Variablen und Parameter in LISREL

Variablen und Parameter in LISREL 1 Konfirmatorische Faktorenanalyse: Pfaddiagramm Dieses Diagramm stellt den denkbar einfachsten Fall einer konfirmatorischen Faktorenanalyse dar. Empirisch sind Modelle mit so wenigen Variablen nur unter bestimmten Bedingungen identifiziert und analysierbar. θ 1 λ 1 ϕ 11 ξ 1 θ 2 λ 1 ϕ 21 θ 3 λ 2 δ 4 λ x 42 θ δ 44 ϕ 22 Abbildung 1. Beispiel-Pfaddiagramm einer konfirmatorischen Faktorenanalyse mit zwei latenten Variablen Konstrukten ξ 1,, operationalisiert durch die manifesten Variablen Indikatorvariablen, bzw.,, sowie den im Modell enthaltenen Parametern. Varianzen als Modellparameter sind bei den jeweiligen Variablen in Klammern dargestellt. TD1,1 LX1,1 PH1,1 ξ1 TD2,2 LX2,1 PH2,1 LX3,2 TD3,3 δ 4 TD4,4 LX4,2 PH2,2 Abbildung 2. Beispiel-Pfaddiagramm der konfirmatorischen Faktorenanalyse aus Abbildung 1. Die im Modell enthaltenen Parameter sind mit ihren LISREL-Bezeichnungen dargestellt. 1

2 Konfirmatorische Faktorenanalyse: Parametermatrizen Die Matrizen entsprechen dem Pfaddiagramm auf der vorherigen Seite. Notation: links in griechischen Buchstaben, rechts in LISREL-Syntax Faktorladungsmatrix Ladungen der Indikatorvariablen x auf den Konstrukten ξ λ 1 = 1 0 Λ x = λ 1 0 0 λ 2 = 1 0 λ 2 LX1, 1 = 1 0 LX = LX2, 1 0 0 LX3, 2 = 1 0 LX4, 2 Fehlerkovarianzmatrix Varianzen und evtl. Kovarianzen der Meßfehlervariablen δ θ11 δ 0 0 0 Θ δ = 0 θ 2 0 0 0 0 θ33 δ 0 0 0 0 θ44 δ TD1, 1 0 0 0 TD = 0 TD2, 2 0 0 0 0 TD3, 3 0 0 0 0 TD4, 4 Faktorkovarianzmatrix Varianzen und Kovarianzen der Faktoren ξ ϕ 11 ϕ 12 Φ = ϕ 21 ϕ 22 PH1, 1 PH1, 2 PH = PH2, 1 PH2, 2 Skalierung Das Setzen von jeweils einer Faktorladung pro Konstrukt auf 1 dient der Skalierung, d. h. der Festlegung der Varianzen der Konstrukte. In der Praxis sollten hierfür möglichst reliable und valide Indikatorvariablen verwendet werden was nicht unbedingt die jeweils erste zu sein braucht. Aufbau der Matrizen 1 In Matrizen, die Effekte zwischen Variablen darstellen, entsprechen die Spalten den Variablen, von denen Effekte ausgehen abgehende Pfeile im Pfaddiagramm, die Zeilen entsprechen den Variablen, auf die Effekte wirken ankommende Pfeile im Pfaddiagramm. Beispiel: 2 In Kovarianzmatrizen entsprechen die Zeilen und Spalten den jeweiligen Variablen. Diese Matrizen sind grundsätzlich symmetrisch. Beispiel: LX = Λ x = ξ 1 λ 1 0 λ 1 0 0 λ x 32 PH = Φ = ξ 1 ξ 1 ϕ 11 ϕ 12 ϕ 21 ϕ 22 0 λ 2 2

3 Vollständiges Strukturgleichungsmodell: Pfaddiagramm θ 1 θ 2 λ 1 λ 1 ϕ 11 ξ 1 ϕ 21 γ 12 ζ 1 ψ 11 γ 11 η 1 β 21 λ y 11 λ y 21 y 1 y 2 1 θ11 2 θ22 θ 3 λ 2 γ 22 η 2 λ y 32 y 3 3 θ33 δ 4 θ44 δ λ 2 ϕ 22 ζ2 ψ 22 λ y 42 y 4 4 θ44 Abbildung 3. Beispiel-Pfaddiagramm eines Strukturgleichungsmodells mit zwei latenten Prädiktorvariablen ξ 1, operationalisiert durch die manifesten Variablen, bzw.,, einer Mediatorvariablen η 1 operationalisiert durch y 1, y 2 und einer Kriteriumsvariablen η 2 operationalisiert durch y 3, y 4 sowie den im Modell enthaltenen Parametern. Varianzen als Modellparameter sind bei den jeweiligen Variablen in Klammern dargestellt. ζ 1 TD1,1 TD2,2 LX1,1 LX2,1 PH1,1 ξ1 PS1,1 GA1,1 η 1 LY1,1 LY2,1 y 1 y 2 1 TE1,1 2 TE2,2 PH2,1 GA1,2 BE2,1 TD3,3 LX3,2 GA2,2 η 2 LY3,2 y 3 3 TE3,3 δ 4 TD4,4 LX4,2 PH2,2 ζ 2 LY4,2 y 4 4 TE4,4 PS2,2 Abbildung 4. Beispiel-Pfaddiagramm des Strukturgleichungsmodells aus Abbildung 3. Die im Modell enthaltenen Parameter sind mit ihren LISREL-Bezeichnungen dargestellt. 3

4 Vollständiges Strukturgleichungsmodell: Parametermatrizen Die Matrizen entsprechen dem Pfaddiagramm auf der vorherigen Seite. Notation: links in griechischen Buchstaben, rechts in LISREL-Syntax 4.1 Meßmodell der ξ-variablen exogene Variablen Faktorladungsmatrix Ladungen der Indikatorvariablen x auf den Konstrukten ξ λ 1 = 1 0 Λ x = λ 1 0 0 λ 2 = 1 0 λ 2 LX1, 1 = 1 0 LX = LX2, 1 0 0 LX3, 2 = 1 0 LX4, 2 Fehlerkovarianzmatrix Varianzen und evtl. Kovarianzen der Meßfehlervariablen δ θ11 δ 0 0 0 Θ δ = 0 θ 2 0 0 0 0 θ33 δ 0 0 0 0 θ44 δ TD1, 1 0 0 0 TD = 0 TD2, 2 0 0 0 0 TD3, 3 0 0 0 0 TD4, 4 Faktorkovarianzmatrix Varianzen und Kovarianzen der Faktoren ξ ϕ 11 ϕ 12 Φ = ϕ 21 ϕ 22 PH1, 1 PH1, 2 PH = PH2, 1 PH2, 2 4.2 Meßmodell der η-variablen endogene Variablen Faktorladungsmatrix Ladungen der Indikatorvariablen y auf den Konstrukten η λ y 11 = 1 0 Λ y = λ y 21 0 0 λ y 32 = 1 0 λ y 42 LY1, 1 = 1 0 LY = LY2, 1 0 0 LY3, 2 = 1 0 LY4, 2 Fehlerkovarianzmatrix Varianzen und evtl. Kovarianzen der Meßfehlervariablen θ11 0 0 0 Θ = 0 θ 22 0 0 0 0 θ33 0 0 0 0 θ44 TE1, 1 0 0 0 TE = 0 TE2, 2 0 0 0 0 TE3, 3 0 0 0 0 TE4, 4 4

4.3 Strukturmodell Beziehungen zwischen ξ- und η-variablen Effekte der ξ-variablen auf die η-variablen γ 11 γ 12 Γ = 0 γ 22 GA1, 1 GA1, 2 GA = 0 GA2, 2 Effekte von η-variablen auf andere η-variablen 0 0 B = β 21 0 0 0 BE = BE2, 1 0 Residualvarianzen Varianzen und evtl. Kovarianzen der Modellgleichungsfehlervariablen ζ Ψ = ψ 11 0 0 ψ 22 PS = PS1, 1 0 0 PS2, 2 5 Variablen: Bezeichungen in LISREL ksi ξ i i = 1,..., n latente exogene Prädiktor- Variablen eta η j j = 1,..., m latente endogene Kriteriums-/Mediator- Variablen zeta ζ j j = 1,..., m Residualvariablen der latenten endogenen Variablen η j bei Erklärung durch die latenten exogenen Variablen ξ 1,..., ξ n sowie die latenten endogenen Variablen η 1,..., η j 1, η j+1,..., η m x x k k = 1,..., q manifeste Indikatorvariablen der latenten exogenen Variablen ξ 1,..., ξ n y y l l = 1,..., p manifeste Indikatorvariablen der latenten endogenen Variablen η 1,..., η m delta δ k k = 1,..., q Meßfehlervariablen der Indikatoren,..., x q der latenten exogenen Variablen epsilon l l = 1,..., p Meßfehlervariablen der Indikatoren y 1,..., y p der latenten endogenen Variablen 5

6 Parametermatrizen: Bezeichnungen in LISREL Matrix Einträge GA Γ gamma γji j = 1,..., m; i = 1,..., n BE B beta βju j = 1,..., m; u = 1,..., m; j u LX Λ x lambda-x λ x ki k = 1,..., q; i = 1,..., n LY Λ y lambda-y λ y lj l = 1,..., p; j = 1,..., m Pfadkoeffizient des Effekts der latenten exogenen Variablen ξi auf die latente endogene Variable ηj Pfadkoeffizient des Effekts der latenten endogenen Variablen ηu auf die latente endogene Variable ηj Pfadkoeffizient des Effekts der latenten exogenen Variable ξi auf ihre manifeste Indikatorvariable xk Faktorladung von xk auf ξi Pfadkoeffizient des Effekts der latenten endogenen Variable ηj auf ihre manifeste Indikatorvariable yl Faktorladung von yl auf ηj TD Θ δ theta-delta θ δ kk k = 1,..., q Varianz der Meßfehlervariablen δk Fehlervarianzanteil/nicht durch latente Variablen erklärbarer Varianzanteil der Indikatorvariable xk; Element der Kovarianzmatrix Θ δ aller Meßfehlervariablen δk; wenn Unkorreliertheit der Meßfehlervariablen vorausgesetzt wird, gilt θ sk δ = 0 für alle s k TE Θ theta-epsilon θ ll l = 1,..., p Varianz der Meßfehlervariablen l Fehlervarianzanteil/nicht durch latente Variablen erklärbarer Varianzanteil der Indikatorvariablen yl; Element der Kovarianzmatrix Θ aller Meßfehlervariablen l; wenn Unkorreliertheit der Meßfehlervariablen vorausgesetzt wird, gilt θ rl = 0 für alle r l PH Φ phi ϕii i = 1,..., n Varianz der latenten exogenen Variablen ξi Diagonal-Element der Kovarianzmatrix ϕit i = 1,..., n; t = 1,..., n; i t Φ aller latenten exogenen Variablen ξi Kovarianz der latenten exogenen Variablen ξi und ξt Element der Kovarianzmatrix Φ aller latenten exogenen Variablen ξi, außerhalb der Diagonale PS Ψ psi ψjj j = 1,..., m Varianz der Residualvariablen ζj nicht durch andere latente Variablen erklärbarer Varianzanteil der latenten endogenen Variablen ηj 6