Gruppen und Graphen. 22. April 2010

Gruppen und Graphen Amir Džambić & Jörg Lehnert 22. April 2010 Zusammenfassung Dieses Dokument wir sich im Laufe des Sommersemesters 2010 zu einem Skript der in diesem Semester von uns gehaltenen Vorlesung entwickeln. Da es sich um eine Vorabversion handelt, ist damit zu rechnen, dass sie sowohl inhaltliche, als auch sprachliche und didaktische Schwächen und Fehler enthält, die hoffentlich im Laufe der Zeit weniger werden. Inhaltsverzeichnis 1 Einführung in die Gruppentheorie 2 1.1 Definitionen............................ 2 1.1.1 Nebenklassen und Index................. 8 1.1.2 Isomorphiesätze...................... 10 1.1.3 Die alternierende Gruppe................. 14 1.1.4 Produkte von Gruppen.................. 19 Vorwort Gruppen und Graphen sind mathematische Objekte, über die es viele Fragen und viele Antworten gibt. Traditionell sind sie Gegenstand der Gruppenbzw. Graphentheorie. Auf Grund des großen Umfangs dieser beiden Theorien kann hier nur ein sehr kleiner Bruchteil behandelt werden. Dabei liegt der Schwerpunkt auf der Gruppentheorie, Graphen tauchen eher als Werkzeuge auf. 1

1 Einführung in die Gruppentheorie Die Inhalte dieses Kapitels und weiterführendes Material lassen sich in den meisten Standardlehrbüchern über Algebra finden. Exemplarisch sei hier das Buch [2] genannt. Ebenfalls empfohlen sei an dieser Stelle das Buch [1]. 1.1 Definitionen Zunächst wollen wir uns mit den grundlegenden Begriffen der Gruppentheorie beschäftigen. Gruppen sind algebraische Objekte, die in verschiedenen mathematischen Gebieten eine Rolle spielen. Deshalb wird die folgenden Definition dem Leser bereits begegnet sein (z.b. im Rahmen der linearen Algebra). 1.1 Definition. Sei G eine Menge und : G G G eine binäre Verknüpfung mit den Eigenschaften Assoziativität (d.h.: g 1 (g 2 g 3 ) = (g 1 g 2 ) g 3 ). Existenz eines (rechts-) Neutralelementes (d.h. e G sodass g G gilt: g e = g). Existenz von (rechts-) Inversen (d.h.: g G g 1 G sodass g g 1 = e). Dann bildet G mit dieser Verknüpfung eine Gruppe (G, ). 1.2 Proposition. Sei (G, ) eine Gruppe und e das Neutralelement, dann gilt: Rechtsinverses ist auch Linksinverses, d.h. g 1 g 2 = e g 2 g 1 = e. Das rechtsneutrale Element ist auch linksneutral, d.h.: g G : e g = g. Das Neutralelement ist eindeutig. Jedes Element g hat ein eindeutiges Inverses g 1 und es gilt: (g 1 ) 1 = g. Beweis. Übungsaufgabe(!) Beispiele von Gruppen werden schon in der Schule behandelt. Zum Beispiel bilden die ganzen Zahlen zusammen mit der Verknüpfung + die Gruppe (Z, +). Ein weiteres Beispiel ist die Menge der reellen n n- Matrizen von vollem Rang mit der Multiplikation als Verknüpfung (GL n (R), ). 2

Konvention. Wenn aus dem Kontext klar ist, welche Verknüpfung gemeint ist, verzichten wir fortan auf die Erwähnung der Verknüpfung, z.b. nennen wir die eben genannten Gruppen Z bzw. GL n (R). Es gibt (nicht nur) einen bedeutenden Unterschied zwischen den Gruppen Z und GL n (R): In Z gilt stets k + l = l + k. Vergleichen wir dies mit der Situation z.b. in GL 2 (R). Dort ist etwa: ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 1 = 1 1 ( 1 1 0 1 ) 0 1 ( 1 0 1 1 ) = 1 2 ( 2 1 1 1 ) Eine Gruppe G, bei der (wie in Z) für alle g 1, g 2 G gilt, dass g 1 g 2 = g 2 g 1 ist, heißt abelsch. Wie bereits in der linearen Algebra interessieren wir uns nicht nur für die algebraischen Objekte (Vektorräume Gruppen) sondern insbesondere auch für strukturerhaltende Abbildungen, sogenannte Homomorphismen. In der linearen Algebra waren dies die linearen Abbildungen, in der Gruppentheorie sind es (Gruppen-)Homomorphismen: 1.3 Definition. Seien G, H Gruppen. Eine Abbildung ϕ : G H heißt Homomorphismus falls für alle g 1, g 2 G gilt: ϕ(g 1 )ϕ(g 2 ) = ϕ(g 1 g 2 ). Die Gruppen G und H heißen isomorph, falls es einen bijektiven Homomorphismus ϕ von G nach H gibt. Solch ein Homomorphismus heißt Isomorphismus. Im Allgemeinen studieren wir Gruppen nur bis auf Isomorphie. 1.4 Beispiel (Symmetriegruppen). Sei E 2 die Euklidische Ebene. Eine Isometrie von E 2 ist eine abstandserhaltende Bijektion von E 2 auf sich selbst. Sei P ein Polygon eingebettet in die Euklidische Ebene. Die Menge aller Isometrien der Ebene, die P auf sich selbst abbilden, bilden eine Gruppe bezüglich der Hintereinanderausführung. Diese Gruppe heißt Symmetriegruppe von P. Sei P n ein regelmäßiges n-eck. Die Symmetriegruppe von P n besteht aus 2n Elementen, n Drehungen um den Mittelpunkt mit Drehwinkeln 2iπ/n für i = 0... n 1 und n Spiegelungen entlang einer Gerade durch den Mittelpunkt und eine Ecke bzw. Seitenmitte. Diese Gruppe heißt Diedergruppe D n. Im vorangegangenen Beispiel einer Gruppe diente eine geomtrische Beschreibung dazu, eine Gruppe zu definieren. Allerdings gibt es auch rein algebraische Möglichkeiten, eine Gruppe zu beschreiben. Wir werden im Verlauf 3

der Vorlesung noch einige kennenlernen. Für endliche Gruppen gibt es eine adhoc-methode dies zu tun, nämlich Gruppentafeln. Betrachten wir dies am Beispiel der Gruppe D 3 : Die Gruppe hat 6 Elemente: Die Identität (e), die Drehungen mit Drehwinkel 2π/3 (d 1 ) und 4π/3 (d 2 ) und die 3 Spiegelungen s 1, s 2, s 3. Abbildung 1: Das Regelmäßige Dreieck mit den Spiegelungsachsen von s 1, s 2 und s 3 Wir beschreiben die Gruppe nun mit einer Tabelle, die alle Produkte angibt. Zum Beispiel steht in der Zeile d 1 und der Spalte s 2 das Element d 1 s 2 = s 1. e d 1 d 2 s 1 s 2 s 3 e e d 1 d 2 s 1 s 2 s 3 d 1 d 1 d 2 e s 3 s 1 s 2 d 2 d 2 e d 1 s 2 s 3 s 1 s 1 s 1 s 2 s 3 e d 1 d 2 s 2 s 2 s 3 s 1 d 2 e d 1 s 3 s 3 s 1 s 2 d 1 d 2 e 1.5 Definition (Gruppentafel). Sei (G, +) eine Gruppe mit n Elementen und e = g 1, g 2... g n die Elemente von G. Die Gruppentafel von G ist eine Tabelle, die in der iten Zeile und jten Spalte den Eintrag g i + g j hat. 1.6 Beispiel (Symmetrische Gruppe). Ein weiteres wichtiges Beispiel von endlichen Gruppen sind die Symmetrischen Gruppen. Die Menge aller Permutationen der Ziffernmenge {1,... n} bildet zusammen mit der Hintereinanderausführung die Gruppe S n. (Hintereinanderausführung meint, dass das Element σπ die Permutation ist, die die Ziffer k auf σ(π(k)) abbildet.) Da diese Gruppen uns häufiger als wichtige Beispiele dienen werden, wollen wir etwas näher auf sie eingehen. Insbesondere wollen wir eine Schreibweise für Elemente aus S n einführen. Sei dazu π S n. Eine Möglichkeit 4

beteht darin die Ziffern 1 bis n in eine Zeile und ihre Bildpunkte in die Zeile darunter zu schreiben, also: ( 1 2... n ) π(1) π(2)... π(n) Etwas handlicher und für unsere Zwecke praktischer ist die Zykelschreibweise: Betrachten wir eine Ziffer k und die iterierten Bilder π(k), π 2 (k), π 3 (k)... so muss in dieser Folge von Ziffern irgendwann eine Zahl auftreten, die bereits weiter vorne in dieser Liste steht, da nur n verschiedene Ziffern zur Verfügung stehen. Es gilt sogar, dass die erste dieser doppelten Ziffern k ist. Dies liegt daran, dass π und somit auch π 1 eine Bijektion ist und wenn π l 1 (k) = π l 2 (k) ist, so ist bereits π l1 1 (k) = π l2 1 (k). Sei l > 0 die kleinste Zahl, sodass π l (k) = k ist. Dann heißt die Folge k, π(k), π 2 (k),..., π l 1 (k) Zykelfolge. Wählt man an Stelle von k als Startziffer eine andere Ziffer aus der Zykelfolge, so erhält man offensichtlich die gleiche Folge von Ziffern nur zyklisch permutiert. Wir nennen zwei Zykelfolgen äquivalent, wenn sie durch zyklische Permutation auseinander hervorgehen. Die Äquivalenzklassen von Zykelfolgen heißen Zykel und wir werden in diesem Skript stets die Zykel meinen, wenn wir eine sie repräsentierende Zykelfolge schreiben. Die Länge eines Zykels ist die Anzahl der Ziffern in einer solchen Zykelfolge. Zykel der Länge 2 heißen Transpositionen. Jede Ziffer von 1 bis n ist in genau einem Zykel enthalten und gibt man die Zykel die zur Permutation π gehören an, so ist π eindeutig bestimmt. Die Zykelschreibweise für π listet diese Zykel einfach nacheinander auf, wobei Zykel der Länge 1 (also Fixpunkte von π) auch weggelassen werden können. Die Reihenfolge der Zykel spielt dabei keine Rolle. In S 6 gilt also z.b., dass man das Element ( ) 1 2 3 4 5 6 π = 3 6 5 4 1 2 auch schreiben kann als oder als π = (135)(26)(4) π = (26)(135) Mit Hilfe der Zykelschreibweise lassen sich leicht Produkte von Elementen ausrechnen, in dem man die Zykel nacheinander von rechts nach links 5

auswertet. So gilt z.b in S 6 (genaugenommen in jeder Gruppe S n mit n 6 die Gleichung (1245) ((246)(135)) = (13)(25)(46) Es gilt folgendes Lemma, dessen Beweis eine gute Übungsaufgabe darstellt: 1.7 Lemma. Jedes Element der Gruppe S n läßt sich als Produkt von Zykeln der Länge 2 schreiben (dabei muss man die Identität als das Produkt der leeren Menge auffassen.) Die Menge aller Permutationen die sich als Produkt von einer geraden Anzahl von Zykeln der Länge 2 schreiben lassen bilden eine Gruppe bzgl. der Hintereinanderausführung. (Diese Gruppe wird die alternierende Gruppe A n genannt.) Dies führt uns zu einer weiteren wichtigen Definition. 1.8 Definition (Untergruppe). Sei G eine Gruppe. Eine nichtleere Teilmenge H von G heißt Untergruppe, falls für alle a, b H gilt: ab H und a 1 H. Wir schreiben H G. Unterguppen sind, wie man leicht nachrechnet, erneut Gruppen. Jede Gruppe hat Untergruppen. So ist z.b. die triviale Gruppe, die nur aus dem trivialen Element e bestehende Gruppe, Untergruppe in jeder Gruppe, also gilt für alle Gruppen G: {e} G. Ebenfalls gilt stets: G G. Wollen wir letzteres ausschließen, sagen wir H ist eine echte Untergruppe von G und schreiben H < G. 1.9 Lemma. Eine nichtleere Teilmenge H von G ist genau dann eine Unterguppe von G, wenn für alle a, b H auch ab 1 H ist. Beweis. : a, b H b 1 H ab 1 H. : a, b H bb 1 H e H eb 1 H b 1 H a(b 1 ) 1 = ab H Insbesondere ist also A n eine Untergruppe von S n und für n 2 eine echte Untergruppe (Beweis wird noch nachgereicht). Sei M eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe G, dann bezeichnen wir mit M die kleinste Untergruppe von G, die M enthält. Diese besteht aus den Elementen M := {a ε 1 1 a ε 1 2... a ε n n a i M, ε = ±1, n = 1, 2,...} Dabei muss a i nicht unbedingt von a j verschieden sein. Diese Gruppe heißt von M erzeugte Untergruppe. Gilt M = G, so heißt M Erzeugendensystem für G. 6

Konvention. Wir erlauben uns einige notationelle Vereinfachungen. Zum Beispiel: Statt {a 1, a 2,... a n } schreiben wir a 1, a 2,... a n. Seien A, B Mengen, dann schreiben wir A, B statt A B. 1.10 Definition (endlich erzeugt, zyklisch, Ordnung). Eine Gruppe G heißt endlich erzeugt, falls es eine endliches Erzeugendensystem für G gibt. Eine Gruppe G heißt zyklisch, falls G von einer einelementigen Teilmenge erzeugt wird. Die Anzahl der Gruppenelemente in G heißt (Gruppen-) Ordnung von G und wird mit G bezeichnet. Sei g G. Die Ordnung g von g ist definiert als die Gruppenordnung der zyklischen Untergruppe g. Sei G = a eine zyklische Gruppe. Dann ist G = {a n n Z}. Allerdings kann es passieren, dass es n m Z gibt, sodass a n = a m ist. Wir werden sehen, dass in diesem Fall die Gruppe G endlich ist. Offensichtlich sind zyklische Gruppen abelsch, da a i a j = a i+j = a j+i = a j a i. Ein Beispiel einer zyklischen Gruppe ist (Z, +), denn es gilt (Z, +) = 1 = 1. Ein Beispiel für eine endliche zyklische Gruppe ist (Z n, +). Bis auf Isomorphie sind dies die einzigen Beispiele: 1.11 Satz. Sei G = a. Ist G eine unendliche Gruppe, so ist G isomorph zu Z. Hat G genau n Elemente, dann ist G isomorph zu Z n. Beweis. Sei G = a unendlich. Wir definieren die Abbildung ϕ : Z G durch ϕ(i) = a i. Dies ist ein Homomorphismus (ϕ(i + j) = a i+j = a i a j = ϕ(i)ϕ(j)) und ϕ ist surjektiv. Die Abbildung ist aber auch injektiv: Sei i > j und a i = a j, dann ist a i j = e und somit G = {a 0, a i,... a i j 1 }, also endlich, was im widerspruch zur Annahme steht. Sei G = n. Wir definieren die Abbildung ϕ : Z n G durch ϕ(i + kn) = a i, die erneut ein Homomorphismus ist. Sei 0 i < j < n. Angenommen a i = a j, dann ist a i j = e und G = {a 0... a i j }, ein Widerspruch zur Annahme G = n. Also ist ϕ injektiv und weil G = Z n bijektiv. Insbesondere haben wir gesehen, dass sich die Ordnung eines Gruppenelementes g auch beschreiben lässt durch die Formel: g = min{n > 0 g n = e} 1.12 Satz. Untergruppen zyklischer Gruppen sind zyklisch. 7

Beweis. Sei a eine zyklische Gruppe und H eine nicht-triviale Untergruppe (die triviale Untergruppe ist zyklisch). Die Elemente aus H lassen sich alle schreiben als a k für ein passendes k. Sei l := min{k > 0 a k H}. Wir behaupten, dass a l = H ist. Klar ist: a l H, sei nun m beliebig mit a m H. Die Zahl m läßt sich schreiben als m = sl + r mit 0 r < l. Das Element a r = a m (a l ) s ist ebenfalls in H, da jedoch l minimal gewählt war, folgt r = 0 und a m a l. Nachdem wir nun die Grundbegriffe der Gruppentheorie eingeführt haben, wollen wir uns einigen Aspekten der vornehmlich endlichen Gruppentheorie widmen, die zu einer algebraischen Allgemeinbildung gehören. Da diese Aspekte jedoch eigentlich ausserhalb des Fokusses dieser Vorlesung und ihren späteren Zielen in der kombinatorischen und geometrischen Gruppentheorie stehen, wird dies eher knapp ausfallen und einige zentrale Aspekte, wie zum Beispiel die Sylow-Sätze, werden dabei ausgespart. 1.1.1 Nebenklassen und Index Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G. Die Mengen gh := {gh h H} heißen Linksnebenklassen von H in G. (Entsprechend heißen die Mengen Hg := {hg h H} Rechtsnebenklassen). 1.13 Lemma. Je zwei Links- bzw. Rechtsnebenklassen sind entweder disjunkt oder gleich. Beweis. Wir beweisen nur die Aussage für Linksnebenklassen. Sei g 1 H g 2 H. Dann gibt es Elemente h 1, h 2 H mit g 1 h 1 = g 2 h 2. Dann gilt aber g 1 = g 2 h 2 h 1 1 und somit g 1 H = g 2 H. Der Beweis hat gezeigt, dass g 1 H = g 2 H genau dann gilt, wenn g2 1 g 1 H, bzw. Hg 1 = Hg 2 genau dann wenn g 1 g2 1 H. 1.14 Lemma. Die Menge der Linksnebenklasssen und die Menge der Rechtsnebenklassen sind gleich mächtig. Beweis. Wir zeigen, dass die Abbildung ϕ : xh Hx 1 eine Bijektion ist. Zu zeigen: 1. ϕ ist wohldefiniert: Ist xh = yh, so ist x 1 y H und somit Hx 1 = Hy 1. 2. ϕ ist surjektiv: Das ist offensichtlich. 8

3. ϕ ist injektiv: Beweis analog zu 1. Dies ermöglicht uns die folgende Definition: 1.15 Definition (Index). Sei G eine Gruppe und H G eine Untergruppe. Der Index G : H von H in G ist die Anzahl der Links- (alternativ Rechts-) -nebenklassen von H in G. In endlichen Gruppen gibt es einen engen Zusammenhang zwischen der Ordnung einer Gruppe bzw. Untergruppe und dem Index. 1.16 Satz (von Lagrange). Sei H eine Untergruppe einer endlichen Gruppe G. Dann gilt: G = H G : H Beweis. Die Gruppe G ist die Vereinigung der G : H verschiedenen Linksnebenklassen gh. Diese sind nach Lemma 1.13 disjunkt. Es bleibt zu zeigen, dass in jeder Nebenklasse genau H viele Elemente sind. Eine Bijektion zwischen H und gh ist gegeben durch h gh für alle h H. 1.17 Korollar. 1. Sei G eine endliche Gruppe und g G. Dann gilt: Die Ordnung von g teilt G. 2. In einer endlichen Gruppe G gilt: g G = e für alle g G. (Vergleiche kleiner Satz von Fermat) 3. Sei G = p eine Primzahl. Dann ist G isomorph zu Z p. Beweis. 1. g = g und teilt nach dem Satz von Lagrange die Gruppenordnung. 2. Sei g G. Es gibt ein k > 0, sodass G = g k. Also g G = g g k = e k = e. 3. Sei g G {e}. Dann folgt g teilt G = p. Also g = p und somit ist g isomorph zu G. 9

1.1.2 Isomorphiesätze Sollten bei einer Untergruppe, Links- und Rechtsnebenklassen übereinstimmen, bestimmt dies die Struktur der Gruppe noch besser. 1.18 Definition (Normalteiler). Sei N G eine Untergruppe. Wenn für alle g G gilt, dass gn = Ng ist, dann heißt N Normalteiler. Wir schreiben: N G. Natürlich könnten wir die Bedingung auch so formulieren: N ist Normalteiler, falls für alle g gilt, dass gng 1 = N ist. Wir wollen dazu ein Beispiel betrachten: 1.19 Beispiel. Sei G = S 4. Wir betrachten die Untergruppe V := {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}, die isomorph zur sogenannten Kleinschen Vierergruppe ist. Die S 4 enthält 24 Elemente, daher gibt es 6 Linksnebenklassen von V. Man prüft leicht nach, das für alle σ aus S 4 gilt, dass σv = V σ. Zum Beispiel ist und (12)V = {(12), (34), (1324), (1423)} V (12) = {(12), (34), (1423), (1324)}. Warum sind Normalteiler etwas so besonderes? Für Teilmengen einer Gruppe kann man wie folgt ein Produkt definieren: Seien A, B G Teilmengen, dann besteht die Menge A B := {ab a A, b B} aus allen Produkten von Elementen aus A und Elementen aus B. Ist N nun ein Normalteiler in G, so ist das Produkt zweier Nebenklassen wieder eine Nebenklasse, denn es gilt: g 1 N g 2 N = g 1 (Ng 2 )N = g 1 (g 2 N)N = g 1 g 2 N 1.20 Lemma. Mit dieser Verknüpfung bildet die Menge aller Nebenklassen eine Gruppe, die sogenante Faktorgruppe G/N. Beweis. Das Neutralelement ist die Nebenklasse N, die zu gn inverse Nebenklasse ist g 1 N, die Assoziativität vererbt sich von G. 1.21 Beispiel. Um unser oberes Beispiel 1.19 fortzusetzen, betrachten wir die Gruppe S 4 /V. Nach dem Satz von Lagrange hat diese Gruppe 6 Elemente, nämlich: {V, (12)V, (13)V, (23)V, (123)V, (132)V } und ist somit isomorph zu S 3. 10

Für Normalteiler gibt es viele weitere Beispiele, so ist zum Beispiel in einer Abelschen Gruppe offensichtlich jede Untergruppe ein Normalteiler. Ebenso gilt: 1.22 Lemma. Sei U < G eine Untergruppe vom Index 2, dann ist U ein Normalteiler von G. Beweis. Zu zeigen ist, dass für alle g G gilt, dass gu = Ug ist. Offensichtlich gilt für jedes g / U jedoch U gu = G = U Ug und somit gu = Ug. Für g U gilt dies ohnehin. Bereits zu Beginn der Vorlesung haben wir definiert, was ein Gruppenhomomorphismus ist. Diese Abbildungen wollen wir nun etwas näher studieren. Zur Erinnerung: Eine Abbildung ϕ von einer Gruppe G in eine Gruppe H heißt Homomorphismus, wenn für alle g 1, g 2 G gilt, dass ϕ(g 1 )ϕ(g 2 ) = ϕ(g 1 g 2 ) ist. Dies hat einige offensichtliche Konsequenzen, so gilt z.b.: 1. ϕ(e) = e. 2. ϕ(g 1 ) = ϕ(g) 1. 3. ϕ(g) teilt g. Ebenfalls gilt: 1.23 Lemma. Sei ϕ : G H ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt: 1. Das Bild im(ϕ) := {h H g G mit ϕ(g) = h} von ϕ ist eine Untergruppe von H. 2. Der Kern ker(ϕ) von ϕ ist ein Normalteiler in G. 3. ϕ ist injektiv genau dann, wenn ker(ϕ) = {e}. Beweis. 1. - h im(ϕ) g G mit ϕ(g) = h ϕ(g 1 ) = h 1 h 1 im(ϕ). - h 1, h 2 im(ϕ) g 1, g 2 G mit ϕ(g 1 ) = h 1 und ϕ(g 2 ) = h 2 ϕ(g 1 g 2 ) = ϕ(g 1 )ϕ(g 2 ) = h 1 h 2 h 1 h 2 im(ϕ). 2. Es gilt: ϕ(g 1 ) = ϕ(g 2 ) ϕ(g 1 g 1 2 ) = e g 1 g 2 ker(ϕ). Daher folgt auch: g a ker(ϕ) ϕ(g) = ϕ(a) ga 1 ker(ϕ) g ker(ϕ)a 11

bzw. g ker(ϕ)a ϕ(g) = ϕ(a) ag 1 ker(ϕ)a g a ker(ϕ) Damit gilt für alle a G, dass a ker(ϕ) = ker(ϕ)a ist. 3. Sei ϕ injektiv. Da ϕ(e) = e ist folgt, dass e ker(ϕ) und aus der Injektivität somit die Gleichtheit. Sei ϕ nicht injektiv. D.h., es existieren g 1 g 2 mit ϕ(g 1 ) = ϕ(g 2 ) und somit e g 1 g 1 2 ker(ϕ). 1.24 Beispiel. Wir betrachten den Homomorphismus det : (GL n (R), ) (R, ) von der Multiplikativen Gruppe der regulären n n-matrizen in die multiplikative Gruppe der reelen Zahlen, der jede Matrix auf seine Determinante abbildet. Der Kern dieser Abbildung ist gerade die Gruppe (SL n (R), ) aller Matrizen mit Determinante 1. Wir werden nun die Konzepte Normalteiler und Homomorphismus noch weiter miteinander verbinden. Sei N ein Normalteiler der Gruppe G, dann heißt der Homomorphismus π : G G/N, g gn kanonische Projektion. Der Kern von π ist offensichtlich gerade N. 1.25 Lemma. Sei N G und ϕ : G H ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt: 1. Ein Homomorphismus ϕ N : G/N H mit der Eigenschaft ϕ N π = ϕ existiert genau dann, wenn N ker(ϕ) ist. 2. Ist N ker(ϕ) und ϕ N π = ϕ, so gilt: ker(ϕ N ) = ker(ϕ)/n. ϕ G H π ϕ N G/N Beweis. 1. Wenn ϕ N mit dieser Eigenschaft existiert, so folgt für n N, dass gilt: ϕ(n) = ϕ N (π(n)) = ϕ N (e) = e und somit N ker(ϕ). 12

Ist hingegen N ker(ϕ), so folgt für alle g G und n N, dass ϕ(g) = ϕ(gn) ist. Somit ist die Abbildung ϕ N (G/N) H, (gn) ϕ(g) wohldefiniert, ein Homomorphismus und erfüllt die Bedingung ϕ N π = ϕ. 2. Zunächst ist klar, dass wenn N ein Normalteiler von G ist, N auch Normalteiler aller Untergruppen ist, in denen N enthalten ist. Somit ergibt die rechte Seite Sinn. Weiter gilt ker(ϕ N ) = {gn ϕ(g) = e} = ker(ϕ)/n Falls dieses ϕ N existiert ist es sogar eindeutig bestimmt und genau dann surjektiv, wenn auch ϕ surjektiv ist. Der folgende Satz gilt nicht nur für Gruppen, sondern in der entsprechenden Abwandlung z.b. auch für Vektorräume und Ringe. 1.26 Satz (Homomorphiesatz). Sei ϕ : G H ein surjektiver Homomorphismus. Dann gilt: G/ ker(ϕ) = H Beweis. Sei N := ker(ϕ). Nach Lemma 1.25 existiert ein Homomorphismus ϕ N : G/N H. Dieser ist surjektiv, da ϕ surjektiv ist. Der Kern von ϕ N ist nach dem Lemma gerade ker(ϕ)/ ker(ϕ) = e. Somit ist ϕ N auch injektiv und somit ein Isomorphismus. Man kann den Satz natürlich auch umformulieren für den Fall, dass ϕ nicht surjektiv ist. In diesem Fall lautet die Folgerung einfach: G/ ker(ϕ) = im(ϕ). Mit Hilfe des Lemmas 1.25 lassen sich noch zwei weitere Sätze beweisen, die als Isomorphiesätze bekannt sind. 1.27 Satz (1. Isomorphiesatz). Sei U G und N G. Dann ist UN := {un u U, n N} eine Untergruppe von G und UN/N = U/(U N). Beweis. Das UN eine Untergruppe ist, folgt aus der Bedingung dass N ein Normalteiler ist: Sei u 1, u 2 U und n 1, n 2 N, dann gilt: (u 1 n 1 ) (u 2 n 2 ) = u 1 (n 1 u 2 )n 2 = u 1 (u 2 n 1n 2 ) = (u 1 u 2 )(n 1n 2 ). (un) 1 = n 1 u 1 = u 1 n. Wir betrachten das folgende Diagramm: 13

ι U UN UN/N π (π ι) U N U/U N π Dabei ist ι die Einbettungsabbildung und π, π die kanonischen Projektionen sind. Dann ist (π ι) U N surjektiv, weil (π ι) surjektiv ist. Da ker(π ι) = U N ist, ist (π ι) U N der gesuchte Isomorphismus. 1.28 Satz (2. Isomorphiesatz). Sei N H G und N G. Dann gilt: (G/N)/(H/N) = G/H. Beweis. Wir betrachen das Diagramm: G π ϕ G/N G/H ϕ N Wobei ϕ die kanonische Prjektion ist. Dann ist ϕ N surjektiv. Der Kern von ϕ N besteht aus allen Nebenklassen gn mit ϕ(g) = eh, also ker(ϕ N ) = H/N. Die Aussage folgt nun aus dem Homomorphisatz. 1.1.3 Die alternierende Gruppe Zu Beginn haben wir ja bereits die symmetrischen Gruppen eingeführt. Wir wollen das Studium dieser etwas vertiefen und beginnen mit einigen einfachen Beobachtungen: 1.29 Satz. Die Gruppe S n hat Ordnung n!. Beweis. Übungsaufgabe. Etwas allgemeiner als die Gruppen S n ist die folgende Definition: Ist M eine beliebige Menge, dann bezeichnen wir mit S(M) die Gruppe aller Permutationen von M. 1.30 Satz. Sei M eine endliche Menge mit M = m. Dann gilt: S(M) = S m 14

Beweis. Sei f : {1... m} M eine Bijektion. Dies definiert einen Isomorphismus ϕ : S m S(M) durch die Gleichung ϕ(π)(f(i)) = f(π(i)). Wir werden nun die Frage beantworten, welche Gruppen als Unterguppen solcher Permutationsgruppen auftauchen. 1.31 Satz (Cayley). Sei H eine Untergruppe von G und M die Menge der Linksnebenklassen von H in G. Die Abbildung ϕ : G S(M) sei definiert durch die Vorschrift: ϕ(g) ist die Permutation, die die Nebenklasse xh abbildet auf gxh. Dann ist ϕ ein Homomorphismus mit Kern ker(ϕ) = x G xhx 1. Beweis. Zunächst ist zu zeigen, dass ϕ(g) wirklich ein Element aus S(M) ist, also dass die beschriebene Abbildung von M nach M eine Bijektion ist. 1. ϕ(g) ist wohldefiniert und injektiv: Sei xh = yh. Dies ist äquivalent zur Aussage x 1 y H. Andererseits ist gxh = gyh äquivalent zur Aussage (gx) 1 gy = x 1 g 1 gy = x 1 y H. 2. ϕ(g) ist surjektiv: zu zeigen ist: Für alle y G existiert ein x G, sodass gxh = yh. Wähle zum Beispiel x = g 1 y. Die Aussage, dass ϕ ein Homomorphismus ist, ist offensichtlich, da Außerdem gilt: ϕ(g 1 g 2 )(xh) = (g 1 g 2 )xh = g 1 (g 2 xh) = ϕ(g 1 )(ϕ(g 2 )(xh)). g ker(ϕ) xh = gxh für alle x G x 1 gx H für alle x G g xhx 1 für alle x G 1.32 Korollar. Jede endliche Gruppe G ist isomorph zu einer Untergruppe von S G. Beweis. Setze H := 1 im Satz von Cayley. Dann ist ϕ injektiv und nach dem Homomorphiesatz folgt G = ϕ(g) S G. 15

In einer Übungsaufgabe wurde bereits die Gruppe A n als die Untergruppe all jener Permutationen eingeführt, die sich als Produkt einer geraden Anzahl von 2er-Zykeln schreiben lassen. Nun, mit einem besseren Verständnis von Homomorphismen wollen wir darauf noch einmal näher eingehen. Dazu machen wir einige Beobachtungen: Die Identität kann nicht als Produkt einer ungeraden Anzahl von Transpositionen geschrieben werden. Dies sieht man leicht ein, wenn man die Anzahl der Fehlstellen einer Permutation betrachtet. Sei π S n. Eine Fehlstelle von π ist ein Paar (i, j) mit den Eigenschaften 1 i < j n und π(i) > π(j). Multipliziert man ein Element π mit einer Transposition, so wird die Anzahl der Fehlstellen entweder um 1 erhöht oder um 1 verringert. Insbesondere ist die Zahl der Fehlstellen einer Permutation, die das Produkt von ungerade vielen Transpositionen ist, stets ungerade. Die Identität hat jedoch eine gerade Anzahl von Fehlstellen, nämlich keine. Ein Element π S n kann entweder als Produkt einer geraden Anzahl von Transpositionen oder einer ungeraden Anzahl von Transpositionen geschrieben werden. Erneut liefert das betrachten der Fehlstellen das nötige Argument. Es gibt einen Gruppenhomomorphismus ϕ : S n Z 2, wobei ϕ alle Elemente mit gerader Fehlstellenzahl auf 0 abbildet, alle anderen auf 1. Die Homomorphismusbedingung ergibt sich aus der gerade + gerade = gerade, ungerade + gerade = ungerade und ungerade + ungerade = gerade. 1.33 Satz. Sei n 2. Die alternierende Gruppe A n ist ein Untergruppe vom Index [S n : A n ] = 2 und somit ein Normalteiler. Beweis. A n ist der Kern der oben definierten Abbildung ϕ. Wegen des Homomorphisatzes gilt: S n /A n = Z2 und somit S n : A n = Z 2 = 2. Für kleine Werte von n sind die Gruppen S n und A n alte bekannte: S 1 = A 1 ist die triviale Gruppe, S 2 ist isomorph zur Gruppe Z 2 und A 2 ist die triviale Gruppe, S 3 ist isomorph zur Diedergruppe D 3 und A 3 hat 3 Elemente und muss daher isomorph zu Z 3 sein. Sei von nun an n 3 vorausgesetzt. 1.34 Lemma. Die Gruppe A n wird von der Menge aller 3er Zykeln erzeugt. 16

Beweis. Sei g A n. Nach Definition von A n gibt es ein n > 0, und Indizes i m, j m, k m, l m sodass in A n gilt: g = n (i m, j m )(k m, l m ) m=1 Es reicht also zu zeigen, dass für alle i j und k l {1,..., n} das Element (i, j)(k, l) als Produkt von 3er-Zykeln geschrieben werden kann. Ist i, j, k, l =2, so ist (i, j)(k, l) = e und somit das leere Produkt von 3er-Zykeln. Ist i, j, k, l = 3, also o.b.d.a j = k, so rechnet man leicht nach: (i, j)(k, l) = (i, j, l). Ist i, j, k, l = 4, so gilt (i, j)(k, l) = (i, j, k)(j, k, l) und somit das Produkt von 3er-Zykeln. Wir wolen uns nun näher mit der Frage der Konjugation in S n und A n beschäftigen. Zwei Elemente g 1, g 2 G heißen (in G ) konjugiert, wenn es ein Element h G gibt, sodass hg 1 h 1 = g 2 ist. Ein Normalteiler N einer Gruppe G ist also eine Untergruppe von G, die unter Konjugation mit beliebigen Gruppenelementen abgeschlossen ist. 1.35 Satz. Zwei Permutationen π, π S n sind genau dann zueinander konjugiert (in S n ), wenn ihre Zykellängen übereinstimmen. Beweis. : Dies ist eine unmittelbare Konsequenz aus Übungsaufgabe 7. : Sei und Dann gilt mit dass π = ρπρ 1 ist. π = (i 1,1, i 1,2,... i 1,r1 )... (i s,1, i s,2,..., i s,rs ) π = (j 1,1, j 1,2,... j 1,r1 )... (j s,1, j s,2,..., j s,rs ). ρ = ( i1,1 i 1,2... i s,rs j 1,1 j 1,2... j s,rs ), Dies hat offensichtlich Konsequenzen für Normalteiler von S n, aber auch von A n. 17

1.36 Satz. Sei n 5. Dann gilt:a n ist der einzige echte, nicht-triviale Normalteiler von S n. Beweis. Sei N ein echter nicht-trivialer Normalteiler von S n. Wenn N einen 3er Zykel enthält, dann enthält N alle 3er Zykel und somit A n. Da [S n : A n ] = 2 folgt aus der Voraussetzung, dass N ein echter Normalteiler ist, dass A n = N. Wir müssen also zeigen, dass N einen 3er Zykel enthält. Sei σ N e. Dann gibt es ein i mit σ(i) i. Wir wählen j / {i, σ(i)} und setzen τ := (i, j). Das Element ρ := σ(τσ 1 τ 1 ) ist ebenfalls in N und nichttrivial, da ρ(σ(i)) = σ(j). Das Element ρ läßt sich aber auch schreiben als ρ := (στσ 1 )τ 1. Das Konjugat einer Transposition ist erneut eine Transposition, also gilt für geeignete Ziffern k, l, dass ρ = (k, l)(i, j) ist. Ist {ijkl} = 3, so ist ρ ein 3er-Zykel und die Aussage folgt. Ist hingegen {ijkl} = 4, dann wählen wir m / {ijkl} (wir haben n 5 vorausgesetzt). Da ρ := (k, l)(m, i) die gleichen Zykellängen wie ρ hat, ist auch ρ N. Das Produkt ρρ = (i, j)(k, l)(k, l)(m, i) = (i, j)(m, i) = (i, m, j) ist der gesuchte 3er Zykel in N. Die Voraussetzung n 5 war essentiell bei diesem Satz, da wir bereits gesehen haben, dass S 4 einen Normalteiler isomorph zur Kleinschen Vierergruppe vom Index 6 hat. Natürlich ist es auch interessant, welche Normalteiler die Gruppen A n haben. 1.37 Definition. Eine Gruppe G, deren einzige Normalteiler {e} und G sind, heißt einfach. 1.38 Satz. Sei n 4. Die Gruppe A n ist einfach. Beweis. Die Fälle n = 1, 2, 3 sind trivialerweise richtig, da für diese Werte A n keine echten nichttrivialen Untergruppen besitzt. Sei also n 5 und {e} = N ein echter Normalteiler von A n. Da N kein Normalteiler in S n sein kann (siehe Satz 1.36), muss es ein σ 0 S n A n geben, sodass σ 0 Nσ0 1 N ist. Für ein beliebiges σ S n A n folgt nun, da σ0 1 σ =: α A n, dass σnσ 1 = σ 0 αnα 1 σ0 1 =: M ist. Ausserdem gilt für alle σ S n A n die Gleichung σmσ 1 = σ 2 Nσ 2 = N, da σ 2 A n ist. Aus N < A n folgt ausserdem M = σnσ 1 < A n, da das Produkt von zwei ungeraden Permutationen und einer geraden Permutation erneut gerade ist. Insbesondere gilt also für alle σ S n A n : σ(m N)σ 1 = N M = M N σ(mn)σ 1 = NM = MN 18

Wobei die letzte Gleichung aus der Tatsache folgt, dass N ein Normalteiler ist. Da diese Gleichungen für alle σ S n A n gilt, gilt sie insbesondere für alle Transpositionen und da diese die Gruppe S n erzeugen für alle Elemente aus S n. Somit ist sowohl (M N) ein Normalteiler von S n, als auch MN. Da S n nur die Normalteiler e, A n und S n hat, folgt das M N, da es echt in N und somit echt in A n enthalten ist, die triviale Gruppe ist. NM hingegen ist in A n enthalten und enthält N, kann also insbesondere nicht der triviale Normalteiler sein. Es folgt NM = A n. Weiterhin ist auch M ein Normalteiler von A n, schließlich lassen sich alle Elemente α A n als Produkt σ 1 σ 2 für geeignete σ 1, σ 2 S n A n schreiben. Also ist αmα 1 = σ 1 σ 2 Mσ2 1 σ1 1 = σ 1 Nσ1 1 = M. Sei a N und b M. Dann gilt a(ba 1 b 1 ) N bzw. (aba 1 )b 1 M. Insbesondere also aba 1 b 1 N M = {e}. Also folgt ab = ba. Also gilt für alle Transpositionen τ, dass a(τaτ) = (τaτ)a. Daraus folgt, dass a nur 2er-Zykel enthalten kann. Enthielte a einen längeren Zykel, also z. B. (i, j, k,...) so gilt für τ = (k, l): und somit τaτ = (k, l)(i, j, k...)... (k, l) = (i, j, l...)... τaτa(i) = k aτaτ(i) Somit enthalten N und somit auch M nur Elemente der Ordnung 2. Da A n = MN und mn = nm für alle n N und m M folgt für ein beliebiges Element aus β A n, dass β 2 = nmnm = n 2 m 2 = e ist. Also jedes Element aus A n hat Ordnung 2. Dies ist ein offensichtlicher Widerspruch, da n 5. 1.1.4 Produkte von Gruppen Im Beweis des letzten Satzes haben wir unter der Annahme, dass A n nicht einfach ist, eine interessante Struktur in A n gefunden, die so starke Konsequenzen hatte, dass diese zum Widerspruch geführt werden konnte. Diese Struktur wollen wir nun im allgemeinen Kontext studieren. 1.39 Definition (internes direktes Produkt). Sei G eine Gruppe. G heißt direktes Produkt der Untergruppen A und B, falls gilt: 1. G = AB = l 19

2. A G und B G 3. A B = {e} Wir schreiben dann G = A B. Diese Situation hat folgende Konsequenzen: Jedes x G läßt sich eindeutig als ab mit a A und b B schreiben. Die erste Bedingung garantiert, dass man x als Produkt schreiben kann. Die dritte Bedingung die Eindeutigkeit, denn a 1 b 1 = a 2 b 2 a 1 2 a 1 = b 2 b 1 1 also a 1 2 a 1 = b 2 b 1 1 A B = {1}. Ist a A und b B so folgt aba 1 b 1 = 1 oder in anderen Worten ab = ba. Dies liegt an der zweiten und dritten Bedingung: Da A undb Normalteiler sind, liegt aba 1 b 1 = a(ba 1 b 1 ) = (aba 1 )b in A und B und somit in A B = {1}. Ein typisches Beispiel für ein direktes Produkt ist die Kleinsche Vierergruppe die wir als Untergruppe von S 4 so definiert hatten: V := {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}, Da V eine abelsche Gruppe ist, ist jede Untergruppe ein Normalteiler. Es gilt: V = (12)(34) (13)(24) = (12)(34) (14)(23) = (14)(23) (13)(24) Direkte Produkte lassen sich jedoch auch extern definieren: 1.40 Definition (externes direkte Produkt). Seien A, B Gruppen. Das direkte Produkt A B besteht aus dem Kartesischen Produkt der Gruppen mit der folgenden Verknüpfung: (a 1, b 1 )(a 2, b 2 ) := (a 1 a 2, b 1 b 2 ). Dies bildet eine Gruppe mit dem Neutralelement (e, e), wobei (a, b) 1 = (a 1, b 1 ). Die Assoziativität vererbt sich direkt von A und B. Die externe und die interne Definition des direkten Produktes sind zwei Beschreibungen der gleichen Struktur, da der folgende Satz gilt: 1.41 Satz. Sei G das interne direkte Produkt von A und B. Dann ist G isomorph zum externen direkten Produkt von A und B. 20

Beweis. Der Isomorphismus ϕ ist durch die Vorschrift ϕ(ab) = (a, b) gegeben. Dass dies ein Homomorphismus ist, folgt aus der Tatsache, dass ab = ba für alle a A und b B gilt. Die Wohldefiniertheit und die Injektivität folgt aus der Eindeutigkeit der Darstellung im internen direkten Produkt und die Surjektivität ist offensichtlich. Mit Hilfe dieser Isomorphie zwischen internem und externen direkten Produkt können wir nun die Struktur endlicher abelscher Gruppen genau beschreiben. 1.42 Satz (Frobenius-Stickelberger). Sei G eine endliche abelsche Gruppe. Dann gibt es ein n, k 1,... k n N und Primzahlen p 1... p n, sodas gilt: G = Z p k 1 1 Z p k 2 2... Z p kn n Dieser Satz ist bereits ein wesentlicher Teil einer Aussage, die als der Hauptsatz für endlich erzeugt abelsche Gruppen bekannt ist. Dieser besagt, jede endlich erzeugte abelsche Gruppe G ist isomorph zu Z k 0 Z p k 1 1 Z p k 2 2... Z p kn n. Auf den Beweis dieses Satzes werden wir hier nicht eingehen. Wir werden den Satz von Frobenius-Stickelberger in mehreren Schritten beweisen, von denen die ersten in den Übungen zu beweisen sind. Dies sind im Einzelnen: 1. Sei G eine endliche abelsche Gruppe und p eine Primzahl. Sei G p die Teilmenge aller Gruppenelemente, deren Ordnung eine p-potenz ist. Dann ist G p ein Normalteiler von G. 2. Seien G 1, G 2, H Gruppen. Dann gilt: G 1 = G2 G 1 H = G 2 H. 3. Sei G abelsch und G = n und {p 1,..., p k } die Menge aller Primteiler von n. Dann gilt: G = G p1... G pk. Eine Gruppe, in dem die Ordnung von jedem Element eine Potenz der Primzahl p ist, heißt p-gruppe. Satz 1.42 folgt nun aus dem folgenden Lemma: 1.43 Lemma. Sei G eine endliche abelsche p-gruppe. Dann gibt es Koeffizienten n 1... n k N, sodass G = Z p n 1... Z p n k. Beweis. Wir zeigen die folgende Aussage: Ist h ein Element maximaler Ordnung in G, so ist G = G/ h h. Daraus folgt die Aussage des Lemmas, denn h ist isomorph zu Z p n für ein geeignetes n und G/ h ist erneut eine 21

Gruppe, in der jedes element p-potenz-ordung hat und enthält weniger Elemente als G, sodass der Prozess des iterierten Abspaltens einer zyklischen Gruppe stoppen muss. Sei als h = p n ein Element maximaler Ordnung und H := h. M sei eine bezüglich Inklusion maximale Untergruppe von G mit der Eigenschaft M H = {e}. Da G abelsch ist, folgt dass M und H Normalteiler sind und aus G = MH würde die Behauptung folgen. Angenommen MH < G. Wir wählen x G MH mit minimaler Ordnung. Da das Element x p kleinere Ordnung als x hat, folgt x p MH. m 1 M und α Z, sodass x p = m 1 h α Da p n die maximale Ordnung in G ist, ist p n auch ein Vielfaches der Ordnung von x, es gilt also: e = x pn = (m 1 h α ) pn 1 Und somit m pn 1 1 = (h α ) pn 1 M H = e Da h die Ordnung p n hat, muss also gelten, dass für geeignetes β N gilt: α = pβ. Schreibt man die obige Gleichung für x p nun um, ergibt sich: (xh β ) p = m 1 M Außerdem folgt aus x / MH sofort, dass xh β / M. Da wir M maximal gewählt haben, folgt: xh β, M H {e} und somit existieren γ, δ Z, sowie m 2 M mit e h δ = (xh β ) γ m 2 und somit (xh β ) γ MH. Nun gibt es zwei Möglichkeiten: 1. p ist ein Teiler von γ. In diesem Fall ist (xh β ) γ M und somit auch h δ M H = {e} ein Widerspruch zur Konstruktion von δ. 2. ggt (γ, p) = 1. Da die Elemente x p und x γ in MH enthalten sind, folgt aus dem Lemma von Bezout, dass auch x MH, ein Widerspruch zur Wahl von x. 1.44 Korollar. Sei G eine endliche, abelsche p-gruppe. Dann gilt G = p n für ein geeignetes n N. 22

Literatur [1] Oleg Bogopolski. Introduction to group theory. EMS Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2008. Translated, revised and expanded from the 2002 Russian original. [2] Jürgen Wolfart. Einführung in die Zahlentheorie und Algebra, volume 86 of Vieweg Studium. Vieweg Verlagsgesellschaft, Cambridge, 1996. 23