Lo sung zu UÜ bung 1 I Schaltung 1 Schaltbild 1: 1.Schaltung mit Spannungsquelle 1. Ersatzquellenberechnung 1.1 Berechnung von R i Zunächst Ersatzschaltbild von den Klemmen aus betrachtet zeichnen: ESB 1: Netzwerk von den Klemmen aus gesehen R i R 3 + R 2 R 1 + R 4 R iquelle + R 5 + R 6 Da R iquelle 0Ω R i R 3 + R 2 (R 1 + R 5 ) + R 6 R i 160 Ω
1.2 Berechnung von U 0 Gemäß Maschengleichung gilt für die rechte Masche in Schaltbild 1: U R2 U R3 + U Ausgang + U R6 Im Leerlauffall fließt kein Strom zwischen den Klemmen X 0 und X 1. Folglich fließt auch kein Strom durch R 6 und R 3 und es tritt kein Spannungsabfall an den beiden Widerständen auf. Daraus folgt U R2 U Ausgang U 0 Da R 4 parallel zur Quelle liegt, liegt am Rest der Schaltung immer noch die volle Quellenspannung an. Zur Berechnung der Spannung U 0 kann das Schaltbild wie folgt vereinfacht werden: Es ergibt sich somit ein einfacher unbelasteter Spannungsteiler und die Spannung U 0 kann wie folgt berechnet werden: U 0 U Quelle R 2 R 1 + R 2 + R 5 U 0 8 V ESB 2: vereinfachtes Netzwerk im Leerlauffall 1.3 Berechnung von I k Der Kurzschlussstrom ergibt sich bei bekanntem R i und U 0 zu I k U 0 Ri 50 ma
2. Berechnung des Stroms durch R 2 bei unbelastetem Netzwerk Zur Berechnung des durch R 2 fließenden Stroms I R2 kann im Fall des unbelasteten Netzwerks das ESB 3 zur Hilfe genommen werden, da an der Reihenschaltung von R 1, R 2 und R 3 die volle Quellenspannung anliegt und im Pfad zu den Klemmen kein Strom fließt. Der Gesamtstrom durch die Reihenschaltung von R 1, R 2 und R 5 ist also identisch mit dem durch R 2 fließenden Stroms I R2 und kann wie folgt berechnet werden: I R2 U Quelle (R1 + R 2 + R 5 ) 66, 6 ma ESB 3: zur Berechnung des Stroms durch R 2 3. Berechnung des Quellstroms bei Belastung des Netzwerks mit R L 90 Ω Es empfiehlt sich, dass Schaltbild mit Lastwiderstand so zu zeichnen, dass eine Betrachtung von der Quelle aus gesehen besonders einfach wird. ESB 4: übersichtliche Zeichnung zur Berechnung des Quellenstroms
Anhand des ESB 4 lässt sich nun sehr leicht der Gesamtwiderstand der Schaltung von der Quelle aus gesehen beschreiben: Somit ergibt sich R Gesamt R 4 (R 1 + R 2 (R 3 + R Last + R 6 ) + R 5 R Gesamt 63, 83 Ω Der von der Quelle abzugebende Gesamtstrom lässt sich jetzt einfach mit Hilfe des ohmschen Gesetzes bestimmen: I Gesamt U Quelle RGesamt 188 ma 4. Ersatzquellenberechnung Spannungsquelle durch Stromquelle ersetzt 4.1 Berechnung von R i Gemäß ESB 1 gilt weiterhin R i R 3 + R 2 R 1 + R 4 R iquelle + R 5 + R 6 Da bei einer idealen Stromquelle der Innenwiderstand unendlich ist, folgt R i R 3 + R 2 (R 1 + R 4 + R 5 ) + R 6 R i 192 Ω 4.2 Berechnung von U 0 Schaltbild 2: Schaltung 1 mit Stromquelle Gemäß Maschengleichung gilt für die linke Masche der Schaltung weiterhin: U R2 U R3 + U Ausgang + U R6
Im Leerlauffall fließt kein Strom zwischen den Klemmen X 0 und X 1. Folglich fließt auch kein Strom durch R 6 und R 3 und es tritt kein Spannungsabfall an den beiden Widerständen auf. Daraus folgt weiterhin U R2 U Ausgang U 0 Die Spannung an R 2 lässt sich wieder mit Hilfe des ohmschen Gesetzes berechnen: U R2 R 2 I R2 Für die weiteren Berechnungen muss zunächst I 2 bestimmt werden. Bekannt ist der Gesamtstrom der Quelle mit I Quelle 1 A. Dieser Strom teilt sich auf in den Teilstrom durch R 4 und den Teilstrom durch die Reihenschaltung aus R 1, R 2 und R 5. Es gilt I Quelle I R4 + I R1 +R 2 +R 5 Durch die Stromteilerformel kann I R4 ins Verhältnis zu I R1 +R 2 +R 5 gesetzt werden. Es gilt I R 1+R2+R 5 I R 4 R 4 R 1 +R 2 +R 5 I R4 I R2 R 1 + R 2 + R 5 R 4 Nun kann I R1 +R 2 +R 5 mit Hilfe des Quellstroms berechnet werden: I Quelle I R4 + I R1 +R 2 +R 5 I R2 R 1 + R 2 + R 5 R 4 + I R1 +R 2 +R 5 I R1 +R 2 +R 5 I Quelle 1 + R 1 + R 2 + R 5 R 4 Somit ergibt sich I R1 +R 2 +R 5 0,4 A und U 0 kann berechnet werden: U 0 R 2 I R1 +R 2 +R 5 120 Ω 0, 4 A 48 V 4.3 Berechnung von I k Der Kurzschlussstrom ergibt sich bei bekanntem R i und U 0 zu I k U 0 Ri 0, 25 A
II Schaltung 2 Schaltbild 3: 2.Schaltung mit Spannungsquelle 1. Ersatzquellenberechnung 1.1 Berechnung von R i Zunächst Ersatzschaltbild von den Klemmen aus betrachtet zeichnen: ESB 5: Netzwerk 2 von den Klemmen aus gesehen R i (R 2 R 4 R 1 + R iquelle + R 3 + R 5 ) + R 6 Da R iquelle 0Ω R i (R 2 R 4 (R 1 + R 3 + R 5 )) + R 6 R i 105 Ω
1.2 Berechnung von U 0 Gemäß Maschengleichung gilt für die rechte Masche in Schaltbild 3: U R2 U Ausgang + U R6 Im Leerlauffall fließt kein Strom zwischen den Klemmen X 0 und X 1. Folglich fließt auch kein Strom durch R 6 und es tritt kein Spannungsabfall an dem Widerstand auf. Daraus folgt U R2 U Ausgang U 0 In ESB 6 ist gut ersichtlich, dass R 2 und R 4 parallel geschaltet sind. Die Spannung an der Parallelschaltung kann mit der Spannungsteilerregel berechnet werden: U R2 R 4 U Quelle R 2 R 4 R 1 + (R 2 R 4 ) + R 5 + R 3 U R2 R 4 0,25 U Quelle Somit ergibt sich für die Leerlaufspannung U 0 U R2 U R2 R 4 3 V ESB 6: Zur Berechnung von U 0 kann R 6 ignoriert werden. 1.3 Berechnung von I k Der Kurzschlussstrom ergibt sich bei bekanntem R i und U 0 zu I k U 0 Ri 28, 57 ma
2. Berechnung des Stroms durch R 2 bei unbelastetem Netzwerk Zur Berechnung des durch R 2 fließenden Stroms I R2 kann im Fall des unbelasteten Netzwerks das ESB 6 zur Hilfe genommen werden. Um sich die Berechnungen zu vereinfachen, kann zunächst der Gesamtstrom berechnet werden und anschließend gemäß der Stromteilerregeln aufgeteilt werden. Der Gesamtstrom kann wie folgt berechnet werden: I Gesamt U Quelle (R1 + (R 2 R 4 ) + R 5 + R 3 ) 50 ma Der Strom teilt sich auf die beiden Teilströme I R4 und I R2 auf. Da R 2 und R 4 gleich groß sind, sind die beiden Teilströme gerade halb so groß wie der Gesamtstrom. Folglich ist I R2 1 2 I Gesamt 25 ma 3. Berechnung des Quellstroms bei Belastung des Netzwerks mit R L 90 Ω 90 ESB 7: Schaltung 2 mit Lastwiderstand Der Gesamtwiderstand lässt sich wie folgt berechnen: R Gesamt R 1 + R 4 R 2 (R Last + R 6 ) + R 5 + R 3 Nun kann der Strom leicht berechnet werden: I Quelle U Quelle R Gesamt 12 V 222,86 Ω 53, 85 ma
4. Ersatzquellenberechnung Spannungsquelle durch Stromquelle ersetzt 4.1 Berechnung von R i Nun wird die Spannungsquelle wieder durch eine Stromquelle ersetzt. Gemäß ESB 5 gilt: R i (R 2 R 4 R 1 + R iquelle + R 3 + R 5 ) + R 6 Da R iquelle Ω R i (R 2 R 4 ) + R 6 R i 120 Ω 4.2 Berechnung von U 0 Die Leerlaufspannung entspricht analog der Berechnung der Schaltung mit Spannungsquelle der Spannung an der Parallelschaltung aus R 4 und R 2 : Somit ergibt sich für U 0 : U 0 U R2 R 4 I Quelle (R 4 R 2 ) U 0 1 A (120 Ω 120 Ω) 1 A 60 Ω 60 V 4.3 Berechnung von I k Der Kurzschlussstrom ergibt sich bei bekanntem R i und U 0 zu I k U 0 Ri 0, 5 A
III Schaltung 3 Schaltbild 4: Schaltung 3 mit Spannungsquelle 1. Ersatzquellenberechnung 1.1 Berechnung von R i Zunächst Ersatzschaltbild von den Klemmen aus betrachtet zeichnen: ESB 8: Zur Berechnung des Innenwiderstandes von Schaltung 3 Mit Hilfe dieser übersichtlicheren Darstellung lässt sich nun die Formel für den Innenwiderstand aufstellen: R i R 8 + R 7 R 2 R 4 R 1 + R Quelle + R 3 + R 5 + R 6 + R 9 mit R Quelle 0 Ω R i 116 Ω 1.2 Berechnung von U 0 Gemäß Maschengleichung gilt für die linke Masche der Schaltung 1: U R7 U R8 + U Ausgang + U R9 Im Leerlauffall fließt kein Strom zwischen den Klemmen X 0 und X 1. Folglich fließt auch kein Strom durch R 8 und R 9 und es tritt kein Spannungsabfall an den beiden Widerständen auf.
Daraus folgt U R7 U Ausgang U 0 Zunächst muss nun die an der Parallelschaltung aus R 4, R 2 und R 6 +R 7 anliegende Spannung berechnet werden. Hierzu wird die Parallelschaltung zum Ersatzwiderstand R 4,2,6,7 zusammengefasst: R 4,2,6,7 R 4 R 2 (R 7 + R 6 ) 45 Ω Nun kann die Spannung an R 4,2,6,7 mit Hilfe der Spannungsteilerregel bestimmt werden: U R4,2,6,7 U Quelle R 4,2,6,7 R 1 + R 4,2,6,7 + R 5 + R 3 U R4,2,6,7 2, 4 V Mit der Spannungsteilerregel und U R4,2,6,7 kann die Spannung an R 7 berechnet werden: U R7 U R4,2,6,7 R 7 R 6 + R 7 Somit ergibt sich für die Leerlaufspannung: U 0 U R7 1, 6 V ESB 9: Schaltung 3 im Leerlauffall ohne R 8 und R 9 1.3 Berechnung von I k Der Kurzschlussstrom ergibt sich bei bekanntem R i und U 0 zu I k U 0 Ri 13, 79 ma 2. Berechnung des Stroms durch R 2 bei unbelastetem Netzwerk In diesem Fall ist die Berechnung von I R2 sehr einfach, da bereits die Spannung U R4,2,6,7 2,4 V und somit die Spannung an R 2 bekannt ist. Nach ohmschem Gesetz ergibt sich folglich: I R2 U R 4,2,6,7 R2 20 ma
3. Berechnung des Quellstroms bei Belastung des Netzwerks mit R L 90 Ω ESB 10: Schaltung 3 mit Lastwiderstand ESB 10 zeigt die komplette Schaltung 3 mit Belastungswiderstand. Der Gesamtwiderstand der Schaltung lässt sich nun von der Quelle aus betrachtet wie folgt beschreiben: R Gesamt R 1 + (R 4 R 2 ( R 7 (R 8 + R Last + R 9 ) + R 6 )) + R 5 + R 3 R Gesamt 220,715 Ω I Quelle U Quelle R Gesamt 54, 37 ma
4. Ersatzquellenberechnung Spannungsquelle durch Stromquelle ersetzt 4.1 Berechnung von R i Nun wird die Spannungsquelle wieder durch eine Stromquelle ersetzt. Gemäß ESB 8 gilt: R i R 8 + R 7 R 2 R 4 R 1 + R Quelle + R 3 + R 5 + R 6 + R 9 mit R Quelle Ω R i 120 Ω 4.2 Berechnung von U 0 Die Leerlaufspannung entspricht analog der Berechnung der Schaltung mit Spannungsquelle der Spannung an R 7 : U 0 U R7 I R7 R 7 Gemäß ESB 9 teilt sich der Gesamtstrom der Quelle auf in die Teilströme I R4, I R2 und I R7 +R 6. Nun ergibt sich nach Stromteilerregel: I R4 + I R2 I R7 +R 6 R 7 + R 6 R 4 R 2 I R4 + I R2 R 7 + R 6 R 4 R 2 I R7 +R 6 Der Gesamtstrom lässt sich nun ausdrücken als Umgestellt nach I R7 +R 6 ergibt sich I Gesamt I R4 + I R2 + I R7 +R 6 R 7 + R 6 R 4 R 2 I R7 +R 6 + I R7 +R 6 I R7 +R 6 I Gesamt 1 + R 7 + R 6 R 4 R 2 0,25 A Nun kann die Leerlaufspannung berechnet werden: U 0 U R7 I R7 +R 6 R 7 30 V 4.3 Berechnung von I k Der Kurzschlussstrom ergibt sich bei bekanntem R i und U 0 zu I k U 0 Ri 250 ma
IV Berechnungen bei belasteten Quellen Auch hier empfiehlt es sich, zunächst ein Schaltbild der Zeichnung zu erstellen: Schaltbild 5: Sensor als belastete Quelle 1. Zunächst wird bei den Berechnungen davon ausgegangen, dass der Sensor die Leerlaufspannung des Sensors stimmt. Berechnen Sie den tatsächlichen Innenwiderstand des Sensors. Als erstes wird der Messstrom berechnet: I Mess U Voltmeter R Voltmeter 0,1 µa Nun kann der Innenwiderstand des Sensors bestimmt werden: R Sensors U 0 Sensor U Voltmeter I Mess 1,5 MΩ 2. Nun gehen Sie davon aus, dass der Sensor korrekt arbeitet und der Innenwiderstand des Voltmeters sich verändert hat. Berechnen Sie den tatsächlichen Innenwiderstand des Voltmeters. I Mess U 0 Sensor U Voltmeter R Sensor 0,3 µa Nun kann der tatsächliche Innenwiderstand des Voltmeters bestimmt werden: R Voltmeter U Voltmeter I Mess 333, 3 kω 3. Nun gehen Sie davon aus, dass der Sensor korrekt arbeitet und der Innenwiderstand des Voltmeters in Ordnung ist, aber die Anzeige des Voltmeters defekt ist. Berechnen Sie die korrekte Spannung am Voltmeter. I Mess U 0Sensor R Sensor + R Voltmeter 0,16 µa Nun kann die tatsächlich am Voltmeter anliegende Spannung berechnet werden: U Voltmeter I Mess R Voltmeter 0,16 V