Physikprotokoll: Massenträgheitsmoment Issa Kenaan 739039 Torben Zech 738845 Martin Henning 736150 Abdurrahman Namdar 739068 1. Juni 2006 1
Inhaltsverzeichnis 1 Vorbereitung zu Hause 3 2 Versuchsaufbau 4 3 Messungen mit 3 Ringen 4 3.1 Bestimmung m, r a und r i für alle Ringe................... 4 3.2 Berechnung von J s für alle Ringe (ohne Fehler)............... 5 3.3 Messungen mit verschiedenen Ringkombinationen.............. 6 3.4 Ermittlung von A und B mit Hilfe von gnuplot............... 6 3.5 Fehler für A und B aus fit.log....................... 7 3.6 Berechnung von D*............................... 7 3.7 J 0 mit Fehler.................................. 7 4 Messungen mit einem Prisma 8 4.1 Schwerpunkt des Prismas........................... 9 4.2 Berechnung von J s und dem Fehler f Js.................... 9 5 Dämpfung 10 5.1 Ermittlung von v und T D........................... 10 5.2 Korrektur.................................... 10 6 Anhang 10 2
1 Vorbereitung zu Hause Die Vorbereitung zu Hause für den Massenträgheitsmoment besteht darin, die Differentialgleichung J ϕ = D* ϕ (1) zu lösen. J steht für den Trägheitsmoment und D* steht für den Drehmoment. Da es sich um eine Schwingung handelt, bieten sich Sinus und Cosinus an, welche in den Ableitungen auch recht einfach zu handhaben sind. Ziel ist es, ϕ raus zu kürzen. ϕ(t) = ϕ 0 sin(ω t + ϑ 0 ) (2) ϕ(t) = ω ϕ 0 cos(ω t + ϑ 0 ) (3) ϕ(t) = ω 2 ϕ 0 sin(ω t + ϑ 0 ) (4) Die 2. Ableitung können wir in unsere DGL einsetzen, sodass sie für ϕ eingesetzt werden kann. Da der Term ϕ 0 sin(ω t + ϑ 0 ) in beiden Gleichungen vorhanden ist, kann er rausgekürzt werden. Als Gleichung kommt zum Schluss dann D* = ω 2 J (5) bzw. ω = D* J (6) heraus. Die Einheit ist s 1. 3
2 Versuchsaufbau Abbildung 1: Hier sieht man das Gerät, auf welches die drei Scheiben bzw. das Prisma später gelegt werden um aus den darausfolgenden Messungen den Massenträgheitsmoment zu ermitteln. 3 Messungen mit 3 Ringen 3.1 Bestimmung m, ra und ri für alle Ringe Ring 1 Ring 3 Ring 2 m[kg] 0.3507 0.957 0.6555 ra [m] 0.06465 0.1325 0.09975 ri [m] 0.05015 0.1205 0.08775 Tabelle 1: m, ra und ri für alle Ringe 4
Abbildung 2: Links sieht man die Drehscheibe mit Ringen, rechts mit Prisma obendrauf, von welchem das Trägheitsmoment ermittelt werden soll. 3.2 Berechnung von Js für alle Ringe (ohne Fehler) Nach der Formel m (ri2 + ra2 ) (7) 2 berechnen wir unter Vernachlässigung der Fehler mit den Werten aus Tabelle 1 die folgenden Massenträgheitsmomente Js : Js = Js1 Js3 Js2 = 1.174 10 3 kg m2 = 15.379 10 3 3 = 5.785 10 kg m kg m 2 (8) 2 (9) (10) (11) 5
3.3 Messungen mit verschiedenen Ringkombinationen Kombinationen Mess. 1 [s] Mess. 2 [s] T [s] T 2 [s 2 ] J zu 10 3 [kg m 2 ] R 1 + R 2 2.266 2.211 2.2385 5.0108 6.959 R 1 + R 3 2.932 2.927 2.9295 8.5819 16.553 R 2 + R 3 3.188 3.205 3.8965 10.2176 21.164 R 1 + R 2 + R 3 3.258 3.233 3.2455 10.533 22.338 Tabelle 2: Messwerte für verschiedene Ringkombinationen 12 Traegheitsmomente in Abhaengigkeit von der Periode Ausgleichsgerade 10 8 T 2 [s] 6 4 2 0 0 5 10 15 20 J zu [10-3 kgm 2 ] Abbildung 3: Perioden in Abhängigkeit des Trägheitsmomentes 3.4 Ermittlung von A und B mit Hilfe von gnuplot Nach der Eingabe der Wertepaare von T [s] und J zu wurden mit Hilfe von fit folgende Werte berechnet werden: s 2 A = 0.362095 kg m 2 (12) B = 2.51947 s 2 kg m 2 (13) 6
3.5 Fehler für A und B aus fit.log Fehler laut fit.log belaufen sich für A auf ± 0.00649 und für B auf ± 0.1156. Ein Ausdruck der fit.log befindet sich im Anhang und wurde aufgrund von Formatierungsproblemen nicht in LaTeX übernommen. Damit ergibt sich die Formel Durch Umformung folgt: T 2 = 0.362 J zu + 2.519 (14) J T = 2π D* T 2 = (2π) 2 J0 + J zu (16) D* Dadurch entsteht der Zusammenhang für A und B (A ist die Steigung der Graden und B der Schnittpunkt mit der Y-Achse), die wie folgt ermittelt werden: (15) A = (2π)2 D* (17) B = A J 0 (18) 3.6 Berechnung von D* Folglich, dass man A und B hat, kann man D* ermitteln: D* = (2π)2 A f D* = = 109, 0278 (19) ( 4 π2 B 2 )2 f B (20) f D* = ±2.11456 (21) 3.7 J 0 mit Fehler Für das Trägheitsmoment J 0 erhalten wir: J 0 = A B = 6, 958 10 3 kg m 2 (22) f J0 = ( 1 B f A) 2 + ( A B 2 f B) 2 (23) f J0 = ±0.0070794 10 3 kg m 2 (24) 7
4 Messungen mit einem Prisma Gemessen wird T mit allen drei Ringen und dem Prisma, mit verschiedenen Abständen von dem Rand der Drehscheibe entfernt. Durchmesser D T isch = 30.07cm Höhe h P risma = 12.85cm Es ergibt sich folgende Parabel, geplottet mit gnuplot und fit: Die Formel für die Parabel lautet: c [cm] Mess. 1 [s] Mess. 2 [s] T [s] T 2 [s 2 ] 21.4 1.653 1.644 1.6485 2.718 19.5 1.702 1.724 1.713 2.9344 17.55 1.754 1.723 1.7385 3.0223 29.1 1.72 1.688 1.704 2.9036 27.17 1.673 1.658 1.6655 2.7739 25.25 1.645 1.601 1.623 2.6341 Tabelle 3: Messwerte mit Prisma 1.76 Parabel-Fit ueber Messwerte Messwerte 1.74 1.72 1.7 T[s] 1.68 1.66 1.64 1.62 16 18 20 22 24 26 28 30 c[cm] Abbildung 4: fit über die Messwerte für das Prisma T (c) = 0.00275c 2 0.132882c + 3.23287 (25) 8
4.1 Schwerpunkt des Prismas um den Nullpunkt zu ermitteln, leiten wir diese Formel ab und setzen T = 0. T (c) = 0.0055 c 0.132882 = 0 (26) daraus folgt, dass bei c min = 24.160 ein Extremum liegt. Da die 2. Ableitung an dieser Stelle positiv ist, ist es ein Tiefpunkt. Folglich liegt hier der Schwerpunkt des Prismas. Aus c min erhalten wir das entsprechende T (c min ) = 1, 6276 4.2 Berechnung von J s und dem Fehler f Js Aus folgt T min = 2π J 0 + J S D* J s = T 2 min 4π 2 D* J 0 (28) Durch Einsetzen der entsprechenden Werte T min = 1.6276 s Tmin 2 = 2.649 s2 D* = 109.0278 J 0 = 6.958 10 3 kg m 2 f J0 = ±0.0070794 10 3 kg m 2 (27) erhalten wir für J s : und für den Fehler f Js : J s = 0.358 10 3 [kgm 2 ] (29) f Js = T 2 min 4 π 2 + ( f J0) 2 (30) f Js = ±0.0671 (31) Frage: Warum ist der relative Fehler von J s so groß, obwohl die relativen Fehler von J 0 und D* viel kleiner sind? Der relative Fehler von J s ist mit immerhin 18 % so gross, weil in der Fehlerrechnung von J s T min quadratisch eingeht, wobei die Werte von D* und J 0 - und deren Fehler sich stark auf das um grössen kleinere J s auswirken. 9
5 Dämpfung 5.1 Ermittlung von v und T D Um die Dämpfung zu ermitteln haben wir, den großen Ring aufgelegt und den Ruhepunkt x r = 50cm abgelesen. Diesen wiederum um etwa 7 cm ausgelenkt und nachdem 10 Durchgänge bei der maximalen Auslenkung gestoppt und die entsprechende Restauslenkung x 10 = 45cm abgelesen. Für das Verhältnis v gilt: Für v erhalten wir 1,4 und aus der Theorie wissen wir: und daraus folgt: 5.2 Korrektur v = x r x 0 x r x 10 (32) T D T = T D T 1 + ln v n 2π (33) = 1, 000014 (34) Da wir nur 10 Durchgänge lang gemessen haben und T D T unserer Werte weglassen. 1 können wir eine Korrektur 6 Anhang Auf den folgenden Seiten befindet sich der Ausdruck der fit.log, nach denen wir A und B berechnet haben sowie ein Nachweis der Fehlerrechnung. 10