Mathematische Formeln für das Studium an Fachhochschulen

Transkript

1 Richard Mohr Mathematische Formeln für das Studium an Fachhochschulen

2 Richard Mohr Mathematische Formeln für das Studium an Fachhochschulen

3

4 Richard Mohr Mathematische Formeln für das Studium an Fachhochschulen Mit 240 Bildern, 25 Tabellen und 123 Beispielen

5 Prof. Dr. rer. nat. Richard Mohr Hochschule Esslingen, Fakultät Grundlagen Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISBN Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung mit Ausnahme der in den 53, 54 URG genannten Sonderfälle, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden Carl Hanser Verlag München Lektorat: Christine Fritzsch Herstellung: Katrin Wulst Satz: Richard Mohr, Alfdorf Coverconcept: Marc Müller-Bremer, München, Germany Coverrealisierung: Stephan Rönigk Druck und Bindung: Druckhaus»Thomas Müntzer«GmbH, Bad Langensalza Printed in Germany

6 5 Vorwort Bei Mathematik-Grundkursen für Ingenieure wird immer wieder gefragt, welche Formelsammlung am besten den Bedürfnissen des angehenden Ingenieurs entspricht. Mathematische Formelsammlungen gibt es wie Sand am Meer. Manche haben den Ehrgeiz, sämtliche Teilgebiete der Mathematik abzudecken und werden dadurch fürden Praktiker unhandlich. Bei kleineren Umfängen vermisst man oft Beziehungen, die für den angehenden Ingenieur wichtig sind. Nach jahrelangen wechselnden Empfehlungen reifte mein Entschluss, selber die wichtigsten Formeln zu sammeln und den Studenten zur Verfügung zustellen. Aus zwei Dutzend Blättern entstand im Laufe der Zeit eine immer umfangreichere Sammlung, die nun einem größeren Nutzerkreis zugänglich gemacht wird. Den letzten Anstoß gab das Erscheinen des gelungenen Mathematiklehrbuchs Mathematik für das Ingenieurstudium der beiden Kollegen Koch und Stämpfle. Der inihrem Werk abgehandelte Stoff war eine zusätzliche Hilfe bei der Auswahl; alle darin behandelten Themen werden durch die vorliegende Formelsammlung abgedeckt. Hier wird der Versuch unternommen, einerseits die Stofffülle so einzugrenzen, dass kein unübersichtlicher Wälzer entsteht; andererseits werden alle an technisch und betriebswirtschaftlich orientierten Fachhochschulen benötigten Inhalte der Mathematik angesprochen. Da heute bei fast allen technisch orientierten Studiengängen auch betriebswirtschaftliche Lehrveranstaltungen im Curriculum vorkommen, habe ich die wesentlichen Formeln der Finanzmathematik in die Sammlung aufgenommen. Wichtige Formeln werden durch Beispiele für den Nutzer transparenter gemacht. Unterstützend sind viele Skizzen und Schaubilder beigefügt. Sie machen die Anwendung des Formelwerks auf konkrete Fragestellungen durchschaubarer. Ein weiteres Leitmotiv beiauswahl und Anordnung warendie Bedürfnisse der Studierenden in Prüfungssituationen. Die Formelsammlung kann auch als Gerüst für die Prüfungsvorbereitung dienen. Meinen Kollegen der Fakultät Grundlagen danke ich herzlich für ihre Mithilfe bei der Stoffauswahl und fürfleißiges Korrekturlesen. Besonderer Dank gilt Herrn Dr.Bernd Götz vom Mathematischen Institut der Universität Stuttgart, mit dessen Grafik-Paket die Abbildungen in diesem Buch erstellt wurden. Weiter gilt mein Dank den vielen Studierenden, die mich mit Fragen, Wünschen und Anregungen jahrelang immer wieder zum Nachdenken über Auswahl und Gestaltung gebracht haben. Ein herzliches Dankeschön geht an Frau Christine Fritzsch und Frau Katrin Wulst vom Carl Hanser Verlag für die angenehme Zusammenarbeit beider Fertigstellung des Projekts. Mein besonderer Dank gilt meiner Ehefrau Monika, die mir, genau wie bei meinen vorangegangenen Buchprojekten, Freiräume fürs Entstehen des vorliegenden Manuskripts geschaffen hat. Hinweise auf Fehler und Verbesserungsvorschläge werden gerne entgegengenommen. Meine -Adresse lautet: Alfdorf, im Dezember 2010 Richard Mohr

7 6 Wichtige Bezeichnungen Mathematische Zeichen und Symbole = gleich {a, b, c} Menge mit Elementen ungleich Element von < kleiner als / nicht Element von > größer als... Teilmenge von... viel kleiner als Durchschnitt von Mengen viel größer als Vereinigung von Mengen kleiner oder gleich A C Komplementärmenge größer oder gleich leere Menge identisch gleich N Menge der natürlichen Zahlen ungefähr gleich Q Menge der rationalen Zahlen proportional, ähnlich R Menge der reellen Zahlen parallel C Menge der komplexen Zahlen senkrecht (a, b) geordnetes Paar logisches Und AB Strecke AB logisches Oder [a, b] oder [a; b] abgeschlossenes Intervall aus... folgt... (a, b) oder (a; b) offenes Intervall... äquivalent zu... Δx Differenz zweier x-werte lim Grenzwert dx Differenzial lim Δx 0... und so weiter dy dx Differenzialquotient unendlich f (x) erste Ableitung von f(x) i oder j imaginäre Einheit f x partielle Ableitung von f nach x n! n Fakultät Nabla-Operator x i Summe aller x i...dx unbestimmtes Integral x i Produkt aller x i a b...dx bestimmtes Integral von a bis b π = Kreiszahl e = Eulersche Zahl Griechische Buchstaben α A Alpha η H Eta ν N Ny τ T Tau β B Beta θ,ϑ Θ Theta ξ Ξ Xi v Υ Ypsilon γ Γ Gamma ι I Jota o O Omikron ϕ, φ Φ Phi δ Δ Delta κ K Kappa π Π Pi χ X Chi ɛ, ε E Epsilon λ Λ Lambda ρ, ϱ P Rho ψ Ψ Psi ζ Z Zeta μ M My σ Σ Sigma ω Ω Omega

8 7 Inhaltsverzeichnis 1 Mengen, Logik, Zahlenmengen Mengen, Logik Zahlenmengen Algebra Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Finanzmathematik 16 3 Komplexe Zahlen Grundrechenoperationen Nullstellen Harmonische Schwingungen Funktionen Gleichungen Algebraische Gleichungen Transzendente Gleichungen Lineare Gleichungssysteme 32 6 Vektorrechnung Grundrechenarten Produkte Lineare Abhängigkeit von Vektoren Analytische Geometrie Darstellung von Gerade und Ebene im Raum Grundaufgaben Matrizen Begriffe und Bezeichnungen Grundrechenoperationen Determinanten Eigenwerte, Eigenvektoren Mehrstufige Prozesse Cramersche Regel Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Ausgleichsrechnung... 55

9 8 Inhaltsverzeichnis 9 Funktionen und ihre Graphen Analysis Folgen und Reihen Ableitungen Integralrechnung Funktionen von mehreren Variablen Ebene Geometrie Dreiecke Vierecke Kreise Kongruenz und Ähnlichkeit Kegelschnitte Kurven inparameterdarstellung Räumliche Geometrie Gewöhnliche Differenzial- und Differenzengleichungen Differenzialgleichung erster Ordnung Differenzen- und Differenzialgleichungen höherer Ordnung Lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Systeme linearer Differenzialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten Fourierreihen Integraltransformationen Sprung- und Impulsfunktionen Faltungsintegral Fouriertransformation Laplacetransformation z-transformation Sachwortverzeichnis 159