Analysis 1. Hans-Jürgen Dobner Bernd Engelmann. Grundlagen und Differenzialrechnung. 2., aktualisierte Auflage. Mathematik-Studienhilfen

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1 Hans-Jürgen Dobner Bernd Engelmann Mathematik-Studienhilfen Analysis 1 Grundlagen und Differenzialrechnung 2., aktualisierte Auflage

2 Hans-Jürgen Dobner Bernd Engelmann Analysis 1

3 Mathematik Studienhilfen Herausgegeben von Prof. Dr. Bernd Engelmann Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig, Fachbereich Informatik, Mathematik und Naturwissenschaften Zu dieser Buchreihe Die Reihe Mathematik-Studienhilfen richtet sich vor allem an Studenten technischer und wirtschaftswissenschaftlicher Fachrichtungen an Fachhochschulen und Universitäten. Die mathematische Theorie und die daraus resultierenden Methoden werden korrekt aber knapp dargestellt. Breiten Raum nehmen ausführlich durchgerechnete Beispiele ein, welche die Anwendung der Methoden demonstrieren und zur Übung zumindest teilweise selbständig bearbeitet werden sollten. In der Reihe werden neben mehreren Bänden zu den mathematischen Grundlagen auch verschiedene Einzelgebiete behandelt, die je nach Studienrichtung ausgewählt werden können. Die Bände der Reihe können vorlesungsbegleitend oder zum Selbststudium eingesetzt werden. Bisher erschienen: Dobner/Engelmann, Analysis 1 Dobner/Engelmann, Analysis 2 Dobner/Dobner, Gewöhnliche Differenzialgleichungen Gramlich, Lineare Algebra Gramlich, Anwendungen der Linearen Algebra Knorrenschild, Numerische Mathematik Knorrenschild, Vorkurs Mathematik Martin, Finanzmathematik Nitschke, Geometrie Preuß, Funktionaltransformationen Sachs, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stingl, Operations Research Linearoptimierung Tittmann, Graphentheorie

4 Analysis 1 Grundlagen und Differenzialrechnung von Prof. Dr. Hans-Jürgen Dobner und Prof. Dr. Bernd Engelmann 2., aktualisierte Auflage mit 19 Bildern, 127 Beispielen und 49Aufgaben Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag

5 Autoren Prof. Dr. Hans-Jürgen Dobner Kapitel 1, 2 und 7, 8 Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig FB Informatik, Mathematik und Naturwissenschaften Prof. Dr. Bernd Engelmann Kapitel 3 bis 6 Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig FB Informatik, Mathematik und Naturwissenschaften Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek: Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISBN Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung mit Ausnahme der in den 53, 54 URG genannten Sonderfälle -, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag 2007 Carl Hanser Verlag München Lektorat: Christine Fritzsch Herstellung: Renate Rossbach Umschlaggestaltung: MCP Susanne Kraus GbR, Holzkirchen Satz: Hans-Jürgen Dobner, Bernd Engelmann, Leipzig Druck und Binden: Druckhaus Thomas Müntzer GmbH, Bad Langensalza Printed in Germany

6 Vorwort Vorlesungen zur Analysis bzw. zur Höheren Mathematik gehören zu den Pflichtveranstaltungen im Grundstudium technischer und wirtschaftswissenschaftlicher Fachrichtungen sowohl an Fachhochschulen als auch an Universitäten. Demzufolge existiert auf diesem Gebiet bereits eine Vielzahl von Lehrbüchern und man mag sich fragen, warum dieser Fülle noch ein weiteres Buch hinzuzufügen. Das in zwei Bänden konzipierte Arbeits- und Übungsbuch zur Analysis trägt den schon seit längerem an uns herangetragenen Wünschen nach einer knappen Darstellung der wesentlichen mathematischen Begriffe und Resultate in Verbindung mit einer nicht zu umfangreichen Sammlung von ausführlich durchgerechneten, einfachen Beispielen Rechnung. Die Beispiele sollten dabei gleichermaßen überschaubar und typischsein. In die Darstellung fließen Erfahrungen ein, welche die Autoren in Lehrveranstaltungen für Studierende vorwiegend technischer Fachrichtungen an der Universität Kaiserslautern, der Technischen Hochschule Karlsruhe und der Technischen Hochschule Leipzig sowie an der Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig gesammelt haben. Dem Anliegen der Reihe Mathematik-Studienhilfen entsprechend wird ein kompaktes Werk vorgelegt, welches kein Ersatz für ein Lehrbuch sein will, sondern als vorlesungsbegleitendes Material zur Prüfungsvorbereitung und zum Selbststudium gedacht ist. Zielstellung der Autoren ist es, die insbesondere für Studienanfänger erhebliche Lücke zwischen dem theoretischen Anspruch der Lehrbuchliteratur, in der die Lösung von Aufgaben eher verkürzt dargestellt wird und den Aufgabensammlungen, mit teilweise noch zu anspruchsvollen Aufgaben zu schließen. In den acht Kapiteln des vorliegenden Bandes zur Analysis 1werden Beispiele zu den grundlegenden Inhalten der Analysis behandelt; dabei reichen die Themen von den mathematischen Beweismethoden über Folgen, Zahlenreihen und Funktionen bis zur Differenzialrechnung. In zahlreichen Beispielen soll die Beherrschung unabdingbarer mathematischer Fähigkeiten und Fertigkeiten vermittelt werden. Der didaktischen Zielsetzung folgend wurde die Darstellung auf typische Problemstellungen beschränkt und Wert auf ausführlich durchgerechnete Lösungswege gelegt. Dies schließt ein, dass die mathematischen Schlüsse detaillierter als vielfach üblich begründet werden. Das Buch eignet sich insbesondere zum Selbststudium für Studierende technischer, wirtschaftswissenschaftlicheraberauchnaturwissenschaftlicher Fachrichtungen. Im Folgeband zuranalysis 2stehen die Themengebiete Integralrechnung für Funktionen einer Variablen, Potenz-und Fourierreihensowie die Differenzialund Integralrechnung für Funktionen mit mehreren reellen VariablenimMittel- punkt. In gleicher Form wie im vorliegenden Band werden die Anwendung zen-

7 6 Vorwort traler Begriffe und Methoden anhand von Beispielen demonstriert und trainiert. Weitere Aufgaben dienen der Überprüfung der erreichten Fertigkeiten, Lösungen werdenjeweils im Anhang angegeben. In die vorliegende 2.Auflage sind Hinweise und Anregungen von Kollegen und Studierenden eingeflossen, für die wir uns herzlich bedanken. Damit konnten Druckfehler beseitigt und die Darstellung präzisiert werden. Die Autoren möchten sich an dieser Stelle auch für die stets angenehme Zusammenarbeit mit Frau Fritzsch und dem Verlag bedanken. Für weitere Hinweise und Anregungen von Studierenden undlehrenden sind die Autoren jederzeitdankbar. Bezüglich der nicht in den beiden Bänden behandelten mathematischen Gebiete, die typischerweise im Studium technischer und wirtschaftswissenschaftlicher Fachrichtungen auftreten, wie dies Gebiete der Linearen Algebra, der Numerischen Mathematik, der Differenzialgleichungen und weitere darstellen, verweisen wir auf die anderen Bände der Reihe Mathematik-Studienhilfen, die dem gleichenkonzept folgen. LeipzigimSommer2007 Hans-JürgenDobner BerndEngelmann

8 Inhaltsverzeichnis 1 Reelle und komplexe Zahlen Natürliche, ganze undreellezahlen Ungleichungenund Abschätzungen Komplexe Zahlen Rechnenmit komplexenzahlen DarstellungkomplexerZahlen Komplexe Funktionen Mathematische Beweismethoden Elementare Logik Direkter Beweis Indirekter Beweis InduktiverBeweis Zahlenfolgenund Konvergenz Zahlenfolgenund ihre Grenzwerte Rechnenmit konvergentenfolgen Die Eulersche Zahl eals Grenzwert Konvergenzkriterien für Zahlenfolgen Zahlenreihen Zahlenreihenund geometrische Reihen Konvergenzkriterien für Reihen Rechnenmit konvergentenreihen Beispielezur Anwendungder Kriterien Funktionen Der Funktionsbegriff Eigenschaftenvon Funktionen Funktion undumkehrfunktion Grenzwertevon Funktionen Stetigkeit vonfunktionen Die elementaren Funktionen Polynome und Horner-Schema Gebrochenrationale Funktionen Exponential-und Logarithmusfunktionen Potenz- undwurzelfunktionen Winkel-und Arkusfunktionen Hyperbel-und Areafunktionen

9 8 Inhaltsverzeichnis 7 Die Ableitung Das Tangentenproblem Differenziationsregeln Eigenschaftendifferenzierbarer Funktionen Das Differenzial Anwendungen der Differenzialrechnung Die Untersuchung vonfunktionenmit Hilfe derableitung Taylorsche Formel undtaylorsche Reihe Die Regelnvon l Hospital Die Bestimmungvon Nullstellen undextremwerten Lösungen Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis