Mathematik für Bauingenieure

Transkript

1 Kerstin Rjasanowa Mathematik für Bauingenieure

2 Rjasanowa Mathematik für Bauingenieure

3 Lehrbücher des Bauingenieurwesens Dallmann Baustatik Band 1: Berechnung statisch bestimmter Tragwerke Band 2: Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke Göttsche/Petersen Festigkeitslehre klipp und klar Rjasanowa Mathematik für Bauingenieure Krawietz/Heimke Physik im Bauwesen

4 Kerstin Rjasanowa Mathematik für Bauingenieure Mit 293 Bildern, 206 Beispielen und 352 Aufgaben mit Lösungen Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag

5 Autor Prof. Dr. rer. nat. Kerstin Rjasanowa Fachhochschule Kaiserslautern Fachbereich Bauen und Gestalten Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISBN-10: ISBN-13: Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Buches, oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung mit Ausnahme der in den 53, 54 URG genannten Sonderfälle, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag 2006 Carl Hanser Verlag München Wien Internet: Lektorat: Christine Fritzsch Herstellung: Franziska Kaufmann Satz: PTP-Berlin Protago-TeX-Production GmbH Druck und Binden: Druckhaus Thomas Müntzer GmbH, Bad Langensalza Printed in Germany

6 Vorwort Das vorliegende Buch hat die Vermittlung mathematischen Grundwissens für Studierende des Bauingenieurwesens zum Ziel. Es entstand auf der Grundlage der Vorlesungen und Übungen in Ingenieurmathematik am Fachbereich Bauingenieurwesen der Fachhochschule Kaiserslautern, die ich seit langem dort halte. Es ist sowohl zur Begleitung der Vorlesungen als auch zum Selbststudium vorgesehen. Im Vergleich zu den Vorlesungen sind einige Stellen vertieft dargestellt und durch Beispiele ergänzt worden. Das Buch beinhaltet mathematische Grundlagen (Arithmetik reeller Zahlen, Funktionen einer Veränderlichen) und darauf aufbauend für das Studium wichtige Kapitel der Höheren Mathematik (Lineare Algebra, Vektorrechnung und Analytische Geometrie, Zahlenfolgen, Grenzwerte und Stetigkeit, Differenzialrechnung, Integralrechnung, Funktionen mehrerer Veränderlicher, Gewöhnliche Differenzialgleichungen), Anwendungsbeispiele und zahlreiche Übungsaufgaben mit Lösungen. Die Auswahl des mathematischen Stoffes wurde so getroffen, dass er den veränderten Zulassungsvoraussetzungen an Fachhochschulen Rechnung trägt, im Bauingenieurwesen Anwendung findet und im Grundstudium tatsächlich vermittelbar ist. Dieser Aspekt ist insbesondere bei der derzeitigen Einführung der Bachelor- Studiengänge von Bedeutung. Die Darstellung erfolgt aufbauend, mit motivierender Begründung und mitunter, wo angebracht, mit Herleitungen. Damit soll auch der Leser mit durchschnittlichen schulischen Mathematikkenntnissen zum Studium und Selbststudium der Ingenieurmathematik in diesem Bereich angeregt werden. Trotz knapper und auf das Wesentliche beschränkter Vorstellung von Gebieten der Höheren Mathematik wird nicht auf Exaktheit verzichtet, um die logische Nachvollziehbarkeit zu gewährleisten und sichere Grundkenntnisse zu festigen. Wichtige Erkenntnisse, Formeln und Eigenschaften sind im Druck hervorgehoben, damit das Buch auch als Nachschlagewerk verwendet werden kann. Besonderer Wert wird auf die Anwendung der vorgestellten mathematischen Werkzeuge in verschiedenen Gebieten des Bauingenieurwesens gelegt. Die Wahl der Beispiele ist oft unmittelbar diesen Disziplinen entnommen: der Statik und Festigkeitslehre, dem Vermessungswesen, dem Wasserbau, dem Straßenbau und dem Baubetrieb. Am Ende jedes Kapitels erfolgt für typische praktische Probleme die Ableitung mathematischer Aufgabenstellungen und deren vollständig durchgerechnete Lösung. Damit soll ermöglicht werden, dass der Leser auch bei neuen Problemen in der Lage ist, zunächst ein mathematisches Modell abzuleiten, um danach zu seiner Bearbeitung bekannte Methoden und Verfahren einzusetzen. Es zeigt sich, dass die Lösung praktischer Aufgaben eigenständige Ideen erfordert und oft nicht unmittelbar mit Rezepten erreicht werden kann. Auch in Wissenschaften kann man eigentlich nichts wissen, es will immer getan sein. Johann Wolfgang von Goethe

7 6 Vorwort Zahlreiche Übungsaufgaben, die zum Teil auch aus Klausuren entnommen wurden, sind zum Training dieser Herangehensweise gedacht. Die angegebenen Lösungen dienen der Selbstkontrolle. Damit sind die Aufgaben zum Selbststudium und als Klausurvorbereitung geeignet. Sie dokumentieren gleichzeitig, dass mathematische Lösungsmethoden in vielen Gebieten des Bauingenieurwesens Anwendung finden. Auf diesem Wege möchte ich allen herzlich danken, die mich bei dem Buchvorhaben unterstützten. Besonders bedanke ich mich bei meinem Kollegen und ehemaligen langjährigen Dekan des Fachbereiches Bauingenieurwesen der Fachhochschule Kaiserslautern, Prof. Dr. D. Ott, der eine gründliche Durchsicht des Manuskriptes vornahm und fast alle Beispiele und Aufgaben nachgerechnet hat. In vielen Gesprächen über Inhalte und Darstellung der Höheren Mathematik für Bauingenieure trug er zum Entstehen dieses Buches bei. Mein Dank gilt ebenfalls den Kollegen meines Fachbereiches, denen ich manche inhaltliche Anregung verdanke, und nicht zuletzt den Studierenden, die mich durch ihr Interesse und ihre Fragen in den Vorlesungen zu dieser geschlossenen Darstellung motivierten. Bei Frau Fritzsch und Frau Kaufmann vom Carl Hanser Verlag möchte ich mich ebenfalls für die angenehme Zusammenarbeit und die zahlreichen Anregungen, Vorschläge und geduldigen Diskussionen zur Gestaltung des Buches bedanken. Kaiserslautern, im Sommer 2006 Kerstin Rjasanowa

8 7 Inhaltsverzeichnis 1 Arithmetik reeller Zahlen Die Addition Die Multiplikation Anwendungen der Rechenoperationen Der Wurzelbegriff Anordnung reeller Zahlen, Ungleichungen Aufgaben Funktionen einer Veränderlichen Der Funktionsbegriff Zuordnungen zwischen Mengen Analytische und graphische Darstellung von Funktionen Monotonie und Beschränktheit Die Umkehrfunktion Verkettung von Funktionen Klassen von Funktionen Die konstante Funktion Die Signumfunktion Die lineare Funktion Die Betragsfunktion Die Potenzfunktion Die Reziprokfunktion Polynome Rationale Funktionen Die Exponential- und Logarithmusfunktion Trigonometrische Funktionen Anwendungen an Beispielen Polynome bei der Balkenbiegung Darlehen und Zinsen Vorwärts- und Rückwärtseinschneiden Polygonzugberechnung Aufgaben Lineare Algebra Der Vektorraum R n Definitionen, Beispiele Geometrische Darstellung im R 2 und R Lineare Abhängigkeit von Vektoren Lineare Unterräume des R n Matrizen Definitionen, Beispiele Rechenoperationen mit Matrizen Der Rang einer Matrix Die Inverse einer Matrix... 97

9 8 Inhaltsverzeichnis 3.3 Determinanten Definition, Eigenschaften Berechnung von Determinanten Berechnung der Inversen Lineare Gleichungssysteme Definition, Beispiele Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Der Gauß-Algorithmus Die Cramersche Regel Berechnung der Inversen Anwendungen an Beispielen Professor B. Tonstein und die Werkstoffe Produktion von Einzelteilen Berechnung von Stabkräften Zerlegung einer Kraft Schwerpunkt eines Punkt-Massen-Systems Aufgaben Vektorrechnung und Analytische Geometrie Betrag eines Vektors, Projektion, Skalarprodukt Der Betrag eines Vektors Die Projektion Das Skalarprodukt Orthogonalität Koordinatendarstellung des Skalarproduktes Winkelmessung im R n Das Vektorprodukt Das Spatprodukt Analytische Geometrie der Ebene Die Gerade Kurven zweiter Ordnung Analytische Geometrie des Raumes Die Gerade Die Ebene Anwendungen an Beispielen Tangentenschnittpunkt Kleinpunktberechnung Schnittpunkt zweier Strecken Absteckungsberechnungen Massenermittlung Aufgaben Zahlenfolgen, Grenzwerte, Stetigkeit Einführung, Definition Monotonie und Beschränktheit von Zahlenfolgen Konvergenz und Divergenz von Zahlenfolgen Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit

10 Inhaltsverzeichnis Anwendungen an Beispielen Noch einmal Zinsen Stabilität eines Ziegelstapels und Zahlenfolgen Aufgaben Differenzialrechnung für Funktionen einer Veränderlichen Einführung Ableitungsregeln Höhere Ableitungen Das Differenzial einer Funktion, Fehlerrechnung Die Regel von l Hospital Kurvendiskussionen Extremstellen Monotonie Krümmungsverhalten und Wendepunkte Der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung Taylorpolynome und Funktionsapproximation Anwendungen an Beispielen Berechnung der Biegelinie eines Balkens Fahrbahnverziehung im Straßenbau Kuppen- und Wannenausrundung im Straßenbau Übergangsbogen und Überhöhungsrampen im Schienenbau Klothoidenpunktberechnungen Aufgaben Integralrechnung für Funktionen einer Veränderlichen Einführung Obersumme, Untersumme, Zwischensumme Das bestimmte Integral Eigenschaften des bestimmten Integrals Die Stammfunktion Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Das unbestimmte Integral Integrationsmethoden Integranden der Form f /f Partielle Integration Substitutionsregel Anwendungen der Integralrechnung Berechnung der Bogenlänge Flächenberechnung Volumina und Mantelflächen von Rotationskörpern Momente und Schwerpunkte Berechnung von Schnittkräften am Balken Überfalle im Wasserbau Aufgaben Funktionen mehrerer Veränderlicher Der Begriff der stetigen Funktion mehrerer Veränderlicher Grenzwerte, Stetigkeit, Partielle Ableitungen

11 10 Inhaltsverzeichnis 8.3 Gradient, partielles und totales Differenzial, Fehlerrechnung Extremwerte von Funktionen mehrerer Veränderlicher Definition lokaler Extrema Notwendige Bedingungen für die Existenz lokaler Extrema Hinreichende Bedingungen für die Existenz lokaler Extrema Anwendungen an Beispielen Ermittlung des Widerstandsmomentes Vermessung eines Dreiecks Ein Extremwertproblem Aufgaben Differenzialgleichungen Einführung Definitionen Differenzialgleichungen 1. Ordnung Trennung der Variablen Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten Sätze über die Lösungen Allgemeine Lösung von homogenen Differenzialgleichungen 2. Ordnung Homogene Differenzialgleichungen höherer Ordnung Allgemeine Lösung inhomogener Differenzialgleichungen höherer Ordnung Anwendungen an Beispielen Mechanische Schwingung Ausströmgeschwindigkeit einer Flüssigkeit Gleichung einer Seilkurve Eulersche Knickkraft Biegelinie eines Balkens Absenkung des Grundwasserspiegels mit einem vollkommenen Brunnen Aufgaben Lösungen 344 Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Literaturverzeichnis 373 Sachwortverzeichnis 375