert sind. Nach Ref. [2], S. 71. Elektrisches Feld verursacht Drift: d 2 ψ dx = ρ Poisson-Gleichung (79) 2 ϵϵ 0 Löcher von n-region zur p-region Elektronen von p-region zur n-region 32

35 5.1.2 Modell der abrupten Diode potential): Gleichgewicht: j diff = 0 de F dx = 0 (80) V bi = ψ n ψ p = k BT e ( ) NA N D ln n 2 i (81) Diffusions-Potential: V bi heißt auch Diffusionspotential, da die Ursache in der Diffusion liegt. Diskussion: 1. s. Abb metallurgischer Kontakt 3. Verarmungs-Zone (depletion region) keine Elektronen keine Löcher nur Ionen der Dotier-Atome 4. Übergangs-Region (transition region), in Abb. 5.4 nicht gezeigt teilweise Kompensation der Ladung der Ionen durch zugehörige mobile Ladungsträger 5. Näherung: vernachlässige Übergangs-Zone nähere Dichten in der Raumladungszone als Rechtecke In einer vollständig verarmten Region: existieren nur N A und N D wodurch sich die Poisson-Gleichung vereinfacht Abbildung 5.4: Oben: pn-übergang mit abrupter Dotierung. Mitte: Ladungsprofil. Unten: Bandstruktur. Nach Ref. [2], S ψ = e ϵϵ 0 (N A N D ) (82) Der gesamte Potentialabfall ist dann das eingebaute Potential (built-in 33

36 5.2 Verarmungs-Zone Nach Abb. 5.5 lauten die Poisson-Gleichungen: d 2 dx ψ = 2 qn A ϵϵ 0 für x p x < 0 qn D ϵϵ 0 für 0 x < x n (83) Breite der Verarmungszone [ x p, x n ]: W = x n + x p (85) durch Integration der Poisson-Gleichungen von x = bis x = + : W = 2ϵϵ0 e N A + N D N A N D V bi (86) Generelle Formulierung ist: W (N 0 ) = mit der reduzierten Dotierung 2ϵϵs V bi en o (87) 1 N o = 1 N A + 1 N D. (88) Merke: Die niedrigere Dotierung bestimmt die Breite der Verarmungszone W. Abbildung 5.5: Verteilung der Raumladung (oben) und elektrisches Feld (unten) in einem abrupten Übergang. Die Fläche unter der Kurve des elektrischen Feldes entspricht dem eingebauten Potential. Nach Ref. [2], S. 77. Ladungsneutralität: (wichtige Hilfe) N A x p = N D x n (84) 34

37 Stark ungleiche Dotierungen: üblicher Fall s. Abb. 5.6 N D N A oder N D N A leichtere Dotierung N B Beispiel: Einseitig abrupter Übergang in Silizium: Es sei N A = cm 3 und N D = cm 3. Bei 300 K sei n i = cm 3, ϵ s 13. V bi = k BT e W x n ( ) NA N D log = V (89) n 2 i 2ϵs ϵ 0 V bi en B = 330 nm (90) E m = en Dx n ϵ s ϵ 0 = 4.6 MV/m = 46 kv/cm (91) Abbildung 5.6: Einseitiger abrupter Übergang. Nach Ref. [2], S

38 5.2.1 Vorspannung des pn-übergangs Bisher: Gleichgewicht Jetzt: Anlegen einer Spannung V 1. Potentiale addieren sich V Σ = V bi V 2. Konsequenz: positives Potential an einem Kontakt Bandkante 3. Breite der Verarmungs-Zone: mit Substitution 2ϵ 0 ϵ(v bi V ) W = en B Abhängigkeit von der Spannung V : 1. positives Potential an p-kontakt: p-seite wird abgesenkt Raumladungszone verkleinert sich Durchlass-Richtung 2. negatives Potential an p-kontakt: p-seite wird angehoben Raumladungszone vergrössert sich Sperr-Richtung Abbildung 5.7: pn-übergang unter verschiedenen Vorspannungen. 36

39 5.3 Kapazität der Verarmungszone Situation: bei Sperrspannung vernachlässigbarer Sperrstrom Vergrößerung der Sperrspannung V: Vergrößerung der Raumladungszone Ladungen müssen abtransportiert werden Stromfluss I = dq dt = dq dv dv dt = C s dv dt Die Breite der Verarmungszone auf der n-dotierten Seite war: (92) x n = 1 2ϵϵ0 V bi N o (93) N D e so dass: Q p = Q n = en D x n A = A 2ϵϵ 0 e(v bi V )N 0 (94) Ableiten nach der Spannung liefert die Kapazität: C s = dq dv = A ϵϵ o en o 2(V bi V ) A ϵϵ o en B 2(V bi V ) (95) Auffällig: die Kapazität hängt von der angelegten Spannung ab Bauelement: Varaktor 37

40 5.4 Strom-Spannungs-Kennlinie Fragestellung: Wie kann man Stromfluss erreichen? Bisher: Raumladungsgzone ohne Ladungsträger daher kein Stromfluss Zentrale Mechanismen: Diffusion der Ladungsträger werden im anderen Gebiet zu Minoritäts-Ladungsträgern rekombinieren dort mit Majoritäts-Ladungsträgern Vorspannungen vergrößern/verkleinern die Raumladungsgzone und schalten Stromfluss ein oder aus. Wie gelangen Ladungen durch die RLZ? Diffusionslängen müssen durch die Raumladungszone reichen L p = D p τ p W L n = D n τ n W (96) Rekombinationszeiten: τ n und τ p Diffusionslängen sind durch Rekombinationszeiten begrenzt Rekombination: hauptsächlich im feldfreien Bereich wenig Rekombination in der Raumladungszone (Verarmungszone) Bezeichnungen für Gleichgewicht: (Index 0) p p0 N A Löcher als Majoritäts-Ladungsträger in p-dotiertem Bereich p n0 = n2 i N D Löcher als Minoritäts-Ladungsträger in n-dotiertem Bereich n n0 N D Elektronen als Majoritäts-Ladungsträger in n-bereich n p0 = n2 i N A Elektronen als Minoritäts-Ladungsträger in p-bereich Abbildung 5.8: Stromfluss im pn-übergang unter verschiedenen externen Vorspannungen. 38

41 5.4.1 Shockley-Gleichung Diffusions-Strom: Löcher bei x = x n. Ohne Herleitung dp n j p (x n ) = ed p dx = ed pp no ( e ev/k B T 1 ) (97) xn L p Diffusions-Strom: Elektronen bei x = x p dn p j n ( x p ) = ed n dx = ed nn po ( e ev/k B T 1 ) (98) xp L n Fazit: in den neutralen Zonen (außerhalb der Verarmunsgzone) zeigen die Minoritäts-Ladungsträger: eine exponentiell abfallende Dichte einen exponentiell abfallenden Diffusions-Strom Gesamtstrom: Shockley-Gleichung Wichtig: j = j p (x n ) + j n (x p ) = j s ( e ev/k B T 1 ) (99) Strom durch Diffusion gegeben! mit der Sättigungs-Stromdichte: j / js (A) Forward bias Reverse bias Bias (V) j s = ed pp n0 L p Diskussion der Kennlinie einer idealen pn-diode: + ed nn p0 L n (100) 1. s. Abb negativer Bereich: Sättigung bei j s 3. positiver Bereich: exponentiell konstanter Zuwachs des Stromes 4. Exponent ev/k B T : eine Dekade Stromänderung benötigt Spannungsanstieg von 60 mv 5. Nulldurchgang Abbildung 5.9: Ideale Strom-Spannungs-Kennlinie eines pn-übergangs. Für den Sperrbereich ist der negative Strom gezeigt. 39

42 5.5 Kurze Diode Abmessungen: typische Diffusions-Längen L p, L n 100 µm typische pn-übergänge W 1 µm lineare Diode wichtig für Verständnis des Transistors In Verarmungszone: keine nennenswerte Rekombination daher konstanter Lochstrom dj p dx = 0 (101) j p = ed p dp dx p(x) ist linear in der Verarmunsgzone (102) Depletion zone n-doped Minority density (lin scale) p n Contact Abbildung 5.10: Kurze Diode. Beachte den linearen Maßstab. 40

43 5.6 Durchbruch Mechanismen: 1. Lawinen-Durchbruch (Avalanche) durch Stoßionisation 2. Zener-Effekt durch Tunneln 3. thermischer Durchbruch bei Erwärmung Lawinendurchbruch In der Verarmungszone eines abrupten Übergangs: eρ E = dx = ew N B ϵϵ 0 ϵϵ0 (103) mit N B als Dichte der niederdotierten Seite ergibt für die Durchbruchspannung: 4 V break = E cw 2 = ϵϵ 0E 2 c 2eN B (104) Abbildung 5.11: Zum Tunnel-Durchbruch (a) and Lawinen-Durchbruch (b). Nach Ref. [2], S Abbildung 5.12: Kritische Spannungen für Si und GaAs in Abhängigket von der Dotierungsdichte. Oberhalb von etwa cm 3 dominiert der Zener-Effekt. Nach Ref. [2], S Lawinen-Durchbruch: breakdown voltage V break ab einem kritischen Feld E break ausreichender Energiegewinn für Stoßionsation Ermittlung von V break über Poisson-Gleichung 4 Faktor 2 durch Integration über linear abfallendes Feld 41

44 5.6.2 Zener-Effekt Clarence Melvin Zener ( ) s. Abb sehr starke Sperrspannung separierte Quasi-Ferminiveaus Tunneln von Valenzelektronen ins Leitungsband Voraussetzung Sperrspannung U min = ee g x klein, damit Tunneleffekt wahrscheinlich Abbildung 5.13: Zum Zener-Effekt. Die Quasi-Fermi-Niveaus sind mit E F p und E F n bezeichnet. 42

45 5.6.3 Tunneldiode 1. oder Esaki-Diode, Leo Esaki, Nobelpreis 1973 für experimentelle Untersuchungen zu Tunnelphänomenen 2. Anwendung des Zener-Effekts 3. Resultat: nichtlineare IV -Kennlinie Bereich mit negativ differentiellem Widerstand (s. Abb. 5.15) wie Gunn-Effekt einsetzbar als GHz-Oszillator Aufbau und Funktion: p + n + -Diode Konsequenz: dünne Verarmungszone Tunnelprozess wahrscheinlich Spannungsbereiche: (s. Abb. 5.14) Sperrspannung (unangebrachter Ausdruck), Tunnelstrom, aber entgegengesetzt (a) ohne Spannung: kein Strom (b) leichte Vorwärtsspannung: Tunnelstrom (c) stärkere Vorwärtsspannung: Abnahme des Tunnelstroms (d) starke Vorwärtsspannung: üblicher Durchlassstrom eine pn- Diode (d) Abbildung 5.14: Tunneldiode. a) Sperrspannung, b) keine Spannung, c) leichte Vorwärtsspannung und d) starke Vorwärtsspannung. 43

46 Abbildung 5.15: Schema zur Kennlinie einer Esaki-Diode. 44

47 8 Literatur Literatur [1] J. Bardeen and W. Brattain, The transistor: A semiconductor triode, Phys. Rev. 74, 230 (1948). [2] S. Sze, Semiconductor Devices, John Wiley & Sons, [3] B. Saleh and M. Teich, Fundamentals of photonics, John Wiley and Sons, [4] K. Seeger, Semiconductor Physics, Springer, [5] P. Yu and M. Cardona, Fundamentals of Semiconductors, Springer, [6] C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, John Wiley and Sons, [7] N. Ashcroft and N. Mermin, Solid State Physics, Holt, Rinehart and Winston, [8] P. Drude, Zur Elektronentheorie der Metalle, Ann. d. Physik 1, 566 (1900). [9] F. Thuselt, Physik der Halbleiterbauelemente, Springer,