3. Einführung in die Zeitreihenanalyse

3. Einführung in die Zeitreihenanalyse Dr. Johann Burgstaller Finance Department, JKU Linz (Dieser Foliensatz wurde zuletzt aktualisiert am 25. Dezember 2007.) Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 1 / 36

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 Autoregressive Prozesse 3 Tests auf Nichtstationarität 4 Nichtstationarität und Kointegration Nonsens-Regression Kointegration 5 Vektorautoregressive Modelle Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 2 / 36

Einleitung Die folgenden Darstellungen zu den Methoden der Zeitreihenanalyse sollten als nur sehr rudimentäre Einführung in das Thema verstanden werden. Zeitreihen sind keine Stichprobendaten im engeren Sinne, obwohl nur ein Ausschnitt aus der gesamten möglichen Zeit betrachtet wird. Dennoch sind Zeitreihen immer als Zufallsvariablen zu betrachten. Die Rolle der Grundgesamtheit wird hier von der Gesamtheit aller möglichen Zeitreihen, die der datengenerierende Prozeß erzeugen könnte (bzw. hätte können), übernommen. Hätten sich bestimmte Sachverhalten in der Vergangenheit anders dargestellt, hätten sich auch die beobachteten Zeitreihen anders verhalten (ähnlich den veränderten Zeitlinien in Star Trek usw.). Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 3 / 36

Einleitung Der überwiegende Teil der zeitreihenanalytischen Techniken wurde für stationäre (schwach stationäre) Zeitreihen entwickelt. Die Analyse beginnt üblicherweise mit einer graphischen Darstellung der Zeitreihen, um eine erste, grobe Einschätzung über den datenerzeugenden Prozeß zu erlangen. So kann man z.b. Hinweise zum Trendverhalten, zu saisonalen Schwankungen und Hinweise auf Extremwerte bzw. Ausreißer erhalten. Ein einfaches Modell für Trendverhalten wäre y t = α 0 + α 1 t + e t (1) Wenn e konstant, ergibt sich die Veränderung von y von einem Zeitpunkt zum nächsten durch α 1. Die Variable t bildet einen linearen, deterministischen Trend ab (der bei 1 beginnen kann, aber nicht muß). Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 4 / 36

Einleitung Wenn y logarithmiert ist, beschreibt α 1 die durchschnittliche Wachstumsrate von y pro Zeitperiode. Ein Beispiel für ein (solch statisches) Regressionsmodell mit trendenden (abgesehen davon aber stationären) Zeitreihen wäre dann y t = β 0 + β 1 x 1,t + β 2 x 2,t + + γt + e t (2) Die Inklusion des Trends zieht dabei die zeitliche Abhängigkeit aus allen Variablen heraus (die Koeffizienten sind auch hier ceteris paribus zu interpretieren), die Zusammenhänge sind daher trendbereinigt (engl.: detrended ). Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 5 / 36

Autoregressive Prozesse 1 Einleitung 2 Autoregressive Prozesse 3 Tests auf Nichtstationarität 4 Nichtstationarität und Kointegration 5 Vektorautoregressive Modelle Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 6 / 36

Autoregressive Prozesse Zeitreihendaten ermöglichen die Analyse dynamischer Modelle, bei denen die zeitliche Dimension explizit berücksichtigt wird. Wir nehmen dabei an, daß die Vergangenheit die Gegenwart beeinflußt, daß die Zukunft selbiges aber nicht kann (das ist im Star-Trek-Universum anders - und in Modellen mit rationalen Erwartungen...?). In Zeitreihenzusammenhängen kann man zwischen vorübergehenden und permanenten Effekten unterscheiden, Autokorrelation ist verbreitet, Logarithmen und Dummyvariablen spielen in der Modellierung eine große Rolle. In der univariaten Zeitreihenanalyse - dabei wird die Entwicklung einer Zeitreihe (nur) aus ihrer eigenen Vergangenheit beschrieben - formuliert man sog. autoregressive Abhängigkeiten. Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 7 / 36

Autoregressive Prozesse Eine Zeitreihe, die z.b. der Gesetzmäßigkeit y t = α 1 y t 1 + α 2 y t 2 + + α p y t p + e t (3) folgt, bezeichnet man als autoregressiven Prozeß p-ter Ordnung, AR(p). Ob dieser stationär (oft auch als stabil bezeichnet) oder nicht-stationär ist, hängt von den α i ab. Stationär oder nicht, ein autoregressives Modell beschreibt eine gewisse Trägheit (Persistenz) in y, d.h. y ändert sein (oder ihr) Verhalten von einem Zeitpunkt zum nächsten nicht wesentlich. Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 8 / 36

Autoregressive Prozesse Einen Prozeß mit dem Bildungsgesetz y t = α 1 y t 1 + e t (4) bezeichnet man als AR(1), e t ist dabei weißes Rauschen. [Siehe Schröder (2002, Kapitel III) zu MA-, ARMA- und ARIMA-Prozessen (werden hier nicht beleuchtet), sowie zu einer kruden Einschätzung der Stationarität mittels sogenannter Autokorrelationsfunktionen.] Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 9 / 36

Tests auf Nichtstationarität 1 Einleitung 2 Autoregressive Prozesse 3 Tests auf Nichtstationarität 4 Nichtstationarität und Kointegration 5 Vektorautoregressive Modelle Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 10 / 36

Tests auf Nichtstationarität Hier soll die Idee eines einfachen Tests, dem von Dickey und Fuller (1979), kurz dargelegt werden. Die Nullhypothese dabei ist Nichtstationarität (Stationarität zu testen ist wesentlich schwieriger). Man beginnt mit einer Autoregression erster Ordnung, y t = α + ρy t 1 + e t (5) und möchte testen, ob ρ gleich 1 ist - ob die Zeitreihe einem Random Walk (mit oder ohne Drift) folgt. [Man spricht auch von Einheitswurzeltests (engl. unit root tests ), da das charakteristische Polynom des Prozesses im Falle eines Random Walks eine Wurzel bzw. Lösung von 1 aufweist.] Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 11 / 36

Tests auf Nichtstationarität Für das Testen angenehmer ist es, von der Gleichung auf jeder Seite y t 1 abzuziehen, um schließlich y t = α + θy t 1 + e t (6) zu erhalten, wobei θ = ρ 1 und der sog. Differenzenoperator. Die Nullhypothese ist dann H 0 : θ = 0, die (sinnvolle, einseitige) Alternative H 1 : θ < 0. [Die Testgleichung wird zumeist noch um eine bestimmte, mittels Informationskriterien zu ermittelnde, Anzahl von vergangenen y t erweitert, damit die Residuen weiß rauschen. Dann spricht man vom Augmented Dickey-Fuller-Test (ADF-Test).] Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 12 / 36

Tests auf Nichtstationarität Das Problem ist, daß bei Gültigkeit der Nullhypothese die t-statistik nicht t-verteilt ist. Die tatsächliche Verteilung der t-statistik ist allerdings bekannt und wurde von Dickey und Fuller simuliert und tabelliert. Die kritischen Werte sind stärker negativ als jene der t-verteilung. Für einen Test auf Trend-Stationarität wird noch ein linearer, deterministischer Trend in die Testgleichung aufgenommen. Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 13 / 36

Tests auf Nichtstationarität Beispiele für ADF-Testresultate Im Folgenden sollen nun der Indexwert (total return) des DS Global Austria, die daraus berechneten (diskreten) Renditen, sowie die Sekundärmarktrenditen der Bundesanleihen auf Nichtstationarität getestet werden. Die Monatsdaten beginnen mit Jänner 1980 und enden im Juni 2007. Zu beobachten ist, daß die ersten Differenzen bzw. die diskreten Renditen des DS Global Austria stationär sind, ebenso wie die ersten Differenzen der SMR. Die Berücksichtigung eines deterministischen Trends verändert die Resultate nur marginal. Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 14 / 36

Tests auf Nichtstationarität Tabelle 1: ADF-Testresultate I Testgleichung ohne Trend - Kritischer Wert = -2,88 Zu testende Variable θ ρ t-statistik Lags DS Global Austria 0.020 1.020 5.25 0 DS Global Austria (erste Differenzen) -0.868 0.132-15.70 0 Diskrete Renditen DS Global Austria -0.735 0.265-13.77 0 SMR Bundesanleihen -0.007 0.993-1.64 3 SMR Bundesanleihen (erste Differenzen) -0.558 0.442-8.17 2 Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 15 / 36

Tests auf Nichtstationarität Tabelle 2: ADF-Testresultate II Testgleichung mit Trend - Kritischer Wert = -3,43 Zu testende Variable θ ρ t-statistik Lags DS Global Austria 0.022 1.022 3.23 0 DS Global Austria (erste Differenzen) -0.911 0.089-16.41 0 Diskrete Renditen DS Global Austria -0.735 0.265-13.75 0 SMR Bundesanleihen -0.025 0.975-2.48 3 SMR Bundesanleihen (erste Differenzen) -0.558 0.442-8.16 2 Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 16 / 36

Tests auf Nichtstationarität Es existieren... auch Tests auf saisonale Integration, z.b. der HEGY-Test. mehrere praktische Vorbehalte gegen den ADF-Test. mittlerweile unzählige verschiedene Nicht-Stationaritäts-Tests, z.b. Phillips-Perron, DFGLS, Zivot-Andrews, etc. einige wenige Tests mit Stationarität als Nullhypothese, z.b. der KPSS- Test. Möglichkeiten, auf Stationarität im multivariaten Kontext zu testen. Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 17 / 36

Nichtstationarität und Kointegration Nonsens-Regression 1 Einleitung 2 Autoregressive Prozesse 3 Tests auf Nichtstationarität 4 Nichtstationarität und Kointegration Nonsens-Regression Kointegration 5 Vektorautoregressive Modelle Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 18 / 36

Nichtstationarität und Kointegration Nonsens-Regression Bsp. für Nonsens-Regression (schon wieder) für simulierte, trend-stationäre Zeitreihen. Simuliere 10.000 Datenpunkte nach den (willkürlichen) Bildungsgesetzen und y t = 0, 2 + 0, 3 t + e y,t (7) x t = 7 + 2 t + e x,t (8) wobei t = 1,..., 10.000 und die Fehler aus zwei Normalverteilungen mit Mittel 0 und Varianzen von 2 bzw. 4 gezogen wurden. Das Resultat einer Regression von y auf x sieht folgendermaßen aus: Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 19 / 36

Nichtstationarität und Kointegration Nonsens-Regression. reg y x Source SS df MS Number of obs = 10000 -------------+------------------------------ F( 1, 9998) =. Model 7.5004e+09 1 7.5004e+09 Prob > F = 0.0000 Residual 44804.66 9998 4.48136227 R-squared = 1.0000 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 1.0000 Total 7.5004e+09 9999 750119.011 Root MSE = 2.1169 ------------------------------------------------------------------------------ y Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- x.1500038 3.67e-06. 0.000.1499966.150011 _cons -.8574022.0423638-20.24 0.000 -.9404438 -.7743607 ------------------------------------------------------------------------------ Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 20 / 36

Nichtstationarität und Kointegration Nonsens-Regression Sowohl der Wert für die t-statistik des Koeffizienten von x, als auch jener für die F -Statistik sind so groß, daß STATA diese nicht mehr wie gewohnt anzeigen kann. Überdies liegt das R 2 bei 1. Bei beidem handelt es sich um Anzeichen für die Verwendung nicht-stationärer Zeitreihen. [Die von vielen Statistik-Programmen automatisch angezeigte DW-Statistik (Autokorrelationstest nach Durbin und Watson) liefert ebenfalls Indizien.] In diesem Fall ist das Problem relativ leicht, durch die Aufnahme einer Trendvariablen in das Regressionsmodell, zu lösen: Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 21 / 36

Nichtstationarität und Kointegration Nonsens-Regression. reg y x t Source SS df MS Number of obs = 10000 -------------+------------------------------ F( 2, 9997) =. Model 7.4998e+09 2 3.7499e+09 Prob > F = 0.0000 Residual 40046.8469 9997 4.00588646 R-squared = 1.0000 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 1.0000 Total 7.4998e+09 9999 750058.265 Root MSE = 2.0015 ------------------------------------------------------------------------------ y Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- x -.00163.0050311-0.32 0.746 -.0114919.0082318 t.3032559.0100621 30.14 0.000.2835323.3229796 _cons.2310314.0534798 4.32 0.000.1262004.3358625 ------------------------------------------------------------------------------ Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 22 / 36

Nichtstationarität und Kointegration Nonsens-Regression Im Falle stochastischer Trends (Random Walks) würde die allgemeine Empfehlung lauten, beide Zeitreihen zu differenzieren, um Nonsens-Ergebnisse zu vermeiden. Bei Vorgabe einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% in den Testprozeduren toleriert man, daß die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese (hier: kein Einfluß von x auf y) abzulehnen, wenn sie falsch ist, bei eben 5% liegt. Laut den Simulationen von Davidson und MacKinnon (1993) suggeriert der Standard-t-Test aber bei Verwendung von nicht-stationären Zeitreihen in ca. zwei Drittel der Fälle einen signifikanten Zusammenhang, wo keiner ist. Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 23 / 36

Nichtstationarität und Kointegration Kointegration 1 Einleitung 2 Autoregressive Prozesse 3 Tests auf Nichtstationarität 4 Nichtstationarität und Kointegration Nonsens-Regression Kointegration 5 Vektorautoregressive Modelle Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 24 / 36

Nichtstationarität und Kointegration Kointegration Engle und Granger zeigten jedoch (1987, Nobelpreis!), daß eine Regression mit I(1)-Variablen sinnvoll sein kann. Die Idee ist die folgende: Wenn y t und x t beide I(1) sind (die ersten Differenzen sind stationär), dann ist in den meisten Fällen auch nichtstationär. y t βx t (9) Es könnte aber ein β geben, für das y t βx t stationär ist. Dann würde β Kointegrationsparameter genannt und Gleichung 9 würde eine langfristige Gleichgewichtsbeziehung zwischen y t und x t beschreiben. Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 25 / 36

Nichtstationarität und Kointegration Kointegration Ein gutes Beispiel geben Zinsspannen ab. Zwei Zinssätze mögen jeweils I(1) sein, ihr Abstand wird aber gewiß nicht unendlich groß werden können (u.a. wegen Arbitrage). Von diesem langfristigen Zusammenhang mag es kurzfristig (kleinere oder größere) Abweichungen geben, aber es existieren eben Mechanismen, die die Spanne zwischen den beiden Zinsen wieder auf ein bestimmtes Maß zurückführen. Die Schätzung des Kointegrationsparameters kann in diesem Fall mittels Einfachregression erfolgen (die Schätzung ist konsistent ). Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 26 / 36

Nichtstationarität und Kointegration Kointegration Der Test auf Kointegration ist auch relativ einfach. Durch Umformung von (Konstante vernachlässigt) erhält man y t = βx t + e t (10) y t βx t = e t (11) wofür die Hypothese dann eine Nicht-Stationarität der linken Seite der Gleichung wäre. Ist dies der Fall, so muß notwendigerweise auch die rechte Seite der Gleichung, e t, nichtstationär sein. Dies kann man mittels des schon gezeigten ADF-Tests überprüfen. Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 27 / 36

Nichtstationarität und Kointegration Kointegration Sollte man nun eine Kointegrationsbeziehung gefunden haben, was macht man dann damit? Man bildet eine Variable, die den langfristigen Zusammenhang darstellt und fügt diese in ein Modell in Differenzen der Variablen ein. Die so erzeugten Modelle nennt man Fehlerkorrekturmodelle, da in diesen ermittelt werden kann, wie kurzfristige Abweichungen vom langfristigen Gleichgewicht über die Zeit (von welchen Variablen durch deren Reaktion bzw. Anpassung) korrigiert werden. Darauf soll hier aber nicht weiter eingegangen werden. Das hier erläuterte Vorgehen wird als zweistufige Methode nach Engle und Granger bezeichnet. Üblicherweise testet man auf Kointegration aber nach dem Verfahren von Johansen (1987, uvm.) im Rahmen simultaner Gleichungsmodelle (z.b. VAR). Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 28 / 36

Nichtstationarität und Kointegration Kointegration Beispiel zur Kointegration Abbildung 1: Zinssätze Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 29 / 36

Nichtstationarität und Kointegration Kointegration Für die Zeit zwischen 1999:01 und 2003:12 (danach tauchen Instabilitäten in der Beziehung auf) ergibt sich ein Kointegrationsparameter von 1,058. Die Abweichungen von dieser Gleichgewichtsbeziehung erhält man durch Bildung von Zinssatz Unternehmenskredite 1, 058 1-Monats-Euribor (12) Siehe Abbildung 2. Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 30 / 36

Nichtstationarität und Kointegration Kointegration Abbildung 2: Abweichungen vom Zinsgleichgewicht Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 31 / 36

Vektorautoregressive Modelle 1 Einleitung 2 Autoregressive Prozesse 3 Tests auf Nichtstationarität 4 Nichtstationarität und Kointegration 5 Vektorautoregressive Modelle Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 32 / 36

Vektorautoregressive Modelle VAR-Modelle sind eine Form von dynamischen Zeitreihenmodellen in mehreren Gleichungen (für jede endogene Variable eine). Solche simultanen Gleichungsmodelle sind dann gefragt, wenn mehrere Variablen gemeinsam bestimmt werden bzw. zwischen diesen Variablen Rückkopplungseffekte (engl.: feedback) auftreten. Oft werden sie verwendet, um sog. Impuls-Antwort-Funktionen zu schätzen. Diese geben Auskunft darüber, zu welchen Veränderungen ein zufälliger Schock (Innovation) in einer Variablen über die Zeit in allen anderen im Modell erfaßten Variablen führt. [Simultanous equation bias, 2SLS und Modellordnungs-Festlegung werden hier nicht besprochen.] Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 33 / 36

Vektorautoregressive Modelle Eine Vektorautoregression modelliert also mehrere (einen Vektor von) Variablen durch ihre Vergangenheit. Ein VAR mit zwei Variablen und jeweils zwei Verzögerungen bestünde aus den Gleichungen und y t = δ + α 1 y t 1 + γ 1 x t 1 + α 2 y t 2 + γ 2 x t 2 +... (13) x t = η + β 1 y t 1 + ρ 1 x t 1 + β 2 y t 2 + ρ 2 x t 2 +... (14) Ist z.b. mindestens eine Verzögerung von x in der Gleichung für y signifikant, so sagt man, x ist Granger-kausal für y. Sog. strukturelle VAR (SVAR) finden diverse Wege, auch die kontemporären Zusammenhänge mit abzubilden. Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 34 / 36

Vektorautoregressive Modelle Beispiel zu VAR-Modellen Für das folgende Beispiel wurde ein solches VAR(2)-Modell für die monatlichen Renditen des DS Global Austria und die SMR der Bundesanleihen geschätzt. Dabei wurde die Nichtstationarität der Sekundärmarktrenditen ignoriert. Abbildung 3 zeigt die dynamische Reaktion (response) der Aktienrenditen auf einen 1-Prozentpunkt-Schock (impulse) in den Sekundärmarktrenditen. Diese Antwort ist dabei ebenfalls in Prozentpunkten zu lesen. Strichlierte Linien sind simulierte Konfidenzbänder. Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 35 / 36

Vektorautoregressive Modelle Abbildung 3: Antwort der DSGA-Renditen auf einen Impuls in den SMR Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung WS 2007/08 36 / 36