Hinweis: Die volle Punkteanzahl kann nur dann erreicht werden, wenn alle Berechnungen, ob mit oder ohne Taschenrechner durchgeführt, klar und nachvollziehbar dokumentiert wurden und richtig sind. Beispiel 1 Autofahrt 9 Punkte Es werden Autos beobachtet, die in eine Kreuzung einfahren und dann beschleunigen. Die Fahrzeit ab der Einfahrt in die Kreuzung wird in Sekunden gemessen (beginnend mit t = 0 s), der zurückgelegte Weg in Metern. a) Die Fahrt eines Autos wird durch die Wegfunktion s(t) = t² + 5 t beschrieben. (t in s, v(t) in m/s) Berechnen Sie, welchen Weg das Auto in den ersten 10 s zurücklegt. Berechnen Sie, mit welcher Geschwindigkeit (in m/s) das Auto in die Kreuzung eingefahren ist. b) Die Fahrt eines anderen Autos wird in den ersten 10 Sekunden seiner Fahrt durch den Geschwindigkeitsverlauf v (t) = 0,2 t² + 4 t + 5 beschrieben. (t in s, v(t) in m/s) Berechnen Sie, nach welcher Zeit das Fahrzeug seine Höchstgeschwindigkeit erreicht ha Berechnen Sie, welchen Weg das Auto bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit zurückgelegt hat. c) Mit Hilfe eines Radargerätes wird die Geschwindigkeit der Fahrzeuge bei der Einfahrt in die Kreuzung gemessen (in km/h, gerundet auf Zehner). Die gemessenen Geschwindigkeiten und die entsprechende Anzahl der Fahrzeuge sind in der folgenden Tabelle dargestellt: Geschwindigkeit Anzahl der Fahrzeuge 0 7 10 15 20 23 30 20 40 18 50 12 60 3 Berechnen sie die durchschnittliche Geschwindigkeit, mit der die Fahrzeuge in die Kreuzung eingefahren sind. Stellen sie die Daten in einem Boxplot-Diagramm dar. Mathematik Sommer 2017 Mag. Kunnert 1/7
Beispiel 2 Kostenrechnung 10 Punkte Ein Unternehmen entwickelt ein neues Produkt und hat dafür Kosten und Absatzmöglichkeiten untersucht. Die Gesamtkosten (in ) werden durch die FunktionK (x) = 0,01 x³ 6 x² + 1200 x + 80000 angenähert. (x ist die Stückzahl). Pro Monat werden maximal 500 Stück produziert. a) Geben Sie die Fixkosten an. Stellen Sie fest, bei welcher Stückzahl die durchschnittlichen Kosten pro Stück minimal sind. (Diesen Wert nennt man Betriebsoptimum ) b) Der Verkaufspreis soll, abhängig von der Stückzahl, durch eine lineare Funktion p(x) festgelegt werden. Durch Marktforschung konnte man feststellen, dass man bei einem Preis von 1000 Euro etwa 200 Stück und bei einem Preis von 550 Euro etwa 500 Stück verkaufen kann. Stellen Sie die passende Preisfunktion p(x) auf. c) Die Preisfunktion wird schließlich mit p (x) = 2 x + 1400 festgelegt. Stellen Sie die Gewinnfunktion auf Berechnen Sie die Stückzahl, bei der der Gewinn maximal ist. d) Das Unternehmen benötigt einen Kredit in der Höhe von 10 000. Die Bank verlangt 7% Zinsen p.a. Die Rückzahlung soll in drei gleich hohen Raten am Ende des ersten, zweiten und dritten Jahres erfolgen. Berechnen Sie die Höhe dieser jährlichen Rate. Beispiel 3 Ölfabrik 7 Punkte In einer Ölfabrik wird Olivenöl in Flaschen abgefüllt. Eine Flasche soll 300 Milliliter (ml) Olivenöl enthalten. Man geht davon aus, dass die abgefüllte Menge einer Normalverteilung mit der Standardabweichung σ = 3ml entspricht. a) Die Genauigkeit der Abfüllanlage wird mit einer Stichprobe von 10 Flaschen überprüft. Es ergeben sich die folgenden Abfüllmengen in ml: 305 295 293 297 304 296 298 304 301 304 Überprüfen Sie, ob die Größe der Standardabweichung dieser Stichprobe der Vorgabe entspricht. b) Nach einer Inspektion der Anlage ist die durchschnittliche Abfüllmenge auf 300 ml und die Standardabweichung auf 3 ml eingestellt. Die Firma garantiert, dass höchstens 10% der abgefüllten Flaschen weniger als 296 ml Öl enthalten. Mathematik Sommer 2017 Mag. Kunnert 2/7
Überprüfen Sie, ob diese Garantie erfüllt wird. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Abfüllmenge um weniger als 2 ml vom Sollwert abweicht. c) Die Wahrscheinlichkeit, dass der Verschluss einer Flasche nicht korrekt ist und dadurch der Inhalt verdirbt, beträgt 1%. An ein Geschäft werden 50 Flaschen geliefert. Beschreiben Sie, wie man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen kann, dass in dieser Lieferung mehr als 2 Flaschen verdorben sind. Begründen sie, warum hier mit einer Binomialverteilung gerechnet werden kann. d) Bei dieser Abfüllanlage werden 60% aller Flaschen gefüllt und 10% davon haben einen zu geringen Inhalt. Bei einer zweiten Abfüllanlage werden die restlichen 40% aller Flaschen ebenfalls mit 300 ml Inhalt befüllt. Bei der zweiten Anlage haben 15% einen zu geringen Inhalt. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine aus der Gesamtproduktion zufällig ausgewählte Flasche einen zu geringen Inhalt hat. Beispiel 4 Schlittenhügel 7 Punkte Ein kleiner Hügel, der von Kindern zum Schlittenfahren verwendet wird, hat ein Höhenprofil, das 1 durch die Funktion f(x): y = (x + 2) (x 10)² für 2 x 10 dargestellt werden kann (Maße in m). 64 Die Abfahrt ist rechts vom höchsten Punkt. a) Berechnen Sie die Koordinaten des höchsten Punktes dieses Hügels. b) Berechnen Sie, an welcher Stelle die Abfahrt am steilsten ist. Geben Sie für diesen Punkt den Neigungswinkel an, den die Abfahrt mit der Horizontalen einschließt. c) Als der Hügel aufgeschüttet wurde, benötigte man zur Berechnung der notwendigen Schottermenge die Größe der Querschnittsfläche, das ist im Höhenprofil die von der Kurve und der x-achse begrenzte Fläche. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. d) Es wurde berechnet, dass man 150 m³ Schotter benötigt, um den Hügel aufzuschütten. Ein LKW kann mit 12 t Schotter beladen werden. Die Dichte von Schotter ist 1,4 kg/dm³ Berechnen Sie, wie viele Fahrten ein LKW machen müsste, um die gesamte Schottermenge anzuliefern. Mathematik Sommer 2017 Mag. Kunnert 3/7
Beispiel 5 Österreichs Bevölkerung wächst 7 Punkte (aus: Statistik Austria Bevölkerungsprognose 2016 vom 11.11.2016) Die österreichische Bevölkerung wächst derzeit jährlich um rund 1%, wie aktuelle Einwohnerzahlen und Prognosen von Statistik Austria zeigen. Im Jahresdurchschnitt 2015 betrug die Bevölkerungszahl Österreichs 8,63 Mio. Einwohner. Wien wird infolge der Zuwanderung das mit Abstand stärkste Bevölkerungswachstum aller Bundesländer erleben. Die Bevölkerung hatte 1,81 Mio. im Jahr 2015 und wird im Jahr 2023 mit 2,07-Mio. Einwohnern die 2-Millionen-Grenze überschritten haben. a) Stellen Sie das Wachstum der österreichischen Bevölkerung als Funktion in der Form N(t) = c a dar. (t in Jahren, wobei t = 0 für das Jahr 2015 gesetzt wird; N(t) in Millionen Einwohnern) Berechnen Sie damit, in welchem Jahr Österreich die 9-Millionen-Marke überschreiten wird. t b) Stellen Sie das Wachstum der Bevölkerung von Wien als Funktion in der Form N (t) = c e λ t (t in Jahren, wobei t = 0 für das Jahr 2015 gesetzt wird; N(t) in Millionen Einwohnern) Berechnen Sie, um wieviel Prozent pro Jahr die Wiener Bevölkerung in diesem Zeitraum wächst. dar. c) Im Jahr 1987 hatte Wien etwa 1,48 Mio. Einwohner. Berechnen Sie, um wieviel Prozent die Bevölkerung Wiens von 1987 bis 2015 gewachsen ist. d) Eine langfristige Prognose nimmt an, dass Wiens Bevölkerung in den Jahren von 2050 bis 2090 von 2,18 Mio. Einwohner auf 2,30 Mio. Einwohner anwachsen wird. Überprüfen Sie, ob sich dieses Wachstum durch die Funktion N (t) = 0,003 t + 2, 18 beschreiben lässt. (t in Jahren; N(t) in Millionen Einwohnern) Geben Sie die Bedeutung der in dieser Formel vorkommenden Zahlen im Sachzusammenhang an. Beispiel 6 Teetasse 6 Punkte Die Innenseite einer Teetasse ist in nebenstehender Zeichnung im Querschnitt dargestellt. Sie hat die Form eines Kegelstumpfes mit der Höhe h. Der Radius des unteren Kreises hat die Länge r1, der des oberen Kreises die Länge r2. Für eine Tasse gelten die Maße r1 = 30 mm, r2 = 38 mm und h = 50 mm. Mathematik Sommer 2017 Mag. Kunnert 4/7
π h 2 2 a) Das Volumen eines Kegelstumpfes lässt sich mit der Formel V ( r + r r + ) = 1 1 2 r2 berechnen. 3 Berechnen Sie, wie viele ml Tee in der Tasse Platz haben, wenn Sie bis zum oberen Rand gefüllt wird Eine andere Tasse soll nur ein Volumen von 150 ml besitzen. Dabei sollen die Höhe und der untere Rand unverändert bleiben, nur der Radius r2 wird verkleinert. Berechnen Sie die neue Größe von r2. b) Berechnen Sie die Größe des Winkels α, den die Seitenwand mit dem Boden der Tasse einschließt. c) Gibt man in die Tasse einen Teebeutel und gießt mit kochendem Wasser auf, so wird der Wirkstoff Koffein (auch als Tein bezeichnet) aus den Teeblättern ausgelaugt und löst sich im Wasser auf. Koffein hat eine anregende Wirkung. Gleichzeitig werden auch Bitterstoffe aus den Teeblättern gelöst, die eine beruhigende Wirkung haben. Die Grafik beschreibt die Koffeinmenge und die Bitterstoffmenge (jeweils in mg), die sich nach der Zeit t (in s) in der Tasse befindet. Die Koffeinmenge lässt sich durch die Funktion K(t) = 45 (1 e 0,02 t ) beschreiben. Lesen Sie aus der Grafik ab, wie lange der Teebeutel ziehen sollte, damit sich 20 mg Koffein im Wasser befinden Berechnen Sie, wie hoch die Koffeinmenge nach 90 s ist. Beschreiben Sie die Bitterstoffmenge durch eine passende Funktionsgleichung B(t). Mathematik Sommer 2017 Mag. Kunnert 5/7
Beispiel 7 Reaktions- und Bremsweg 5 Punkte Manchmal macht es die Verkehrssituation notwendig, dass beim Autofahren in einer Gefahrensituation eine Notbremsung durchgeführt werden muss. Der Anhalteweg, der zwischen dem Erkennen der Situation und dem Stillstand des Fahrzeuges zurückgelegt wird, setzt sich aus zwei Teilstücken zusammen: o dem Reaktionsweg r, das ist der Weg, der vom Erkennen der Situation bis zum Tritt aufs Bremspedal zurückgelegt wird. Während der Reaktionszeit fährt das Auto noch mit der vollen Geschwindigkeit v weiter. Aus Erfahrung lässt sich dieser Weg mit der Formel r(v) = 0,3 v angeben, wenn v in km/h und r in m angegeben wird. o dem Bremsweg b. Bei trockener Fahrbahn, guten Reifen und Vollbremsung (das Pedal wird von v² Anfang an vollständig gedrückt) gilt die Formel b (v) = (v in km/h und b in m). Bei ungünstigen 200 v² Bedingungen (nasse oder gar eisige Fahrbahn) gilt die Formel b(v) = k, wobei k vom Straßenzustand abhängig 200 ist: Zustand der Fahrbahn Wert für k trocken 1 nass 1,6 Schnee 4 Eis 8 a) Ein Autofahrer fährt mit 36 km/h.berechnen Sie seinen Reaktionsweg und daraus die Reaktionszeit, die in dieser Formel verwendet wird. b) Ein Auto fährt mit 90 km/h bei nasser Fahrbahn. Berechnen Sie den Anhalteweg. c) Nach einem Unfall wird die Länge der Bremsspur eines Fahrzeuges gemessen. Sie hat eine Länge von 56 m. Zeugen geben an, dass das Fahrzeug zum Stillstand gekommen ist. Die Fahrbahn war trocken. Berechnen Sie, mit welcher Geschwindigkeit das Fahrzeug vor der Bremsung unterwegs war. d) Ein Fahrschüler sagt: Wenn ich doppelt so schnell fahre, so brauche ich den vierfachen Anhalteweg. Nehmen Sie zu dieser Aussage Stellung. Mathematik Sommer 2017 Mag. Kunnert 6/7
Beispiel 8 Schiefer Wurf 5 Punkte Wird ein Gegenstand mit einer bestimmten Geschwindigkeit schräg nach oben geworfen, so beschreibt seine Flugbahn (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes) eine sogenannte Wurfparabel. Die momentane Höhe h des Gegenstandes in Abhängigkeit von der Horizontalentfernung x des Gegenstandes vom Abwurfpunkt A lässt sich mit 5 der Formel h (x) = x² + x tanβ + c v² (cosβ)² beschreiben. x Horizontalentfernung in m h Flughöhe in m v Abwurfgeschwindigkeit in m/s β Abwurfwinkel in Grad (der Winkel, unter dem der Gegenstand nach oben geworfen wird) c Höhe des Abwurfpunktes über dem Erdboden a) Ein Kind wirft einen Ball. Der Abwurfpunkt liegt 1,5 m über dem Boden, die Abwurfgeschwindigkeit beträgt 10 m/s, der Abwurfwinkel beträgt 35. Stellen sie die passende Funktion h(x) auf. Berechnen Sie, wo derball am Boden auftrifft. b) Die Flugbahn eines Golfballes lautet g( x) = 0,006 x² + 0, 9 x Berechnen Sie den Abwurfwinkel β Berechnen Sie die Abwurfgeschwindigkeit c) Eine Sportlerin hat die Kugel so geworfen, dass der Abwurf im Punkt A(0/2,2) erfolgte und die Kugel ihren höchsten Punkt in H(2,1/3,1) erreichte. Stellen Sie eine Funktionsgleichung für die angegebene Flugbahn auf. Beurteilung: Note Punkte Sehr gut 49 56 Gut 40 48 Befriedigend 31 39 Genügend 22 30 Nicht genügend 0 21 Mathematik Sommer 2017 Mag. Kunnert 7/7