Schriftliche Reifeprüfung aus dem Wahlpflichtfach Darstellende Geometrie am BRG Feldkirchen zum Haupttermin 2015/16 Prüfer: Mag. Iris Steiner Notenschlüssel: Sehr Gut: Gut: Befriedigend: Genügend: Nicht Genügend: 120 108 Punkte 107 96 Punkte 95 78 Punkte 77 60 Punkte 59 0 Punkte Erlaubte Hilfsmittel: Bleistift, Buntstifte (außer rot), Tuschestifte, Zirkel, Lineal, PC mit dem Programm MicroStation Erzeuge auf dem Maturalaufwerk einen Ordner mit dem Namen "MeinNachname_DG_Matura". Speichere alle Beispiele dorthin ab und kopiere dann deinen Ordner noch auf einen USB-Stick. Viel Glück und Erfolg! 1
1.) Platonische Körper: a.) Definition, Existenz und Eigenschaften Platonischer Körper (Nach einer Idee aus: Darstellende Geometrie Maturaaufgaben, S. Losbichler, H. Müller, Veritas-Verlag, Linz 2014) Nenne die definierenden Eigenschaften, welche für Polyeder gelten müssen, damit diese Platonische Körper sind. Zähle alle 5 platonischen Körper mit ihren Namen auf. Nenne alle platonischen Körper, die von gleichseitigen Dreiecken begrenzt werden. Überlege und argumentiere dann, warum es außer diesen keine weiteren gibt. Es existiert jeweils nur ein platonischer Körper, der von Quadraten, bzw. von regelmäßigen Fünfecken begrenzt wird. Nimm zu dieser Aussage Stellung. Erkläre, warum kein platonischer Körper existiert, dessen Oberfläche aus lauter regelmäßigen n-ecken mit n 6 besteht. Erstelle eine Liste der Platonischen Körper, aus der man die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen der einzelnen Körper entnehmen kann. Vergleiche nun die einzelnen Körper untereinander, was fällt dir dabei auf und erläutere diese Besonderheiten genauer. Gib weitere Eigenschaften und Besonderheiten der Platonischen Körper an. / 11 Punkte 2
b.) Aus den folgenden Bildern ist zu entnehmen, wie ein Dodekaeder in einem CAD-Programm konstruiert werden könnte. (Quelle: Darstellende Geometrie Maturaaufgaben, S. Losbichler, H. Müller, Veritas-Verlag, Linz 2014) Schritt 1: Welche Konstruktionsschritte wurden gesetzt? Erkläre die vorhandenen Konstruktionslinien. Schritt 2: Könnte eine Raumtransformation hier eingesetzt worden sein, um die weiteren Fünfecke zu positionieren? Wenn ja, welche? Schritt 3: Wie könnte der obere Teil der Figur möglichst einfach nach Schritt 2 erzeugt worden sein? Schritt 4: Welche Raumtransformationen sind zuletzt noch auszuführen, um das Pentagondodekaeder, wie abgebildet, zu erhalten? 3 / 7 Punkte
c.) Rhombendodekaeder Setzt man auf die Seitenflächen eines Würfels mit der Kantenlänge a sechs regelmäßige quadratische Pyramiden, deren Basiskantenlänge ebenfalls a ist, so entsteht ein Sternpolyeder. Überlege, wie hoch die Pyramiden gewählt werden müssen, so dass jeweils die Seitenflächen zweier benachbarter Pyramiden in einer Ebene durch die gemeinsame Basis-/Würfelkante liegen. In diesem Fall entsteht aus dem Sternpolyeder ein sogenanntes Rhombendodekaeder. 4
So ein Rhombendodekaeder entsteht aber auch, wenn man wie oben den Seitenflächen eines Oktaeders regelmäßige dreiseitige Pyramiden mit geeigneter Höhe aufsetzt. Wie hoch müssen nun diese Pyramiden gewählt werden? Verwende für deine Überlegungen bzw. vervollständige untenstehende Skizzen. Sternpolyeder: Rhombendodekaeder: Erstelle nun mit deinem CAD-Programm ein Rhombendodekaeder, indem du von einem Oktaeder ausgehst. Speichere die Datei unter dem Namen MeinNachname_Rhombendodekaeder.dgn. Finde für die Ermittlung der Pyramidenhöhe eine rein geometrische Lösung (räumliche Überlegung, keine Rechnung). Begründe deine Konstruktionsschritte in Wort und Bild (screenshots) und speichere das Dokument unter dem Namen MeinNachname_Rhombendodekader_Dokumentation.docx. 5 / 12 Punkte
2. Zentralprojektion: a.) Das Konstruktionsprinzip des Durchschnittverfahrens und Eigenschaften der Zentralprojektion Erkläre anhand eines aus dem Jahr 1713 stammenden Stiches den Begriff Zentralprojektion. Erläutere nun anhand nebenstehender Abbildung das Konstruktionsprinzip des Durchschnittverfahrens. Gehe insbesondere auf die angegebenen Bezeichnungen ein. (Abb. aus: Ch. Rembold, Perspectiva practica oder Perspektive-Reißkunst, Augsburg 1713, Faksimile- Ausgabe: Hannover 1977) (Abb. aus: Perspektive im DG-Unterricht der AHS, Ein Lehrgang in Arbeitsblättern von Manfred Dopler) 6
Konstruiere auf diese Weise das perspektive Bild des Würfels in der unten dargestellten Figur. (Abb. aus: Perspektive im DG-Unterricht der AHS, Ein Lehrgang in Arbeitsblättern von Manfred Dopler) 7
Gehe nun anhand deiner Konstruktion auf die Eigenschaften der Zentralprojektion ein. Kläre die Begriffe Hauptpunkt, Fernpunkt, Fluchtpunkt und Horizont. Ermittle auch in deiner Zeichnung den Hauptpunkt, die Fern- und Fluchtpunkte sämtlicher Kanten. Was gilt im Allgemeinen für die Bilder paralleler Geraden? Was gilt für die Bilder paralleler und gleich langer Strecken? Gibt es parallele Geraden, deren Zentralrisse parallel bleiben? Eine Parallelprojektion ist teilverhältnistreu. Gilt dies auch für eine Zentralprojektion? Begründe! Betrachte dazu einen Flächenmittelpunkt und seinen Riss. Gibt es Sonderfälle betreffend die Teilverhältnistreue? / 18 Punkte 8
b.) Ermittle den Zentralriss der angegebenen Kirche (vereinfacht, M 1: 250, d = 33m). Die beiden in der Perspektive sichtbaren Wände sind zu den durch die beiden Geraden a und b gehenden erstprojizierenden Ebenen symmetrisch. Die Höhen können direkt aus dem Aufriss der Angabe übernommen werden. (Angabe aus: Perspektive im DG-Unterricht der AHS, Ein Lehrgang in Arbeitsblättern von Manfred Dopler) / 14 Punkte 9
c.) Ein Quader steht auf einer waagrechten Ebene. Dieser Quader soll sowohl einer Parallelbeleuchtung als auch einer Zentralbeleuchtung unterworfen werden. Von der Lichtquelle L der Zentralbeleuchtung kennt man auch ihren Grundriss L in der waagrechten Ebene, auf die der Schatten geworfen wird, und auf der dieser Quader steht (siehe gegebene Angabe). Ermittle jeweils die Eigenschattengrenze, den Eigenschatten und den Schlagschatten des Quaders auf seine Standebene. l l 10
Stelle nun die Parallel- der Zentralbeleuchtung gegenüber. Gehe jeweils auf die Unterschiede ein. Erkläre die Konstruktion des Schattenpunktes eines Punktes auf die Standebene. Vergleiche die jeweiligen Richtungen der Grundrisslichtstrahlen miteinander. Gib an, welche Richtung der Schatten einer lotrechten Kante jeweils hat. Besprich die Schatten von Kanten, die parallel zur Schirmebene liegen. Überlege, wie die Schatten von gleich langen parallelen Strecken erscheinen. Benenne jenen Punkt, durch den der Schatten jeder Geraden gehen muss. / 12 Punkte 11
3.) Flächen, die durch Bewegung erzeugt werden: a.) Flächenklassen Definition und Zuordnung: Erstelle Freihandskizzen von der Erzeugung folgender Flächen und beschreibe die Erzeugungsweise mit eigenen Worten: Extrusionsfläche Drehfläche Rohrfläche Schiebfläche 12
Manche Flächen gehören mehreren Flächenklassen an. Gib von den folgenden Flächen an, welchen Klassen sie jeweils angehören und wie sie jeweils erzeugt werden können. Kugel Extrusionsfläche Drehfläche Rohrfläche Schiebfläche Zylinder Drehzylinder Drehkegel Torus Elliptisches Paraboloid Drehparaboloid Hyperbolisches Paraboloid / 20 Punkte 13
b.) Modellierung eines Wikingerhelmes und eines Rohrgestells für einen Ständer: (Nach einer Idee aus Darstellende Geometrie Ergänzende Materialien, S. Losbichler, H. Müller, Veritas-Verlag, Linz 2014) Wikingerhelm: Der Helm ist ein zur yz- und xz-ebene symmetrisches elliptisches Paraboloid, von dem die Leitparabel l und die Profilparabel p gegeben sind. Unten wird der Helm durch einen elliptischen Zylinder begrenzt, dessen Profilellipse e in der yz-ebene liegt. Beachte, dass ihr Mittelpunkt nicht mit dem Koordinatenursprung zusammenfällt. Erstelle den Helm als Flächenmodell. Alle angegeben Maße in cm. l p e p l Die Hörner erzeuge als Rohrflächen, die sich zur Spitze hin verjüngen. Die Mittenkurve soll eine geeignete B-Splinekurve 3.Grades sein. Wähle einen geeigneten Radius für den Profilkreis. e = l Nach Fertigstellung des Helmes und der Hörner weise den Flächen geeignete Wandstärken nach außen zu. p 14
Rohrgestell für einen Ständer: Der Ständer besteht aus zwei Rohrgestellen, die am Boden berührend in einen Torus (Mittenkreisradius 12 cm, Profilkreisradius 0,5 cm) münden. Der Durchmesser der Gestelle soll 1cm sein. Die Gestelle sollen folgende Bedingungen erfüllen: Sie sind insgesamt 37,5 cm hoch. In der Höhe 6 cm berühren sie die Profilparabel p bzw. die Leitparabel l des Helmes. Ihr Scheitel befindet sich 8 cm darüber. 29 cm unterhalb des Scheitelpunktes sind sie jeweils 3 cm von der z-achse entfernt und haben dort erstprojizierende Tangentialebenen. Erzeuge den Ständer als Volumsmodell. 15
Stelle den Ständer auf eine Tischplatte und setze den Helm auf das Gestell. Speichere die Datei unter dem Namen MeinNachname_Winkingerhelm.dgn. Rendere die Szene und erzeuge von der gerenderten Szene ein Bild und speichere dieses unter dem Namen MeinNachname_Winkingerhelm.jpg. / 26 Punkte 16