Mathematik und Statistik INHALTSVERZEICHNIS. FINANZMATHEMATIK. ZINSESZINSRECHNUNG.2 ENDWERT (VORSCHÜSSIG).3 BARWERT (VORSCHÜSSIG).4 RENTENRECHNUNG.5 ENDWERT EINER NACHSCHÜSSIGEN RENTE.6 BARWERT EINER NACHSCHÜSSIGEN RENTE.7 GRUNDAUFGABEN DER RENTENRECHNUNG.8 EWIGE RENTE.9 TILGUNGSRECHNUNG. RATENKREDIT AM BEISPIEL. ANNUITÄTENDARLEHEN.2 ANNUITÄTENDARLEHEN EINE BESTIMMTE ZAHL SUCHEN 2. LINEARE ALGEBRA 2. MATRIZEN 2.2 ADDITION VON MATRIZEN 2.3 MULTIPLIKATION MIT EINER ZAHL 2.4 BEMERKUNGEN 2.5 MULTIPLIKATION VON MATRIZEN 2.6 TRANSPONIERTE MATRIX 2.7 INVERSE MATRIZEN 2.8 ZEILENUMFORMUNGEN 2.9 BERECHNUNG VON INVERSEN MATRIZEN AM BEISPIEL 2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME (LGS) 2. DER GAUSSCHE ALGORITHMUS AM BEISPIEL 2.2 LINEARE OPTIMIERUNG 2.3 LINEARE OPTIMIERUNG AM BEISPIEL 2.4 BEMERKUNGEN 3. WIRTSCHAFTLICHKEITSRECHNUNG 3. INVESTITIONSRECHNUNG 3.2 KOSTENVERGLEICHSRECHNUNG 3.3 GEWINNVERGLEICHSRECHNUNG 3.4 RENTABILITÄTSRECHNUNG 3.5 KAPITALWERTMETHODE 3.6 INTERNE ZINSFUSSMETHODE THOMAS KUMPAN, WS4/5 IB/FO FHF
() Finanzmathematik (.) Zinseszinsrechnung Beispiele: p=2 i=,2= q=,2 2 Kapital zum Zeitpunkt t: Zinsfuß: Zinssatz i: Zinsfaktor q: K t Barwert vorschüssig: * B n Barwert nachschüssig: B n Endwert vorschüssig: S n* Endwert nachschüssig: S n p p =p% p Grundformel Zinseszinsrechnung: K n =K p n K n =K q n Kapital nach einem Jahr: Kapital nach zwei Jahren: K =K K p =K p =K q K 2 =K K p =K p =K q Beispiel: K = p=3 p=8 K 343,- 258,- K 4 3262,- 2725,- K 928,- 29976,- Berechnung:,3,8
(.2) Endwert (vorschüssig) Der Endwert ist der Wert, der sich durch Aufzinsung von Einzahlungsströmen und Auszahlungsströmen in der Zukunft ergibt. Es können unterschieden werden: Endwert einer einmaligen Zahlung und Endwert mehrerer Zahlungen. R R R R * S... n n-2 n- n Jahre Sn =Sn q= Rq qn q Es gibt eine Rate mehr, da die Rente schon im Jahr beginnt. (.3) Barwert (vorschüssig) Der Barwert ist der Wert, der sich durch Abzinsung zukünftiger Einzahlungsströme oder Auszahlungsströme als Gegenwartswert ergibt. Zu unterscheiden sind: Barwert einer einmaligen Zahlung, Barwert mehrerer Zahlungen. Ba = Sn q = R n q n qn q Exkurs: Logarithmus f x =a x f x =log a x f x = x f x =log x=lg x f x =e x f x =log e x=ln x f x =2 x f x =log 2 x=ld x Rechenregeln:. lg x =lg x lg y y 2. lg x y =lgx lgy 3. lgx y = y lg x
(.4) Rentenrechnung. Vorschüssige Renten (Anfang der Periode, z.b. Miete) 2. Nachschüssige Renten (Ende der Periode, z.b. Gehalt) Rente: Eine regelmäßige Zahlung konstanter Höhe heißt Rente. Wir unterscheiden nachschüssige Renten (post numerando): und vorschüssige Renten (prenumerando): R R R... R R R n-2 n- n Jahre 3.2.XX R R R... R R n-2 n- n Jahre..XX (.5) Endwert einer nachschüssigen Rente B R R R R n Sn... n-2 n- n Jahre R R*q Sn=R R q R q 2... R q n Sn=R q q 2... q n Sn=R qn q R*q 2 R*q n- Nachschüssiger Rentenendwert: Sn=R qn q Rentenendwertfaktor: q n q Beispiel: R=, p=5%, n=4 Jahre: S 4 =,54,5 S 4 =2799,77
(.6) Barwert einer nachschüssigen Rente B n q n =S n (aufzinsen) B n = q n S n= R q n q n q (abzinsen) Beispiel: Was hätte ich einmalig anlegen müssen, damit ich nach 4 Jahren 2799,77 erhalten hätte? B 4 = S 4 q 4 B 4 = 2799,77,5 4 B 4 =759,9... q n... q n aufzinsen abzinsen NIE ZAHLEN ZUSAMMENZÄHLEN; DIE ÜBER LÄNGERE ZEITRÄUME ANGEFALLEN SIND! (.7) Grundaufgaben Rentenrechnung (hier: nachschüssig) allgemein: p S n =R qn q =R p n =R i n i mögliche Aufgabenstellungen:. Berechne S n : (s.o.) 2. Berechne B n : 3. Berechne R: S n q n S n q q n
4. Berechne n: S n =R qn q S n q =q n R q n = S n q R q n = S n q R R lg q n =lg S n q R R n lg g=lg S n q R lg R n= lg S n q R lg R lg q *(q-) :R + Auf den Hauptnenner bringen (.8) Ewige Rente S n =R qn q n Der Endwert einer unendlichen Rente ist unendlich. n q B n = R n q q n q =R q n R q = p Barwert ewiger Rente: R p R=B n p Eine ewige Rente sind die Zinsen aus einem Kapital, welches unangetastet bleibt, z. Bsp. Stiftungskapital (Nobelpreis). Rechnung in Quartalen R R R R Quartale 2 3 Jahre R E =R p 3 4 R p 2 4 R p 4 R Deutsche Formel: K n =K q n Internationale Formel: K t =K q t (t=tage; p=tageszins)
(.9) Tilgungsrechnung Kredit = Darlehen Man unterscheidet: Endfällige Kredite: Ratenkredit, Tilgungsdarlehen: Annuitätendarlehen: Rückzahlungen einer Summe ohne Ratentilgung, die Zinsen werden individuell (ratenmäßig oder am Ende) entgolten. z.b. Bausparzwischenfinanzierung, Baufinanzierung über Kapitallebensversicherung) Rückzahlung in Raten, die Rate bleibt nicht konstant (wird geringer), die Tilgung bleibt immer gleich hoch. Rate bleibt konstant, die Tilgung nimmt im Laufe der Zeit zu. (.) Ratenkredit am Beispiel Kreditsumme,- Tilgung n (Laufzeit) 4 Jahre Zinsen p Tilgungsplan: Jahre Restschuld Tilgung t R t- Q Zinsen Rate Restschuld Z t A t R t 25 35 75 2 75 25 75 325 5 3 5 25 5 3 25 4 25 25 25 275 Q= 4 Z t =, Ratendarlehen werden immer seltener verwendet und Annuitätendarlehen immer öfter, weil. besser kalkulierbar da immer die gleiche Rate 2. Tilgung nimmt zu im Laufe der Zeit: man kann einen höheren Kredit finanzieren, man verschenkt keinen Spielraum in der Kreditsumme, da man sich ausrechnen kann wie viel Geld man für die Annuität ausgeben kann.
(.) Annuitätendarlehen Rate bleibt während der Laufzeit konstant, Tilgung nimmt um die ersparten Zinsen zu. Arten:. Laufzeit ist vorgegeben, Anfangstilgung wird berechnet (In welcher Zeit will ich die Schuld getilgt haben?) - Wird eher bei Geschäftskunden benutzt. 2. Anfangstilgung ist vorgegeben, Laufzeit wird berechnet (bei der heutigen Zinslage kann die Laufzeit ins bodenlose gehen (3 Jahre) eher Privatkunden Beispiel: Kreditsumme,- Zinssatz p % anfängliche Tilgung zuzüglich Ersparter Zinsen Jahre t Restschuld R t- Tilgung Q t Tilgungsplan: Zinsen Z t Rate A Restschuld 99 2 99 99 979 3 979 2 979 9669 4 9669 33 9669 95359 Rate./. Zinsen % der Restschuld R t Restschuld./. Tilgung Früher war der Zinssatz variabel, d.h. damals hat sich durch Erhöhung der Zinsen die Rate erhöht. Heutzutage sind die Zinsen festgeschrieben für -3 Jahre. Wenn man ein Annuitätendarlehen aufnimmt, sollte man sich die Zinsen für die gesamte Laufzeit des Darlehens festschreiben lassen. Beispiel: Ein Darlehen ist auf Jahre festgeschrieben mit 4%. Nach Ablauf der Jahre wird der Zins auf jetzigem Zinsniveau neu festgeschrieben, z.b. 2% mit dem Ergebnis, dass man sich das Darlehen jetzt gar nicht mehr leisten kann. Zinsprognosen sind das Papier nicht wert, auf dem sie stehen, auch nicht für nur ein Jahr in die Zukunft.
(.2) Annuitätendarlehen eine bestimmte Zahl suchen Formeln: nach m Jahren getilgte Schuld: Restschuld nach m Jahren: S m =Q qm q R m =K Q qm q R m =K q m A qm q Q =Tilgung Z =Zinsen A= Annuität K =Anfangskapital q= Zinsfaktor n= Laufzeit Laufzeit des Darlehens: n= lg A lg Q lg q Beispiel: Restschuld nach 25 Jahren R m =,24, R m =52,67 Die Restschuld nach 25 Jahren beträgt 52,67 Bislang war die Anfangstilgung vorgegeben Laufzeit berechnet auch: Laufzeit vorgegeben Anfangstilgung wird berechnet Anfangstilgung: A=K q n q q n oder: Q =A Z Q =A K p Beispiel: K : ; p: 6; Laufzeit: 4 Jahre A=,6 4,6,6 4 =2885,92 Q=2885,92-6 =2285,92 22,86% (6 : Z )
FIMA a: Ein Kapital von 5 wird 8 Jahre mit 3% und anschließend 4 Jahre mit 5% verzinst. Wie hoch ist das Endkapital nach 2 Jahren? 5,3 8,5 4 =2396,5 Das Kapital beträgt nach 2 Jahren 2396,5. FIMA b: Welches Kapital wächst bei p=5 in Jahren auf 7 an? K = K n q n = 7,5 =4297,39 Ein eingesetztes Kapital von 4297,39 wächst nach Jahren auf 7 an. FIMA c: Bei welchem Zinssatz wächst ein Kapital von 5 in 7 Jahren auf 735,5 an? 5 x 7 =735,5 x 7 =,47 x=,4999 +5 7te Wurzel ziehen Bei einem Zinssatz von 5% wächst ein Kapital in 7 Jahren auf 735,5 an. FIMA d: Bei welchem Zinssatz wird ein Kapital in 5 Jahren verdoppelt? x y 5 =2x y 5 =2 y=,4729 /x 5te Wurzel ziehen Bei einem Zinssatz von ~5% verdoppelt sich ein Kapital in 5 Jahren. FIMA e: In wie viel Jahren wächst ein Kapital bei p=6 von 2 auf 8 an? 2,6 n =8,6 n =,5 n=log,6,5 n=6,959 /2 Nach 6,96 Jahren wächst das Kapital auf 8 an. FIMA 2: Der Käufer eines Hauses kann zwischen 3 Angeboten für Ratenzahlungen wählen: Angebot A: 8 bar, 85 nach 3 Jahren, 75 nach 5 Jahren Angebot B: bar, 72 nach 4 Jahren, nach 7 Jahren Angebot C: 9 bar, 75 nach 2 Jahren, 7 nach 6 Jahren Welches Angebot ist bei einem Zinsfuß von p=5 am günstigsten? Angebot : B =8 85,5 3 75,5 5 =239,66 Angebot 2: B = 72,5 4,5 7 =23749,52
Angebot 3: B =9 75,5 2 7,5 6 =2262,29 Angebot 3 ist bei einem Zinsfuß von 5% am günstigsten. FIMA 3: Ein Gewinn in Höhe von 2 wird zu 4% angelegt. Der Gewinner möchte nach Ablauf von 8 Jahren 2 Jahre lang den gleichen Betrag als Rente abheben, so dass nach der letzten Abhebung das Kapital aufgebraucht ist. Wie hoch ist die jährliche Rente? 3.2. R R R R R R R R R R R R R 5 5 2 S n S n * 2 Lösungsweg : vorschüssig rechnen: gleichsetzen: 2,4 2 = S 2 =R q q 2 q 2,4 2 =R q q 2 q R=2,4 2 q q q 2 R=2,4 2,4,4,4 2 R=2843,8 Lösungsweg 2: nachschüssig rechnen: 2,4 9 =R q2 q... 2,4 8 R q R 2 q R 3 q... R q R 2 = Klammern ausmultiplizieren: 2,4 9 R,4 R 2,4... R,4 R 2 = 2,4 9 =R,4 R,4... R 2,4 9 =R,4,4... 2,4 9 =R q2 q R=2843,8 was geht aufs was geht vom Konto Konto drauf weg
FIMA 4: Ein Vater möchte seinen 3 Kindern ein Startkapital von jeweils 3 für ihre Berufsausbildung zukommen lassen. Das erste Kapital soll Ende 2, das zweite Ende 23 und das dritte Ende 26 ausbezahlt werden. Wie hoch ist bei einem Zinssatz von 5% die jährliche Sparleistung des Vaters anzusetzen, wenn er die erste jährliche Zahlung Ende 24 und die letzte Ende 25 (5 Sparraten) leistet? (Wählen sie als Bezugszeitpunkt den 3.2.29) R R R R R S 5 * rein 3.2.4 2 22 R 2 R 2 Auf den Zeitpunkt zurückrechnen (abzinsen) 3.2.9 R 2 raus R 2 =2 S 5 * (vorschüssiger Endwert): R q q 5 q R 2 abzinsen: Gleichsetzen: R 2 q R 2 2 q R 2 4 q 7 R q q 5 q = R 2 q R 2 2 q R 2 4 q 7 nach R auflösen: R = R 2 q R 2 2 q R 7 2 4 q q q q 5 R = 3 7,5 3 2,5 3 4,5,5,5,5 5 R =26,8 Der Vater muss jährlich 26,8 anlegen, um seinen Kindern jeweils 3 zukommen lassen zu können.
FIMA 5: Auf einem Sparkonto werden Jahre lang jährlich nachschüssig 5 eingezahlt. Am Ende des 7. Jahres wird eine Sonderzahlung in Höhe von 2 eingezahlt. Das Kapital wird bis zum Ende des 8. Jahres mit p =4 und danach mit p 2 =5 verzinst. Wie hoch ist der Kontostand nach 3 Jahren? +2 S 2 S 8 S 3 R R R R R R R R R R R=5 3.2 5 8 p =4% p 2 =5% 3 Jahre Teilsumme S 8 (R bis zum Zinswechsel im achten Jahr): S 8 =5,48,5 5,4 S 8 =5879,97 Teilsumme S 3 (R ab Zinswechsel im achten Jahr): S 3 =5,52,5 3,5 S 3 =86,57 Teilsumme S 2: S 2 =2,4,5 5 S 2 =2654,67 Gesamtsumme: Gesamtsumme = Teilsumme S 8 + Teilsumme S 3 + Teilsumme S 2 Gesamtsumme = 5879,97 + 2654,67 + 86,57 Gesamtsumme = 972,2 Der Kontostand nach 3 Jahren beträgt 972,2. FIMA 6a: Ein Ratendarlehen von 4 soll in Jahren vollständig getilgt werden (p=4). Wie hoch sind die Zinsen im 5. Jahr? Q 4 = 4 4=6 Restschuld= 4,- R 5-6,- R 5 24,- Z 5 =24,4=96 Die Zinsen im fünften Jahr betragen 96.
FIMA 6b: Wie hoch ist die Restschuld nach Verrechnung der 8. Rate? Q 8 = 4 8=32 R 8-32,- 8,- Restschuld: 4,- Die Restschuld nach Verrechnung der achten Rate beträgt 8. FIMA 6c: Wie hoch ist die Rate im 9. Jahr? Z 8 =Q 8,4 Z 8 =8,4 Z 8 =32 R 9 =R Z 8 R 9 =4 32 R 9 =432 Die Rate im neunten Jahr beträgt 432 FIMA 7a: Ein Annuitätendarlehen von 6 soll in 6 Jahren vollständig getilgt werden (p=5). Wie hoch ist die Annuität? A=K q n q q n A=6,5 6,5,5 6 A=82,48 Die Annuität beträgt 82,48 FIMA 7b: Wie hoch ist die Tilgung bei der 4. Rate? Q =A Z Q =82,48 6,5 Q =882,48 Q 4 =Q,5 3 Q 4 =882,48,5 3 Q 4 =24,66 Die Tilgung bei der vierten Rate beträgt 24,66 FIMA 7c: Welche Restschuld verbleibt nach Verrechnung der 4. Rate? R 4 =K Q q 4 q R 4 =6 882,48,54,5 R 4 =298,8 Nach Verrechnung der vierten Rate verbleibt eine Restschuld von 298,8 FIMA 7d: Welche Zinsen sind im 5. Jahr zu zahlen? Q 5 =Q,5 4 Q 5 =882,48,5 4 Q 5 =722,39 Z 5 = A Q 5 Z 5 =82,48 722,39 Z 5 =99,9 Die Zinsen im fünften Jahr betragen 99,9
FIMA 7e: Stellen Sie einen Tilgungsplan auf. Jahre Restschuld Zins Tilgung Restschuld 6, 3, 882,48 5789,52 2 5789,52 25589,48 9262, 4968,52 3 4968,52 2958,43 97252,5 3296,46 4 3296,46 695,82 24,66 298,8 5 298,8 99,9 722,39 258,42 6 258,42 5629,7 258,4, FIMA 8: Ein Unternehmer braucht für eine Investition 8. Er kann eine jährliche Rate von 2 aufbringen. Der Zinssatz beträgt 6%. Kann er bei einem Annuitätendarlehen das Darlehen in 8 Jahren tilgen? Möglichkeit : A=K q n q q n A=8,6 8,6,6 8 A=2882,86 Möglichkeit 2: n= ln A ln Q q ln n= ln 2 ln 72 ln,6 n=8,77 Der Unternehmer müsste entweder 2882,86 aufbringen um die acht Jahre einzuhalten oder er muss das Darlehen in 8,77 Jahren tilgen. FIMA 9a: Eine Bank vereinbart für die Gewährung einses Annuitätendarlehens über mit dem Schuldner: Das Darlehen ist mit 5% zu verzinsen und mit 8% anfänglicher Tilgung zuzüglich ersparter Zinsen zu tilgen. Stellen Sie einen Tilgungsplan auf. Jahre Anfangsbetrag Zins Tilgung Restschuld, 5, 8, 92, 2 92, 46, 84, 836, 3 836, 48, 882, 7478, 4 7478, 3739, 926, 6559, 5 6559, 3275,95 9724,5 55794,95 6 55794,95 2789,75 2,25 45584,7 7 45584,7 2279,23 72,77 34863,93 8 34863,93 743,2 256,8 2367,3 9 2367,3 8,36 89,64 787,49 787,49 589,37 787,49,
FIMA 9b: Berechnen Sie (ohne Verwendung des Tilgungsplanes), nach wievielen Jahren die Hälfte des Darlehens getilgt ist. 5= 8,5m,5 25=5 8,5 m,325=,625,5 m,325=,5 m m=log,5,325 m=5,57 *,5 /-8 +,625 + Nach 5,57 Jahren ist die Hälfte des Darlehens getilgt.
2. Lineare Algebra Matrizen Lineare Gleichungssysteme Lineare Optimierung (2.) Matrizen Eine m x n Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten: a a2... a n a 2 a 22... a 2n a m a m2... a mn m x n Beispiele: A = 2 3 4 6 9 2 x 3 B = 2 4 6 2x 2 C = 2 3 3 x kurze Schreibweise: A a ij m x n Anwendungsmöglichkeiten: Beispiel : Produktionsproblem Zwei Produkte P und P 2 mit den Stückzahlen x und x 2. Beide Produkte müssen mit beiden Maschinen M und M 2 bearbeitet werden. Bearbeitungszeit in min.: P P 2 Kapazität (Arbeitszeit pro Woche) M 2 24 min/woche M 2 3 24 min/woche Frage: Welche Stückzahl muss produziert werden für Vollauslastung?
() Schreibweise als Lineares Gleichungssystem: M =x 2x 2 =24 M 2 =3x x 2 =24 (2) Schreibweise als Produktionsmatrix: 2 3 x x 2 = 24 Beispiel 2: digitale Bilder Bild mit 9 Pixeln: = Farbe; = leer bei Farbe: Farbtiefe 6 bit: 2 64 Kontrast: Mathematisches Verfahren, welches über die Matrix läuft und die Farbtöne die nebeneinander liegen angleicht (durch Durchschnittswerte) Matrix: Beispiel 3: Animierte Filme wie 'Findet Nemo' basieren auf Matrizen. (2.2) Addition von Matrizen a ij mxn b ij mxn = a ij b ij mxn Beispiel: 2 3 4 5 7 3 8 = 3 7 3 Matrizenaddition nur bei gleichen Spalten und Zeilen!!! (2.3) Multiplikation mit einer Zahl Beispiel: 2 3 4 8 = 6 8 2 6 t a ij mxn = t a ij mxn t R
(2.4) Bemerkungen. A B=A B= a ij b ij mxn 2. A B=B A Kommutativgesetz 3. A B C=A B C Assoziativgesetz 4. s t A=s A t A s,t R Distributivgesetz 5. s A B =s A s B Distributivgesetz 6. m=n Quadratische Matrix Definition Einheitsmatrix E (m=n) E= x E= 2x2 E= 3x3 E= 4x4 In der Hauptdiagonale befinden sich Einsen, sonst nur Nullen: ij für i= j ij für i j E= ij mxn ; m N (2.5) Multiplikation von Matrizen Sei A eine m x n Matrix, B eine n x r Matrix, dann ist C = A*B eine m x r Matrix mit: n C ij = k = a ij b kj für i=,...,m ; j=,...,r Beispiel: Vorgehensweise: =a i b j a i2 b 2j... a i n b nj 2 2 3 5 6 4 2 2 2x3 2 3 2 3x4 = 4 8 22 2 2 6 2x4 C 2 C 24. Schauen, ob die mittleren Zahlen gleich sind 2. Die anderen Zahlen bilden die Größe der Matrix 3. Ein Element rausgreifen, z.b. C 2 = Die zweite Zeile der ersten Matrix, die erste Spalte der zweiten Matrix: 4*5+(-2)*+2*2=22 C 3
Weitere Beispiele: C 3: 2*+3*(-6)+(-)*2 = -8 C 24: 4*+(-2)*+2* = 6 Beispiel 2: 2 3 x3 3 2 = x 3x Beispiel 3: 2 2 2 3 x3 = 3 6 4 2 3 3x 9 6 3 3x3 Bemerkungen:. A*B muss nicht notwendig existieren: a ij 3x4 b ij 5 7 2. Existiert A*B, so muss B*A nicht notwendig existieren: A 2x3 * B 3x4 A 3x4 * B 2x3 3. Existieren A*B und B*A (bei quadratischen Matrizen), so gilt i.d.r. A*B B*A: = = 4. (A*B)*C = A*(B*C) (multiplizieren was man will, falls Produkte möglich sind) 5. A*(B+C) = A*B+A*C 6. Bei quadratischen Matrizen A: A*E=E*A=A Empfehlung: Falk sches Schema
(2.6) Transponierte Matrix Die transponierte Matrix A' entsteht aus A durch Vertauschen von Zeilen und Spalten. Beispiel: A= 2 3 4 5 6 2x3 A '= 4 2 5 3 6 3x2 Eine Matrix A heißt symmetrisch wenn A=A' ist. Eine Matrix A heißt schiefsymmetrisch, wenn A=-A' ist. Beispiel: für A=symmetrisch: 2 3 2 4 5 3 5 6 3x3 kann man spiegeln, es kommt immer das Gleiche raus. Beispiel: für A=schiefsymmetrisch: 2 3 2 3 3x3 die Zahlen außerhalb der Hauptdiagonale spiegeln sich ins Gegenteil, die Zahlen in der Hauptdiagonale bleiben wo sie sind. Regeln:. A'' = A (zweimal vertauschte Matrizen ergeben wieder die Ursprungsmatrix) 2. (A*B)' = B' * A': C= /2 x /2 y 3/4,8,6 z x y z /2 3/4,8 /2,6
(2.7) Inverse Matrizen Existiert zu einer quadratischen Matrix A eine Matrix A - mit A*A - = A - * A = E, so heißt A - die zu A inverse Matrix. Rechenregeln:. A = A (eine inverse Matrix invertieren ergibt die Ursprungsmatrix A) 2. A B =B A 3. A '= A ' (2.8) Zeilenumformungen. Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl r 2. Addition einer (mit einer Zahl r multiplizierten Zeile) zu einer anderen Zeile 3. Vertauschen zweier Zeilen
(2.9) Berechnung von A - am Beispiel A= 2 2 3 2 4 von dieser Matrix soll die invertierte berechnet werden: (A soll in E umgeformt werden, E soll links stehen) Sollen Null werden Einheitsmatrix 2 2 3 2 4 - -2-3 -2*Zeile -3*Zeile - -Zeile 2 - -2 -Zeile 3 *(- - - 2 2 - - - - -Zeile 2 2-2 - - - Einheitsmatrix E Invertierte Matrix Probe: 4 2 = 2 2 2 3 2 Empfehlung: Strikte Vorgehensweise (im Uhrzeigersinn) oder pivotisieren
(2.) Lineare Gleichungssysteme (LGS) Beispiel: Produktproblem (siehe 2.) x 2x 2 =24 3x x 2 =24 Lösung: x = 48 x 2 = 96 Linear: Gleichungssystem: proportional gleichbleibend steigend (eine Gerade) Bestimmte Anzahl von (unbekannten) Gleichungen allgemein: m lineare Gleichungen mit n Unbekannten a x a 2 x 2... a m x n =b a m x a m2 x 2... a mn x n =b m in Matrixschreibweise:... a a n a m... a mn x x n = b m b Anwendungsmöglichkeiten:. Produktprobleme 2. Vollkostenrechnung ( interne Leistungsverrechnung) 3. Wettervorhersage 4. Karosserieform von Automobilen (Gittermodell) ca. 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten m Gleichungen mit n Unbekannten: 3 Gleichungen mit 5 Unbekannten (unterbestimmt) Lösungen 7 Gleichungen mit 4 Unbekannten (überbestimmt) fast nie eine Lösung Trotzdem gibt es: genau eine Lösung keine Lösung unendlich viele Lösungen bei uns grundsätzlich: m = n
(2.) Der Gaussche Algorithmus am Beispiel x x 2 5x 3 =2 3x 8x 2 x 3 =9 x 5x 2 2x 3 = (eindeutige Lösung: 3 Gleichungen, 3 Unbekannte) In Matrixschreibweise: 5 3 8 x 2 9 5 2 x x 3 = 2 Lösung (in Matrixform) durch Äquivalenzumformungen: - 5 3-8 - 5-2 - 5-5 -6 Beispiel für unendlich viele Lösungen: 5 5 6 2 27 2 9 2-27 -3*Zeile -*Zeile 5-52 -9 +3*Zeile 2 - -5 5-6 - 2-27 -2 Eine Zeile wird Null unendlich viele Lösungen Unterhalb der Hauptdiagonale soll Null werden (3)=-x 3 =-2 x 3 =2 (2)=-5x 2-6x 3 =-27 ()=x -x 2 +5x 3 =2 x 2 =- x = Schreibweise: x 3 =t ;t R x 2 =5x 2 6t=27 x 2 = 6 5 t 27 5 x =x 6 5 t 27 5 5 t=2 x = 49 5 t 87 5 Beispiel für keine Lösung: 5 5 2 2 = ist ein Widerspruch, d.h. Es gibt keine Lösung
(2.2) Lineare Optimierung Beispiel: Produktproblem aus (2.): Bisheriges Ziel: Vollauslastung der Maschinen (Lösung mit LGS) x LGS: 2x 2 =24 3x x 2 =24 Lösung: x =48 x 2=96 Neues Ziel: Maximierung des Gewinnes Gewinn/Stk. Produkt P : (x ) Produkt P 2: 3 (x 2) LOP: Lineares Optimierungssystem Ziel: Gewinn G: x 3x 2! = max unter den Nebenbedingungen: x, x 2 (Stk.zahl) 2 x 2x 2 24 (min) 3 3x x 2 24 (min) Grafische Lösung:. Problemformatierung 2. Hilfsrechnungen: Ungleichungen nach x 2 auflösen: x 2x 2 24 -x 2x zu(2): 2 x 24 :2 x 2 2 x 2 zu(3): 3x x 2 24-3x x 2 3x 24 3. Zeichnung anfertigen 4. Gewinn nach x 2 auflösen: x 3x 2 = x 2 = 3 x -x :3 (einzeichnen) 5. Gewinnfunktion parallel verschieben (solange bis es zu einem max. erreichbaren Schnittpunkt kommt)
x 2 Was bedeutet es wenn ein Punkt innerhalb des Bereiches liegt('zulässiger Bereich')? 25 In diesem Bereich sind die Bedingungen erfüllt. Außerhalb beider schraffierter Flächen müsste länger gearbeitet werden, innerhalb einer schraffierter Fläche arbeitet nur eine Maschine. 2 5 Vollauslastung Lösung G= 3 x 5 Parallelverschiebung Zulässiger Bereich x 2 x 2 2 x 2 3 x 24 x 5
(2.3) Lineare Optimierung am Beispiel 2 Aufgabe: Herr X braucht 6 gr. Kohlehydrate pro Tag und 3 gr. Eiweiß pro Tag. Dieser Mensch ißt nur Reis und Fisch: x =Reis: 6g Kohlehydrate und 5g Eiweiß / Kg x 2 =Fisch: 2g Kohlehydrate und 6g Eiweiß / Kg Kosten: Reis,- / Kg, Fisch 2,- /Kg Ziel: Kosten minimal halten Kosten: Produkt x : Produkt x 2: 2 LOP: Lineares Optimierungssystem Kostenfunktion: K =x 2x 2! = min unter den Nebenbedingungen: x, x 2 (Stk.zahl) 2,6 x,2 x 2,6 (Kg) 3,5 x,6 x 2,3 (Kg) Hilfsrechnungen: (Ungleichungen nach x 2 auflösen): zu (2),2 x 2,6 x,6 x 2 3x 3 :,2,6x 2,5x,3 zu(3) x 2 4 x 2 :,6 Kostenfunktion nach x 2 auflösen: K =x 2x 2 2x 2 = x -x :2 x 2 = 2 x Der Schnittpunkt der Funktionen ist die Lösung: () und (2) gleichsetzen: 3x 3= 4 2 x = =,99 g y= 3 =,273 g
x 2 3 2 = 3x 3 2 Zulässiger Bereich Lösung x 2 = 2 x 3 = 4 x 2 2 3 x Herr X wird täglich 99g Kohlehydrate und 272g Eiweiß essen wenn er kostensparend essen will. (2.4) Bemerkungen ) Ziel: Maximierung: unendlich viele Lösungen 2) Ziel: Maximierung: keine Lösung
LINALG : Bestimmen Sie für folgende Matrizen A jeweils die transponierte Matrix A'. Welche Matrizen sind symmetrisch oder schiefsymmetrisch ( a, b, c, d R )? LINALG a: a A= a a b b b c c 4x2 A '= a b a b b b c c 2x4 LINALG b: A= 2 3 3 b b a 3x3 A '= 2 3 3 b b a 3x3 symmetrisch (A=A') LINALG c: A= a b a c b c 3x3 A '= a b a c b c 3x3 schiefsymmetrisch (A'=-A) LINALG 2: Gegeben sei Matrix A. Berechnen Sie B=A+A' und B'. Welche Eigenschaften hat die Matrix B? 7 4 3 2 6 7 6 A= 3 5 7 5 6 7 5 2 6 A' 3 3x3 4 =B 3 3x3 6 5 6 3x3 B '= 6 7 6 7 5 6 5 6 3x3 symmetrisch LINALG 3a: Berechnen Sie folgende Matrizenprodukte: LINALG 3b: 4 3 7 5-28 38 2-6 93-26 -6 2 7 2 2 3 3 3 2 5 2 3 2 2 3 3 8 4 5 5 2 2 2 2 46 28 46 2 2 9 4 9
LINALG 4a: Berechnen Sie die inversen Matrizen A - (Lösung durch pivotisieren) 7 3 4 2-5 3 3 3/7 4/7-3/7 -/7 6/7 /7 7/3 /3 /3 /7-2/7-5/7 /3 3/3 2/3-7/3 -/3 6/3 6-3 -7 - - - 6 3 :7-2*Zeile -5*Zeile -3/7*Zeile 2 *(-7/3) 6/7*Zeile 2-7/3*Zeile 3 -/3*Zeile 3 *3 LINALG 4b: - 2 - - 2-2 - - 3 - - -3 2-3 -2 2-2 - 3 3-6 -2 8-2 -2 4-2 - - - 2 - -3 3-2 - -2/3 /3 - /3 /3-4/3 2/3 -/2 -/3 /3 /2 3/4 -/3 /6 -/4 -/2 -/3 2/3 /2 /4 -/3 /6 /4-2*Zeile -Zeile -Zeile -Zeile 2 *(-) -Zeile 2 +2*Zeile 2 +Zeile 3 :3 +2*Zeile 3 +2*Zeile 4 -Zeile 4 +2*Zeile 4 :4 LINALG 5: Gegeben seien die Matrizen A*B und A. Berechnen Sie A - und B. A*B= 2 2 A= 2 5 3 7 A - = 7 5 3 2. Weg: A A B = A A B=E B=B 7 5 3 2 2 2 = 4 6 4
2. Weg: 2 5 3 7 a b c d = 2 2 2a 5c 2b 5d 3a 7c 3b 7d = 2 2 (4 Gleichungen für 4 Unbekannte) Lösung: a=-4, b=, c=6, d=-4 LINALG 6: Gegeben seien die Matrizen M = 3 5 so, dass gilt: M*N = N*M. 3 5 4 2 x y 8 4 = x y 8 4 3 5 4 2 3x 4 3y 2 4x 6 4y 8 = 3x 4y 5x 2y 4 48 4 2 und N = x y 8 4. Bestimmen sie x, y R 4x+6=4 x=6 4y+8=48 y= Probe: 3 6 4 3 6 4 3 2 5 6 2 LINALG 7: Bestimmen Sie für E= und F= X+F 2 =F*X+E. ( a,b,c,d R ) F X = a b a b c d = c d = c d a b c d a b -E F 2 F*x E alle Matrizen X = a b c d mit a=-c c=-a b=-d d=-b Lösung: a=-c b=-d LINALG 8a: Lösen Sie für die folgenden Matrizen A und Vektoren b die zugehörigen linearen Gleichungssysteme A x= b x, b R n mit dem Gaußschen Algorithmus: 2 6 A= 3 2 b= 4 3 3, 8 Lösung: x =5, x 2=5, x 3=4
LINALG 8b: 2 3 2 6 6 2 3 4 2 3 3 2, 5 A= 2 4 7 3 8 5 b= 8 3 Lösung: x =8, x 2=2, x 3=-2, x 4=, x 5=3 LINALG 8c: 2 A= 3 3 2 b= 4 4, 3 3 9 Lösung: x =, x 2=5, x 3=6 LINALG 8d: 3 A= b= 3 2, 2 Lösung: unendlich viele Lösungen, da letzte Zeile Null wird. x 3=t x 2 = 2 t x = 2 t LINALG 9: Drei Kohlegruben K,K 2,K 3 beliefern ausschließlich 3 Werke W,W 2,W 3. Das Werk W benötigt täglich 2 Tonnen Kohle und erhält /3 der täglichen Förderleistung von K, ¼ der von K 2 und die Hälfte der Förderung von K 3. Beim Werk W 2 setzen sich die benötigten 9 Tonnen zusammen aus /6 der Förderung von K und der Hälfte der Förderungen von K 2. Das Werk W 3 erhält 5 Tonnen als Rest der täglichen Fördermengen der drei Gruben. Berechnen Sie die benötigten Fördermengen. W W 2 W 3 K K 2 K 3 /3 /4 /2 /6 /2 /2 /4 /2 3/4 3/2 3/8 -/4 -/8 -/4 2-2/3 -/3 2 9 5 36 3-3 3 8-2 8 2 6 *3 -/6*Zeile -/2*Zeile -3/4*Zeile 2 *8/3 +/8*Zeile 2-2*Zeile 3 +2/3*Zeile 3 *(-3) Die benötigten Fördermengen betragen: Für Kohlegrube : K = 8t Für Kohlegrube 2: K 2: 2t Für Kohlegrube 3: K 3: 6t
LINALG : gestrichen LINALG : Ein landwirtschaftlicher Betrieb stellt aus zwei Düngemitteln D und D 2 eine Mischung her. Dabei sollen in dieser Mischung mindestens 3 kg Phosphor, 2,4 kg Stickstoff und,3 kg Kalzium enthalten sein. Aus der folgenden Tabelle kann man entnehmen, wieviel g dieser chemischen Elemente in kg der beiden Düngemittel jeweils enthalten ist bzw. Was kg der beiden Düngemittel jeweils kostet: D D 2 Phosphor 5g 3g Stickstoff 2g 2g Kalzium 5g 5g Preis je kg 3 8 Seien x und x 2 die Mengen von D und D 2, die in der Mischung enthalten sind. Bestimmen Sie die Mischungen so, dass die Kosten minimal sind. Kostenfunktion: K =3x 8x 2! = min unter den Nebenbedingungen: ()grundsätzl. Bedingung: x, x 2 (2) Phosphor: 5x 3x 2 3 g (3)Stickstoff: 2x 2x 2 24 g (4)Kalzium: 5x 5x 2 3 g Hilfsrechnungen: zu (2) 5x 3x 2 3 x 2 5x zu (3) 2x 2x 2 24 x 2 /6 x 2 zu (4) 5x 5x 2 3 x 2 x 6 Kostenfunktion nach x 2 auflösen: 3x 8x 2 = x 2 = 3 8 x
x 2 8 2 = 5x 6 4 4 = x 6 2 Lösung 2 4 6 8 K = 3 8 x x 3 = 6 x 2 LINALG 2: Ein Tankstellenbesitzer kauft von einem Großhändler Normal- und Superbenzin. Dabei seien die Mindestabnahmemenge, die maximale Lagerkapazität sowie der Ein- und Verkaufspreis pro l gemäß folgender Tabelle gegeben: Normalbenzin Superbenzin Mindestabnahmemenge 5 l l Max. Lagerkapazität l 8 l Einkaufspreis pro l,6,7 Verkaufspreis pro l,9,95 Der Anteil von Normalbenzin an der Gesamteinkaufsmenge soll höchstens 75% betragen. Insgesamt können nur 8 zum Einkauf ausgegeben werden. Wieviel l soll der Tankstellenbesitzer von jeder Benzinsorte bestellen, damit der Gewinn maximal wird? x : Normalbenzin x 2: Super Gewinn/l Normal:,9-,6=,3 Gewinn/l Super:,95-,7=,25
Gewinn: G=,3 x,25 x 2! = max unter den Nebenbedingungen: () x, x 2 (grundsätzliche Bedingung) (2) 5 x (Kapazitätsbeschränkung) (3) x 2 8 (Kapazitätsbeschränkung) (4) x,75 x x 2 (Verhältnis x zu Gesamt) (5),6 x,7 x 2 8 Hilfsrechnungen (Ungleichungen nach x 2 auflösen): (4) x 2 3 x (5) x 2,86 x 429 Gewinnfunktion nach x 2 auflösen: G=,3x,25x 2 x 2 = 6 5 x Lösung: Schnittpunkt (4) und (5): 3 x =,86 x 429 x =96 x 2 =32 x 2 Bedingung 3 5 Zulässiger Bereich Bedingung 5 Bedingung 4 Bedingung 2 Lösung 5 x Gewinnfunktion
3. Wirtschaftlichkeitsrechnung (3.) Investitionsrechnung Investitionsrechnung Unternehmensbewertung (nicht Thema der Vorlesung) Wirtschaftlichkeitsrechnung Statische Verfahren Dynamische Verfahren (3.2) Kostenvergleichsrechnung Annahmen:. Vollfinanzierung über Kredit 2. Ratenkredit, Laufzeit = Nutzungsdauer 3. Lineare Abschreibung des Anschaffungswertes Durchschnittlich gebundenes Kapital:(ø-Kap.Einsatz) Kritische Auslastung: = AW RW t RW t2... RW n n = AW RW n 2 = AW RW n Abschreibung 2 M = K A B fix K fix K B var A K var K fix = Fixe Kosten = Fixe Betriebskosten + Abschreibungen + Zinsen K var = variable Kosten pro Stück, M = Stückzahl Bis zu welcher Stückzahl ist A günstiger, ab wann ist B günstiger
A. Daten B. Periodenkostenvergleich Rechengrößen Anlage A Anlage B. Anschaffungskosten 2 26 2. Fixe Betriebskosten pro Jahr (ohne Abschreibung und Zinsen 75 26 3. Variable Betriebskosten pro Mengeneinheit (ME) 3,2 2, 4. Vorraussichtliche Produktion pro Jahr 4 ME 5 ME 5. Geplante Nutzungsdauer 4 Jahre 4 Jahre 6. Restverkaufserlös am Ende der geplanten Nutzungsdauer - 2 7. Zinssatz % %. Fixe Betriebskosten (A2) 75 26 2. Variable Betriebskosten (A3*A4) 28 5 A A6 3. Abschreibungen linear A5 5 6 4. durchschnittlich gebundenes Kapital A A6 B3 2 25 7 5. Zinsen (B4*,) 25 7 6. Durchschnittliche Gesamtkosten pro Periode 98 28 C. Stückkostenvergleich B6 A4 4,95 /ME 4,6 /ME
(3.3) Gewinnvergleichsrechnung Kennzahlen: Deckungsspanne: Erlöse pro Mengeneinheit variable Kosten pro Mengeneinheit Gewinnschwelle: fixe Kosten Deckungsspanne wie viel Stück muss ich verkaufen, um keine Schulden mehr zu haben(bep) Dbu-Quote : Deckungsspanne Erlöse/ Mengeneinheit soviel % des Erlöses bleiben übrig, um Gewinn zu erzielen Sicherheitskoeffizient: Gewinn/ Periode Deckungsbeitrag/ Periode 2 soviel % der Produktion bleiben übrig, um am Markt reagieren zu können ) Deckungsbeitrag in % des Umsatzes (in diesem Fall Umsatz=Erlöse) 2) Deckungsbeitrag / Periode: Deckungsspanne * Stückzahl Rechengrößen Anlage A Anlage B Anlage C A. Daten. Anschaffungskosten 5 5 2. Durchschnittlicher Kapitaleinsatz 55 275 875 3. Geplante Nutzungsdauer Jahre Jahre 6 Jahre 4. Voraus. Leistungsabgabe / Periode 2 ME ME 2 ME 5. Fixe Betriebskosten / Periode 7 25 85 6. Variable Betriebskosten / ME,4,55,24 7. Erlöse pro ME,86 2,5 2,72 8. Zinssatz % % % B. Kostenvergleich. Fixe Betriebskosten / Periode 7 25 85 2. Variable Betriebskosten / Periode 8 55 48 3. Abschreibungen 5 25 4. Zinsen 55 275 875 5. Durchschnittliche Gesamtkosten 242 35 394 6. Stückkosten,2,35,97 C. Gewinnvergleich. Erlöse pro Periode 372 25 544 2. Kosten pro Periode 242 35 394 3. Gesamtgewinn pro Periode 3 8 5
Rechengrößen Anlage A Anlage B Anlage C A. Daten. Fixe Betriebskosten 7 25 85 2. Abschreibungen 5 25 3. Zinsen 55 275 875 4. Fixe Kosten 62 8 346 5. Variable Kosten pro ME,4,55,24 6. Erlöse pro ME,86 2,5 2,72 7. Deckungsspanne,46,6 2,48 8. Deckungsbeitrag pro Periode 292 6 496 9. Gewinn pro Periode 3 8 5 B. Gewinnschwellenanalyse. Gewinnschwelle (in % der vorraussichtlichen Leistungsabgabe) 96 ME (55,5%) 5 ME (5%) 3952 ME (69,8%) 2. DBU Quote (Deckungsbeitrag in %,78,74,9 des Umsatzes) 3. Sicherheitskoeffizient 44,5% 5% 3,2% (3.4) Rentabilitätsrechnung (Investitions-)rentabilität: Gewinn geb. Kapital Verzinsung eingesetzten Kapitals (was rentiert sich für einen Anleger) Umsatzrentabilität: Gewinn Erlöse Umsatz Kapitalumsatz: Erlöse gebundenes Kapital
Rechengrößen Anlage A Anlage B Anlage C A. Daten (aus Gewinnvergleichsrechnung). Durchschnittlicher Kapitaleinsatz 55 275 875 2. Periodenkosten 242 35 394 3. Stückkosten,2,35,97 4. Erlöse pro Periode 372 25 544 5. Periodengewinn 3 8 5 B. Rentabilitätsrechnung. Investitionsrentabilität A5 A 2. Umsatzrentabilität A5 A4 3. Kapitalumschlag A4 A 23,6% 29,% 7,% 34,8% 37,2% 27,6%,68,78,62
(3.5) Kapitalwertmethode E t -A t = Einnahmenüberschuss der Periode t (Einnahmen-Ausgaben; E t, A t = Index, kein Exponent!!) Kapitalwert: n E C = A t A t t= p t t=kein Exponent t=exponent C = Kapitalwert A = Investitionsausgabe t = Periode n = Laufzeit p = Kalkulationszins Ist der Kapitalwert C > Investition vorteilhaft (verglichen mit Vergleichszinsfuß) Ist der Kapitalwert C > Investition nicht vorteilhaft Beispiel: Wir leihen A, welche er über 3 Raten mit je 4 begleicht. Wie wird es verzinst? (Vergleichszinsfuß p=5 bei der Bank) E -A E 2 -A 2 E 3 -A 3 4 4 4 rein 2 3 Jahre raus C = 4,5 4,5 4 2,5 3 C =892,99 Die Investition ist vorteilhaft. 892,99 erhalte ich mehr wenn ich das Geld A leihe. Ich müsste 892,99 mehr auf der Bank anlegen, um nach 4 Jahren gleichviel rauszubekommen.
(3.6) Interne Zinsfußmethode Beispiel: Wir geben 75 und bekommen dafür in 4 Raten zurück:.jahr 3, 2.Jahr 25, 3.Jahr 2 und 4. Jahr 5 3 25 2 5 rein 2 3 4 5 Jahre 75 raus 4 E C = A t A t t t= pt C = A E A p E2 A 2 2 p E3 A 3 3 p E4 A 4 4 p Für verschiedene Werte werden Beispiele ausgerechnet, d.h. für verschiedene Zinsfüße rechnen wir den Kapitalwert aus: p C, 5, 336 2, 45...... 8, 3 9, -365...... 5, -8283 (C (p)= setzen) Beispiel für p=2 C = 75 3,2 25,2 2 2,2 3 5,2 4 C =45, Der Zinsfuß p mit C = heißt interner Zinsfuß. Damit verzinst sich die betrachtete Investition. Ist der interne Zinsfuß größer als der Vergleichszinsfuß, so ist die Investition vorteilhaft.
Prüfungsaufgabe A a: Ein bei einer Bank eröffnetes Sparbuch mit einem Zinssatz von 4% weist folgende Buchungen auf: DM Einzahlung bei Eröffnung am Jahresende je 8 DM Einzahlung jährlich am Jahresende 8 Jahre lang, beginnend mit dem Ende des zweiten Jahres 4 DM Auszahlung nach Jahren je 2 DM Einzahlung am Jahresende 4 Jahre lang, beginnend mit dem Ende des 2. Jahres. Stellen Sie die angegebenen Größen am Zahlungsstrahl dar. T 2 K T R R R R R R R R R 2 R 2 R 2 R 2 T 4 2 p = 4 5 5 2 Auszahlung = 4 T K = 3 S 4 Ausz. R 3 R 3 R 3 R 3 R = 8 R 2 = 2 K 5? K 2 = A b: Wie hoch ist der Kontostand nach 5 Jahren? Berechnung mit nachschüssigem Endwert: Teilsumme : T =,4 5 8,94 Teilsumme 2: T 2 =8,48,4,46 9327,25 Teilsumme 3: T 3 = 4,4 5-4866,6 Teilsumme 4: T 4 =2,44,4 595,76 Der Kontostand nach 5 Jahren beträgt: 357,24 A c: Welche Rente kann man, nach Ablauf von 8 Jahren beginnend, 4 mal jährlich am Jahresende abheben, wenn nach der letzten Abhebung der Kontostand Null erreicht sein soll? R 3=? Gleichsetzen: K 5 =S 4 357,24,4 6 =R 2,44,4 357,24,4 6,4,4 4 =R 3 R 3 =3384,9 Man kann jährlich 4 mal am Jahresende 3384,9 abheben.
Prüfungsaufgabe A2 a: Ein Hauskäufer erhält von einer Bank ein Darlehen in Höhe von 24 DM zugesichert, dessen Rückzahlung bei 7,5% Zins und,5% anfänglicher Tilgung zuzüglich ersparter Zinsen in gleichbleibenden Annuitäten vorgenommen werden soll. Die erste Annuität ist dabei nach einem Jahr zur Zahlung fällig. Wie viel Jahre muss die volle Annuität bezahlt werden? Annuität: 24 *,9 (7,5% +,5%) =26 Tilgung des ersten Jahres: A= 26 Z = 24 * 7,5% = 8 Q = 26-8 = 36 Jahre n: n= lg A lgq lg q lg 26 lg36 n= lg,75 n=24,8 Die volle Annuität muss 24 Jahre bezahlt werden. A2 b: Wie lautet die erste, zweite, dritte und letzte Zeile des Tilgungsplanes, wenn ein sich ergebender Restbetrag mit der letzten vollen Tilgungsrate fällig wird? Jahre Restschuld Zinsen Tilgung Annuität Restschuld i R i- Z i Q i A R i 24 8 36 26 2364 2 2364 773 387 26 23253 3 2325 7439,75 46,25 26 228369,75 24 34699,58 262,47 8997,53 26 572,5 R 23 =K Q q 23 q R 23 =24 36,7523,75 R 23 =34699,58 +572,5 +572,5 A2 c: Um wie viele Jahre verlängert sich die Tilgungszeit, wenn bei gleichbleibender Annuität der Zinssatz nach 3 Jahren auf 8,5% erhöht wird? R 3=228369,75 neues Startkapital Annuität: 26 Z neu: 8,5% = 228369,75 * 8,5% = 94,43 Q neu: 26-94,43 = 288,57
Laufzeit des neuen Darlehens: lg2 lg 288,57 L neu = lg,85 L neu =28, Laufzeit gesamt: 3 Jahre + 28 Jahre = 3 Jahre Laufzeitverlängerung: 3 Jahre 24 Jahre = 7 Jahre Die Laufzeit verlängert sich um 7 Jahre. Prüfungsaufgabe A3 a: Berechnen Sie für die Matrizen A= 2 3 und B= 3 2 die Produkte A' * B und A * B'. A ' B= 2 3 2 x3 = 3 2 6 4 2 3 3x 9 6 3 3x3 A B '= 2 3 x3 3 2 = x 3x A3 b: Das Produkt zweier symmetrischer Matrizen C und D ist genau dann symmetrisch, wenn C * D = D * C gilt. Beweisen Sie dies. C,D = symmetrisch: C=C'; D=D' CD ist symmetrisch: (CD)=(CD)' C*D = (CD)' C*D = D*C CD=(CD)' D' * C*' = D*C CD=DC D' * C' = (CD)' 2 3 A3 c: Gegeben sei die Matrix B= 2. Berechnen Sie B-. B = 2 2 Prüfungsaufgabe A4 a: Lösen sie das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Gaußschen Algorithmus: x + 2y + z = x + y + 2z = 2x + 3y + 3z = 2 2 unendlich viele Lösungen: z=t,t R
Zeile2: Zeile: y z= y t= t= y x 2y z= x 2t t= x= 3t Prüfungsaufgabe A5: Ein Kapitaleinsatz von 75 DM führt zu folgenden Rückflüssen: nach Jahr: 3 DM nach 2 Jahren: 25 DM nach 3 Jahren: 2 DM nach 4 Jahren: 5 DM Berechnen Sie den Kapitalwert bei einem Zinssatz von 7% und bei einem Zinssatz von %. Ist die Investition nach der Kapitalwertmethode vorteilhaft? C = 75 3,7 25,7 2 2,7 3 5,7 4 =2642,74 Die Investition ist vorteilhaft. C = 75 3, 25, 2 2, 3 5, 4 = 794,62 Die Investition ist nicht vorteilhaft. Prüfungsaufgabe A6 a: Eine Firma plant die Anschaffung einer Maschine zwecks Erweiterung der Kapazität. Es liegen folgende zwei Angebote vor: Angebot A Angebot B Anschaffungskosten 4 DM 6 DM Fixe Betriebskosten / Jahr (ohne Abschreibungen und 5 DM 4 DM Zinsen) Variable Betriebskosten pro Mengeneinheit (ME) 6,4 DM 5,9 DM Produktion / Jahr 28 ME 28 ME Nutzungsdauer 7 Jahre 7 Jahre Zinssatz % % Bei beiden Alternativen beträgt der Restwert am Ende der Nutzungsdauer Null. Gehen Sie von einer linearen Abschreibung aus. Berechnen Sie den durchschnittlichen Kapitaleinsatz. AW RWdesletztenJahres 2 A= 4 2 2 A=8 B= 6 23 2 B=92
A6 b: Bestimmen Sie mit Hilfe der Kostenvergleichsrechnung das günstigere Angebot. A B Durchschn. Kap.einsatz 8 92 Abschreibungen +Zinsen +fixe Betriebskosten 2 8 5 23 92 4 =Fixkosten + variable Kosten 43 792 462 652 =Gesamtkosten Stückkosten 2222 7,94 24 7,55 A6 c: Bestimmen Sie die kritische Auslastung. ME krit = Fixkosten var.kosten ME krit = K fix A K fix B K var B K var A ME krit = 43 462 5,9 6,4 ME krit =64 Stk. Die kritische Auslastung liegt bei 64 Stück.