Anleitung zum Applet

Taylor-Entwicklung von Funktionen 1 Anleitung zum Applet Taylor-Entwicklung von Funktionen Bearbeitung von: Denis Schneider SS 2008 Studiengang Elektronik und Informationstechnik Betreuung durch: Prof. Dr. Wilhelm Kleppmann

Taylor-Entwicklung von Funktionen 2 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort...3 2 Grafische Benutzeroberfläche...4 2.1 Menüleiste...5 2.1.1 Menüeintrag Datei... 5 2.1.2 Menüeintrag Funktionen... 5 2.1.3 Menüeintrag?... 5 2.2 Toolbar...6 2.3 Parameter...6 2.3.1 Eingabe der Parameter... 6 2.3.2 Ausgabe der Koeffizienten... 7 2.4 Der Anzeigebereich...8 2.4.1 Der obere Zeichenbereich... 8 2.4.2 Der untere Zeichenbereich... 9 3 Bedienung des Applets...10 4 Hinweise...10 4.1 Bekannte Probleme...10 4.2 Hinweise für nachfolgende Studienarbeiten...11 5 Glossar...11

Taylor-Entwicklung von Funktionen 3 1 Vorwort Die Entwicklung des Applets Taylor-Entwicklung von Funktionen war das Thema meiner Projektarbeit. Es soll dazu dienen, den Studenten mehr Verständnis für die Mathematik, sowie einen praktischen Bezug auf die erlernten theoretischen Grundlagen zu vermitteln. Dieses Applet stellt wahlweise sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x), e x, 1/x, x 2, x 3 oder x 4 zusammen mit den ersten Termen der Taylor-Reihe um einen Entwicklungspunkt x 0 in einer Grafik dar. Eine zweite Grafik zeigt die Koeffizienten der berücksichtigten Potenzen. Der Entwicklungspunkt x 0 und die höchste berücksichtigte Potenz n sind einstellbar. Das Applet soll zeigen, dass: die Taylor-Entwicklung bis zur ersten Potenz die Tangente im Entwicklungspunkt x 0 ergibt die Taylor-Entwicklung eine umso bessere Näherung ergibt, je kleiner x x0 ist und je mehr Potenzen berücksichtigt werden die Taylor-Reihe für sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) und e x für beliebige x-werte konvergiert, während sie für 1/x nur in einem bestimmten Bereich konvergiert; für x 2, x 3 und x 4 endet die Taylor-Reihe nach der 2., 3. bzw. 4. Potenz. Hinweis: Falls Sie dieses Applet nicht starten können, liegt dies vielleicht daran, dass auf ihrem PC keine Java Virtual Machine (JVM) installiert ist. Diese JVM können Sie sich bei http://java.sun.com/javase/downloads kostenlos herunterladen. Wählen Sie hierfür die Java Runtime Environment (JRE) für Ihr Betriebssystem aus.

Taylor-Entwicklung von Funktionen 4 2 Grafische Benutzeroberfläche Legende: 1. Menüleiste: Zum Beenden des Applets, Anwahl der verschiedenen Funktionen und Aufrufen des Infodialogs 2. Toolbar: Ermöglicht das direkte Anwählen der Funktionen, ohne über die Menüleiste zu gehen 3. Parameter: Änderung der Parameter Entwicklungspunkt und Potenzen über die Eingabefelder oder über die Schieberegler. Ausserdem werden hier die berechneten Werte der Koeffizienten angezeigt. 4. Anzeigebereich: Im oberen Zeichenbereich werden die Funktion und die Näherung dargestellt. Im unteren Zeichenbereich werden die Koeffizienten dargestellt.

Taylor-Entwicklung von Funktionen 5 2.1 Menüleiste 2.1.1 Menüeintrag Datei Im Menüpunkt Datei befindet sich die Funktion zum Beenden des Applets. Alternativ kann man die Anwendung auch mit Strg+B schließen. 2.1.2 Menüeintrag Funktionen Im Menüpunkt Funktionen kann man die verschiedenen Grundfunktionen aufrufen. Welche der Funktionen momentan aktiv ist, erkennt man an dem Häkchen vor der Funktion. Alternativ kann man auch mit Strg+1 (Sinus), Strg+2 (Cosinus), Strg+3 (Sinus hyperbolicus), Strg+4 (Cosinus hyperbolicus), Strg+5 (e-funktion), Strg+6 (1/x-Funktion), Strg+7 (x²-funktion), Strg+8 (x³- Funktion), Strg+9 (x 4 -Funktion) zwischen den Funktionen wechseln. 2.1.3 Menüeintrag? Im Menüpunkt? kann man ein Info-Fenster öffnen, welches die Rahmeninformationen über dieses Applet enthält. Es muss wieder geschlossen werden, wenn man das Applet wieder nutzen will. Wenn das Applet von der Homepage aus gestartet wird, erhält man zusätzlich die Möglichkeit, die Online-Hilfe aufzurufen.

Taylor-Entwicklung von Funktionen 6 2.2 Toolbar Die Toolbar ermöglicht es dem Benutzer, mit einem einfachen Mausklick die dargestellte Funktion zu wählen. Die Funktion, welche gerade aktiv ist, wird hervorgehoben und die restlichen leicht ausgeblendet. Standardmäßig wird das Applet mit der Sinus-Funktion gestartet. Wenn man sich nicht sicher ist, was für eine Funktion hinter dem Button eingebettet ist, kann man den Mauszeiger einen Moment darauf liegen lassen und es erscheint ein Tooltip, der den kompletten Funktionsnamen anzeigt. 2.3 Parameter 2.3.1 Eingabe der Parameter Hier hat der Benutzer die Möglichkeit, den Entwicklungspunkt x 0 und die höchste berücksichtigte Potenz n der aktuellen Funktion zu verändern. Die Anzeige reagiert sofort auf diese Änderungen. Beim Starten des Applets und beim Aufrufen einer neuen Funktion werden die jeweiligen Standardwerte geladen. Grundsätzlich bestehen zwei Möglichkeiten, auf die Parameter zuzugreifen. Entweder man ändert den Wert, indem man den Schieberegler benutzt, oder man tippt eine Zahl in das Eingabefeld ein und bestätigt diese mit Enter. Beim Entwicklungspunkt x 0 hat man ausserdem noch eine dritte Möglichkeit, den Wert zu verändern. Man kann im oberen Zeichenbereich die blaue Linie mit Hilfe der Maus nehmen und nach links oder nach rechts verschieben. Den eingestellten Wert kann man dann im Eingabefeld ablesen.

Taylor-Entwicklung von Funktionen 7 Bei allen Funktionen hat der Benutzer die Möglichkeit, die Werte des Entwicklungspunktes x 0 innerhalb der Grenzen -3.98 bis 3.98 zu wählen. Die höchste einstellbare Potenz n ist 14. 2.3.2 Ausgabe der Koeffizienten Unterhalb der Eingabe der Parameter befindet sich die Ausgabe der Koeffizienten. Hier werden die berechneten Zahlenwerte der Koeffizienten a 0 bis a 14 der Taylorreihe bis auf die sechste Stelle nach dem Komma angezeigt. Beim Start und beim Aufrufen einer neuen Funktion wird standardmäßig nur der Wert vom a 0 angezeigt. Wenn der Benutzer über die Parametereingabe weitere Potenzen hinzufügt, erscheinen die jeweiligen Werte nacheinander in der Anzeige. Hinweise: Wenn man möglichst genaue Berechnungen erzielen möchte, sollte man den Entwicklungspunkt x 0 nicht über die blaue Linie, sondern über den Schieberegler oder das Eingabefeld einstellen. Bei großen Zahlenwerten wird die Exponentenform verwendet. Bei sehr kleinen Werten kann es vorkommen, dass 0,000000 angezeigt wird, da nur die ersten sechs Stellen nach dem Komma berücksichtigt werden.

Taylor-Entwicklung von Funktionen 8 2.4 Der Anzeigebereich Der Anzeigebereich gliedert sich in zwei Zeichenbreiche 2.4.1 Der obere Zeichenbereich

Taylor-Entwicklung von Funktionen 9 Der obere Zeichenbereich liefert die Kurvenverläufe. Mit Rot wird die gewählte Funktion gezeichnet. Die Formel zu dieser Funktion steht in der oberen linken Ecke. Mit Grün wird die Näherungskurve dargestellt. Diese Kurve ändert sich, je nachdem wieviele Potenzen der Benutzer einstellt. Mit Blau wird der Entwicklungspunkt x 0 dargestellt. Bei der 1/x-Funktion wird zusätzlich in Lila der Konvergenzbereich gezeichnet. 2.4.2 Der untere Zeichenbereich Im unteren Zeichenbereich wird die Entwicklung der Koeffizienten a 0 bis a 14 gezeichnet. Die Y-Achse zeigt den Wert der Koeffizienten, die X-Achse gibt die Potenz (den Index n von a n ) an. Es erscheinen nur soviele Koeffizienten auf der X-Achse, wie es der Benutzer mit Hilfe des Parameters Höchste Potenz einstellt.

Taylor-Entwicklung von Funktionen 10 3 Bedienung des Applets Der einfachste Weg die gewünschte Grundfunktion auszuwählen ist über die Toolbar. Dadurch wird diese Funktion mit Standardparameterwerten geladen. Die Parameter kann der Benutzer im Parametereingabebereich mittels Texteingabefeld oder dem zugehörigen Schieberegler nach seinen Wünschen innerhalb der gegebenen Grenzen setzen. Diese Werte werden sofort auf das Schaubild übertragen, damit die Änderungen direkt erkennbar werden. Mit dem x 0 -Wert kann bestimmt werden, um welchen Punkt die Taylorreihe entwickelt werden soll. Dieser Wert kann auch mittels Drag and Drop direkt im oberen Zeichenbereich verschoben werden Mit dem Parameter Höchste Potenz kann die höchste Potenz bestimmt werden. Durch die Erhöhung des dieses Wertes werden im unteren Zeichenbereich immer mehr Koeffizienten auftauchen und die Näherungskurve im oberen Zeichenbereich wird immer besser an die gewählte Funktion angenähert. 4 Hinweise 4.1 Bekannte Probleme Bei älteren JRE s kann es vorkommen, dass die Hyperbolicus-Funktionen nicht dargestellt werden können, da diese noch nicht in der Laufzeitumgebung integriert sind.

Taylor-Entwicklung von Funktionen 11 4.2 Hinweise für nachfolgende Studienarbeiten Ich habe dieses Applet mit der Java-Entwicklungsumgebung Eclipse von der Firma IBM erstellt. Dieses kostenlose Tool reicht vollkommen aus, um eine Anwendung dieser Größenordnung zu programmieren. Auf der Seite http://www.eclipse.org kann man sie sich herunterladen. Der Quellcode meines Applets und die Dokumentation werden auf dem Server abgelegt. 5 Glossar Applet Drag and Drop Eclipse Java JRE JVM Toolbar Tooltips eine kleine Java-Applikation, die im Webbrowser ausgeführt werden kann Möglichkeit, mit dem Cursor ein Objekt an eine andere Stelle zu verschieben kostenlose Java-Entwicklungsumgebung von IBM Objektorientierte Programmiersprache von Sun Microsystems Java Runtime Environment (Java Laufzeitumgebung) Java Virtual Machine (wird benötigt, um Java-Applets auszuführen) Symbolleiste, die schnellen Zugriff auf oft benötigte Befehle bietet Kurzinfo zu dem Objekt, auf das die Maus zeigt