1. Einführung und Begriffe Eine vom Erreger (periodische Anregung) wegwandernde Störung heißt fortschreitende Welle. Die Ausbreitung mechanischer Wellen erfordert einen Träger, in dem sich schwingungsfähige Teilchen befinden. Die Welle (Störung) wandert, nicht die Teilchen des Trägers. Alle Teilchen führen zu verschiedenen Zeitpunkten angeregt harmonische Schwingungen gleicher Frequenz und Amplitude quer zum Träger aus. Man unterscheidet zwei Geschwindigkeiten: c: Geschwindigkeit, mit der sich die Welle ausbreitet (Ausbreitungsgeschwindigkeit) u: Geschwindigkeit der Teilchen (Schnelle) Man unterscheidet auch zwei Typen von Wellen: Querwelle: c u (Tranversalwelle) Längswelle: c u (Longitudinalwelle) 2. Ausbreitungsgeschwindigkeit c Es gilt: c = Weg = x λ = λ f Zeit Δt T Auf ein und demselben Träger ist c konstant d.h. unabhängig der Frequenz f. c hängt nur vom Wellenträger ab. Verdoppelt man also die Frequenz, so halbiert sich die Wellenlänge. 3. Wellenlänge λ Die Wellenlänge beschreibt den Abstand zweier benachbarter Teilchen, die in derselben Phase schwingen. Aus c = λ f folgt λ = c f 4. Wellengleichung Die Wellengleichung beschreibt die Elongation eines beliebigen Teilchens am Ort x zum Zeitpunkt t. Herleitung: Das erste Teilchen der Welle (x = 0) schwingt harmonisch mit s(t) = s sin (ωt) Ein Teilchen an der Stelle x wird erst Δt später von der Welle erreicht: c = x t = x t c s(t; x) = s sin (ω(t t)) s(t) = s sin ( 2π T (t x c )) s sin (2π (t T x c T )) s(t; x) = s sin (2π ( t T x λ )) Für x = konstant liefert die Gleichung ein Zeit-Elongations-Gesetz eines Teilchens. Für t = konstant liefert die Gleichung ein Momentbild der Welle.
5. Gangunterschied δ vs. Phasenverschiebung ϕ Der Gangunterschied δ meint den Abstand zweier phasengleicher Punkte zweier Wellen. Meist wird δ als Vielfaches von λ angegeben. Man kann die Sinusschwingung einer Welle auch als Projektion einer Kreisbewegung verstehen. Der Winkel der Kreisbewegung wird dann als Phase ϕ der Welle bezeichnet. Die Phasenverschiebung gibt an, wie viele Phasen zwei Wellen zueinander verschoben sind. Bei Wellen verschiedener Frequenz oder Geschwindigkeit kann die Phasenverschiebung variieren. Bild: ϕ = konstant = 90 = π/2 Zusammenhang: δ λ = φ 2π = t T Zeit t Phasenverschiebung φ 3 12 T 4 12 T 5 12 T 6 12 T 7 12 T 8 12 T 3 6 π 4 6 π 5 6 π 6 6 π 7 6 π 8 6 π
6. Überlagerung und Interferenz 6.1. Überlagerung zweier gleichlaufenden Wellen gleicher Frequenz Interferenz = Überlagerung von Wellen mit derselben Wellenlänge Die resultierende Elongation ist immer die Summe der Einzelelongationen. Welle 1 Welle 2 Resultierende Welle Sonderfälle: 1) Sind die Wellen gleichphasig (δ = 0, λ, 2λ, k λ ; kεn) so addieren ist die Amplitude maximal. Für den Gangunterschied gilt dann: φ = 0, 2π, 4π, k 2π) konstruktive Interferenz 2) Sind die Wellen gegenphasig (δ = λ, 3 λ, 5 λ, (2k 1) λ ; kϵn) so löschen sich die Wellen aus. 2 2 2 2 Für den Gangunterschied gilt dann: φ = π, 3π, 5π, (2k 1) 2π) destruktive Interferenz Zeichnerische Bestimmung (Zeigermodell) Welle 1 Welle 2 Resultierende Amplitude φ Länge entspricht der Amplitude Es gilt: δ λ = φ 360 φ = δ λ 360
6.2. Interferenz zweier entgegenlaufender Wellen Man beobachtet Stellen des Trägers (k1, k2, k3, ), die zu keinem Zeitpunkt ausgelenkt werden. Sie heißen Bewegungsknoten. Ihr gegenseitiger Abstand ist λ 2 Zwischen zwei Knoten schwingen die Teilchen gleichphasig, jedoch mit verschiedenen Amplituden. Die Stellen maximaler Amplitude heißen Bewegungsbäuche. Benachbarte Bäuche schwingen gegenphasig. Die entsenden resultierende Welle heißt stehende Welle. Im Gegensatz zur fortschreitenden Welle wandert ihr räumliches Bild nicht weiter, sondern es steht. 7. Reflexion 7.1. Reflexion an einem festen Ende Bei der Reflexion am festen Ende werden die Richtungen der Auslenkung und der Schnelle umgekehrt. Es liegt Phasensprung von π (180 ) vor. Ein Wellenberg läuft also als Wellental und umgekehrt zurück. Die zurücklaufende Welle interferiert mit der kommenden Welle. Es entsteht eine stehende Welle.
7.2. Reflexion an einem losen Ende Bei der Reflexion am losen Ende werden die Richtungen der Auslenkung und der Schnelle umgekehrt. Es liegt kein Phasensprung vor Ein Wellenberg bleibt ein Wellenberg und umgekehrt. Die zurücklaufende Welle interferiert mit der kommenden Welle. Es entsteht eine stehende Welle. 7.3. Zeichentricks für Momentbilder Beispiel: (geg: l = 10m, c = 2,5m -1 Auslenkung nach oben Zeichne das Momentbild nach t = 6s) 1) Nach x = c * t läuft die Welle 15m weit. 2) Man zeichnet einen 15m langen Wellenträger und beginnt, die Welle rückwärts zu zeichnen. Man beginnt in diesem Fall mit einem Wellenberg. 3) Man zeichnet das Ende ein. 4) Beim losen Ende wird das Ende als Beim festen Ende wird punktgespiegelt. Spiegelachse betrachtet und der Anderes gesagt wird die Welle einmal nach überstehende Teil wird achsengespiegelt. oben geklappt und dann achsengespiegelt. s s x x 5) resultierende Welle einzeichnen durch Amplitudenaddition 8. Transversale Eigenschwingungen Nur bei bestimmten Frequenzen bildet ein Wellenträger aufgrund von Reflexionen eine stehende Welle. Diese nennt man Eigenfrequenzen, die Schwingungsform Eigenschwingung. Hierbei wächst die Amplitude immer mehr (= Resonanz). Würden keine Energieverluste durch Reibung auftreten, so würde es zu einer Resonanzkatastrophe führen. k = 1 : 1. harmonische Schwingung/Grundschwingung k = 2 : 2. harmonische Schwingung/Oberschwingung k = 3 : 3. harmonische Schwingung/2. Oberschwingung Hierbei müssen folgende Bedingungen erfüllt sein: Zwei feste Enden: Zwei lose Enden: Ein festes und ein loses Ende: l = 1 λ 2 k k f k = c k l = 1 λ 2l 4 k (2k 1) f k = c (2k 1) 4l Für alle gilt f k = f 1 k
10. Mehrdimensionale Wellen (Wasserwellen) 10.1. Einführung Ein periodisch in die Wasseroberfläche eintauchender Stift erzeugt kreisförmige Wellenfronten. 1) Die Ausbreitung der Welle erfolgt allseits in Richtung der Wellennormale λ Wellental 2) Die Wellenfronten sind konzentrische Kreise 3) Der Abstand zweier benachbarter Täler/Berge ist λ 4) Es gilt wie bei der mechanischen Welle: c = λ * f 5) Verdoppelt man f, so halbiert sich λ Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c bleibt gleich E Wellenberg Wellennormale 10.2. Interferenz von mehrdimensionalen Wellen Der Abstand zweier Erreger heißt g. Man beobachtet Minima (Auslöschung) und Maxima (Verstärkung). 1.Max 1.Min 0.Max 1.Min 1.Max Gangunterschied: r 1 δ r 2 Es gilt: δ = r 2 r 1 g Für Maxima gilt: Für Minima gilt: δ = 0, λ, 2λ, 3λ, Δφ = 0, 2π, 4π, 6π, δ = k λ (inkl. k = 0) Δφ = k 2π (inkl. k = 0) δ = 1 2 λ, 3 2 λ, 5 2 λ, Δφ = π, 3π, 5π, δ = λ (2k 1) 2 Δφ = π (2k 1) Anzahl der Maxima und Minima Vergrößert man den Abstand g oder die Frequenz, so beobachtet man eine Zunahme der Anzahl der Maxima und Minima. Für Maxima gilt: Für Minima gilt: Rechenbeispiel: δ g δ g k 6cm = 3,16 k = 3 = k λ g k g = (2k 1) λ g 1,9cm k g λ λ + 1 7 Maxima (0., 2x 1., 2x 2., 2x 3.) 2 Bei Minima ohne 0.
Sonderfall: Schwingen die beiden Erreger gegenphasig, so gilt für die Berechnung der Anzahl der Maxima und Minima: 1) Berechnung der Anzahl bei Gleichphasigkeit 2) Maxima wird zu Minima und umgekehrt 10.3. Kohärenz mehrdimensionaler Wellen Zwei Erreger, die ein gleichbleibendes Interferenzmuster erzeugen, heißen kohärent. Dazu müssen sie mit gleicher Frequenz und konstanter Phasendifferenz schwingen. 10.4. Das Huygen sche Prinzip (Der Spalt) Eine ebene Welle trifft auf ein gerades Hindernis mit einer kleinen Öffnung (Spalt). Die Welle erfährt am Spalt eine Richtungsänderung. Man spricht von einer Beugung. Die Welle wird also am Spalt gebeugt. Die Welle nach dem Spalt heißt Elementarwelle. Bei Doppelspaltversuchen erzeugt man aus einer Welle des Senders zwei gleichphasige Elementarwellen, die genau so miteinander interferieren, wie die Wellen von zwei realen kohärenten Sendern. Huygen sches Prinzip: Für alle Wellenarten gilt: Jede Stelle einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt einer Elementarwelle aufgefasst werden.
10.5. Geometrische Berechnung des Gangunterschieds a) Für großen Wellenlängen (bis Mikrowellen) M (0.Max.) d P a r 2 r 1 E 1 g E 2 δ = r 2 r 1 = a 2 + ( 1 2 2 g + d) a 2 + (d 1 2 2 g) = b) Für kleine Wellenlängen (ab Mikrowellen) M (0.Max.) d P a r 2 r 1 δ α α E 1 g E 2 Ist a >> g, entarten die Hyperbeln zu Geraden, die durch die Mitte von E 1 und E 2 gehen. α kennzeichnet die Richtung der Interferenzstreifen. Der Kreis um P (---) kann als Gerade angenähert werden, sodass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht. Hier gilt: sin(α) = δ g δ = sin(α) g und tan(α) = d Winkel α k für Maxima: β k für Minima: a sin(α k ) = k λ g < 1 sin(β k ) = (2k 1) λ 2g < 1