Hexagonal dichtest gepackte Struktur

Hexagonal dichtest gepackte Struktur Auch diese Struktur ist sehr wichtig, da sie von sehr vielen Systemen angenommen wird (kein Bravaisgitter). Das einfach hexagonale Bravais-Gitter (in 3-dim): zwei-dim: Dreiecksnetze in der Ebene, und Translation senkrecht zu den Ebenen bilden die Richtungen der primitiven Vektoren Die hexagonale dichtest gepackte Kristallstruktur: a 3 ⅓a 1 + ⅓a 2 + ½ a 3 Die Atome liegen direkt übereinander. In der Ebene wird diese hexagonale Struktur gebildet, die mit dem Abstand c übereinander gestapelt wird. a 1 a 2 Zwei einfach hexagonale Gitter liegen übereinander und sind um ⅓a 1 + ⅓ a 2 +½a 2 verschoben. Offenbar gibt es zwei ganz unterschiedliche Plätze in der dritten Lage: Welche mit einem Atom in Lage 1, und welche ohne Atom in Lage 1! Stapelfolge ABCABCABC.. : fcc-struktur Stapelfolge ABABABAB.. : hcp-struktur 56

Die Natriumchloridstruktur Die Cäsiumchloridstruktur Hier befinden sich die Atome auf den Plätzen des einfachen kubischen Bravais Gitters, allerdings gibt es zwei unterschiedliche Elemente auf diesen Plätzen: Wir beschreiben diese Struktur wieder durch ein Bravaisgitter mit einer Basis: fcc-gitter + Basis aus zwei Punkten: Chlor auf dem Punkt 0 Basis und Natrium auf: ( xˆ + ŷ + ẑ ) Zusammen bilden die NaCL Atome zwei ineinander liegende fcc Gitter. a 2 Dieses Gitter wird beschrieben durch ein einfach kubisches Bravais-Gitter + einer Basis sc + Cs auf dem Punkt 0 und Natrium auf: ( xˆ + ŷ + ẑ ) Bitte vergl. Sie die unterschiedlichen Kristallgitter, die sich aus der beiden unterschiedlichen Bravais-Gittern ergeben. a 2 57

Die Zinkblendestruktur Hierbei handelt es sich um Plätze des Diamantgitters, welche von den Atomen besetzt werden. Allerdings wechseln sich Zn und S ab. Bravaisgitter: bcc Basis: S auf 0 Zn auf (¼,¼.¼) 58

für Oktober 2009 ist geplant: Inhalt der Vorlesung "Einführung in die Festkörperphysik" 1 Einleitung 1.1 Organisatorisches 1.2 Was ist Festkörperphysik? 1.3 Das Drude-Modell 2 Die Struktur idealer Kristalle 2.1 Periodische Anordnungen von Atomen und Molekülen 2.2 Fundamentale Gitterarten in in 2D 2D und und 3D 3D 2.3 Beispiele für einfache Kristallstrukturen 2.4 Beugung von Wellen am Kristall 2.5 Das reziproke Gitter 2.6 Röntgenstrukturanalyse 2.7 Atom Molekül Kristall 2.8 Direkte Bestimmung der Kristallstruktur 2.9 Nicht-ideale Kristallstrukturen 2.10 Bindungsverhältnisse in Kristallen Ende 20.Okt09 59

2.2 Fundamentale Gitterarten in 2D und 3D Es ist zu kompliziert, nun sofort mit den Kristallgittern zu beginnen. Daher werden wir zuerst die Eigenschaften der zugrunde liegenden Gitter, der Bravaisgitter genauer untersuchen: Die Bravaisgitter werden klassifiziert gemäß ihrem Verhalten unter Symmetrieoperationen: - Translationen - Rotationen - Spiegelungen - Inversion Bei den Translationen stellt man schnell fest, dass nur ganzzahlige Vielfache der primitiven Vektoren das Gitter in eine symmetrieäquivalente Form überführen: r R = r n a r r 1 1 + n 2 a 2 + n 3 a nicht-koplanar, sonst beliebig diese heißen Grundvektoren oder "primitive Vektoren" n 1, n 2, n 3 : ganze Zahlen Bei den Rotationen können ein-, zwei-, drei-, vier-, und sechszählige Drehachsen existieren. 3 Die letzten drei Operationen (ohne Translation), bezeichnen die Punktgruppe eines Gitters. (Die Symmetrieoperationen entlang einer "Schraubenachse" und "Gleitspiegelebene" kommen später noch dazu, hier erst mal nicht). Fünfzählig geht offenbar nicht! 60

Beispiele für zwei-, drei, vier-, und sechszählige Drehachsen: Es stellt sich heraus, dass es nur eine bestimmte Anzahl von Punktgruppen (also möglichen Symmetrieoperationen (Rot, Spieg, Inv.) gibt. Die Anzahl hängt von der Dimension des Systems ab. Im 2-Dim lassen sich nun genau fünf Bravaisgitter identifizieren: Genauso lassen sich an diesen Beispielen Spiegelebenen identifizieren. Ein Gitter ist inversionssymmetisch, r r wenn es unter der Operation in sich selber überführt werden kann. 1.) Das quadratische Gitter symmetrisch unterspiegelung an x- und y- Achse symmetrisch unter 90 -Drehung 2.) Das rechtwinklige Gitter symmetrisch unterspiegelung an x- und y- Achse symmetrisch unter 180 -Drehung 3.) Das hexagonale Gitter symmetrisch unterspiegelung an x- und y- Achse symmetrisch unter 120 -Drehung 4.) Das zentrierte rechteckige Gitter 5.) Das schiefe Gitter 61

Im 2-Dim lassen sich nun genau fünf Bravaisgitter identifizieren: Diskutieren: -- primitive Vektoren, -- Translationen damit -- zentriertes rechtwinkliges Gitter (hierbei liegt keine 120 Symmetrie mehr vor, da a 1 und a 2 unterschiedlich lang sein können) -- primitive Zelle -- Wigner Seitz Zelle (türkis schattiert) 62

Zurück ins 3-dim: Hier gibt es nur 7 verschiedene Punktgruppen! Damit: Jedes Kristallgitter läßt sich einem der 7 Systeme (heißt auch Kristallsystem) zuordnen. Kristallsystem Anzahl der Bravaisgitter kubisch 3 sc, fcc, bcc tetragonal 2 einfach Tetragonal tretragonal zentriert orthorhombisch 4 einfach orthorhombisch basis-zentriert " raum-zentriert " flächenzentriert " monoklin 2 einfach monoklin zentriert " triklin 1 trigonal 1 hexagonal 1 =7 =14 "die 7 Kristallsysteme" "die 14 Bravaisgitter" Beispiel: Das kubische Kristallsystem gehört zu einer Symmetriegruppe, die mit der eines Würfels identisch ist. Es gibt 3 Bravaisgitter des kubischen Kristallsystems: sc bcc fcc Diese Klassifizierung läßt sich nun für alle Kristallsysteme vornehmen: 63

(e) (d) (c) (b) (a) (f) (g) 64

Weiter am Beispiel des kubischen Kristallsystems: Bislang war die Basis im Gitter von größtmöglicher Symmetrie, also von sphärischer Symmetrie. Wir lassen nun den allgemeinen Fall zu, also die Basis selber kann auch noch eine Symmetrie besitzen. Dieses führt zu 32 kristallographischen Punktgruppen, wodurch sich die Anzahl der möglichen Kristallstrukturen auf 230 erhöht: Wintersemester 2009 / 2010 (m3m) 65 Durch die Hinzunahme der Symmetrieeigenschaften der Basis entstehen aus der Punktgruppe des kubischen Bravaisgitters die 5 Punktgruppen des kristallographischen Gitters. Die jeweiligen Symmetieeigenschaften sind mit Symbolen gekennzeichnet, oben links: nach Schönflies, unten rechts: int'l, bzw. Hermann-Mauguin bzw. H.-M. Kurzsymbol Wir müssen nun die Symmetrieoperationen und ihre Symbole zusammenfassen: EFK

Wir müssen nun die Symmetrieoperationen und ihre Symbole zusammenfassen: 1.) Drehung um eine 2-, 3-, 4-, 6-zählige Achse 2.) Drehspiegelung: Drehung und folgende Spiegelung an einer zur Drehachse senkrechten Achse 3.) Drehinversion Drehung und folgende Inversion 4.) Spiegelung 5.) Inversion: ersetze r r r Hierfür gibt es internationale Abkürzungen hier die Nomenklatur nach Schönflies: C n = Cyclic (n-zählige Drehachse) C nv = zusätzlich zur C n -Achse gibt es eine Spiegelebene, die die Drehachse enthält C nh = zusätzlich zur C n -Achse gibt es eine Spiegelebene senkrecht zur Drehachse D n = Dihedral, zusätzlich zur C n -Achse gibt es eine C 2 -Achse senkrecht dazu D nh = alle Symmetrieelemente von D n, zusätzlich eine zu C n senkreche Spiegelebene D nd = alle Symmetrieelemente von D n, zusätzlich Spiegelebenen, die die C n -Achse enthalten S n = Spiegel, (n-zählige Drehspiegelachse) T = Tetragonal O = Octahedral, h: horizontale Spiegelebene r nun fehlen noch die Bezeichnungen nach Hermann-Mauguin bzw. die int'l Abkürzung: H.-M. Schönflies n C n nmm C nv mm bedeuted: 2 Spiegelebenen, die C n enthalten n22 D n n m n n 2 2 m m m n2m C nh Ausnahme: C 3h : diese heißt: weil: diese wird als 6-zählige Drehinversionsachse gerechnet n-zählige Drehinversionsachse enthält:c 3h als S 4 als 6 4 geschrieben als n/mmm; entspricht D nh Ausnahme: D 3h heißt 62m, analog zu C 3h Ausnahme 2/mmm heißt mmm entspricht D nd, Ausnahme D 3h heißt 62m Ausnahme: 2m heißt 2 wir sind nun fast fertig: 6 3 3, oder 3 m m 66

insgesamt kommen wir auf 61 Raumgruppen: Beispiel zur Schraubenachse: Es ergeben sich noch weitere Raumgruppen unter der besonderen Bedingung, dass: "die Abmessungen der Basis passen zu den Längen der primitiven Vektoren des Bravaisgitters". Dann gibt es zwei weitere Symmetrieoperationen (sog. "nicht symmorphe Raumgruppen"): Schraubenachsen: Translation um einen Vektor, der nicht zumbravaisgitter gehört, gefolgt von einer Drehung um diesen Translationsvektor Gleitspiegelebenen: Translation um einen Vektor, der nicht zumbravaisgitter gehört, gefolgt von einer Spiegelung an einer Ebene, die den Vektor enthält Beispiel zur Gleitspiegelebene: Wir können nun zusammenfassen: Wir erhalten zu den 61 Raumgruppen noch weitere, insgesamt kommen wir auf 230 Raumgruppen. 67

Die 32 kristallographischen Punktgruppen Wintersemester 2009 / 2010 68 Symmetrieachsen und ihre Bezeichnungen EFK

für Oktober 2009 ist geplant: Inhalt der Vorlesung "Einführung in die Festkörperphysik" 1 Einleitung 1.1 Organisatorisches 1.2 Was ist Festkörperphysik? 1.3 Das Drude-Modell 2 Die Struktur idealer Kristalle 2.1 Periodische Anordnungen von Atomen und Molekülen 2.2 Fundamentale Gitterarten in 2D und 3D 2.3 Beispiele für einfache Kristallstrukturen 2.4 Beugung von Wellen am Kristall 2.5 Das reziproke Gitter 2.6 Röntgenstrukturanalyse 2.7 Atom Molekül Kristall 2.8 Direkte Bestimmung der Kristallstruktur 2.9 Nicht-ideale Kristallstrukturen 2.10 Bindungsverhältnisse in Kristallen 69

2.3 Beispiele für einfache Kristallstrukturen Einige einfache Strukturen hatten wir bereits kurz besprochen: Diamant Natriumchlorid Caesiumchlorid Zinkblende (ZnS, kubisch) Zinkoxyd, ZnO hexagonales Gitter Zu den "Standardsystemen" fehlen noch: Flouride wie z.b. Calcium Fluorid Zinkoxid Perovskite CaTiO 3 fcc-gitter Calcium-Fluorid (CaF 2 ) Sauerstoff Perovskite CaTiO 3 orthorhombisches Gitter Titan Sauerstoff Calcium 70

für Oktober 2009 ist geplant: Inhalt der Vorlesung "Einführung in die Festkörperphysik" 1 Einleitung 1.1 Organisatorisches 1.2 Was ist Festkörperphysik? 1.3 Das Drude-Modell 2 Die Struktur idealer Kristalle 2.1 Periodische Anordnungen von Atomen und Molekülen 2.2 Fundamentale Gitterarten in 2D und 3D 2.3 Beispiele für einfache Kristallstrukturen 2.4 Beugung von Wellen am am Kristall 2.5 Das reziproke Gitter 2.6 Röntgenstrukturanalyse 2.7 Atom Molekül Kristall 2.8 Direkte Bestimmung der Kristallstruktur 2.9 Nicht-ideale Kristallstrukturen 2.10 Bindungsverhältnisse in Kristallen Ende 22.Okt09 71

Heute (22.Okt.09), nach der Vorlesung kam eine Frage auf zur Folie 56: dritte Zeile:...("kein Bravaisgitter") nächste Zeile:...("das einfach hexagonale Bravaisgitter") Frage: "Ist das hexagonale Gitter nun ein Bravaisgitter oder nicht?" Antwort: Folie 56 ist nun etwas modifiziert, um die Unklarheit nicht sofort erkennen zu lassen. Dennoch, die Frage findet der aufmerksame Leser immer noch, wenn man die Folie liest. ---> Folie 56 neu ausdrucken! Also: Das hexagonale Muster, also ein "Wabenmuster" ist kein Bravaisgitter. Dieses hatten wir in der Vorlesung schon knapp diskutiert: Dieses Gitter ist kein Bravaisgitter. Grund: Wenn ich von einem Punkt zum nächsten Nachbarpunkt des Gitters gehe, sehe ich nicht eine identische Umgebung wie vorher. Die roten Punkte, die das Gitter beschreiben, sind also nicht die Punkte eines Bravaisgitters. Dieses Gitter ist das "einfache hexagonale Bravaisgitter". Die Hexagone, die wir sehen, sind eigentlich entstanden aus einem 60 Dreiecksgitter in der Ebene. Oder: In der Ebene gibt es hier im Hexagon noch den Punkt in der Mitte. Dieses Ding hier ist nicht das Wabenmuster, es hat noch den Punkt in der Mitte zusätzlich. Geht man hier wie in dem Beispiel oben von Punkt zu Punkt, so sieht man die gleiche Umgebung, es ist also hier ein Bravaisgitter. Es heißt "einfach hexagonales Bravaisgitter", weil es nach Außen immer als Hexagon erscheint. Eine vielleicht hilfreiche Bezeichnung wäre gewesen: "das einfache, 60 gleichschenklige Dreiecksgitter". Das Hexagongitter hat sich als Bezeichnung aber ergeben.