Gek rzte Fassung erschienen in: das wirtschaftsstudium wisu 2/22 Euro-Eekte in der Statistik Olaf H bler Der Euro ist da und seit Beginn des Jahres 22 auch in Form von Geldscheinen und M nzen Der Umtausch von DM in Euro ist weitgehend abgeschlossen Auf den Konten, auf dem Aktienmarkt wurde bereits fr her in Euro gerechnet Geldf lscher haben vor der Jahreswende noch ihre DM-Bl ten in den Umlauf gebracht und probieren sich bereits im F lschen der neuen Scheine Die Gesch fte haben auf neue Preise umgestellt und dabei zum Teil versucht, durch vorteilhaftes Runden ein Schn ppchen zu machen ltere Leute sind verunsichert Was sollen sie mit ihrem alten DM-Geld machen, das sich noch im Sparstrumpf bendet? Wie lange kann es umgetauscht werden? berall gibt es Beratungsstellen Aber auch Informationen ber Internet und B cher sollen helfen, den bergang so reibungslos wie m glich zu gestalten Das automatische Rechnen mit den neuen Einheiten Euro und Cent wird schon eine Weile dauern Wir in Deutschland haben es vergleichsweise einfach Die neuen Preise mit zwei multiplizieren und schon sind wir fast bei den alten Preisen Es lohnt sich kaum die exakte Relation Euro,95583 DM zu verwenden Ein Aspekt ist in der bisherigen Diskussion ber die Einf hrung des Euro nicht thematisiert worden Welche Auswirkungen hat der Euro auf statistische Kennziern? Was f llt uns spontan dazu ein? Die Deutschen werden rmer Es gibt weniger Million re Jeder hat nur noch etwas mehr als die H lfte des bisherigen Monatseinkommens Nat rlich ist dies ein Artefakt Die Preise halbieren sich auch nahezu Und wenn es den Rundungseekt nicht gibt, dann bleibt alles beim Alten Die Kaufkraft hat sich nicht ge ndert Wie steht es mit der Inationsrate oder der Einkommensungleichheit? Zu trennen ist zwischen substanziellen Eekten, die durch Verhaltens nderungen induziert werden, und rein statistischen Auswirkungen Nur um letztere soll es hier gehen Intuitiv wird erwartet, dass es keinen rein statistischen Eekt auf die Inationsrate und den Grad der Einkommensungleichheit gibt, wenn der Euro die DM abl st Ob dies der Fall ist, h ngt von dem verwendeten Indikator ab Ver nderungen deskriptiver Statistiken Genau genommen geht es bei dieser Frage darum, ob die verwendete statistische Kennzier gegen ber einer linearen Transformation invariant ist, und da auch nur um den Spezialfall, ob eine konstante prozentuale Reduktion aller Einzelwerte den statistischen Indikator ver ndert Die Inationsrate, deniert als Wachstumsrate des Preisniveaus, ist skalenunabh ngig, so dass hier kein Euro-Eekt wirksam wird Allerdings muss immer mit einer einheitlichen W hrungseinheit gerechnet werden Hierauf ist insbesondere im Jahr des bergangs zu achten Einkommensungleichheit kann durch Streuungs- und Konzentrationsma e ausgedr ckt werden Jeder Student der Wirtschaftswissenschaften sollte aus seiner statistischen Grundausbildung wissen oder kann dies in einem elementaren Statistiklehrbuch (zb Fahrmeir ua 2) nachlesen, dass aus y c x folgt, wenn c eine Konstante ist, die die Variablen x und y verbindet:
X (i) y c x; (ii) d 2 y (y i X? y) 2 c 2 d 2 x N c2 (x i? x) 2 ; N (iii) v y d y y v x d x x ; (iv) K H(y) K H (x) In unserem Fall ist x eine in DM und y die gleiche, aber in Euro ausgedr ckte Variable Dies bedeutet, c/,95583 Wird die mittlere quadratische Abweichung d 2 als Ma f r die Ungleichheit verwendet, so nimmt diese beim bergang von der DM zum Euro ab Sie weist nur noch etwas mehr als ein Viertel der gegenw rtigen Ungleichheit auf Wird dagegen das Konzentrationsma nach Herndahl (K H ) oder der Variationskoezient v als Ma f r die Ungleichheit herangezogen, dann ndert sich durch die neue W hrung nichts Sie sind gegen ber dieser Form der linearen Transformation invariant Bei einer Klausur, bei der gefragt wurde, wie sich die Einf hrung des Euro auf d 2 und K H f r das Monatseinkommen auswirkt, konnten lediglich 7,7 Prozent der Studenten die erste Frage korrekt beantworten Bei der zweiten Frage gaben zwar 65,5 Prozent die korrekte Antwort, aber nur bei 3 Prozent war auch die Begr ndung richtig H ugkeitstabellen in DM und Euro Die bisherigen Aussagen, vor allem auch (i)-(iv), gelten uneingeschr nkt nur, wenn mit ungruppierten Daten gearbeitet wird Erfolgen die Berechnungen aus einer H ugkeitstabelle, dann lassen sich aufgrund des Informationsverlustes, der durch die Klassenbildung zustande kommt, die statistischen Kennziern nur noch approximativ ermitteln und der Fehler h ngt von der Klassenbildung ab Folgendes einfaches Beispiel sei betrachtet: Gegeben ist die H ugkeitstabelle f r das monatliche Einkommen x, ausgedr ckt in DM ~x i? x < ~x i x i n i? < 2 2 2? < 4 3 2 4? < 6 5 Als durchschnittliches Einkommen ergibt sich sofort: x26 Soll das durchschnittliche Einkommen in Euro (y) angegeben werden, so ist klar, dies m ssten 3 Euro sein, wenn zun chst vereinfachend gerechnet wird: 2 DM Euro Bildet man jedoch eine gleiche H u- gkeitstabelle wie f r die DM-Betr ge auch f r die Euro-Betr ge (y), so folgt: ~y i? y < ~y i y i n i? < 2 4 2? < 4 3 4? < 6 5 Die Verschiebung der H ugkeiten ist klar, die H ugkeiten aus Klasse und 2 der DM- Tabelle sind zusammenzufassen in Klasse der Euro-Tabelle und die absolute H ugkeit in Klasse 3 der DM-Tabelle rutscht vollst ndig in Klasse 2 der Euro-Tabelle Dort bleibt die Klasse 3 leer Berechnet man aus der Euro-Tabelle das arithmetische Mittel, dann folgt: y4 Siehe da, die Rechnung stimmt nicht berein mit der obigen berlegung, die aus (i) folgt Der Einwand, dass nicht mit der korrekten Umtauschrelation,95583 DM Euro gerechnet wurde, sticht nicht, denn dann h tte sich ein Mittelwert von 329,36 Euro ergeben m ssen Wo liegt der Fehler? Die Klassenmitte y 2 in der Euro-Tabelle ist nicht korrekt bestimmt worden Angenommen, in der DM-Tabelle waren in Klasse 3 die Beobachtungen 2
gleichm ig ber die Klasse verteilt, dann bedeutet dies, in der Euro-Tabelle sind die Beobachtungen in Klasse 2 gleichm ig ber den Wertebereich 2 bis <3 verteilt und im Bereich 3 bis <4 l gen keine Beobachtungen Die Klassenmitte x 2 m sste also 25 und nicht 3 sein Bei dieser Gestaltung der Euro-Tabelle ergibt sich: y3 Damit h tte man das erwartete Ergebnis f r die vereinfachte Relation, aber immer noch nicht f r die wahre DM-Euro-Relation Was l sst sich hier tun? Die Klassengrenzen in Euro umrechnen und dann nach dem blichen Vorgehen verfahren: ~y i? y < ~y i y i n i? < 22; 58 5,29 2 22; 58? < 245; 7 533,88 2 245; 7? < 367; 75 2556,46 Jetzt erh lt man in der Tat als Mittelwert f r den monatlichen Euro-Betrag y329,36 Euro Allerdings ist dies nur m glich, wenn mit den wenig sch nen krummen Klassengrenzen gearbeitet wird Also Vorsicht beim Vergleich von Mittelwerten in DM und Euro, wenn diese aus einer H ugkeitstabelle berechnet wurden Gleiches gilt f r andere Kennziern Ein sse bei Regressionssch tzungen Nicht in jeder Hinsicht so einfach zu durchschauen ist der Euro-Eekt bei Regressionssch tzungen Folgendes Beispiel soll dies demonstrieren Mit den Daten des Sozio- konomischen Panels (SOEP) wird eine Einkommensfunktion gesch tzt Drei Spezikationen werden gew hlt Y + S + 2 EX + 3 EXSQ + u () Y + S + 2 EX + 3 EXSQ + 4 Y SEK + u (2) lny + S + 2 EX + 3 EXSQ + u; (3) wobei Y - monatliches Bruttoeinkommen in DM, lny - logarithmiertes monatliches Bruttoeinkommen in DM, YSEK - monatliches sektorales Bruttoeinkommen in DM, S - Zahl der Schuljahre, EX - potenzielle Berufserfahrung (Alter-S-6), EXSQ - EX 2 Spezikation (3) entspricht der klassischen Mincer-Funktion (Mincer 974) In den Spalten [] - [3] der Tabelle 4 nden sich die Sch tzungen nach der OLS-Methode auf Basis der Daten des SOEP aus dem Jahr 999, ausgedr ckt in DM In den kommenden Jahren werden die Einkommen in Euro ausgewiesen Um Vergleiche mit Ergebnissen aus den Jahren davor anstellen zu k nnen, bedarf es einer Umrechnung in eine einheitliche W hrung Dies kann dadurch erfolgen, dass alle Einzelwerte angepasst werden In den Spalten [a] - [3a] ist dies erfolgt Alle DM-Betr ge wurden f r jede Person umgerechnet in Euro-Betr ge und dann die Sch tzungen aus []-[3] wiederholt Wenn man jedoch wei, welchen Eekt die Umrechnung von DM in Euro generell hat, dann m ssen nur die Koezienten und gegebenenfalls die t-werte umgerechnet werden 3
[] [2] [3] [a] [2a] [3a] X# y! Y-DM Y-DM ln(y-dm) Y-Euro Y-Euro ln(y-euro) S 458,93 44,36,98 234,65 26,74,98 (23,2) (2,2) (6,77) (23,2) (2,2) (6,77) EX 238, 23,79,898 2,69 9,3,898 25,63) (23,7) (32,73) (25,63) (23,7) (32,73) EXSQ -3,82-3,43 -,6 -,95 -,75 -,6 (-2,29) (-8,79) (-27,99) (-2,29) (-8,79) (-27,99) YSEK,78,78 (2,76) (2,76) CONST -3689,9-597,98 6,333-886,62-325,8 5,3625 (-5,76) (-23,88) (87,26) (-5,76) (-23,88) (77,56) R 2,77,236,89,77,236,89 Schnell zu erkennen und auch nicht weiter verbl end ist der Zusammenhang zwischen den Koezienten in Spalte [] und [a] Die in Spalte [] ermittelten Koezienten sind durch,95583 zu teilen Was ndert sich beim Vergleich von Spalte [2] und [2a] systematisch? Der Koezient von YSEK bleibt unver ndert Auch dies sieht man sofort ein, da sowohl die endogene Variable als auch YSEK durch,95583 geteilt werden Warum f llt der Vergleich zwischen Spalte [3] und [3a] anders aus, als der zwischen [] und [a]? Erstens sind jetzt die Koezienten der echten exogenen Variablen unver ndert Und zweitens erf hrt das absolute Glied eine Ver nderung, deren Systematik auf den ersten Blick nicht zu erkennen ist Hierzu bedarf es einer analytischen Untersuchung Bevor die Ver nderung der Koezienten im allgemeinen Fall des multiplen Modells betrachtet wird, sei zun chst der Spezialfall eines Zwei-Variablen-Modells er rtert Hier kann einerseits die endogene Variable von DM in Euro transformiert werden und andererseits die Umrechnung des Regressors von DM in Euro erfolgen Zu fragen ist im ersten Fall, welche Auswirkungen ergeben sich f r den Regressionskoezienten b, wenn y a + bx + u transformiert wird in ~y ~a + ~ bx + ~u, wobei cy ~y Es folgt ^~b c ^b; ^~a c ^a: (4) Dies entspricht einem Sonderfall des Vergleichs von Spalte [] und [a], wenn also zb nur das Modell Y a + b S + u gesch tzt werden soll Analog folgt f r den bergang von y a + bx + u zu y a + b x + u, wenn c x x ^b c ^b; ^a ^a: (5) Die Sch tzung der Inationsrate (IR) in Abh ngigkeit von der Geldmenge (M3) ist ein solches Beispiel Auf Basis von Jahresdaten f r Deutschland im Zeitraum 992-2 ergibt sich als OLS-Sch tzung, wenn als weiterer Regressor die Arbeitslosenquote (ALQ) aufgenommen wird und M3 in DM gemessen wird: Diese Sch tzung geht ber in IR 5; 94? ; 732 ALQ? ; 292 M 3: (6) IR 5; 94? ; 732 ALQ? ; 572 M 3; (7) 4
wenn M3 in Euro ausgedr ckt wird Der eilige Leser gewinnt den Eindruck, die Bedeutung von M3 gegen ber ALQ in Bezug auf IR nimmt durch die Euro-Umstellung zu Vermeiden l sst sich dieser Eindruck, wenn mit standardisierten Variablen (x s (x? x)d x ) gearbeitet wird Dann folgt sowohl bei DM- als auch bei Euro-Messung von M3 IR s?; 457 ALQ s? ; 577 M 3 s : (8) F r das multiple Regressionsmodell wird ber das konkrete Beispiel hinausgehend die Auswirkung einer allgemeinen linearen Transformation sowohl beim Regressanden als auch bei allen Regressoren analytisch untersucht Ausgangspunkt bildet das in Matrixschreibweise dargestellte multiple lineare inhomogene Modell Das transformierte Modell lautet ~y ~y CA c y ~y N y X + u: (9) c y CA y CA + d y CA y N d y x ::: x K [ CA x N ::: x NK c c K d ::: d K CA + CA ] d ::: d K ~ CA + ~ K ~u ~u N CA () oder kompakt geschrieben ~y : C y y + d y [X C + D] ~ + ~u : ~ X ~ + ~u () mit als Einsvektor Daraus folgt als OLS-Sch tzer ^~ B @ cy c y P K ^ + d y? (d k k ) c ^ k c k y c ^ c y c K ^ K CA ( ~ X ~X)? ~X ~y: (2) Die Elemente des Sch tzvektors ^~ ergeben sich, indem zun chst in Beziehung () y und X isoliert werden Es folgt damit y X ~ c y ~ (c c y ) ~ K (c K c y ) CA + B @ P dk ~ k c P y ~ dk k c y P ~ dk k c y 5 CA? B @ dycy d y c y d y c y ; CA : (3)
Werden die letzten beiden Vektoren auf der rechten Seite (( P d k ~ k c y ) und (d y c y )) im Koezienten f r das absolute Glied integriert, so l sst sich wie folgt in Abh ngigkeit von ~ darstellen c y ( ~ + KX k c c ~ y c K c y ~ K d k ~ k? d y ) : (4) CA Nach ~ aufgel st folgt der Ausdruck in (2), wenn noch die wahren Parameter durch Sch tzungen ersetzt werden Somit kann bei vorgegebenen Werten f r c y ; c ; :::; c K ; d y ; d ; :::; d K und Kenntnis der Ausgangssch tzung ^ (X X)? X y der Sch tzvektor f r die Koezienten des transformierten Modells ^~ bestimmt werden, ohne dass vorher die Individualwerte transformiert worden sind Bei den drei zu vergleichenden Spezikationen in DM und Euro ergeben sich aus der allgemeinen Sch tzung f r ^~ als spezielle Konstellationen: ^~ ^~ ^~ 2 ^~ 3 ^~ 4 Fall c ^ y c ^ y c ^ y 2 c ^ y 3 Fall 2 c ^ y c ^ y c ^ y 2 c ^ y 3 (c y c 4 ) ^ 4 Fall 3 ^ + d y ^ ^ 2 ^ 3 Werden die numerischen Werte f r die Parameter eingesetzt, die nachstehend aufgef hrt sind, und mit den gesch tzten Koezienten aus Spalte [] - [3] verkn pft, folgen die gesch tzten Koezienten in den Spalten [a] - [3a] Fall : []![a] Fall 2: [2]![2a] c y c c 2 c 3 c 4 d y d d 2 d 3 d 4 ; 95583 ; 95583 ; 95583 Fall 3: [3]![3a] ln( ; 95583 ) Das Ergebnis einer Kombination der F lle 2 und 3, wenn also Spezikation 3 um lnysek erweitert wird, folgt sofort Die gesch tzten Koezienten der echten exogenen Variablen bleiben bei der Euro-Umrechnung unver ndert, w hrend man f r das absolute Glied ^~ d y? d 4 ^ 4 (5) erh lt Weitere, ber die behandelten Spezialf lle mit Euro-Umrechnung hinausgehende lineare Transformationen lassen sich schnell bilden Oen bleibt bisher aber noch der Einuss auf die t-werte Zun chst wird das Problem f r Fall 2 gel st Damit ist dann auch die L sung f r Fall als Spezialfall gegeben Die nach OLS gesch tzte Kovarianzmatrix des multiplen linearen Modells lautet 6
^V ( ^) ^ 2 (X X)? : (6) F r das linear tranformierte Modell im Fall 2 folgt f r die Residuen: ^~u ~y? ~X ^~ c y y? XC( ~ X ~X)? ~X ~y (7) c y y? XCC? (X X)? C? CX c y y (8) c y (I? X(X X)? X )y c y P y c y ^u: (9) (vgl H bler 989, S 4) Da die endogene Variable und der Regressor YSEK mit dem gleichen Faktor transformiert werden, so dass c y : c und gilt, erh lt man Au erdem ergibt sich ^~ 2 C ( ~ X ~ X)? C? (X X)? C? c CA (2) N? K? c2 ^u ^u c 2^ 2 : (2) x x (c)x K x x (c)x K x K?; x K?; (c)x CA : (22) K?;K (c)x K; (c)x K; (c) 2 x KK Da die Hauptdiagonalelemente von ^V (^~) die gesch tzten Varianzen von ^~ k sind, ist ^~ 2 k c2^ 2 x kk c 2 ^ 2 k (23) ^~ 2 K c2^ 2 x KK c 2 ^2 K; (24) wobei ^~ 2 k ^2^~ k,k,,2,3; K4 Die t-werte sind damit ~t K ~t k ^~k ^~ k c ^ k c^ k t k (25) ^~K ^~ ^~ K ^ K ^ ^ K t K : (26) Das transformierte und das nichttransformierte Modell f hren also zu den gleichen t-werten Fall entspricht Fall 2, wenn der letzte Regressor, dh der einzige, der transformiert wird, entf llt Nebenbei bemerkt ist mit den voranstehenden berlegungen auch erkl rt, warum das Bestimmtheitsma beim bergang von DM- in Euro-Betr ge unver ndert bleibt Im Fall 7
3, beim logarithmierten Modell, ist die Situation etwas anders Die logarithmierten y-werte ndern sich beim bergang von DM- in Euro-Betr ge alle um den gleichen absoluten Betrag ln(/,95583), so dass sich keine Auswirkungen auf die Residuenvarianz ergeben Es gilt, da im Fall 3 die Regressormatrix, die einen Einsvektor () als ersten Spaltenvektor besitzt, unver ndert bleibt ^~u ~y? X ^~ y + ln(; 95583)? X ^ + ln(; 95583) ^! y + ln(; 95583)? X ^? ln(; 95583) ^u; (27) wobei ( ; 2 ; ; K ) Somit ist ^V (^~) ^V ( ^), so dass die t-werte nur von den gesch tzten Koezienten ber hrt werden, dh ~t k ^~k ^~ k ^ k ^ k (28) ~t ^~ ^~ ^~ ^ t ; (29) wobei k ; 2; ; K Festzuhalten bleibt: Zusammenfassung () Arithmetisches Mittel und Streuung monet rer Gr en ndern durch die Euro-Umstellung, allerdings in unterschiedlicher Form: ; 95583 bzw (; 95583) 2 Der Variationskoezient und das Herndahlma sowie alle Wachtumsraten bleiben unver ndert (2) Statistische Kennziern, die aus zwei Tabellen gleicher Variablen berechnet werden, einmal in DM und das andere Mal in Euro gemessen, lassen sich nur vergleichen, wenn die Klasseneinteilung der DM-Tabelle in Euro-Werten f r die Euro-Tabelle bernommen wird oder umgekehrt (3) Der Euro-Eekt wirkt sich in Regressionsans tzen nur auf das absolute Glied in einer intuitiv nicht sofort erkennbaren Form aus, w hrend die Eekte auf die Koezienten der echten Regressoren und auf deren t-werte einfach und einsehbar sind Bei den echten Regressoren bleiben die t-werte unver ndert Dies gilt f r die Koezienten nur dann, wenn Regressor und Regressand monet re Gr en sind, bei denen von einer W hrungseinheit zu einer anderen, bei beiden jedoch gleichen neuen Einheit (zb von der DM- zur Euro-Messung) bergegangen wird Ist nur der Regressand eine monet re Variable, so muss der bisherige Koezient beim bergang in Euro durch,95583 geteilt werden Entspricht die endogene Variable allerdings einer logarithmierten monet ren Gr e, so bleiben auch in diesem Fall die Koezienten unver ndert 8
Literatur: Fahrmeir, L, K nstler, R, Pigeot, I und G Tutz: Statistik Der Weg zur Datenanalyse 3 Au, Berlin 2 H bler, O: konometrie, Stuttgart 989 Maddala, GS: Introduction to Econometrics 3rd ed, New York 2 Mincer, J: Schooling, Experience, and Earnings New York 974 9