Optische Abbildungen Nachdem wir die Eigenschaften des Lichts jetzt im wesentlichen kennen gelernt haben, werden wir im folgenden uns mit der sog geometrischen Optik beschäftigen, die mit geradlinigen Lichtstrahlen, die senkrecht zu den Wellenfronten stehen, arbeitet Dabei ist entscheidend, dass die Lichtwellenlänge kleiner ist als die Dimensionen der Hindernisse bzw Öffnungen Abbildungen an Spiegeln Ebene Spiegel Wir kennen alle Spiegelbilder, und wissen, dass die Hände zum Beispiel spiegelbildlich sind, d h an der einen Hand ist der Daumen auf der linken, an der anderen auf der rechten Seite Wenn wir eine Hand in einem Spiegel spiegeln, so ist das Spiegelbild identisch mit der anderen Hand Daher hat man den Eindruck, dass ein Spiegel eben links und rechts vertauscht Schaut man es sich einmal genauer an, dann stellt man fest, dass ein Spiegel in Wirklichkeit links und rechts beibehält, ebenso oben und unten Tatsächlich vertauscht ein Spiegel vorn und hinten Konstruktion eines Punktes bei Abbildung am ebenen Spiegel: - Vom Punkt P geht ein Lichtstrahlenbündel aus und wird am Spiegel reflektiert - Nach der Reflexion gehen die Strahlen so auseinander, als würden sie von einem Punkt P' hinter dem Spiegel ausgesandt werden - P' nennt man das Bild des egenstandes P - Das Auge (besser: ehirn) kann nicht unterscheiden, ob die Lichtstrahlen von P oder von P' ausgehen - Da von P' nicht wirklich Lichtstrahlen ausgehen, nennt man P' ein virtuelles Bild rößen- und Längenverhältnisse bei der Reflexion am ebenen Spiegel: - Bildgröße B ist gleich der egenstandsgröße - Bild steht aufrecht - Bildweite b ist gleich der egenstandsweite g Mehrfachabbildungen entstehen, wenn mehrere Spiegel gegeneinander geneigt sind - Von der Punktquelle P werden Lichtstrahlen an Spiegel reflektiert Virtuelles Bild ist hierzu P ' - Ebenso werden Lichtstrahlen am Spiegel reflektiert mit virtuellem Bild P ' - Nun kann es auch Mehrfachreflexionen geben, bei denen das virtuelle Bild P ' zum egenstand bei der zweiten Reflexion wird Es entsteht ein weiteres virtuelles Bild P, '' - Anzahl der Mehrfachbilder hängt vom Winkel der Spiegel und der Position des Beobachters ab 7
Sphärische Spiegel Von einem Punkt P geht ein Strahlenbündel aus nahezu parallel zur optischen Achse A auf einen kugelförmigen (=sphärischen Spiegel) Die Strahlen treffen sich nach der Reflexion in einem Brennpunkt P und breiten sich von dort aus weiter aus, als würden sie von dem Punkt P ausgehen Der Punkt P ist demnach ein reelles Bild Fügt man zu diesen achsennahen Strahlen noch weiter außenliegende dazu, dann sieht man, dass die Strahlen desto weiter vom Punkt P abweichen, je weiter sie von der Achse A entfernt sind Sie machen das Bild unscharf Diesen Abbildungsfehler nennt man sphärische Aberration Man kann sie beheben, indem man die Randstrahlen durch Blenden ausblendet Konstruktion des Bildpunktes: Ein Strahl läuft durch den Krümmungsmittelpunkt M des Spiegels Ein Strahl läuft einen beliebigen Weg und wird nach dem Reflexionsgesetz reflektiert Der Schnittpunkt der beiden Strahlen bildet den Bildpunkt P β ist Außenwinkel im Dreieck PMA, deshalb ist β = α + θ Im Dreieck PP A ist γ = α + θ Einsetzen von θ liefert: α + γ = β d d d Annahme: Achsennahe Strahlen: α, β und γ g r b Damit erhält man einen Zusammenhang zwischen egenstandsweite, Bildweite und Krümmungsradius: + = g b r d und damit A ist in der leichung nicht mehr enthalten, so dass die leichung für beliebige achsennahen Punkte A gilt rößenverhältnisse: Reflexion am Scheitelpunkt (A war ja beliebig) Es entstehen zwei ähnliche Dreiecke wegen Reflexionsgesetz B b Damit gilt: = = V lateral (Minuszeichen, weil Bild auf dem Kopf steht) g Ist g >> r, dann fallen die Strahlen parallel auf den sphärischen Spiegel In diesem Fall gilt: r <<, weswegen der Term vernachlässigt werden kann Für g gilt also: b = g r Dieser Abstand wird Brennweite f des Spiegels genannt Die Ebene, in der parallel einlaufende Strahlen fokussiert werden, heißt Brennebene Der Schnittpunkt mit der optischen Achse heißt Brennpunkt F Die Brennweite ist also gegeben durch: r f = Damit ergibt sich die Abbildungsgleichung für sphärische Spiegel: + = g b f 8
Konstruktion des Bildes am sphärischen Spiegel: Man verwendet besonders ausgezeichnete Strahlen, die sog Hauptstrahlen: Der achsenparallele Strahl wird in den Brennpunkt reflektiert Der Brennpunktstrahl wird achsenparallel reflektiert Der Mittelpunktstrahl wird in sich selber reflektiert Abbildungen durch Linsen Erzeugung von Bildern durch Brechung Konvexe, sphärische Oberfläche am Ende eines langen, durchsichtigen Zylinders esucht: Zusammenhang zwischen egenstandsweite g, Bildweite b und Krümmungsradius r Nährung: Kleine Einfallswinkel, so dass sinθ θ und sinθ θ Snellius sches Brechungsgesetz: n sinθ = n sinθ nθ = nθ n Im Dreieck AMP gilt für den Außenwinkel β = θ + γ = θ + γ n Im Dreieck PMA ist θ = α + β Einsetzen liefert: n + n β + n γ = n β n α + n γ = ( n )β α n d d d Näherung kleiner Winkel: α, β =, γ = g r b n n n n + = g b r Zur Ermittlung der Vergrößerung: B tanθ = θ, tanθ = θ g b B wird hier wieder negativ angesetzt, weil das Bild auf dem Kopf steht Snellius sches Brechungsgesetz: n θ = nθ B n = n g b B nb V = = n g 9
Dünne Linsen Eine sehr wichtige Anwendung ist die Abbildung durch dünne Linsen Auch hier sollen die Zusammenhänge der relevanten Abstände und rößenverhältnisse erläutert werden Wir betrachten eine dünne Linse mit Brechungsindex n, die auf beiden Seiten von Luft umgeben ist Die Linse hat vom egenstand den Abstand g (und damit auch die Oberfläche, weil die Linse dünn ist) Der Krümmungsradius der ersten Oberfläche ist r, der der zweiten Oberfläche r Mit dem obigen Ausdruck erhält man an der ersten sphärischen Oberfläche: nluft n n nluft + =, und man bekommt ein virtuelles Bild g b r P ' Das Licht wird nun an der zweiten Oberfläche erneut gebrochen Die Lichtstrahlen verlaufen nun aber so, als würden sie von dem virtuellen Bild P ' ausgehen Es dient quasi als virtueller egenstand für die Brechung an der zweiten Oberfläche egenstandsweiten auf der Einfallsseite sind positiv, Bildweiten auf der egenstandsseite (also auf der "falschen" Seite) sind negativ Deshalb ist g = b n nluft nluft n Es ergibt sich für das Endbild: + = b b r Addition der beiden Ausdrücke liefert: n + = g b n r r Luft In dieser leichung werden egenstands- und Bildweite mit den beiden Krümmungsradien verknüpft enau wie bei den sphärischen Spiegeln kann man eine Brennweite f definieren, wenn man parallele Lichtstrahlen von einem unendlich weit entfernten egenstand einstrahlt: g : b = f, womit einfach gilt: n = f n r r Luft enauso gibt es eine Brennebene, in der alle parallel einfallenden Strahlen fokussiert werden und einen Brennpunkt F als Schnittpunkt der Brennebene mit der optischen Achse Eingesetzt in die obige leichung ergibt sich die Abbildungsgleichung für dünne Linsen oder auch Linsengleichung: + = g b f Sie gleicht formal der Abbildungsgleichung für sphärische Spiegel Zu beachten ist aber die Vorzeichenkonvention: Bei Linsen ist die Bildweite b positiv, wenn das Bild auf der Transmissionsseite liegt ist der Krümmungsradius r positiv, wenn der Krümmungsmittelpunkt auf der Transmissionsseite liegt 0
Bei Spiegeln ist die Bildweite b positiv, wenn das Bild auf der Reflexionsseite liegt ist der Krümmungsradius r positiv, wenn der Krümmungsmittelpunkt auf der Reflexionsseite liegt Achtung! Bei bikonvexen Linsen ist der Mittelpunkt zur Fläche auf der egenstandsseite und damit r negativ! Den Kehrwert der Brennweite f einer Linse nennt man Brechkraft D, die in Dioptrien ( = ) m angegeben wird: D = f Je kürzer die Brennweite ist, desto höher die Brechkraft Bei Sammellinsen ist die Brechkraft positiv, bei Zerstreuungslinsen ist sie negativ Konstruktion des Bildes am dünnen Linsen: Man verwendet genau wie beim sphärischen Spiegel wieder besonders ausgezeichnete Strahlen, die sog Hauptstrahlen: Der achsenparallele Strahl wird so gebrochen, dass er durch den zweiten Brennpunkt verläuft Der Brennpunktstrahl verläuft durch den ersten Brennpunkt und tritt achsenparallel aus Der Mittelpunktstrahl verläuft durch den Mittelpunkt der Linse und wird nicht gebrochen Durch eine Sammellinse laufen die drei Hauptstrahlen im Bildpunkt zusammen Das Bild ist reell und umgekehrt B Die Vergrößerung geht aus der Abbildung hervor: tanθ = = g b B b V = = g Das negative Vorzeichen zeigt, dass das Bild auf dem Kopf steht 3 Dicke Linsen Bei dünnen Linsen ist die brechende Oberfläche dicht an der Hauptebene der Linse, so dass man die Brechung an beiden Oberflächen durch eine einzige an der Hauptebene ersetzen konnte Bei dicken Linsen ist diese Näherung aber nicht mehr zulässig Man muss stattdessen mit zwei Hauptebenen arbeiten Für eine symmetrische dicke Linse gilt die Linsengleichung unverändert, aber man muss die egenstands-, Bild- und Brennweite auf die jeweils nächstgelegene Hauptebene beziehen
4 Abbildungsfehler Wir haben bereits bei sphärischen Spiegeln gesehen, dass nicht alle von einem Punkt ausgehenden Strahlen in genau einem Punkt fokussiert werden, insbesondere dann nicht, wenn die einfallenden Lichtstrahlen weit von der optischen Achse entfernt sind Man spricht dann von Abbildungsfehlern, insbesondere hier von einer sphärischen Aberration Das Bild eines egenstandspunktes ist dann nicht punktförmig, sondern erscheint als kreisförmige Scheibe leiches hat man auch bei Linsen Man kann den Unschärfekreis verkleinern, indem man die achsenfernen Strahlen ausblendet Nachteil: Bild wird lichtschwächer Der rund für die sphärische Aberration ist nicht die Imperfektion der Spiegel/Linsen, sondern die Näherung für kleine Winkel Die sphärische Aberration kann beseitigt werden durch parabolische Spiegel bzw Linsen (Anwendung bei Teleskopspiegeln, Satellitenschüsseln oder Suchscheinwerfern) Nachteil: aufwändig und daher teuer in der Herstellung Ein weiterer Abbildungsfehler ist der Astigmatismus schiefer Bündel: Er tritt auf, wenn die Strahlen schräg zur optischen Achse einfallen und zu den Rändern hin unscharf abgebildet werden ( "Verzeichnung") Ein häufiger Abbildungsfehler ist die chromatische Aberration Sie rührt von der Dispersion, also der Abhängigkeit des Brechungsindex von der Frequenz her (blaues Licht wird stärker gebrochen als rotes Licht) Man bekommt einen Farbsaum an den Rändern der Bilder Abhilfe schaffen Linsensysteme aus Sammel- und Zerstreuungslinsen, die diesen Effekt gerade kompensieren (achromatische Systeme) 3 Optische Instrumente 3 Das Auge Das wichtigste optische Instrument ist das Auge Licht fällt durch die Pupille ein (Apertur variabel je nach Lichtintensität) System Hornhaut-Linse fokussiert das Licht auf die Netzhaut Netzhaut besteht aus Stäbchen und Zäpfchen (= lichtempfindliche Nervenzellen) Sinnesreize werden über den Sehnerv an das ehirn weitergeleitet Linse kann durch Ziliarmuskel verformt werden: - Fokussierung auf weit entfernten egenstand: Ziliarmuskel entspannt (f max ca 5 cm) - Fokussierung auf nahen egenstand: Ziliarmuskel angespannt (f verringert sich) -> Akkomodation egenstand zu nahe am Auge: Linse kann das Licht nicht mehr auf der Netzhaut bündeln, das Bild wird unscharf Nahpunkt: Bild wird gerade noch scharf auf der Netzhaut abgebildet (= deutliche Sehweite) Er ändert sich im Laufe des Lebens (0-jähriger: ca 7 cm, 65-jähriger: bis zu 00 cm!) Standardwert der deutlichen Sehweite: s 0 = 5 cm
Linsensystem zu schwach: Bild liegt hinter der Netzhaut: Weitsichtigkeit (entfernte egenstände werden gut erkannt, nahe egenstände nicht) Die Weitsichtigkeit kann mit einer Sammellinse (konvex) korrigiert werden Licht wird zu stark fokussiert: Bild liegt vor der Netzhaut: Kurzsichtigkeit (nahe egenstände werden scharf abgebildet, entfernte egenstände nicht) Kurzsichtigkeit wird mit einer Zerstreuungslinse (konkav) korrigiert Linsensystem nicht rotationssymmetrisch: Astigmatismus (durch Hornhautverkrümmung) (punktförmige egenstände werden als kurze Linie abgebildet) Korrektur durch zylinderförmige Linsen Die röße, in der uns ein Bild erscheint, ist die Bildgröße auf der Netzhaut Nahe Objekte ergeben ein großes Bild auf der Netzhaut, weit entfernte Objekte ein kleines Bild Die Bildgröße hängt vom Sehwinkel ε ab, unter dem der egenstand dem Auge erscheint: B B tanφ sinφ φ = tanε sinε ε b,5 cm g Nach dem Brechungsgesetz gilt: n sinε = n sinφ sin ε = n sinφ ε n φ Luft Linse Linse Linse Also gilt:,5 cm n B Linse und damit B g,5 cm n g Linse Die Bildhöhe ist umgekehrt proportional zur Entfernung des egenstandes Je näher der egenstand ist, desto größer ist das Bild Der minimale Abstand ist der Nahpunkt, also die deutliche Sehweite 3 Die Lupe Angenommen, ein egenstand ist sehr klein, so dass man ihn nahe an das Auge heranbringen muss, um ihn zu erkennen Wenn man aber unter dem Nahpunkt des Auges kommt, kann man nicht mehr akkomodieren, d h das Bild des egenstandes auf der Netzhaut ist zwar groß, aber unscharf Mit einer Lupe kann man die scheinbare röße eines Objektes vergrößern Der egenstand befindet sich innerhalb der Brennweite einer Sammellinse Dann erzeugt die Lupe ein virtuelles Bild auf egenstandsseite (Bildweite ist hier negativ!) Der Betrag der Bildweite ist dabei deutlich größer als die egenstandsweite, so dass das virtuelle Bild mindestens am Nahpunkt, wenn nicht sogar weiter entfernt entsteht Die Lateralvergrößerung ist wieder: V lateral = B b = g Der Winkel β, unter dem das virtuelle Bild gesehen wird, ist jedoch genau derselbe, unter dem der egenstand ohne Lupe gesehen würde Der Unterschied ist aber, dass man mit dem 3
Auge nicht mehr auf den nahen egenstand akkomodieren muss, sondern auf das etwas weiter entfernte Bild Die Lupe vergrößert jedoch den scheinbaren Sehwinkel, unter dem das Auge den egenstand sähe, wenn es genauso weit entfernt wäre wie das Bild Die Winkelvergrößerung (= Angularvergrößerung) ist dann: V angular B tan β b B = = = = V tanα b Ein kleiner egenstand soll sich genau im Nahpunkt vor dem Auge befinden, d h der Winkel, unter dem man den egenstand ohne Lupe sieht, beträgt: tan α = s0 Eine Lupe soll nun eine Brennweite f haben, die kleiner ist als s 0, und der egenstand soll genau in dem Brennpunkt liegen (also näher am Auge als der Nahpunkt) Dann entsteht das virtuelle Bild im Unendlichen Entsprechend muss das Auge auf unendlich akkomodiert sein Die parallelen Lichtstrahlen werden von der entspannten Linse auf der Netzhaut fokussiert Der egenstand mit Lupe erscheint im Unendlichen unter dem Winkel tan β = f Für diesen Fall bezeichnet man die Angularvergrößerung als Normalvergrößerung: lateral V tan β tanα f s 0 angular = = = = 0 s f : V normal 33 Das Mikroskop Ein Mikroskop besteht im einfachsten Fall aus zwei Sammellinsen Die dem egenstand zugewandte Linse ist das Objektiv, die dem Auge zugewandte Linse das Okular Das Objektiv erzeugt ein reelles, vergrößertes Zwischenbild innerhalb der Brennweite des Okulars Das Okular dient als Lupe und vergrößert den Sehwinkel, so dass ein virtuelles Bild des Zwischenbildes entsteht Die Vergrößerung ist das Produkt aus den Einzelvergrößerungen der beiden Linsen: B B ' B VMikroskop = VOkular VObjektiv = = (negativ, da B auf dem Kopf steht) B' Oftmals lässt man das Zwischenbild direkt am Brennpunkt des Okulars entstehen, so dass das Bild durch die Lupe "im Unendlichen" entsteht So entsteht also das Zwischenbild bei f + d B' Ferner gilt: tan β = = f d 4
B' d Die Vergrößerung des Objektivs ist damit: VObjektiv = = f s0 Die Normalvergrößerung des Okulars ist: VOkular = f Damit ist Vergrößerung des Mikroskops das Produkt aus beiden Vergrößerungen: V = V V = Mikroskop Okular Objektiv d s f f 0 34 Das Teleskop Mit dem Teleskop werden Dinge betrachtet, die in der Regel weit weg, aber dennoch groß sind Die Wirkung eines Teleskops besteht darin, ein reelles Bild eines egenstandes zu erzeugen, das dem Betrachter näher erscheint als der egenstand in Wirklichkeit ist Da der egenstand weit entfernt ist, fallen dessen Lichtstrahlen quasi parallel in die Objektivlinse, so dass das Zwischenbild in der Brennebene des Objektivs entsteht Die Bildweite ist also gleich der Brennweite f Im egensatz zum Mikroskop ist das Zwischenbild also nicht größer, sondern kleiner Das Zwischenbild ist dem Betrachter aber näher und kann nun mit dem Okular als Lupe betrachtet werden Das Okular ist jetzt so angeordnet, dass dessen Brennpunkt mit demjenigen des Objektivs zusammenfällt Wieder erscheint das Endbild im Unendlichen Der Abstand Objektiv-Okular beträgt also f + f B' B' tan β f f f Die Angularvergrößerung beträgt also: VTeleskop = = = = tanα B ' f g f Man erhält also bei Teleskopen eine starke Vergrößerung, wenn das Objektiv eine große und das Okular eine kleine Brennweite besitzt Beispiel: Yerkes-40 inch-refraktor: Durchmesser:,0 m, f f = 9,5 m, VTeleskop = = 95 f f = 0 cm Bei den astronomischen Teleskopen ist es in der Regel nicht so entscheidend, wie hoch die Vergrößerung ist, sondern die Lichtstärke, die von der Apertur abhängig ist So große Linsen sind in hoher Qualität aber nur schwer herzustellen 5
Daher sind die großen Teleskope fast immer Spiegelteleskope mit Konkavspiegeln als Objektiv Diese sind leichter als vergleichbare Linsen und auf der ganzen Auflagefläche unter-stützbar Weiterer Vorteil: Keine chromatische Aberration! Neuere Entwicklungen: Mehrere kleinere Spiegel, die individuell verstellbar sind, um Verzerrungen, thermische Verspannungen und sogar atmosphärische Turbulenzen auszugleichen 6