Ähnichkeits- und Dimensionsanayse in mechanischen Probemen 12. Dezember 2012 Einführende Bemerkung: Diese Notizen enthaten nicht das ganze Materia der entsprechenden Voresungen. In vieen Fäen ist es mögich, das physikaische Probem zu anaysieren, ohne die entsprechenden Geichungen ösen zu müssen. Dies git as hohe Kunst der theoretischen Physik. Die voriegenden Notizen betrachten einige dabei anwendbare Methoden, die auf dem geichen Ansatz basieren: Was passiert mit dem Zahenwert der entsprechenden physikaischen Größe, wenn man die Maßeinheiten oder die Werte der Parameter ändert. Empfohende Lektüre: Bridgman P. W. 1931 Dimensiona Anaysis, Yae Univ. Press, New Haven (es gibt späteren Ausgaben). Sedov L. I. 1959, Simiarity and Dimensiona Anaysis in Mechanics, Acad. Press, N.Y. (es gibt späteren Ausgaben). Barenbatt G. I. 1996 Simiarity, Sef-Simiarity, and Intermediate Asymptotics, Cambridge Univ. Press, Cambridge. Barenbatt G. I. 2003 Scaing, Cambridge Univ. Press, Cambridge. 1 Ähnichkeitsanayse Im fogenden Abschnitt anaysieren wir die uns schon bekannten Fäe der Bewegung unter konstanter Kraft (z.b. freier Fa), der harmonischen Schwingung und des Keper- Probems. Ae diese Fäe haben gemein, dass sie durch Potenz-Funktionen der entsprechenden Koordinaten dargestet werden können: F = mge z freier Fa, F = κr harmonische Schwingung F = γ Mm r 2 e r Keper-Probem. 1
Ae diese Abhängigkeiten haben die Tatsache gemein, dass F(αr) = α n F(r) (wobei α > 0 eine beiebige positive Zah ist). Die Werte von n sind: n = 0 n = 1 n = 2 für den freien Fa, für die harmonische Schwingung, für das Keper-Probem. Die Bewegungsgeichung des Systems ist durch m d2 r = F(r) (1) dt2 gegeben. Nehmen wir an, dass uns die Bahnkurve der Bewegung bekannt ist, und anaysieren wir die Bewegung auf einer geometrisch ähnichen Bahnkurve, wobei r um α skaiert sei. Den skaierten Ortsvektor αr nennen wir r. Wir betrachten aso die Transformation r r = αr. Statt eine andere Bahnkurve zu betrachten, kann man einfach eine Maßeinheit der Länge um Faktor α 1 ändern: Numerisch führt das zu der geichen Änderung der Bewegungsgeichung, die auf die Transformation r = αr hinausäuft. Die Änderung der Maßeinheiten um einen Faktor nennt man eine Skaentransformation. Bei der Transformation der Länge um den Faktor α ändert sich die Kraft um Faktor α n, sodass die Bewegungsgeichung (1) eine andere Gestat annimmt: oder m d2 dt 2 αr = αn F(r), α 1 n m d2 dt 2 r = F(r). Ändert man geichzeitig ae Zeiten um den Faktor β, t t = βt (oder die Zeiteinheit um den Faktor β 1 ), so erhät man die Geichung die, wenn man α 1 n d 2 mr = F(r), β 2 dt2 β = α (1 n)/2 wäht, die geiche Gestat wie G. (1) hat. G. (1) ist demnach invariant unter der Skaentransformation L αl T α (1 n)/2 T. Das bedeutet: Wenn wir geometrisch ähniche Bewegungen betrachten, so stehen die Zeiten der Bewegung zwischen korrespondierenden Punkten der Trajektorien in fogender Beziehung zueinander: ( ) t (1 n)/2 t =. 2
Beispiee: (i) Für den freien Fa (n = 0) erhaten wir t t = ( h h ) 1 2 = h h. D.h. die Fazeiten von zwei verschiedenen Höhen entsprechen der Quadratwurze aus der Höhen, oder t h. (ii) Für harmonische Schwingungen (n = 1) sehen wir, dass ( ) t 0 t = = 1, d.h. dass die Periode der Schwingung von ihrer Ampitude unabhängig ist, und (iii) für das Keper-Probem sehen wir, dass t t = ( ) 3 2, d.h. dass die Quadrate der Umaufzeiten sich wie Kuben der Abmessungen der Orbits verhaten. Hier haben wir natürich weder bewiesen, dass die Orbits Eipsen sind, noch dass diese Zeiten nicht von den keinen Habachsen der Eipsen abhängen. Im Prinzip können wir nicht nur Skaen, sondern auch die Werte der Parameter in der Geichungen ändern. Betrachten wir z.b. den eindimensionaen harmonischen Osziator: m d2 dt 2 x = kx. Die geiche Überegung wie oben können wir benutzen, wenn wir die Masse ändern. Die geichzeitige Änderung der Masse um Faktor γ und der Zeit um Faktor γ 1/2 ändert die Gestat der Geichung nicht, so dass t m t = m. (2) Das geiche passiert, wenn wir geichzeitig k um den Faktor γ und t um γ 1/2 ändern: t k t = k. (3) Aus den Geichungen (2) und (3) und aus der Unabhängigkeit der Periode von der Ampitude der Schwingung erhaten wir m T k. In diesem Fa können wir nur den numerischen Vorfaktor 2π nicht durch die quaitative Überegung bekommen. 3
2 Dimensionsanayse Eine Variante der Ähnichkeitsüberegungen kann auch dann benutzt werden, wenn die Geichungen entweder zu kompiziert sind, um die Abhängigkeiten von den interessanten Größen unmittebar aus den Geichungen zu bekommen, oder wenn die Geichungen gar nicht vorhanden sind. 2.1 Dimensionen der physikaischen Größen Man fängt mit einem genügenden Vorrat von Grundgrößen an. In der Mechanik, ega weches der gängigen Einheitensysteme Sie benutzen, gibt es drei Grundgrößen: Länge L (gemessen in Meter, Zentimeter, Kiometer, Fuß, Zo u.s.w) Masse M (Kiogramm, Gramm, Pfund, Tonne) Zeit T (Sekunde, Minute, Jahr). Diese Grundgrößen werden as unabhängig angesehen, d.h. es gibt drei unabhängige Messvorschriften: Man misst die Länge mit einem Maß, die Zeit mit der Uhr und die Masse mit der Waage. Ae anderen mechanischen Größen werden aus diesen drei abgeeitet. Zum Beispie misst man die Geschwindigkeit mit dem Maß und der Uhr, in Meter pro Sekunde oder in Kiometer pro Stunde. Ega, weche Maßstäbe (d.h. genaue Einheiten) für die Grundgrößen eingesetzt werden, ist unser System vom LMT -Typ. Wir nehmen an (d.h. postuieren), dass ae Einheitensysteme geichen Typs äquivaent sind, d.h. die physikaischen Geichungen in aen diesen Systemen die geiche Gestat haben. Keines der Systeme der Einheiten vom geichen Typ ist durch irgendeine Eigenschaft ausgezeichnet (abgesehen von Kraft des Gesetzes, das uns SI vorschreibt). In der Voresung wurden die Beispiee für andere Einheitensysteme (z.b. LFT) genannt, und nicht-physikaische Geichungen diskutiert, die nur in einem Einheitensystem geten. Sei Y eine abgeeitete Größe. Ihre Dimension kann immer in Form eines Monoms [Y ] = L T t M m (4) dargestet werden, wobei m, und t reee Zahen sind. Die Bezeichnung [...] für die Dimension einer Größe stammt von J. C. Maxwe. Zum Beispie ist die Dimension der Geschwindigkeit [v] = LT 1 und die der Bescheunigung [a] = LT 2. Die Bedeutung von diesen monomiaen Formen ist wie fogt: Wenn sich z.b. die Einheit der Länge um den Faktor α ändert, so ändert sich der Zahenwert von Y um den Faktor α. Das heißt: Ändert sich geichzeitig die Längeneinheit um den Faktor α, die Zeiteinheit um den Faktor β und die Masseneinheit um den Faktor γ so ändert sich die Maßeinheit von Y um den Faktor φ = α β t γ m. Sind die Potenzen = t = m = 0, so sagt man, dass die Größe Y dimensionsos ist. Die Zahenwerte der dimensionsosen Größen sind in aen Einheitensystemen geichen Typs geich. Bei der Formuierung der physikaischen Gesetze gehen wir davon aus, dass, obwoh die Einheiten der Hauptgrößen wikürich gewäht sind, die Beziehungen zwischen zwei 4
geichartigen, in einem physikaischen Experiment gemessenen (oder theoretisch berechneten) Größen in aen Einheitensystemen geich sind. D.h. wenn die Geschwindigkeit v 1 eines Körpers in m/s zwei ma so groß ist wie die Geschwindigkeit eines anderen Körpers v 2 in m/s, d.h. v 1 = 2v 2, dann git das geiche, wenn die entsprechenden Geschwindigkeiten in Fuß pro Minute oder in Kiometer pro Stunde gemessen werden. In anderen Worten heißt das, dass der Quotient Y 1 /Y 2 nicht vom Einheitensystem abhängt (d.h. er ist dimensionsos). Das ist die Aussage des von P. W. Bridgman formuierten Prinzips der absouten Bedeutung reativer Größen : Eine Zah Q, erhaten durch das Einsetzen der numerischen Werte der Parameter in eine Forme, ist nur dann eine physikaische Größe, wenn der Quotient zweier socher Zahen bei der Änderung der Grundeinheiten konstant beibt. Betrachten wir zuerst ein Beispie, wobei eine beiebige physikaische Größe Y von mehreren Parametern der Dimension der Länge abhängt (z.b. das Voumen eines Quaders mit unterschiedichen Abmessungen): Y = f(x 1,..., x n ) = f(x), wobei ae Werte von x i einfachheitshaber as Komponenten eines mutidimensionaen Vektors x zusammengefasst sind. Die Funktion f, die die Form des physikaischen Gesetzes darstet, ist in aen Einheitenystemen geich (z.b. V = f(x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 x 3 ), die Zahenwerte von x i und von V bzw. Y sind in unterschiedichen Einheitssysteme unterschiedich. Betrachten wir nun die Resutate von Messungen oder Berechnungen der Voumina zweier Quader Y und Y (d.h. die Zahenwerte der Observaben). Der Wert Y Y = f(x ) f(x) so dimensionsos, und daher skaenunabhängig sein: oder f(x ) f(x) = f(αx ) f(αx), f(αx ) f(x ) = f(αx) f(x). Bezeichnen wir mit Y (α) den Zahenwert von Y in einem Einheitensystem mit den um einen Faktor α gegenüber dem Ausgangssystem veränderten Einheiten, so ist die etzte Geichung wie fogt umzuschreiben Y (α)/y (1) = Y (α)/y (1). Bezeichnen wir nun Y (α) Y (1) = Y (α) Y (1) = φ(α). Betrachten wir drei unterschiediche Einheitensysteme, unser Ausgangssystem und zwei andere mit Skaenfaktoren α 1 und α 2 : Ausgangssystem 2. System 3. System r α 1 r α 2 r. 5
Daraus fogt: Y (α 1 ) Y (1) = φ(α 1), (5) Y (α 2 ) Y (1) = φ(α 2). (6) Das dritte System kann auch as ein Einheitensystem mit der um Skaenfaktor α = α 2 /α 1 gegenüber dem 2. System veränderter Längeneinheit betrachtet werden. D.h.: ( ) Y (α 2 ) Y (α 1 ) = φ α2. (7) Vergeichen wir G en (5), (6) und (7) so sehen wir, dass φ(α 2 ) φ(α 1 ) = φ α 1 ( α2 α 1 ). (8) Diese Funktionageichung wird wie fogt geöst. Differenzieren wir G. (8) nach α 2, so wird sie zu: φ (α 2 ) φ(α 1 ) = 1 ( ) φ α2. α 1 Setzen wir nun α 1 = α 2 = α, so erhaten wir eine Differentiageichung für φ: Die Lösung dieser Geichung autet α 1 1 φ(α) φ (α) = 1 α φ (1). n φ(α) = n α + C mit = φ (1); C ist die Integrationskonstante. Exponenzieren wir beide Seiten der Geichung, so erhaten wir φ(α) = Aα. Die Konstante A = exp(c) ist dadurch festgeegt, dass φ(1) = 1, d.h. φ(α) = α. Die geiche Überegung kann auf die Situationen angewendet werden, wenn Y von Koordinaten, Massen und Zeiten abhängt. Auf diesem Weg beweist man die agemeine Beziehung φ(α, β, γ) = α β t γ m, (mit α, β und γ die Skaenfaktoren von der Länge, Zeit und Masse), die as Interpretation der Beziehung (4) dient. Wir betrachten nämich drei Einheitensysteme geichen Typs (z.b. drei MLT-Systeme) und diskutieren Y 1 Y = φ(α 1, β 1, γ 1 ), 6
und Y 2 Y = φ(α 2, β 2, γ 2 ), ( Y 2 α2 = φ, β 2, γ 2 Y 1 α 1 β 1 γ 1 Es git: ( φ(α 2, β 2, γ 2 ) φ(α 1, β 1, γ 1 ) = φ α2, β 2, γ ) 2. (9) α 1 β 1 γ 1 Die Lösung dieser Funktionageichung erfogt in mehreren Schritten, jeder davon ist dem Lösungsweg von G. (8) ähnich. Differenzieren wir G. (9) nach α 2 und setzen wir α 2 = α 1 = α, β 2 = β 1 = β und γ 2 = γ 1 = γ, so erhaten wir d φ(α, β, γ) dα = 1 d φ(α, β, γ) α dα φ. α=β=γ=1 Nehmen wir an, dass ). d φ dα α=β=γ=1 =, so erhaten wir die Lösung α2 α1 φ(α, β, γ) = α A 1 (β, γ), da die Integrationskonstante A 1 von zwei weiteren Parametern abhängen kann. Setzen wir diese Lösung in G. (8) ein, so bekommen wir ( ) ( A 1 (β 2, γ 2 ) A 1 (β 1, γ 1 ) = α2 β2 A 1, γ ) 2, α 1 β 1 γ 1 d.h. ( A 1 (β 2, γ 2 ) A 1 (β 1, γ 1 ) = A β2 1, γ ) 2. (10) β 1 γ 1 Das ist eine Geichung vom geichen Typ wie unsere G. (8), aber mit einer Variaben weniger! Wiederhoen wir die Prozedur (differenzieren nach β, setzen β 2 = β 1 = β und γ 2 = γ 1 = γ), so bekommen wir die Differenziageichung für A 1, d A dβ 1(β, γ) = t A 1 (β, γ) β mit t = d A dβ 1(β, γ). Die Lösung autet β=γ=1 A 1 (β, γ) = β t A 2 (γ). Diese Lösung wird in G. (10) eingesetzt. Die Geichung für A 2 fogt: ( ) A 2 (γ 2 ) A 2 (γ 1 ) = A γ2 2. Diese Geichung ist wiederum vom Typ der G. (8) und ihre Lösung autet Insgesamt erhaten wir γ 1 A 2 (γ) = Aγ m. φ(α, β, γ) = Aα β t γ m. Der Wert von A wird durch die Forderung φ(1, 1, 1) = 1 festgeegt und ist A = 1. 7
2.2 Das Buckingham sche Π-Theorem Die Dimensionen von verschiedenen physikaischen Größen (Grundgrößen und auch abgeeiteten Größen) können unabhängig oder voneinander abhängig sein. Die Dimensionen von X, Y, Z u.s.w. sind unabhängig, wenn die Dimension von X nicht as monomae Form von Dimensionen von Y, Z u.s.w. dargestet werden kann. Zum Beispie ist die Dimension der Dichte [ρ] = M/L 3 von den Dimensionen der Geschwindigkeit [v] = L/T und der Zeit T unabhängig; die Dimension der Bescheunigung [a] = L/T 2 dagegen nicht. Es ist wichtig, dass die unabhängigen Größen ebenso as Grundgrößen eines Einheitensystems betrachtet werden können. So können wir z.b. die Masse, die Zeit und die Geschwindigkeit, oder die Masse, die Länge und die Bescheunigung as Grundgrößen wähen, und dann entsprechend die Länge oder die Zeit as abgeeitete Größen betrachten. Seien die m Grundgrößen a i, i = 1, 2,..., m festgeegt (in der Mechanik m = 3), deren Dimensionen [a i ] = A i sind. Dann sind die Dimensionen aer anderen physikaischen Größen a as [a] = A p 1 i A p 2 2...A p m m darzusteen (was aus G. (4) fogt, wobei wir die Dimension der aten Grundgrößen durch die Dimensionen der neuen Grundgrößen ausdrücken). Sei a die gesuchte physikaische Größe, die wir as Funktion der Größen a 1, a 2,..., a n darsteen woen: a = f(a 1, a 2,..., a n ). Von diesen Größen haben die ersten k unabhängige Dimensionen (in der Mechanik k = 3), die Dimensionen der restichen Größen sind von diesen k abhängig. Seien die Dimensionen a dieser Größen wie fogt: [a] = A p 1 1 A p 2 2...A p k k, gesuchte Größe [a 1 ] = A 1, Grundgröße...... [a k ] = A k, Grundgröße [a k+1 ] = A q 1 1 A q 2 2...A p k k,...... [a n ] = A r 1 1 A r 2 2...A r n n, abgeeitete Größe abgeeitete Größe Ändert man die Einheiten von a 1,..., a k, so ändern sich die Zahenwerte der Parameter wie fogt: a = α p 1 1 α p 2 2...α p k k a a 1 = α 1 a 1... Im neuen System git: a k = α k a k a k+1 = α q 1 1 α q 2 2...α q k k a k+1... a n = α r 1 1 α r 2 2...α rn n a n a = α p 1 1 α p 2 2...α p k k a = α p 1 1 α p 2 2...α p k k f(a 1,..., a n ) = f(α 1 a 1,..., α k a k, α q 1 1 α q 2 2...α q k k a k+1,..., α q 1 1 α q 2 2...α q k k a n ) 8
Die zwei etzten Geichungen definieren die notwendigen Homogenitätseigenschaften der Funktion f bezügich den Skaenfaktoren. Nehmen wir jetzt die Skaenparameter geich der inversen Zahenwerten der Variaben a 1,..., a k : α 1 = 1 a 1,..., α k = 1 a k. Die numerischen Werte der Parameter a, a k+1,..., a n sind dann durch a = Π = a k+1 = Π 1 =... a n = Π n k = a a p 1 1 a p 2 a k+1 2...a p k k a q 1 1 a q 2 2...a q k k a n a r 1 1 a r 2 2...a r k k gegeben. Betrachtet man nun die Dimension der Parameter Π, Π 1,..., Π n k as Funktionen von Variaben a,..., a n, so merkt man, dass diese dimensionsos sind. Die Zahenwerte der Parameter Π, Π 1,..., Π n k hängen daher nicht von der Wah der Skaa der anfängichen Größen ab. Die Beziehung zwischen n + 1 dimensionsbehafteten Werten, a = f(a 1, a 2,..., a n ) kann demnach as Beziehung zwischen n + 1 k dimensionsosen Kombinationen der Parameter Π, Π 1,..., Π n k dargestet werden: d.h. Π = f(1,..., 1, Π 1,..., Π n k ) = f 1 (Π 1,..., Π n k ), a = a p 1 1 a p 2 2...a p k k f }{{} 1 (Π 1,..., Π n k ). (11) }{{} (2) (1) Hier ist die Kombination (1) das Produkt der dimensiona unabhängigen Parameter, das die richtige Dimension des gesuchten a hat, und die Funktion (2) ist die Funktion der aus diesen unabhängigen Parametern und der restichen Parameter gebideten dimensionsosen Kombinationen. G. (11) stet die Aussage des Π-Theorems (Buckingham, 1914) dar. 2.3 Beispiee 2.3.1 Mathematisches Pende Nehmen wir an, wir wissen, aus wechen Gründen auch immer, dass die gesuchte Periode T, [T ] = T, der keinen Schwingungen eines mathematischen Pendes nicht von ihrer Ampitude (maximaer Ausschag x) abhängt. Dann haben wir insgesamt 3 reevante Parameter: die Länge des Pendes, [] = L, seine Masse m, [m] = M, und die Bescheunigung 9
g, [g] = L/T 2. Diese drei sind unabhängig. Es gibt nur eine Kombination dieser Parameter mit der Dimension der Zeit. Betrachten wir die monomiae Form T = L α ( L T 2 ) β M γ, oder Dann sehen wir, dass T 1 = L α+β T 2β M γ. 0 = α + β 1 = 2β 0 = γ d.h. α = 1/2, β = 1/2 und γ = 0, sodass T g. Angenommen, die Ampitude der Schwingungen ist auch gegeben. In diesem Fa haben wir einen zusätzichen dimensionsosen Parameter Π 1 = x, sodass T = ( x ) g f. Das vorherige Resutat bekommen wir, wenn x/ 0, da es keinerei Grund gibt anzunehmen, dass f(0) = 0. 2.3.2 Fuss in einem Rohr Hier ist ein Beispie aus dem Ihnen weitgehend unbekannten Gebiet der Hydrodynamik. Betrachten wir einen Fuss in einem Rohr unter Einwirkung des Druckgefäes p = (p 2 p 1 )/. Der Druck ist die pro Fächeneinheit wirkende Kraft. Uns interessiert der Massenstrom Q, der durch die über den Querschnitt des Rohres gemittete Geschwindigkeit v gegeben wird: Q = πr 2 ρv. Die Dimensionen der wichtigen Parameter sind: [Q] = M T, und [ p] = M L 2 T 2, [v] = L T sowie die Dichte ρ [ρ] = M L 3, 10
die Viskosität η, und der Radius des Rohres r [η] = M LT [r] = L. Die Viskosität η ist eine wichtige Eigenschaft der Füssigkeit, die ihre Zähigkeit beschreibt: Honig hat eine höhere Viskosität as Wasser, Wasser hat eine höhere Viskosität as Luft. Sie wird im Experiment mit Hife von zwei Patten gemessen, wobei sich die obere Patte gegenüber der unteren mit der Geschwindigkeit v (reativ angsam) bewegt. Der Abstand zwischen den Patten ist L. Man hat festgestet, dass die pro Fächeneinheit der oberen Patte wirkende Kraft (Scherspannung) proportiona zu v und invers proportiona zu L ist: F A v L. Der Proportionaitätskoeffizient ist genau die Viskosität. Ihre Dimension ist aus der oberen Geichung zu bestimmen: ML/T 2 = [η] L/T L 2 L und ist [η] = M/LT wie angegeben. Bemerkung: Diese Diskussion ist ein bisschen anders as in der Voresung, wo ich die Diskussion an den Lösungsweg der Hausaufgabe angepasst habe! Nur drei der fünf Parameter haben unabhängige Dimensionen, und es ist deswegen mögich, aus diesen zwei dimensionsose Kombinationen zu bauen. Nehmen wir z.b. ρ, v und r as soche unabhängige Parameter, so sind diese dimensionsosen Größen: Das heißt: Π = p ρ α v β r γ und Π 1 = p = Πρ α v β r γ η = Π 1 ρ α 1 v β 1 r γ 1. η ρ α 1 v β 1r γ 1. Lösen wir das System der agebraischen Geichungen für α, β u.s.w., die aus diesen Beziehungen fogen: [ p] = M L 2 T 2 = ( M L 3 ) α ( ) β L L γ, T [η] = M LT = ( M L 3 ) α1 ( L T) β1 L γ 1, so erhaten wir 1 = α 2 = 3α + β + γ 2 = β und 11 1 = α 1 1 = 3α 1 + β 1 + γ 1 1 = β 1
und α = 1, β = 2, γ = 1, α 1 = 1, β 1 = 1 und γ 1 = 1. Laut Π-Theorem G. (11) bekommen wir nun Π = f(π 1 ) oder ( ) p 2 p 1 r η ρv = f. (12) 2 ρvr Das Argument der Funktion auf der rechten Seite der Geichung ist nichts anderes as die inverse Reynods-Zah: Re = ρvr η. Die Funktion f ist unbekannt, aerdings muss man sagen: Wir haben vie geernt! Betrachten wir z.b. die Bewegung mit sehr keinen Geschwindigkeiten (keinen Reynodszahen), bei der sich ae Teichen der Füssigkeit mit konstanten Geschwindigkeiten auf geraden Bahnen entang des Rohrs bewegen. Eine soche Bewegung heißt aminar. Die Bescheunigung der Teichen verschwindet, und deswegen können ihre Massen (und damit auch die Dichte der Füssigkeit) keine Roe spieen! Das ist nur der Fa, wenn die Funktion f(x) eine ineare Funktion ihres Arguments ist: f(x) = const x. Setzen wir diese Funktion in G. (12) ein und ösen wir diese nach v auf, so erhaten wir v = const p2 p 1 r 2, η weshab für den Massenstrom Q = πr 2 ρv fogt: Q = const π p 2 p 1 r 4. η Das einzige, dass wir mit diesem Zugang nicht bekommen haben, ist der numerische Faktor const = 1/8! Im Agemeinen ist die Abhängigkeit des Massenstromes Q (oder der über den vertikaen Schnitt des Rohres gemitteten Geschwindigkeit v) von dem Parameter kompex, aber es ist wichtig, dass dieser eine Funktion von einen einzigen Parameter Re ist, und diese Funktion kann experimente ermittet werden. Dabei reicht es vokommen, nur ein Rohr und eine Füssigkeit zu untersuchen! Die geiche Überegung git z.b. für die Widerstandskraft F, die auf eine Kuge einwirkt, die sich mit der Geschwindigkeit v in einer Füssigkeit bewegt (Hausaufgabe). Die Parameter sind hier praktisch dieseben: und [F] = ML/T 2 [v] = L T der Radius der Kuge sowie die Dichte ρ [r] = L [ρ] = M L 3, 12
die Viskosität η der Füssigkeit. Hier kann [η] = M LT Re = ρvr η. ebenfas as einzige dimensionsose Kombination der Parameter angesehen werden, die das gesuchte Druckgefäe nicht einschießt. (Die kinematische Viskosität ν = η/ρ ist 1.5 10 5 m 2 /s für die Luft bei 20 C und 10 6 m 2 /s für das Wasser bei 20 C.) Die geichen Überegungen geten für Körper von geometrisch ähnicher Form aber unterschiedichen Größen, die sich mit unterschiedichen Geschwindigkeiten bewegen. Hier sind einige typische Größenordnungen für Reynodszahen: Objekt Reynodszah Re Bakterien 10 4 Fiegen 10 2 But in einem großen Gefäß 10 3 Schwimmer 10 6 Großes Schiff / Fugzeug 10 9 Für Fugzeuge und Schiffe kommt aerdings noch jeweis ein anderer dimensionsoser Parameter in Frage: Durch die Bewegung von einem sochen Objekt in einem Fuid (d.h. in einem füssigen oder gasförmigen Medium) können Ween erzeugt werden: Im Fa vom Fugzeug sind das die Schaween (Geschwindigkeit v = c S, Schageschwindigkeit, praktisch konstant), im Fa vom Schiff sind das die Oberfächenween in tiefem Wasser (Geschwindigkeit hängt stark von der Weenänge λ ab, v gλ). Deswegen gibt es entsprechende zusätziche dimensionsose Parameter: Mach-Zah Ma = v/c S beim Fugzeug Froude-Zah Fr = v/ gl beim Schiff 2.3.3 Bohrscher Radius Eine andere wichtige Anwendung der Dimensionsanayse bezieht sich auf die Ermittung der intrinsischen charakteristischen Skaen des Systems. Das Wasserstoffatom besteht aus einem Eektron und einem Proton, dessen Masse m P as sehr groß vergichen mit der Eektronenmasse m e angenommen werden kann (ζ = m e /m p 1/1836). Das Keper-Probem in einem Wasserstoff-Atom (Couomb- Wechsewirkung) hat demnach fogende festgeegte Parameter: Masse m e des Eektrons (oder entsprechende reduzierte Masse) mit Dimension M die Eektronenadung e, deren Dimension von der Wah des Einheitensystems abhängig ist. 13
In rein-mechanischen cgs-system (LMT-System) ist diese durch das Couomb-Gesetz in der Form F = q2 r 2 gegeben. Daher [q] = M 1/2 L 3/2 T 1. In SI (LMTI-System) gibt es eine zusätziche Fundamentagröße, Strom I (in Amper gemessen); die Dimension der Ladung ist [q] = IT, das Couomb-Gesetz erhät ein zusätzichen, dimensionsbehafteten Umrechnungskoeffizienten 1/4πε 0 : F = 1 q 2 4πε 0 r. 2 Die Dimension von ε 0 ist demnach [ε 0 ] = M 1 L 3 T 4 I 2. Aus e und m e (in cgs), oder aus e, m e und ε 0 (in SI) kann man keine Kombination mit der Dimension der Länge biden: in einem kassischen Probem gibt es keine Fundamentaänge. Die Längenskaa der Bewegung ist durch Anfangsbedingung festgeegt. 1899 hat Max Panck verstanden (und postuiert), dass es eine Naturkonstante gibt, die, wie wir jetzt wissen, die Effekte auf sehr keinen Skaen reget: die Pancksche Konstante h. Diese hat die Dimension [h] = ML 2 T 1 (die Dimension der Wirkung, die geiche wie Drehimpus). Aus den Naturkonstanten e, m e und h (in cgs) oder e, m e, ε 0 und h (in SI) kann man eine charakteristische Länge biden: den Bohrschen Radius oder a 0 h2 me 2 (in cgs) a 0 ε 0h 2 (in SI). me 2 Die Roe, die die Pancksche Konstante h in der Atomphysik spieen würde, wurde 1910/11 von dem österreichischen Physiker A.E. Haas erkannt, vor der Einführung des Bohrschen Atommodes und 15 Jahre vor der Formuierung der Quantenmechanik. Bemerkung: Der numerische Wert von h 6.6 10 34 J s ist kein, und a 0 ist a 0 0.53 10 10 m. Für Interessierte. Finden Sie das Anaogon des Bohrschen Radius für das Keper- Probem (Gravitationswechsewirkung). Wie groß ist diese für das Sonne-Erde-System? Weche Schussfogerungen können Sie daraus ziehen? 2.3.4 Pancksche Skaen Die Naturkonstanten h (Pancksche Konstante) mit der Dimension [h] = ML 2 /T, γ (Gravitationskonstante) mit der Dimension [γ] = L 3 /MT 2 und c (Lichtgeschwindigkeit) mit der Dimension [c] = L/T haben unabhängige Dimensionen, und können as Grundgrößen eines Einheitensystems benutzt werden, wie es von Max Panck in 1899 vorgeschagen wurde (vor der Formuierung der Quantenmechanik und der Reativitätstheorie!). Die Werte von diesen Naturkonstanten egen die charakteristischen Skaen fest, auf 14
denen die Quanteneffekte in Gravitation eine Roe spieen können. Diese sind hc m p = = 2.17 10 8 kg (Pancksche Masse), γ hγ p = = 1.62 10 35 m (Pancksche Länge), c hγ 3 t p = = 5.39 10 44 s (Pancksche Zeit). c 5 Das Kürze h = h/2π ist die Standardnotation. Es wird angenommen, dass der Raum und die Zeit auf den entsprechenden Skaen anders geartet sind, as auf den uns übichen Skaen, und deren Beschreibung neue Theorien erfordert (Quantengravitation). 15