Ferienkurs Experimentalphysik 4 Vorlesung Das Wasserstoffatom und dessen Spektrum Markus Kotulla, Markus Perner, Stephan Huber 30.08.011
Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 Das Wasserstoffatom 1.1 Schematische Lösung der Schrödingergleichung................1.1 Quantenzahlen und Energieniveaus................. 3 3 Drehimpulse und magnetische Momente 5 3.1 Magnetischer Dipol und Bahnmoment................... 5 3. Das Stern-Gerlach Experiment........................ 7 3.3 Spin und Spinmoment............................ 7 3.4 Kopplung von Bahn- und Spinmoment................... 8 3.5 Verhalten der magnetischen Momente im Magnetfeld........... 9 3.5.1 Präzession............................... 9 3.5. Energie................................ 10 4 Relativistische Korrektur, Feinstruktur, Hyperfeinstruktur und Lambshift 11 4.1 Relativistische Korrekturen......................... 1 4. Feinstruktur - Berechnung der Spin-Bahn Aufspaltung.......... 13 4.3 Hyperfeinstruktur............................... 15 4.4 Lamb-Shift.................................. 16 4.5 Termbezeichnung............................... 17 4.6 Vollständiges Termschema des Wasserstoffs................. 17 1 Einführung In der gestrigen Vorlesung wurden die wichtigsten Zusammenhänge der Quantenmechanik, darunter die Schrödingergleichung, der quantenmechanische Drehimpuls, der Operator für das Drehimpulsbetragsquadrat und die Kugelflächenfunktionen, eingeführt. Dies werden wir heute benutzen, um die Lösung der Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom herzuleiten und anschließend das Spektrum genauer zu untersuchen. Das Ergebnis, welches wir dabei erhalten, ist aber nicht vollständig korrekt und muss etwa durch die Feinstruktur und die Hyperfeinstruktur korrigiert werden. Das Wasserstoffatom Die Lösung der Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom ist von fundamentaler Bedeutung für die Quantenmechanik und deren Überzeugungskraft. Es ist das einzige neutrale Atom, für das eine analytisch geschlossene und somit exakte Lösung existiert. 1
Bei allen anderen Problemen der Atom- und Molekülphysik ist man dazu gezwungen, auf Näherungen einzugehen..1 Schematische Lösung der Schrödingergleichung Bei der Herleitung der Wellenfunktion Ψ( r) geht man davon aus, dass sich ein Elektron im Coulombpotential: V (r) = e 1 (1) 4πɛ 0 r eines ruhenden und deswegen auch ortsfesten Protons befindet. Da dieses radialsymmetrisch ist, liegt es nahe, die Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten zu lösen, man erhält also eine Differentialgleichung: ĤΨ = Ψ + V (r)ψ = EΨ () m für die Wellenfunktion Ψ = Ψ(r, ϑ, ϕ). Hierzu muss der Impulsoperator in der Schrödingergleichung ˆp = in sphärische Polarkoordinaten transformiert werden, das Ergebnis dazu lautet: m ˆp = m = m 1 δ δ r δr (r δr ) + 1 ˆL (3) mr wo, wie gestern erwähnt, der vollständige Winkelanteil des Operators durch den quadrierten Drehimpulsoperator ˆL gegeben ist. Die vollständige Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom in Kugelkoordinaten ergibt sich dann zu: ĤΨ = 1 δ δ m r δr (r δr )Ψ + 1 ˆL Ψ = EΨ (4) mr Wir haben also eine Summe, in der der erste Summand ausschließlich von r und der zweite Summand auschließlich von ϑ und ϕ abhängt. Zur Lösung dieses Problems wählt man einen Ansatz, bei dem die Wellenfunktion Ψ aufgespalten wird in ein Produkt aus einer radial- und einer winkelabhängigen Funktion. Das heißt, man separiert die Koordinaten durch: Ψ(r, ϑ, ϕ) = R(r) Y lm (ϑ, ϕ) (5) Der winkelabhängige Faktor Y lm (ϑ, ϕ) steht dabei für die Kugelflächenfunktionen. Diese wurden gestern eingeführt. Sie sind Eigenfunktionen der beiden Operatoren ˆL und ˆL z mit den Eigenwerten: ˆL Y lm (ϑ, ϕ) = l(l + 1)Y lm (ϑ, ϕ), (6) ˆL z Y lm (ϑ, ϕ) = m l Y lm (ϑ, ϕ) (7)
Setzt man diesen Separationsansatz in die Schrödingergleichung ein, so reduziert sie sich auf ein rein radiales Problem, da der winkelabhängige Teil bereits durch die Kugelflächenfunktionen gelöst wurde: [ 1 δ δ ] m r δr (r δr ) + V (r) + l(l + 1) R(r) = ER(r) (8) mr Die Lösung dieser Radialgleichung wird hier, genau wie die Lösung des Winkelanteils, nur angegeben. Sie lautet: R nl (r) = N nl e κnr r l L l+1 n+1 (κ n r) (9) wobei auf die genaue Bedeutung der einzelnen Faktoren hier nicht weiter eingegangen wird. Fasst man alles zusammen, so ergibt sich für die Wellenfunktion des Wasserstoffs folgendes Ergebnis: Ψ nlm (r, ϑ, ϕ) = e imϕ P m l (cosϑ)r nl (r) (10) Zur Visualisierung dieser Lösungen gibt es im Internet zahlreiche Applets zu finden, zum Beispiel den Hydrogen Atomic Viewer.1.1 Quantenzahlen und Energieniveaus Abbildung 1: Die Wellenfunktionen für die ersten Quantenzahlen, [1] S. 149 Die Lösung der Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom ist charakterisiert durch drei ganzzahlige Parameter, die Quantenzahlen n, l und m. Sie können, abhängig von einander, nur bestimmte Werte einnehmen. Hauptquantenzahl n: n > 0 Drehimpulsquantenzahl l: l n 1 Magnetische Quantenzahl m: l m l 3
Da die Wahrscheinlichkeitsdichte durch < Ψ nlm Ψ nlm > gegeben ist, ist auch die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons von diesen drei Quantenzahlen abhängig. Dies ist der Grund, weshalb man die Zustände im Atom durch ihre Quantenzahlen charakterisiert. Das gleiche gilt für die Energie des Elektrons, welche durch: gegeben ist. Eine Berechnung dieses Ausdrucks führt zu: E =< Ψ nlm Ĥ Ψ nlm > (11) E n = µz e 4 8ɛ 0h 1 Z = Ry (1) n n Dies ist sehr bemerkenswert, da sie völlig identisch mit den Bohrschen Niveaus aus der semiklassischen Herleitung sind. Zudem sieht man, dass die Energie des Elektrons ausschließlich von der Hauptquantenzahl n abhängig ist. Somit haben Zustände mit unterschiedlichem l und m, aber mit gleicher Hauptquantenzahl n die gleiche Energie. Diese Zustände nennt man entartet. Der Entartungsgrad k ist durch n 1 k = (l + 1) = n (13) l=0 gegeben, da es zu jedem n insgesamt n-1 verschiedene l-zustände gibt, welche jeweils nochmal mit (l+1) erlaubten m-zuständen entartet sind. Aus historischen Gründen werden die l-zustände sehr oft mit Buchstaben klassifiziert: l Name m Entartungsgrad 0 s 0 1 1 p -1 bis 1 3 d - bis 5 3 f -3 bis 3 7 4 g -4 bis 4 9 5 h -5 bis 5 11 Das H-Atom ist das am einfachsten berechenbare Atom in der Natur, was dazu führte, dass obige Lösung sehr schnell entdeckt und bestätigt wurde. Als man jedoch später Experimente mit hoher Auflösung am Spektrum des Wasserstoffs durchführte, bemerkte man, dass die Energiewerte nicht vollständig korrekt sind und von der hier dargebotenen Theorie abweichen. Um diese Abweichungen erklären zu können, müssen wir auf das magnetische Verhalten von Ladungen und Drehimpulsen zurückgreifen. 4
Abbildung : Das vollständige Termschema des Wasserstoffatoms aus der Schrödingertheorie, [1] S. 151 3 Drehimpulse und magnetische Momente 3.1 Magnetischer Dipol und Bahnmoment In der klassischen Elektrodynamik führt ein Kreisstrom, also eine Strom I, der eine Fläche A umfließt zu einem magnetischen Dipolmoment. µ = I A n (14) Der Vektor n steht hier für die Normale auf die Fläche A. Wenn wir nun das Bohrsche Atommodell betrachten, bei dem sich Elektronen auf einer Kreisbahn um den Kern bewegen, so entsteht auch hier ein magnetischer Dipol, welcher im Folgenden berechnet wird. Abbildung 3: Ein Kreisstrom Der Strom, erzeugt durch das kreisende Elektron, ist durch erzeugt ein magnetisches I = q t = e (15) T Moment, [] gegeben, wobei T die Periodendauer für einen Umlauf ist. S. 189 Das negative Vorzeichen resultiert aus der Ladung des Elektrons. Die Periodendauer können wir durch die Geschwindigkeit des Elektrons und den Umfang der Kreisbahn 5
ausdrücken, nämlich: T = πr v Dies führt zu: I = ev (17) πr Umschreibt man die Geschwindigkeit mit Hilfe der Formel für den klassischen Drehimpuls: v = l (18) mr so führt dies zu einem Ausdruck für den Kreisstrom als Funktion des Drehimpulses des Elektrons: I = e l (19) πmr Wie oben erwähnt führt ein Kreisstrom zu einem magnetischen Dipolmoment. Setzen wir unseren Ausdruck für den Kreisstrom in die Formel für das magnetische Dipolmoment ein, so erhalten wir: µ = e l πmr A n = e m l (0) Wobei wir der Betrag den Fläche A mit A = πr ersetzt haben. Dies ist aber bisher noch ein rein klassischer Ausdruck. Beim Übergang zur Quantenmechanik muss beachtet werden, dass die Richtung des Vektors l nicht bestimmt werden kann. Zudem ist obige Formel, da wir sie aus einem semiklassischen Bild abgeleitet haben, unvollständig. Der allgemeine Ausdruck für ein magnetisches Moment µ x eines Elektrons, welches aus einem allgemeinen quantenmechanischen Drehimpuls x resultiert, lautet: µ B µ x = g x x (1) Im Falle des Bahndrehimpulses ist der g-faktor aber g l = 1. Als Einheit des magnetischen Moments benutzt man in der Atomphysik meist das Bohrsche Magneton µ B. Es ist dasjenige Dipolmoment, das ein Elektron mit dem Drehimpuls l = erzeugen würde. (16) µ B = e m = 9, 7 10 4 Am () Für den Betrag eines Dipols, gegeben durch das Bahnmoment l des Elektrons gilt dann folglich: µ l = µ B l(l + 1) = e m l(l + 1 (3) Das heißt auch, ein Elektron, welches sich in der s-schale befindet, hat kein magnetisches 6
Moment auf Grund seines Bahndrehimpulses l. 3. Das Stern-Gerlach Experiment Befindet sich ein magnetisches Dipolmoment µ in einem inhomogenen Magnetfeld, so wirkt auf ihn eine Kraft. Geht man von einer Inhomogenität in z-richtung aus, so ist diese gegeben durch: F = ( µ B) = µ z db dz (4) Mit Hilfe dieses einfachen Zusammenhangs konnten die beiden Physiker Otto Stern und Walther Gerlach im Jahre 191 zum ersten Mal das magnetische Moment von Atomen und deren Richtungsquantelung nachweisen. Abbildung 4: Schematischer Aufbau des Stern-Gerlach Experiments, [] S. 196 Dabei ließen sie Silberatome durch ein inhomogenes Magnetfeld fliegen. Silber befindet sich in einem s-zustand, weswegen es keinen Bahndrehimpuls hat. Im Experiment jedoch bemerkte man die Aufspaltung des Strahls in zwei unterschiedliche Bündel. Hieraus folgt sofort, dass auf die Silberatome eine Kraft wirkt. Dies konnte man durch den Spin, eine zu Beginn postulierte Größe, erklären. 3.3 Spin und Spinmoment Elektronen, die sich in einer s-schale befinden, haben die Drehimpulsquantenzahl l = 0 und somit auch kein magnetisches Moment, das vom Bahndrehimpuls herrührt. Zahlreiche Experimente, zum Beispiel von Stern und Gerlach, haben dies jedoch widerlegt, was dazu führte, das George Uhlenbeck und Samuel Goudsmit im Jahre 195 den Elektronenspin s, den Eigendrehimpuls des Elektrons postulierten. Der Brite Paul Dirac konnte im Jahre 198 dieses Postulat des Spins durch die Entwicklung einer relativistischen Quantentheorie abschaffen. Oftmals benutzt man zur Veranschaulichung des Spins eine rotierende Kugel als Analogon, da dem Elektron bisher aber noch keine räumliche Ausdehnung nachgewiesen werden konnte, ist dies zwar hilfreich, aber gleichfalls mit Vorsicht anzuwenden. Mathematisch verhält sich der Spin Ŝ völlig identisch zum quantenmechanischen Bahndrehimpuls ˆL Alle Herleitungen gelten also gleichwertig für den Spin. Sein Betrag ist gegeben durch: s = s(s + 1) (5) wobei die Spinquantenzahl s = 1 als zusätzliche Quantenzahl eingeführt wurde. Bei der z-achse als Vorzugsrichtung ergibt sich: s z = m s mit m s = ± 1 (6) 7
Zudem existiert auch - der Spin ist ein Drehimpuls - ein magnetischer Dipol µ s, das Spin- oder Eigenmoment: e µ s = g s s (7) m Der Vorfaktor g s ist dabei der g-faktor für den Spin des Elektrons. Dieser hat den Wert g s =, 003 (8) und konnte erst mit der Quantenelektrodynamik vollständig erklärt werden. Natürlich ist auch das Eigenmoment in z-richtung gequantelt. Dabei existieren aber wegen m s = ± 1 nur zwei verschiedene Zustände, ein zum Feld paralleler und ein antiparalleler Zustand: µ sz = ±m s (9) 3.4 Kopplung von Bahn- und Spinmoment Im allgemeinen Fall ist der atomare Magnetismus eine Überlagerung von Spin- und Bahnmagnetismus. Um dies genauer zu verstehen, betrachten wir erst eine allgemeine Form der Drehimpulsaddition in der Quantenmechanik. Existieren zwei verschiedene Drehimpulse, deren Operatoren Ĵ1 und Ĵ kommutieren, also für die gilt: ] [Ĵi 1, Ĵi = 0 für i = x, y, z (30) und haben diese beiden Operatoren die üblichen Eigenwerte: < Ĵ1 >= j 1 (j 1 + 1) (31) < Ĵz 1 >= m 1 (3) < Ĵ >= j (j + 1) (33) < Ĵz >= m (34) So kann man einen Gesamtdrehimpulsoperator Ĵ als Summe der beiden definieren: Ĵ = Ĵ1 + Ĵ (35) Für diesen existieren gemeinsame Eigenzustände mit den Eigenwerte: < Ĵ >= j(j + 1) (36) < Ĵz >= m (37) Diese Eigenwerte lassen sich aus j 1, m 1, j und m ableiten. Es gilt nämlich: j 1 j j j 1 + j (38) 8
Damit existieren für die Komponente in z-richtung (j + 1) Einstellmöglichkeiten. m = j, j + 1...j 1, j (39) Als Beispiel führen wir den Gesamtdrehimpuls Ĵ (er wird später gebraucht) hier ein. Er ist definiert als die Kopplung zwischen Bahndrehimpuls ˆL und Spin Ŝ: Ĵ = ˆL + Ŝ (40) Die Eigenwerte des resultierenden Operators sind in der Tabelle aufgelistet: l s j m j 0 1/ 1/ -1/, 1/ 1 1/ 1/ -1/, 1/ 3/ -3/, -1/, 1/, 3/ 1/ 1/ -1/, 1/ 3/ -3/, -1/, 1/, 3/ 5/ -5/, -3/, -1/, 1/, 3/, 5/ Mit dem soeben eingeführten Gesamtdrehimpuls j ist auch ein Dipolmoment µ j verbunden, welches sich, analog zur Definition, aus den beiden magnetischen Momenten µ l und µ s zusammensetzt: µ j = µ l + µ s = e m ( l + g s s) (41) Bisher waren Bahn- und Spinmoment immer antiparallel zur Richtung des Drehimpulses. Das Bahnmoment µ l zeigt also in die genau entgegengesetzte Richtung von l und das Spinmoment µ s in die genau entgegengesetzte Richtung von s. Auf Grund des g-faktors des Spinmoments gilt dies aber für den Gesamtdrehimpuls j nicht mehr. Hier sind µ j und j nicht mehr antiparallel. 3.5 Verhalten der magnetischen Momente im Magnetfeld 3.5.1 Präzession Befindet sich ein magnetischer Dipol in einem Magnetfeld, so wirkt auf ihn ein Drehmoment, das bestrebt ist, ihn entlang des Feldes auszurichten. D = µ B (4) Ähnlich zu einem Kreisel bewirkt dieses Drehmoment eine Präzession des Dipols um die Achse des Magnetfeldes. Die Präzessionsfrequenz nennt man Larmorfrequenz, sie ist gegeben durch D ω L = = µb l sinα l = gµ B B = γb (43) 9
Der Winkel α steht dabei für den Winkel zwischen Dipol und Magnetfeld. Der Vorfaktor γ steht für das gyromagnetische Verhältnis, es ist definiert durch: γ = gµ B (44) 3.5. Energie Zusätzlich hat der Dipol im B-Feld eine potentielle Energie, je nach Ausrichtung zum Magnetfeld. Sie ist gegeben durch: E = µ B (45) Die Energie ist minimal für den Fall, dass der Dipol parallel zum äußeren Feld ist und maximal für den antiparallelen Fall. Für die drei, uns bisher bekannten Momente µ l, µ s und µ j soll dies für ein Feld in z-richtung B = B e z näher untersucht werden. µ l : Für den Fall des magnetischen Bahnmoments µ l ist die Energie im Magnetfeld gegeben durch: E = µ B = m l µ B B (46) das heißt, ein Elektron mit Bahndrehimpuls l erfährt im Magnetfeld l + 1 verschiedenen Energieniveaus, je nach magnetischer Quantenzahl m l. µ s : Für den Fall, dass der Dipol vom Spin des Elektrons herrührt, erhält man für die Energie: E = µ B = g s m s µ B B (47) Hier existieren, wegen m s = ± 1 nur zwei Niveaus. µ j : Für den Fall des magnetischen Moments, welches aus dem Gesamtdrehimpuls resultiert, gestaltet sich dies um einiges schwieriger. Am einfachsten kann man es sich wieder im Vektormodell veranschaulichen. Stellt man sich vor, dass die beiden magnetischen Momente µ l und µ s, auf Grund der gegenseitig erzeugten Magnetfelder um die Richtung von j präzedieren, so muss auch µ j als Summe von µ l und µ s um diese Richtung präzedieren. Im zeitlichen Mittel beobachtet man deswegen nur die Projektion ( µ j ) j von µ j auf den Vektor j. Der Betrag der Projektion (µ j ) j lässt sich mit (µ j ) j = µ j j j = ( µ l + µ s ) j j ( = e l j m j + g s ) s j j (48) 10
berechnen. Für das Skalarprodukt l j können wir wegen j l = s schreiben: l j = 1 [ j + l s ] = [j(j + 1) + l(l + 1) s(s+)] (49) Analog dazu formulieren wird das Skalarprodukt s j mit dem Zusammenhang j s = l um: s j = 1 [ j + l s ] = [j(j + 1) l(l + 1) + s(s + 1)] (50) Damit folgt für die Projektion von µ j auf j als die beobachtbare Manifestation des magnetischen Moments von j: ( µ j ) j = e 3j(j + 1) + s(s + 1) l(l + 1) m j = g j µb j(j + 1) j (51) Hier wurde der sogenannte Landé-Faktor g j definiert, er lautet: g j = 1 + j(j + 1) + s(s + 1) l(l + 1) j(j + 1) (5) Der Landé-Faktor beschreibt also die Projektion von µ j auf j. Befindet sich ( µ j ) j nun in einem Magnetfeld, so ist es leicht, die verschiedenen j + 1 Energiezustände in Abhängigkeit von j zu erhalten. Analog zu vorher haben wir nun einen neuen Vorfaktor, den Landé-Faktor, der diese charakterisiert: E = m j g j µ B B (53) Damit sind wir nun in der Lage, nicht nur das Verhalten von Bahn- und Spinmagnetismus getrennt zu beschreiben, sondern auch den allgemeinen atomaren Magnetismus, begründet durch die Kopplung von Bahndrehimpuls und Spin. Im Spezialfall geht das wieder über in den einfachen Magnetismus durch µ l und µ s. Davon kann kann man sich leicht durch Einsetzen überzeugen. Für den Fall s = 0, liegt ein reiner Bahnmagnetismus vor und der Landé-Faktor wird zu g j = 1. Das Gleiche gilt für den Fall eines reinen Spinmagnetismus mit l = 0, hier wird der Landé-Faktor zur g j =. 4 Relativistische Korrektur, Feinstruktur, Hyperfeinstruktur und Lambshift Jetzt haben wir das theoretische Rüstzeug, um die Abweichungen der Messwerte von der Schrödingertheorie zu erklären. Dazu ziehen wir vier verschiedenen Korrekturen heran 11
welche in der Tabelle gelistet sind. Zudem stehen dort sehr grobe Angaben über die Größenordnungen, mit welcher der entsprechende Effekt auf die Energieterme Einfluss nimmt. Diese sind aber alles andere als exakt und sollten nur dazu benutzt werden, die Wichtigkeit richtig einzuordnen. Effekt Relativ. Korrektur Feinstruktur Hyperfeinstruktur Lamb-Shift Größenordnung [ev] 10 4 10 5 10 6 10 6 4.1 Relativistische Korrekturen Eine erste Verbesserung, welche in die Energieniveaus eingebaut werden muss, ist die relativistische Korrektur. Sie resultiert aus der relativistischen Massenzunahme der Elektronen im Feld des Kerns. Um dies besser zu verstehen, benutzt man den relativistischen Energiesatz und entwickelt ihn nach dem Impuls p: = E nr p4 8m 3 c E = c m c + p mc + E pot ( p m + E pot) p4 8m 3 c +... = Das heißt, in erster Näherung erhalten wir einen Korrekturterm des Hamiltonoperators, der proportional zur vierten Potenz des Impulses ist. Um die Auswirkungen dieses Korrekturterms zu berechnen, müssen wir den Impuls in den Impulsoperator p i umwandeln und anschließend den Erwartungswert für die nicht gestörten Wellenfunktionen mit Hilfe der quantenmechanischen Störungstheorie berechnen: ˆ E = 4 Ψ 4 Ψdr (55) 8m 3 c (54) Dies führt zu einer Energiekorrektur, welche lautet: E = E nz α n ( ) 3 4n 1 l + 1/ (56) Dabei ist α die äußerst wichtige Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante: α = e 4πɛ 0 c 1 137 (57) Der Korrekturterm selbst ist am größten für n = 1 und l = 0 und hat für diese beiden Quantenzahlen den Wert E = 9 10 4 ev. Dass die Korrektur für kleine Quantenzahlen 1
am stärksten ins Gewicht fällt, wird durch das Bohrschen Atommodell plausibel. Geht man davon aus, dass die Elektronen umso schneller um den Kern kreisen, je näher sie am Ursprung sind, dann ist für die Bahn, welche sich am nächsten am Kernort befindet, die Geschwindigkeit am größten. Dies führt wiederum zur größten Massenzunahme und somit zur stärksten Korrektur. Führt man die Energiekorrektur und den ursprünglichen Energieterm aus der Schrödingertheorie zusammen, so erhält man: E nl = Ry Z n [1 α Z n ( )] 3 4n 1 l + 1/ (58) Man sieht daraus, dass die Energieverschiebung für die innerste Schale mit n = 1 am größten ist und zudem, dass durch die relativistische Korrektur die L Entartung der Zustände aufgehoben wird, da jetzt die Energie auch eine Funktion der Drehimpulsquantenzahl l ist. 4. Feinstruktur - Berechnung der Spin-Bahn Aufspaltung Eine weitere Verbesserung des Termschemas wird durch die sogenannte Spin-Bahn- oder ls-kopplung erreicht. Dabei beschreibt man die Aufspaltung der Energieniveaus für den Elektronenspin im Magnetfeld, welches durch das Bahnmoment erzeugt wurde. Das heißt, es handelt sich hier um die Wechselwirkung von ein und dem selben Elektron. Den Effekt, welcher dadurch hervorgerufen wird, nennt man auch Feinstruktur. Die Größe der Spin-Bahn Aufspaltung kann man sich semiklassisch sehr anschaulich herleiten. Im Bohrschen Atommodell kreist das Elektron um den Kern, wobei dieser ruht. Transformiert man nun dieses System in ein rotierendes Koordinatensystem in dem das Elektron ruht, so kreist der Kern um das Elektron, wo er als bewegte Ladung ein Magnetfeld erzeugt. Dieses Magnetfeld kann man mit dem Biot-Savart Gesetz berechnen, es ist eine Funktion des Bahndrehimpulses des Elektrons: Transformiert man nun in das ursprüngliche Koordinatensystem zurück, so erhält man den Ausdruck: B l = Zeµ 0 4πr 3 m l (59) Führt man eine Rücktransformation durch, so sieht man, das am Ort des Elektrons gleichfalls ein Magnetfeld existiert, welches proportional und parallel zum Bahndrehimpuls des Elektrons ist. In diesem Magnetfeld erfährt das Elektron eine Energieverschiebung, abhängig von seinem Spin: E = µ s B l = g s µ B Zeµ 0 8π mr 3 ( s l) (60) 13
Zur Vereinfachung definieren wir eine Konstante, die sogenannte Spin-Bahn-Kopplungskonstante: damit können wir die Wechselwirkungsenergie schreiben als: a = Ze µ 0 8πm r 3 (61) E = a ( l s) (6) Das Skalarprodukt der beiden Drehimpulse können wir durch: 1 [ l s = j ] l s = [j(j + 1) l(l + 1) s(s + s)] (63) umschreiben und man erhält letztendlich: E = a [j(j + 1) l(l + 1) s(s + 1)] (64) Mit dieser Aufspaltung verändern sich die entarteten Energieniveaus zu E nj = E n + a [j(h + 1) l(l + 1) s(s + 1)]] (65) Das heißt, die Energieniveaus spalten für ein gegebenes l in jeweils zwei Niveaus auf, nämlich j = l + 1/ und j = l 1/. Betrachten wir die Spin-Bahn Kopplungskonstante a genauer, so fällt auf, dass diese vom Radius r des Elektrons zum Kern abhängt. In der Quantenmechanik kann dieser aber nicht genau angegeben werden. Somit muss ein Mittelwert ā der Konstante berechnet werden. Dies geht mit: ā = µ 0Ze ˆ Ψ 1 Ψdr (66) 8πm r3 Abbildung 7: Asymmetrische Feinstrukturaufspaltung eines p-niveaus, [1] S. 16 Wenn man diese Rechnung ausführen würde, so erhielte man für die Energiedifferenz der Feinstrukturaufspaltung das folgende Ergebnis: E Z 4 n 3 l(l + 1) (67) Hier kann man sofort sehen, dass die Größe der Aufspaltung mit der vierten Potenz sehr stark von der Kernladung abhängt. Also mit größerer Ordnungszahl immer größer wird. Des weiteren erkennt man, dass die tiefsten Niveaus am stärksten innerhalb eines Atoms 14
aufgespalten sind. Wenn man die bisherigen Ergebnisse kombiniert, also die relativistische Korrektur und die Feinstrukturaufspaltung auf Grund der ls-kopplung, dann erhält man für die Energie eines Niveaus: E nj = E n [ 1 + Z α n ( 1 j + 1/ 3 )] 4n (68) Die Energieentartung für l-zustände ist also nicht vollständig aufgehoben, da Zustände mit gleichem j und gleichem n immer noch die gleiche Energie haben. 4.3 Hyperfeinstruktur Völlig analog zum Elektronenspin haben auch Atomkerne einen Spin, den man mit dem Operator Î aus der Wellenfunktion des Atomkerns bestimmen kann. Der Betrag des Spins ist gegeben durch: < Î >= I(I + 1) (69) und die Komponente in z-richtung des Abbildung 8: Aufspaltung zur Hyperfeinstruktur, [1] S. Kernspins hat die (I+1) Einstellmöglichkeiten: 168 < Îz >= m I mit I m I I (70) Wie oben gezeigt ist auch mit dem Kernspin ein magnetisches Kernmoment verbunden, es ergibt sich zu: µ I = g I µ K I (71) wobei g I der g-faktor des Kerns (für das Proton beispielsweise g I = 5, 58) ist und µ K das Kern-Magneton: µ K = e = m e µ B = µ B (7) m p m p 1836 Man sieht sofort, dass auf Grund der viel größeren Protonenmasse das magnetische Moment des Kerns gegenüber dem des Elektrons oft vernachlässigt werden kann. Wenn man aber die Wechselwirkung des magnetischen Moments des Elektrons mit dem vom Kernspin erzeugten Magnetfeld berücksichtigt, so führt dies zur sogenannten Hyperfeinstruktur. 15
Diese ergibt sich zu: E Ij = µ I B j = µ I B j cos( I, j) (73) Wobei der Cosinus, nach dem gleichen Prinzip wie bei der Feinstruktur, durch die Definition eines Gesamtdrehimpulses F = I + j umschrieben werden kann zu: cos( I, j) = j I j I = 1 F (F + 1) j(j + 1) I(I + 1) (74) j(j + 1) I(I + 1) Daraus folgt für die Hyperfeinstruktur eine Aufspaltung von: E HF S = A [F (F + 1) j(j + 1) I(I + 1)] (75) Wobei mit A die Hyperfeinkonstante definiert wurde: A = g Iµ K B j j(j + 1) (76) 4.4 Lamb-Shift Als weitere Korrektur für die Energieterme aus der Schrödingertheorie kommt noch der Lamb-Shift hinzu. Er ist ein Resultat aus der Quantenelektrodynamik. Die QED besagt, dass innerhalb eines sehr kurzen Zeitintervalls, gegeben durch die Heisenbergsche Energieunschärfe: t E = 1 (77) ω ein Photon mit der Frequenz ω emittiert bzw. absorbiert werden kann, ohne dass dabei die Energieerhaltung verletzt werden würde. Ein solches Photon nennt man virtuell. In einem sehr anschaulichen Modell kann man sich dies dadurch verdeutlichen, dass Elektronen, welche sich auf auf einer Bohrschen Bahn befinden, keine perfekten Kreise durchlaufen. Vielmehr führen sie, wegen der Rückstöße durch Emission und Absorption von virtuellen Photonen, eine Art Zitterbewegung um den Kern aus. Dies führt zu einer kleinen Veränderung δr des Radius der Kreisbahn, was wiederum die Coulombenergie: E = 1 4πɛ 0 e r + δr (78) verändert. Somit führt die Emission und Absorption von virtuellen Photonen zu einer realen Veränderung der Energieterme. Am stärksten ist dieser Effekt für s-elektronen, welche sich nahe am Kern befinden und somit kleine Bahnradien haben. 16
Abbildung 9: Virtuelle Photonen verursachen eine Zitterbewegung, [1] S. 173 4.5 Termbezeichnung Ein Atomzustand ist durch die drei Quantenzahlen n,l und m vollständig charakterisiert. Um ihn zu bezeichnen, hat man die Notation n s+1 X j eingeführt. Dabei gibt n die Hauptquantenzahl an. Der Ausdruck s + 1 im oberen Index steht für die Multiplizität und gibt die Zahl der für l 0 auftretenden Feinstrukturkomponenten an. In einem Einelektronensystem ist s = 1/ und somit s + 1 =. Der rechte untere Index steht für den Gesamtdrehimpuls j. Das verbleibende große X steht stellvertretend für den Bahndrehimpuls, dabei gilt: Bahndrehimpuls l Bezeichnung 0 s 1 p d 3 f 4 g 4.6 Vollständiges Termschema des Wasserstoffs Literatur [1] W. Demtröder. Experimentalphysik 3 - Atome, Moleküle und Festkörper. Springer Verlag, 000. [] H. Wolf H. Haken. Atom- und Quantenphysik. Springer Verlag, 004. 17
Abbildung 10: Vollständiges Termschema des Wasserstoffs (nicht maßstabsgerecht), [1] S. 17 18