TEILPRÜFUNG ZUR BERUFSREIFEPRÜFUNG. Themenstellung für die schriftliche Berufsreifeprüfung. aus dem Fach Mathematik und angewandte Mathematik

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1 TEILPRÜFUNG ZUR BERUFSREIFEPRÜFUNG Themenstellung für die schriftliche Berufsreifeprüfung aus dem Fach Mathematik und angewandte Mathematik Termin: Herbst 2016 Prüfer: Mag. Wolfgang BODISCH Mag. Wolfgang GALSTERER Dr. Maja LOPERT MMag. Stephan STRASSER Punkteverteilung/Gewichtung: Beispiel 1: Beispiel 2: Beispiel 3: Beispiel 4: Beispiel 5: Beispiel 6: 7 Punkte 6 Punkte 6 Punkte 6 Punkte 6 Punkte 9 Punkte Gesamt: 40 Punkte Notenschlüssel: Punkte Sehr gut Punkte Gut Punkte Befriedigend Punkte Genügend 19-0 Punkte Nicht genügend Seite 1

2 1. WASSERTONNE (7 P) a) Eine Wassertonne in Form eines Drehzylinders mit 80 cm Durchmesser ist 1 m hoch mit Wasser gefüllt. Ein Ausflussloch am Boden wird geöffnet und das Wasser fließt aus, wobei mit einem durchschnittlichen Ausfluss von 200 cm³ pro Sekunde gerechnet wird. i) Stellen Sie eine Lineare Funktion auf, die den Zusammenhang zwischen dem verbleibenden Wasservolumen V (in cm³) und der verstrichenen Zeit t (in s) angibt. (2 P) ii) Berechnen Sie, wie lange es dauert, bis das Wasser vollständig ausgeronnen ist. Geben Sie das Ergebnis in Minuten und Sekunden genau an. (1 P) b) Die Höhe des Wasserstands einer anderen Tonne kann durch die Funktion ht = t t+ 8 2 ( ) , angenähert werden. (h in Meter, t in Sekunden) Seite 2

3 i) Begründen Sie, in welchem Zeitintervall die Funktion sinnvoll verwendbar ist.(1 P) ii) Berechnen Sie die Mittlere Höhenänderungsrate der Flüssigkeit in mm/s für die Zeit zwischen 2000 und 4000 Sekunden. (2 P) c) Eine Wassertonne kostet 150 ohne Mehrwertsteuer. Berechnen Sie, wie viel die Tonne bei 20 % Mehrwertsteuer und bei 3 % Preisnachlass (Skonto) kostet. (1 P) Seite 3

4 2. GOLFPLATZ (6 P) Ein Golfplatzbetreiber möchte in seinem ebenen Areal drei künstliche Erdhügel aufschütten, welche die Form von Drehparaboloiden, also von rotierenden Parabeln, haben sollen. a) Ein parabelförmiger Hügel soll 6 m breit sein und am Fußpunkt F1 einen Steigungswinkel von ϕ = 63, 435 o gegenüber der Ebene aufweisen. Erstellen Sie aus obigen Informationen eine Funktionsgleichung der Parabel durch die Punkte F1, S und F2. Legen Sie dabei die x-achse durch die Punkte F1 und F2 und die y-achse durch die Spitze S. (3 P) Berechnen Sie, welcher Höhenunterschied zwischen der Ebene, auf welcher der Hügel errichtet wurde, und der Spitze existiert (siehe Abbildung). (1 P) b) Stellen Sie eine Formel auf, mit der man die Querschnittsfläche des Hügels bestimmen kann und berechnen Sie diese. (2 P) Seite 4

5 3. KEIMWACHSTUM (6 P) Keime in der Kuhmilch vermehren sich in Abhängigkeit von der Zeit exponentiell. Die prozentuelle Zuwachsrate der Keime beträgt etwa 1% pro Minute, wenn die Milch nicht gekühlt wird. Milch mit einer Keimzahl unter Keimen pro ml entspricht der Güteklasse 1. a) Anfänglich seien Keime pro ml vorhanden. Stellen Sie unter dieser Voraussetzung ein Wachstumsgesetz auf, das die Anzahl der Keime N in Abhängigkeit der Zeit t (in min) angibt. (1 P) Berechnen Sie, unter der Annahme, dass a = 1, 01 bzw. λ = 0, ist, nach welcher Zeit die ungekühlte Milch nicht mehr der Güteklasse 1 angehört. Geben Sie dabei die Zeit gerundet in Stunden und Minuten an. (2 P) b) Berechnen Sie, um wieviel Prozent sich die Milchkeime innerhalb dieses (in a) zu berechnenden) Zeitraums vermehrt haben. (1 P) c) Berechnen Sie den Zeitraum, in dem sich die Anzahl der Milchkeime verdoppelt haben und bergründen Sie, warum die Verdoppelungszeit von der Anfangsmenge unabhängig ist. (2 P) Seite 5

6 4. SONNE UND SONNENSTRAHLEN (6 P) a) Der Sonnenradius r beträgt km. Von einem Beobachter auf der Erdoberfläche wird die Sonne unter einem bestimmten Sehwinkel (vgl. Skizze) gesehen. Geben Sie eine Formel für den Sehwinkel α unter Verwendung des Abstandes d des Beobachtungspunktes E vom Sonnenmittelpunkt an. (2 P) b) Licht breitet sich mit einer Geschwindigkeit von ca Kilometer pro Sekunde aus. Berechnen Sie, wie groß demnach die Entfernung zwischen Erde und Sonne ist, wenn das Licht für diese Entfernung ca. 8,3 Minuten braucht. Geben Sie die Entfernung in km in Gleitkommadarstellung an. (2 P) c) Unter Sonnenhöhe versteht man den Winkel, den die Sonnenstrahlen mit der Horizontalen einschließen. Ermitteln Sie die Sonnenhöhe α, wenn ein 10m hoher Baum einen 17m langen Schatten auf einen waagrechten Platz wirft. (1 P) Berechnen Sie, wie hoch ein Gebäude ist, das zur selben Zeit einen etwa 24 m langen Schatten hat. (1 P) Seite 6

7 5. SPORTARTIKEL (6 P) Bei einem Sportartikelhersteller werden Produktionskosten und Verkaufserlöse analysiert. a) Die Produktionskosten K(x) eines bestimmten Artikels in Abhängigkeit von der Menge x werden durch eine Polynomfunktion = K( x) a x b x c x d beschrieben. Bei der Erzeugung von 2 Mengeneinheiten (ME) betragen die Kosten 180 Geldeinheiten (GE). Die Fixkosten der Produktion betragen 100 GE. Die Wendestelle der Kostenfunktion liegt bei 4 ME, die Kosten betragen für diese Menge 212 GE. Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Kostenfunktion. (3 P) Berechnen Sie die Koeffizienten dieser Polynomfunktion. (1 P) b) Für die Analyse des Verlaufes der Kostenfunktion wird die Ableitung K (x) der Kostenfunktion K(x), die sogenannte Grenzkostenfunktion, betrachtet. Für einen anderen Sportartikel gilt 2 K ( x) = 0,15x 0,6x+ 5, wobei die Fixkosten 30 GE betragen. Ermitteln Sie die zugehörige Kostenfunktion K(x). (1 P) Interpretieren Sie in diesem Sachzusammenhang die Bedeutung der Grenzkostenfunktion. (1 P) Seite 7

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9 6. HAUSTIERE (9 P) a) Die Anzahl der Tiere einzelner Tierarten in österreichischen Tierheimen in einem bestimmten Jahr wird in folgender Tabelle dargestellt: Tierart Katzen Exoten Wildtiere Hunde andere Anzahl i) Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten der einzelnen Tierarten. (1 P) ii) Stellen Sie die prozentuelle Verteilung der Tierarten in einem Histogramm dar. (1 P) iii) Im Nachbarland Deutschland landen pro Jahr ungefähr Tiere in Tierheimen. Es wird angenommen, dass die Verteilung der Tierarten dieselbe ist wie in Österreich. Berechnen Sie, wie viele Tiere von jeder Art sich in deutschen Tierheimen befinden. (1 P) b) Eine Untersuchung hat gezeigt, dass 55 % der Haustiere in Österreich Katzen sind. Bei einem Fotowettbewerb werden 20 Fotos von Haustieren zufällig ausgesucht und belohnt. i) Berechnen Sie, wie viele Katzenfotos man unter ihnen im Durchschnitt zu erwarten darf. (1 P) ii) Berechnen Sie auch die Standardabweichung. (1 P) iii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Katzenfotos kleiner als 14 ist. (1 P) iv) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Katzenfotos mindestens 16 ist. (1 P) Seite 9

10 c) Es ist bekannt, dass Tiere einen sehr positiven Einfluss auf Wohlbefinden und Gesundheit der Menschen haben. Eine Ärztin hat die positive Wirkung von Hunden in der Therapie einer Gruppe von Patienten mit Angstattacken untersucht. Die beiden Boxplot-Diagramme zeigen die Anzahl der Angstattacken bei diesen Patienten das obere vor der tiergestützten Aktivität, das untere danach. i) Lesen Sie aus dem Diagramm (genau!!) ab, um wie viel die durchschnittliche Anzahl der Angstattacken (der Median) durch die Therapie gesunken ist. ( 1P) ii) Setzen Sie die passenden Zahlen ein: Vor der Therapie hatten % der Patienten mehr als 34 Angstattacken, danach waren es nur mehr %. (1 P) Seite 10