Aufgaben Aufgabe Ein Unternehmen fertigt ein Produkt aus den zwei Faktoren r und r. Die Grenzproduktivität des zweiten Faktors betrage 8. Wie hoch ist die Grenzproduktivität des ersten Faktors, wenn zusätzlich bekannt ist, dass die Isoquante eine Steigung von - hat und die Annahmen der klassischen Produktionstheorie als erfüllt gelten? Aufgabe Gegeben sei folgende Produktionsfunktion: X = 4r + 6r. a) Wie lautet die allgemeine Gleichung der Isoquante (d. h. in Abhängigkeit von X )? b) Wie groß ist ihre Steigung? c) Stellen Sie die Isoquante für X = 6 und X = 8 graphisch dar. Aufgabe 3 Gegeben sei die Produktionsfunktion X : + + ( r r ) r, X = den Produktionsfaktorquantitäten, r Absatz-Funktion Q : mit + +, r mit r und der Outputmenge X ( ) ( p) =00 p Q dem Preis p und der Absatzmenge Q ( p). r, r, sowie die Preis- a) Welcher Typ von Produktionsfunktion liegt vor? b) Bestimmen Sie bitte die Isoquantengleichungen für X =, 4, 6 und skizzieren Sie diese. Die Preise der Produktionsfaktoren bzw. betragen pro Mengeneinheit 3 bzw. 0 und x = X r,4. ferner sei ( ) c) Geben Sie die Kostenfunktion K ( x) an. d) Bei welcher Outputmenge x wird unter der Bedingung x q = Q( p) = ein Gewinnmaximum erreicht? e) Wie ist r für den Fall r = 5 anzupassen, wenn das in d) errechnete Outputniveau x erreicht werden soll?
Aufgabe 4 Gegeben sei die Produktionsfunktion X : + + X 0.5 0. 5 ( r, r ) r r mit = 40, > 0, r < 0 r. Die Kosten K ergeben sich aus der Gleichung ( r,r ) r + 4r r r K = +. a) Ermitteln Sie bitte die Minimalkostenkombination für das Produktionsniveau von 800 Einheiten. (Hinweis: Gehen Sie bei der Bestimmung des Minimums davon aus, dass die hinreichenden Bedingungen erfüllt sind.) b) Welcher Kostenzuwachs ergibt sich näherungsweise bei einer Produktionssteigerung auf 80 Einheiten? Aufgabe 5 Für eine Produktionsanlage gilt die Kosten-Leistungsfunktion: 00 k 4 x ( x) = + 5 + x 0 x 0 [ ME / h] Die tägliche Einsatzzeit kann zwischen 0 und 8 Stunden variieren. Stellen Sie bitte für die K X und die Grenzkosten- tägliche Ausbringung X von 0 bis 80 ME die Kostenfunktion ( ) funktion K' ( X ) auf. Aufgabe 6 Auf einer Maschine mit einer Periodenkapazität von 500 Stunden werden die drei Produkte A, B, C hergestellt. Produkt A erzielt einen Stückdeckungsbeitrag von 0, Produkt B von 0 und Produkt C von 5. Die Herstellung einer Einheit von Produkt A/B/C dauert /3/5 Stunden. Eine gemeinsame Absatzrestriktion besteht nicht. Ermitteln Sie bitte den optimalen Produktionsplan.
Aufgabe 7 Auf einer Maschine (Kapazität: 3600 Stunden/Jahr) werden vier Produkte A/B/C/D gefertigt, für die jeweils Absatzunter- und -obergrenzen einzuhalten sind. Ferner besteht auch die Möglichkeit, die Produkte A/B/D von einem anderen Unternehmen zu beziehen. Weitere Angaben sind folgender Tabelle zu entnehmen: Produkt Mindest absatz U j Höchstabsatz O j a j P-Koeffizient VK- Preis p j P- Kosten k j Fremdbezug f j Stück p.a. Stück p.a. h/stück /St. /St. /St. A 00 50 5 80 30 0 B - 70 0 40 40 50 C - 0 4 30 0 - D 30 0 3 300 40 35 a) Berechnen Sie bitte das optimale Produktionsprogramm ohne Fremdbezug. a) Wie verändert sich die Lösung, wenn ab jetzt Fremdbezug zugelassen wird? b) Lohnt der Einsatz von Überstunden bei zusätzlichen Kosten von /h? Aufgabe 8 Ein Unternehmen fertigt zwei Produktarten auf zwei Anlagen A und A. Durch zielgerechte Bestimmung der Produktmengen x (Produktart ) und x (Produktart ) soll der Bruttogewinn G B maximiert werden. Für Produktart kann ein Preis von 8,- /ME bei variablen Stückkosten von 5,- /ME erzielt werden. Der Preis der Produktart beträgt /ME, die variablen Stückkosten dieser Produktart 0 /ME. Die Anlagenkapazitäten belaufen sich auf 600 ZE (Anlage A ) und 500 ZE (Anlage A ). Die Anlage A fertigt beide Produktarten mit der Leistung /3 (ME/ZE); auf der Anlage beansprucht die Fertigung der ersten Produktart ZE/ME, die der zweiten Produktart 5 ZE/ME. a) Formulieren Sie bitte das Optimierungsproblem. b) Lösen Sie dieses Problem bitte graphisch. 3
Aufgabe 9 Das Produktprogramm eines Unternehmens bestehe aus den Erzeugnissen E und E. Die Verkaufspreise seien unabhängig von der abgesetzten Menge und betragen p = 00 und p = 70 Geldeinheiten je Mengeneinheit (GE/ME). Die variablen Stückkosten seien unabhängig von der produzierten Menge und betragen k = 40 und k = 30(GE/ME). Beide Erzeugnisse müssen jeweils auf den Maschinen I und II bearbeitet werden. Die folgende Tabelle enthält die mengenunabhängigen Produktionskoeffizienten sowie die Kapazitäten der Maschinen in Zeiteinheiten. Maschine I Maschine II Absatzmaximum Erzeugnis E 5 6 00 Erzeugnis E 3 4 00 Kapazität 600 900 ---- a) Stellen Sie bitte einen Ansatz der linearen Programmierung auf, der zum deckungsbeitragsmaximalen Produktionsprogramm führt. b) Ermitteln Sie auf graphischem Wege das deckungsbeitragsmaximale Produktionsprogramm. Wie hoch ist der zugehörige Deckungsbeitrag? Aufgabe 0 Eine Unternehmung produziert an einer Maschine die drei Güter G, G, G3 in den Quantitäten x, x, x3. Die variablen Kosten pro Mengeneinheit von G, G bzw. G 3 betragen 8, 4 bzw. 6 Geldeinheiten. Die Produkte G j können verkauft werden zu Preisen p j (Geldeinheiten pro Mengeneinheit); dabei gilt p = 0, p = 8, p = 3 7. Bei der Produktion je einer Einheit von G, G, G3 verhalten sich die Maschinenzeiten wie : : 3 ; die Herstellung einer Einheit von Produkt G erfordert Zeiteinheiten an der Maschine. Insgesamt stehen an Maschinenkapazitäten 600 Zeiteinheiten zur Verfügung. Ferner soll der Absatz von Produkt G mindestens 50 % und der Absatz von Produkt G 3 höchstens 0 % der gesamten Absatzmenge der drei Produkte betragen. a) Formulieren Sie das lineare Programm mit dem Ziel Gewinnmaximierung. b) Ermitteln Sie mit dem Simplexalgorithmus eine Optimallösung und geben Sie alle Lösungen an. Ist die Optimallösung eindeutig? 4
Aufgabe Eine Kaffeehändler will Sorten Kaffee einkaufen, eine teure Sorte A und eine billige Sorte B. Von A kann er höchstens 0 kg, von B höchstens 80 kg bekommen. Aus diesen beiden Sorten stellt er Mischungen her. Die erste Mischung soll 0 % der Sorte A und 80 % der Sorte B, die zweite Mischung soll 60 % der Sorte A und 40 % der Sorte B enthalten. Der Verkaufspreis der ersten Mischung beträgt je kg, der zweiten Mischung 8 je kg, die Kosten 9 je kg bzw. 4 je kg. Welche Menge Kaffee muss der Händler von jeder Mischung verkaufen, damit er seinen Deckungsbeitrag maximiert? Aufgabe Eine Firma produziert drei Güter. Folgende Tabelle gibt für jedes der drei Güter jeweils pro produzierter Mengeneinheit [ME] die erforderliche Personenarbeitszeit, Maschinenlaufzeit und Rohstoffmenge sowie den erzielbaren Deckungsbeitrag an: pro von ME erforderliche Personenarbeitszeit erforderliche Maschinenlaufzeit erforderliche Rohstoffmenge erzielbarer Deckungsbeitrag Gut Std. 80 Min. 8 kg 40 Gut 3 Std. 40 Min. 0 kg 80 Gut 3 Std. 60 Min. 5 kg 50 Im relativen Produktionszeitraum, in dem der Gesamtdeckungsbeitrag maximiert werden soll, stehen höchstens 50 Stunden an Personenarbeitszeit, 60 Stunden an Maschinenlaufzeit bzw. 600 kg des Rohstoffs zur Verfügung. Ferner gilt als sicher, dass von Gut höchstens so viele Mengeneinheiten abgesetzt werden können wie von den Gütern und 3 zusammen; es soll so produziert werden, dass diese Absatzrestriktion eingehalten wird. a) Erstellen Sie ein Starttableau zu diesem linearen Optimierungsproblem und markieren Sie darin das erste Pivot-Element. (Die Pivot-Spalte sei dabei, wie üblich, durch den größten Steigungsfaktor in der Zielfunktion festgelegt.) b) Bei der Lösung dieses Optimierungsproblems ergibt sich folgendes Endtableau: x x x3 v v v3 v4 0 0 0 6 0 0 3900 0 3 0 0 5 5 30 0 0 0-0 0 0 600 3 0 0-3 0-50 0 0 0 0 5 5 30 Dabei steht x j für die von Gut j zu produzierenden ME; die Reihenfolge der Schlupfvariablen v i ist aus folgender Zusammenstellung ablesbar: 5
Schlupfvariable v v v v 3 4 gehörend zur Restriktion Personenarbeitszeit (in Std.) Maschinenlaufzeit (in Min.) Rohstoffmenge (in kg) Absatz * Geben Sie die Optimallösung x an. Wie viele Stunden an Personenarbeitszeit bzw. an Maschinenlaufzeit und wie viele Kilogramm des Rohstoffs werden beim optimalen Produktionsplan x tatsächlich * verbraucht? Aufgabe 3 In einem Unternehmen wurde die Produktion einer verlustbringenden Produktlinie eingestellt. Die dadurch frei werdenden Kapazitäten sollen für zwei neue Produkte eingesetzt werden. Die folgende Tabelle gibt diese Kapazitäten in Maschinenstunden pro Woche an: Maschinentyp freiwerdende Kapazität Fräsmaschine 60 Drehbank 8 Schleifbank 44 Die Maschinenstunden, die zur Herstellung einer Einheit der neuen Produkte benötigt werden, betragen: Maschinentyp Produkt Produkt Fräsmaschine 5 Drehbank Schleifbank 3 Die Planungsabteilung erwartet, dass von Produkt jede Produktionsmenge abgesetzt werden kann, während von Produkt maximal 0 Einheiten pro Woche abgesetzt werden können. Der Gewinn pro Einheit des Produktes bzw. beträgt 00 bzw. 00. a) Mit der Zielsetzung Gewinnmaximierung stelle man das Problem bitte als lineare Optimierungsaufgabe dar. b) Lösen Sie bitte das in a) formulierte Problem graphisch. Geben Sie die optimalen Mengen für Produkt und sowie den dabei entstehenden Gewinn an. c) Die Fräsmaschine muss gewartet werden und fällt damit 8 Stunden in einer Woche aus. Kann die in b) angegebene Optimallösung trotzdem erreicht werden? 6
Aufgabe 4 Die Du-und-Dein-Garten-OHG stellt u. a. Spaten her. Herr Günni Gartenzwerg möchte die optimale Losgröße für das nächste Jahr ermitteln. Folgendes gilt es dabei zu beachten: Nach ihrer Herstellung werden die Spaten sofort zum Absatzlager transportiert und stehen dort zum Verkauf bereit. Zur Vereinfachung der Rechnung muss keine Produktionsgeschwindigkeit berücksichtigt werden. Der Absatz im nächsten Jahr wird auf 0.000 Stück p. a. geschätzt. Die Rüstkosten betragen 675 und die Lagerkosten 3 pro Stück und Jahr. a) Leiten Sie die Formel zur Berechnung der klassischen Losgröße her! Veranschaulichen Sie das Ergebnis auch graphisch! b) Berechnen Sie die optimale Losgröße und die dabei entstehenden Kosten! c) Geben Sie den Produktionszyklus an, bestimmen Sie, wie oft ein Los im nächsten Jahr aufgelegt werden muss und stellen Sie die Entwicklung des Lagerbestandes grafisch dar! d) Um wie viel % müssten sich die Rüstkosten erhöhen bzw. verringern, damit man eine Halbierung der optimalen klassischen Losgröße erzielt? Aufgabe 5 In einer Sägerei muss entschieden werden, in welcher Losgröße Bretter zu sägen sind. Der Bedarf pro Monat beträgt ca. 00.000 Stück. Ferner sind gegeben: Rüstkostensatz: 40 Lagerkostensatz: Produktionsrate: 0,3 pro Stück und Monat 50.000 Stück pro Monat Führen Sie die folgenden Teilaufgaben sowohl für die offene als auch für die geschlossene Produktweitergabe aus! a) Bestimmen Sie die optimale Losgröße, die dabei entstehenden Kosten und den optimalen Produktionszyklus! b) Wie hoch ist der maximale Lagerbestand bei beiden Varianten? c) Stellen Sie die Entwicklung des Lagerbestandes an Brettern und die Belegung der Kreissäge durch den Zuschnitt der Bretter graphisch dar! 7
Aufgabe 6 Werkstattmeister Karl König muss die Losgrößen für die folgenden Wochen festlegen. Die ihm vorliegenden Bedarfe sind: Woche 3 4 5 6 7 Bedarf [ME] 80 60 55 70 70 5 30 Die Rüstkosten betragen 0. Das Produkt kostet 50. Als kalkulatorischer Zinssatz kann 0,5% pro Jahr angenommen werden. Berechnen Sie die resultierenden Losgrößen nach den Heuristiken: Verfahren der Gleitenden Wirtschaftliche Losgröße Part-Period-Verfahren Verfahren von Silver/Meal und Verfahren von Groff. Hinweis: Geben Sie auch bitte immer die Kosten an! Aufgabe 7 Wenden Sie das Verfahren nach Silver/Meal und das Part-Period-Verfahren auf folgende Bedarfsreihe an: Periode 3 4 5 Bedarf 3 3 7 8 5 R = 50 c L = pro Stück und Periode Welche Gesamtkosten bzw. Lospolitik ergeben sich jeweils? Aufgabe 8 Zur Realisierung eines Projektes seien sechs Vorgänge auszuführen. Folgende Tabelle gibt die Vorgänger-Nachfolger Beziehungen und die Dauern der Vorgänge an: Vorgang Nachfolger Dauer A C, D, E 3 B E 5 C F D - E - 4 F - 8
a) Erstellen Sie das dazugehörige Vorgangspfeilnetz! b) Führen Sie die Vorwärts- und die Rückwärtsterminierung durch, tragen Sie dementsprechend die frühesten und spätesten Zeitpunkte SZ i in das Vorgangspfeilnetz ein! c) Geben Sie den Gesamtpuffer von Vorgang D an! FZ i und d) Erklären Sie drei Maßnahmen zur Verringerung von Durchlaufzeiten. Aufgabe 9 Zur Fertigung von drei Baugruppen Q, R und S sind folgende Schritte, mit Zeitdauer [in ZE], notwendig: a) Herstellung des Vorproduktes 5 b) Herstellung des Vorproduktes 4 c) Beschaffung von Materialien und Rohstoffen 3 d) Verarbeitung von Vorprodukt zu Baugruppe Q 4 e) Verarbeitung von Vorprodukt, Vorprodukt und einiger beschaffter Materialien und Rohstoffe zu Zwischenprodukt A 7 f) Verarbeitung einiger beschaffter Materialien und Rohstoffe zu Zwischenprodukt B 6 g) Verarbeitung einiger beschaffter Materialien und Rohstoffe zu Zwischenprodukt C 0 h) Prüfen von Zwischenprodukt C 3 i) Lackieren von Zwischenprodukt B 5 j) Transport einer Teilmenge von Zwischenprodukt C zum Ersatzteillager k) Montage von Zwischenprodukt B und C zu Baugruppe S 9 l) Montage von Zwischenprodukt A und B zu Baugruppe R 4 m) Lackieren von Baugruppe Q 6 Folgendes gilt es noch zu beachten: Die Herstellung der Vorprodukte und sowie die Beschaffung der Materialien und Rohstoffe kann parallel ablaufen. Die Erzeugung von Zwischenprodukt B und C kann ebenfalls parallel stattfinden. Der Transport einer Teilmenge von Zwischenprodukt C zum Ersatzteillager und die Montage von Zwischenprodukt B und C zu Baugruppe S können sich ebenfalls zeitlich überschneiden. Alle anderen Reihenfolgebeziehungen ergeben sich aus der Beschreibung der Vorgänge. a) Erstellen Sie bitte das Vorgangspfeilnetz! 9
b) Ermitteln Sie die kürzeste Projektdauer sowie den kritischen Weg! c) Bestimmen Sie die Pufferzeiten! Aufgabe 0 Die Deutsche Waggonbau AG (DeWaBAG) stellt Schienenfahrzeuge, insbesondere Eisenund Straßenbahnwaggons für die Deutsche Bundesbahn, die Städtischen Verkehrsbetriebe und andere in- und ausländische Betreiber her. In der Vergangenheit ist es im Bereich Eisenbahnwaggons schon öfters zu Lieferschwierigkeiten gekommen. Das Management möchte daher durch eine genauere Planung jederzeit darüber informiert sein, wie sich die Bedarfs- und Bestandssituation entwickelt, um rechtzeitig Maßnahmen zur Verbesserung der Liefersituation ergreifen zu können. Nachstehend ist der Lieferplan für die ersten Wochen des laufenden Geschäftsjahres wiedergegeben. Der Lieferplan zeigt, wie viel Stück am Ende jeder Woche zu liefern sind. Woche 3 4 5 6 7 8 9 0 Anzahl Waggons 7 9 5 4 8 0 4 6 9 7 Die folgende Darstellung zeigt den Aufbau des Eisenbahnwaggons: Produktionskoeffizient Eisenbahnwaggon Durchlaufzeit in Wochen Achse komplett Aufbau 3 Welle 3 Rad 3 Lager 4 Kasten 5 Dach Abb.: Struktur des Eisenbahnwaggons in grafischer Darstellung Aufgabenstellung: a) Zeichnen Sie den Netzplan und das Gantt-Diagramm für die Herstellung des Eisenbahnwaggons! Führen Sie die Vorwärts- und Rückwärtsterminierung durch und geben Sie auch den kritischen Weg an! b) Wie viel Stück "Achse komplett" muss die DeWaBAG Ende Woche 6 hergestellt haben? 0
Aufgabe Bestimmen Sie für das folgende Zwei-Maschinenproblem im Flow-Shop-Fall die optimale Auftragsreihenfolge, so dass die Zykluszeit minimiert wird! Auftragsnummer Bearbeitungszeit Maschine in Minuten Bearbeitungszeit Maschine in Minuten 5 6 3 7 3 4 4 8 0 5 5 6 4 4 7 4 8 7 9 Zeichnen Sie das Auftragsfolgediagramm. Aufgabe Fünf Aufträge müssen jeweils auf 4 Maschinen bearbeitet werden. Dabei gilt es, immer die Reihenfolge zuerst Maschine, dann auf Maschine, danach Maschine 3 und zuletzt Maschine 4 einzuhalten. Folgende Bearbeitungszeiten sind gegeben: Maschine Maschine Maschine 3 Maschine 4 Auftrag 3 Auftrag 3 0,5 5 Auftrag 3 3 4 Auftrag 4,5 7 0 Auftrag 5 0 4 5 8 Gesucht ist die Bearbeitungsreihenfolge der Aufträge mit der geringsten Zykluszeit! Lösen Sie dieses 4 Maschinenproblem mit Hilfe der Heuristik von Campell, Dudeck & Smith!
Aufgabe 3 Gegeben sind 8 Aufträge und Maschinen. In der folgenden Tabelle sind die Bearbeitungszeiten und die Maschinenfolgen (* = zuerst auszuführender Arbeitsgang) gegeben: Auftrag j 3 4 5 6 7 8 a j 4* 3* 4 5* 4* b j 3 * 5 3* 3* * 5 a) Bestimmen Sie eine optimale Auftragsreihenfolge bzgl. der Minimierung der Zykluszeit. b) Zeichnen Sie das Auftragsfolgediagramm und geben Sie die minimale Zykluszeit an.