Der Kompetenzkatalog Cluster 4, Stand Jänner 2015

Der Kompetenzkatalog Cluster 4, Stand Jänner 2015 Zahlen und Maße Deskriptor Formulierung des Deskriptors Hinweise, Erklärung der Deskriptoren 1.1. mit natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen rechnen, ihre Beziehungen argumentieren und auf der Zahlengeraden veranschaulichen In einem Ansatz einen eindeutigen Fehler finden können z.b. falscher Hauptnenner bei Addition oder Subtraktion, falsches Anwenden von Rechenregeln, Zahlen ordnen können und auf einer Zahlengerade markieren können, Klammern setzen N{0,1,2,...} = 1.2. Zahlen in Fest- und Gleitkommadarstellung in der Form ± a 10k mit 1 a < 10 und a R, k Z darstellen und damit grundlegende Rechenoperationen durchführen 1.3. Vielfache und Teile von Einheiten mit den entsprechenden Zehnerpotenzen darstellen (Nano bis Tera); Größen als Maßzahl mal Maßeinheit darstellen 1.4. überschlagsrechnen und runden, Ergebnisse beim Rechnen mit Zahlen abschätzen und in kontextbezogener Genauigkeit angeben 1.5. Zahlenangaben in Prozent und Promille im Kontext anwenden und mit Prozentsätzen und Promillesätzen rechnen 1.6. den Betrag einer Zahl verstehen und anwenden B4_1.1. absolute und relative Fehler berechnen und Einheiten Gleitkommazahlen können auch als Koeffizienten von Funktionen vorkommen Berechnung eines Flächeninhaltes, Rauminhaltes, Umfanges, in einer bestimmten Maßeinheit, und anschließendes Umrechnen auf eine andere Maßeinheit Zusammenhang: Masse Dichte - Volumen In Verbindung mit Desktriptor 2.1 und 2.2: Einheiten in einem Term bestimmen (wenn eine Formel/Gleichung gegeben ist und eine einzige Einheit fehlt, diese bestimmen) Eher nur bei Kompensationsprüfung Steigung in % oder Promille, Steigungswinkel in % umrechnen und umgekehrt, aus einer Grafik Prozentsätze herauslesen und damit dann Berechnungen anstellen Normales Prozentrechnen

Algebra und Geometrie Deskriptor Formulierung des Deskriptors Hinweise, Erklärung der Deskriptoren z.b 2.1 rechnen mit Termen siehe Kommentar 2.2 Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen und mit rationalen Exponenten anwenden; Potenz- und Wurzelschreibweise ineinander überführen 2.3 Rechengesetze für Logarithmen anwenden Vorgerechnete Umformung: Fehler suchen anhand einer logarithmischen Formel erklären, wie sich eine Größe ändert, wenn eine Variable zb verzehnfacht wird. 2.4 lineare Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen, die Lösungen und argumentieren 2.5 Formeln aus der elementaren Geometrie anwenden, erstellen, begründen und siehe Kommentar 2.6 eine Formel nach einer der variablen Größen umformen und die gegenseitige Abhängigkeit der Größen in einer Formel und erklären siehe Kommentar 2.7 lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die verschiedenen möglichen Lösungsfälle argumentieren, und grafisch veranschaulichen Lineare Gleichung muss in den Grundzügen auch händisch gelöst werden können (Fehlersuche) Bedeutung der Lösung Nur einfache Formeln werden hierfür in Teil A verwendet. Kompliziertere Formeln in Teil B (auch wenn der Deskriptor Teil A ist) Formeln aus alles Anwendungsgebieten Wie ändert sich der Wert der Variable A, wenn die Variable b um 10% erhöht wird. Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen muss der Schüler auch händisch lösen können. Eine Möglichkeit das händische Lösen abzufragen, wäre das Zuordnungsformat 2 aus4, Fehler finden, Multiple Choice 1 aus 5. 2.8 lineare Gleichungssysteme mit mehreren Variablen anwendungsbezogen aufstellen, mithilfe von Technologieeinsatz lösen und das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung und argumentieren 2.9 quadratische Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die verschiedenen möglichen Lösungsfälle und argumentieren 2.10 Exponentialgleichungen vom Typ = nach der Variablen x auflösen 2.11 Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen in einer Variablen mit Technologieeinsatz auflösen und das Ergebnis Ab 3 Variablen nur mit Technologie lösen

2.12 Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck durch Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels angeben; Seiten und Winkel anwendungsbezogen berechnen B4_2.1 quadratische Gleichungen in einer Variablen lösen und die verschiedenen möglichen Lösungsfälle inklusive komplexer Lösungen B4_2.2 B4_2.3 Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels 0 α 360 (bzw. 0 α 2π) und anhand des Einheitskreises erklären rechtwinkelige und schiefwinkelige Dreiecke im anwendungsbezogenen Kontext: modellieren, berechnen, und argumentieren B4_2.4 anwendungsbezogene Exponential- und Logarithmusgleichungen lösen B4_2.5 Vektoren im R2 und R3: modellieren, berechnen, und argumentieren (Addition, Multiplikation mit einer Skalar, Skalarprodukt, Vektorprodukt) B4_2.6 Lineare Gleichungssysteme in Matrizenform übertragen und diese Darstellungsform mithilfe der Matrizenmultiplikation begründen B4_2.7 Matrizen als Operatoren von Abbildungen im R2 (Drehungen um beliebige Punkte, Spiegelungen an beliebigen Geraden, Skalierungen um beliebige Punkte, Schiebungen): modellieren, operieren, und argumentieren Der Unterschied zu 2.9 ist hier, dass auch das Erkennen komplexer Lösungsfälle hinzukommt. z.b. als kontextloses Item, pro Aufgabe darf ein Item kontextlos sein. Die rechtwinkeligen Dreiecke sind bereits im Teil A abgedeckt. Als Erweiterung ist hier das schiefwinkelige Dreieck mit den Winkelsätzen zu sehen, sowie Vermessungsaufgaben (entweder mit einer vorhandenen Skizze rechnen, oder Skizze selbstständig erstellen, Begriffekatalog beachten). Ist als Erweiterung von 2.10. zu verstehen, bedeutet, dass die Gleichung gegeben sein muss und damit werden im Anschluss Aufgabenstellungen bearbeitet. Geometrische Aufgaben (Eckpunkte von Figuren berechnen, Überprüfung des rechten Winkels mittels Skalarprodukts) Kräfte und Geschwindigkeiten Kommentar 2.1: keine Polynomdivision und keine Partialbruchzerlegung Kommentar 2.5: E s werden die Inhalte der elementaren Geometrie vorausgesetzt: Ähnlichkeit, der Lehrsatz des Pythagoras, Dreiecke, Vierecke, Kreis, Würfel, Quader, gerade Prismen, gerade Pyramiden, Zylinder, Kegel, Kugel, Längen, Flächen- und Rauminhalte in anwendungsbezogenen Problemen. Kommentar 2.6: Formeln können aus allen Gebieten vorkommen, z. B. aus Technik, Wirtschaft und Naturwissenschaft. Sie müssen nicht im Fachzusammenhang verstanden werden, dennoch soll die Abhängigkeit der variablen Größen voneinander interpretiert werden können.

Funktionale Zusammenhänge Deskriptor Formulierung des Deskriptors 3.1 eine Funktion als eindeutige Zuordnung erklären und als Modell zur Beschreibung der Abhängigkeit zwischen Größen ; den Graphen einer gegebenen Funktion mit Technologieeinsatz darstellen, Funktionswerte ermitteln und den Verlauf des Graphen im Kontext 3.2. lineare Funktionen anwendungsbezogen modellieren, damit Berechnungen durchführen, die Ergebnisse und damit argumentieren; den Graphen einer linearen Funktion im Koordinatensystem darstellen und die Bedeutung der Parameter für Steigung und Ordinatenabschnitt kontextbezogen ; eine lineare Gleichung in zwei Variablen als Beschreibung einer linearen Funktion 3.3 Potenzfunktionen ( = mit n Z, c R sowie = ) grafisch darstellen und ihre Eigenschaften (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, Polstelle, asymptotisches Verhalten) anhand ihres Graphen und damit argumentieren 3.4 Polynomfunktionen grafisch darstellen und ihre Eigenschaften bis zum Grad 3 (Null-, Extrem- und Wendestellen, Monotonieverhalten) und damit argumentieren 3.5 Exponentialfunktionen grafisch darstellen, als Wachstums- und Abnahmemodelle, die Verdoppelungszeit und die Halbwertszeit berechnen und im Kontext deuten sowie den Einfluss der Parameter von Exponentialfunktionen siehe Kommentar 3.6 lineare Funktionen und Exponentialfunktionen strukturell vergleichen, die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktionen oder mittels Exponentialfunktionen argumentieren 3.7 die Nullstelle(n) einer Funktion gegebenenfalls mit Technologieeinsatz bestimmen und als Lösung(en) einer Gleichung 3.8 Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen gegebenenfalls mit Technologieeinsatz bestimmen und diese im Kontext Hinweise, Erklärung der Deskriptoren z.b Funktionen mit Technologie zeichnen In einem Diagramm sind Funktionen dargestellt (entweder x-wert oder y-wert herauslesen, Achsen beschriften, Eigenschaften ablesen) Variablen kontextbezogen benennen (nicht nur x und y). Dies gilt auch für Parameter von Funktionen ( am Beispiel für lineare Funktionen: nicht nur k für den Anstieg und d für den Ordinatenabschnitt verwenden) Auch Ablesen von k und d aus einem Diagramm möglich Zuordnungsformat, Multiple Choice Graph ist vorgegeben, Eigenschaften Graph muss im Konstruktionsformat zuerst eingezeichnet werden und dann ggf. Eigenschaften interpretiert werden Graph mit Technologie darstellen und dann ggf. Hier gehört auch die Interpretation von Parametern einer quadratischen Funktion dazu: a>0 /a<0, Betrag von a ) Was bedeuten die Parameter in der Form y = c a τ bzw. in der Form k t N( t) = N0 e (Vorzeichen von k, a größer oder kleiner 1) zb: eine Tabelle mit Messwerten ist gegeben und man soll argumentieren, warum es sich eher um ein lineares/exponentielles Wachstum handelt t

3.9 anwendungsbezogene Problemstellungen mit geeigneten Funktionstypen (lineare Funktion, quadratische Funktion und Exponentialfunktion) modellieren siehe Kommentar 3.10 Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen mit Winkeln im Bogenmaß grafisch darstellen und die Eigenschaften dieser Funktionen und argumentieren siehe Kommentar B4_3.1 den Zusammenhang zwischen Funktion und Umkehrfunktion erklären und grafisch als Spiegelung an der 1. Mediane B4_3.2 folgende Funktionen skizzieren, und erklären: lineare Funktion, quadratische Funktion, 1/x, 1/x2, Wurzelfunktion, Winkelfunktionen, Exponentialfunktion (Wachstums-, Sättigungsund Abklingfunktionen), Logarithmusfunktion; den Einfluss der Parameter a, b und c und erklären (Verschiebung im Koordinatensystem und Skalierung gemäß a f(x + b) + c) Einfache lineare, quadratische bzw. exponentielle Funktionen müssen auch per Hand erstellt werden können. Gerade bei den exponentiellen Funktionen auch den Fall mit zwei beliebigen Punkten beachten. Einschränkung auf die folgenden Funktionen: f mit f(x)=sin(x); f mit f(x)=cos(x); f mit f(x)=tan(x) Das Berechnen der Umkehrfunktion ist hier nicht enthalten, grafisches Ermitteln ja eventuell danach daraus Funktionsgleichung ermitteln, wenn über B1_3.3 abgedeckt. Hier ist eine Funktion vorgegeben und diese wird im Anschluss skizziert, interpretiert oder erklärt. Es ist aber nicht mit diesem Deskriptor gemeint, dass die entsprechenden Funktionsgleichungen aus Punkten berechnet werden sollen Ist allgemein zu verstehen, also auch gültig für z.b. Wurzelfunktion, Logarithmusfunktion. Wenn ein logarithmisches Gesetz vorgegeben ist (zb Schalldruck etc) kann auch verlangt werden_: Wie ändert sich Variable a wenn variable b verdoppelt wird (Logarithmische Rechenregeln) Auch Logarithmus zu anderen Basen verstehen und berechnen können B4_3.3 B4_3.4 die in B4_3.2 genannten Funktionen, Polynomfunktionen sowie die ( y = a sin b x + c ) zur allgemeine Sinusfunktion ( ) anwendungsbezogenen Modellierung verwenden, mit Technologieeinsatz berechnen, die Ergebnisse und damit argumentieren. Logarithmische Skalierung: modellieren, und argumentieren (Darstellung über mehrere Zehnerpotenzen; Darstellung von Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktion als Gerade) Ist eine Erweiterung von Deskriptor 3.9 die anderen in B1_2.3 genannten Funktionstypen werden nicht zum Modellieren verwendet. Bei der allgemeinen Sinusfunktion: zb: Höhe von sich drehenden Objekten in Abhängigkeit von der Zeit als Allgemeine Sinusfunktion darstellen Frequenz in Hertz verstehen und daraus Periodendauer und Kreisfrequenz berechnen können Dieser Deskriptor wird erst fünf Jahre nach Einführung des neuen modularen Lehrplans tragend

Analysis Deskriptor Formulierung des Deskriptors Hinweise, Erklärung der Deskriptoren z.b 4.1 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen auf der Basis eines intuitiven Begriffsverständnisses argumentieren 4.2 Differenzen- und Differenzialquotient als Änderungsraten, damit anwendungsbezogen modellieren, rechnen und damit argumentieren Weg Geschwindigkeit Beschleunigung dieser Zusammenhang muss bekannt sein, mittlere Änderungsrate, momentane Änderungsrate 4.3 die Ableitungsfunktionen von Potenz-, Polynom- und Exponentialfunktionen und Funktionen, die aus diesen Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Kettenregel müssen bekannt sein, um beispielsweise Fehler finden zu können, oder 1 aus 5, zusammengesetzt sind, berechnen siehe Kommentar 4.4 Monotonieverhalten, Steigung der Tangente und Steigungswinkel, lokale Extrema, Krümmungsverhalten, Wendepunkte von Funktionen am Graphen ablesen, mithilfe der Ableitungen modellieren, berechnen, und argumentieren Krümmungsverhalten Bedeutung des Vorzeichens der 2. Ableitung 4.5 den Zusammenhang zwischen Funktion und ihrer Ableitungsfunktion Es wird nur der Zusammenhang = vorausgesetzt; Größe als Integral bzw. einer Stammfunktion beschreiben; in ihrer grafischen ihrer Änderungsrate können Darstellung und argumentieren siehe Kommentar 4.6 Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen das händische Bestimmen der Stammfunktion ist hier nur gemeint für Fehlersuche etc. Sonst kann immer mit Technologie berechnet werden 4.7 das bestimmte Integral auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes als Grenzwert einer Summe von Produkten und damit argumentieren 4.8 das bestimmte Integral als orientierten Flächeninhalt und berechnen B4_4.1 Ableitungsfunktionen von Winkel- und Logarithmusfunktionen sowie von zusammengesetzten Funktionen berechnen; Quotientenregel anwenden Die Rechenregeln vom Differenzieren werden verglichen mit Teil A noch um die Quotientenregel erweitert. Die Schüler müssen die Regel händisch anwenden können, z.b. für Fehlersuche etc. B4_4.2 B4_4.3 Stammfunktionen von elementaren Winkel- und Exponentialfunktionen berechnen; Methode der linearen Substitution anwenden Eigenschaften von Funktionen: asymptotisches Verhalten bei Sättigungs- und Abklingfunktionen beschreiben; Unstetigkeitsstellen Kann mit Technologie (CAS) berechnet werden Hier wird "nur" die Handlungsdimension C abgefragt, nicht das rechnernische Bestimmen von Unstetigkeitsstellen.

B4_4.4 Differenzialrechnung im anwendungsbezogenen Kontext anwenden: modellieren, berechnen, und damit argumentieren Dieser Deskriptor beschreibt zum Beispiel: Umkehraufgaben zu Kurvendiskussionen (knickfreie Übergänge verstehen, Erklären wie viele Punkte man für Polynomfunktionen zum Aufstellen braucht,.) Aufstellen von Tangenten in anwendungsbezogenen Aufgaben Berechnung von Steigungswinkeln Maximieren/ Minimieren von Größen (KEINE EXTREMWERTAUFGABEN MIT NEBENBEDINGUNGEN!) Kann in allen möglichen Anwendungsgebieten vorkommen (auch in der Kosten- und Preistheorie: zb: max. Gewinn) Interpretation von Änderungsraten Zusammenhang Weg- Geschwindigkeit Beschleunigung (Im HTL Bereich kann für die Ableitung entweder oder verwendet werden) Erklärung der Bedeutung der Ableitung im Sachzusammenhang B4_4.5 Integralrechnung im anwendungsbezogenen Kontext anwenden: modellieren, berechnen, und damit argumentieren Ermittlung einer Größe aus ihrer Änderungsrate durch Integration unter Berücksichtigung einer Anfangsbedingung Zusammenhang s-v-a Flächen unter einer (zeitlichen) Änderungsrate (wenn sinnvoll) ZB: - Weg als Fläche der Geschwindigkeitsfunktion erkennen, berechnen und z.b. Hinweg Fläche oberhalb x-achse und Rückweg Fläche unterhalb - Änderung der Geschwindigkeit als Fläche unter der Beschleunigungsfunktion erkennen, berechnen und - Fläche unter einer Funktion, die den Zufluss oder Abfluss pro Zeiteinheit angibt, als Gesamtmenge der zugeflossenen Flüssigkeit. linearer Mittelwert in einer Zeichnung erkennen,, erklären, auch berechnen Bogenlänge Rotationsvolumina (x/y-achse)

B4_4.6 In Natur und Technik auftretende Änderungsraten mit dem Differenzialquotienten beschreiben und erklären. Differenzialgleichungen des Typs dy k y dx = bzw dy k ( y r ) dx = anwendungsbezogen aufstellen und lösen; Methode Trennen der Variablen anwenden; Unterschied zwischen unbeschränktem und beschränktem exponentiellen Wachstum anhand der Differenzialgleichung und erklären Siehe Kommentar

Stochastik Deskriptor Formulierung des Deskriptors 5.1 Daten statistisch aufbereiten, Häufigkeitsverteilungen (absolute und relative Häufigkeiten) grafisch darstellen und sowie die Auswahl einer bestimmten Darstellungsweise anwendungsbezogen argumentieren 5.2 Mittelwerte und Streuungsmaße empirischer Daten berechnen, und argumentieren 5.3 die Wahrscheinlichkeit als intuitiven Grenzwert relativer Häufigkeit 5.4 die Additionsregel auf einander ausschließende Ereignisse und die Multiplikationsregel auf unabhängige Ereignisse anwenden; Zufallsexperimente als Baumdiagramm darstellen 5.5 mit der Binomialverteilung modellieren, ihre Anwendung begründen, Wahrscheinlichkeiten berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen Hinweise, Erklärung der Deskriptoren z.b Säulendiagramme, Kreisdiagramme, Boxplot (nur ) Unterschied: arithmetisches Mittel /Median in Bezug auf Ausreißer Median, Quartil, Spannweite, Sigma-Bereiche, Bei der Begründung der Binomialverteilung sind immer drei Punkte erwünscht: - 2 Ausgangsmöglichkeiten - Unabhängigkeit - Bei jedem Versuch hat man dieselbe Ausgangswahrscheinlichkeit Berechnungen mit Technologie durchführbar Händische Berechnung muss aber interpretiert werden können (Multiple Choice, Zuordnungsformat) Begriffe wie höchstens, mindestens, mehr als, genau,. umsetzen können

5.6 mit der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Verteilungsfunktion der Normalverteilung modellieren, Wahrscheinlichkeiten berechnen* und die Ergebnisse kontextbezogen, Erwartungswert μ und Standardabweichung σ und Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeitsdichte argumentieren B4_5.1 den Zusammenhang zwischen der Dichte- und der B4_5.2 B4_5.3 B4_5.4 B4_5.5 Berechnen der Standardabweichung und des Erwartungswertes inkludiert, Gaußsche Glockenkurve skizzieren können Wahrscheinlichkeiten markieren, und schätzen können Verteilungsfunktion der Normalverteilung beschreiben und erklären G( u) = g( x) dx, in die Dichtefunktion µ, σ eintragen/ablesen können, Verteilung der Mittelwerte x von Stichproben normalverteilter Merkmalswerte: modellieren, berechnen, und erklären Schätzwerte für Verteilungsparameter ( μ, σ ) bestimmen; zweiseitige Konfidenzintervalle für den Erwartungswert μ einer normalverteilten Zufallsvariablen: modellieren, berechnen, und erklären siehe Kommentar lineare Regression und Korrelation: Zusammenhangsanalysen für anwendungsbezogene Problemstellungen beschreiben und relevante Größen (Parameter der Funktionsgleichung, Korrelationskoeffizient nach Pearson) mit Technologieeinsatz berechnen und sowie die Methode der kleinsten Quadrate erklären Ausgleichsfunktionen (linear, quadratisch, kubisch, exponentiell) modellieren, mit Technologieeinsatz berechnen und die Ergebnisse sowie die Methode der kleinsten Quadrate erklären u In der Verteilungsfunktion die Werte 0,5 und 1 richtig eintragen können, Wahrscheinlichkeiten aus der Dichtefunktion und der Verteilungsfunktion ablesen, einzeichnen... σ Berechnungen mit σ x = n Nur zweiseitige Konfidenzintervalle, Unterscheidung zwischen den Fällen: Standardabweichung der Grundgesamtheit ist bekannt (Normalverteilung) bzw. Standardabweichung der Grundgesamtheit ist nicht bekannt. (t-verteilung) einfaches Testen (schauen, ob gegebene Zahl im Konfidenzintervall ist) Interpretieren der Formel ( zb: Wie ändert sich das Konfidenzintervall, wenn n vergrößert wird, ) Graphiken, Korrelationskoeffizienten zuordnen, Erklärung der Methode der kleinsten Quadrate schließt ein Verständnis der Fehlerquadratsumme mit ein.