2 Reflexionen 2.1 Reflexion und Reflexionsgesetz Wir unterscheiden zwei Arten der Spiegelung: regelmässige und unregelmässige Reflexion (= Streuung). Auf rauen Oberflächen eines Körpers wird das Licht unregelmässig zurückgeworfen, an geschliffenen und polierten Oberflächen (Spiegel) dagegen regelmässig. Die untenstehende Figur zeigt diese beiden Fälle: Im täglichen Leben spielt die diffuse Reflexion eine viel grössere Rolle als die regelmässige. Wir könnten uns im Raum kaum orientieren, wenn die Körper das Licht nicht praktisch in jede Richtung reflektierten, also auch in Richtung unserer Augen. Wir wollen nun die regelmässige Reflexion untersuchen. Dazu lassen wir einen Lichtstrahl (paralleles Lichtbündel) unter einem Winkel α (gemessen zum sog. Einfallslot) einfallen und messen den Reflexionswinkel β (ebenfalls gemessen zum Einfallslot). Wir stellen fest, dass diese beiden Winkel immer gleich gross sind (0 α 90 ). 13
Reflexionsgesetz Trifft ein Lichtstrahl auf einen ebenen Spiegel, so sind Einfalls- und Ausfallswinkel gleich gross. Zudem liegen der einfallende und der reflektierte Strahl, sowie das Einfallslot in einer Ebene. Das Einfallslot ist also die Symmetrieachse zwischen einfallendem und reflektiertem Lichtstrahl. Wir erkennen sofort, dass bei der Reflexion das Prinzip der Umkehrung des Lichtweg erfüllt ist: Lassen wir den Lichtstrahl unter dem Winkel β längs des reflektierten Strahls einfallen, so wird er unter dem Winkel α längs des ursprünglich einfallenden Strahls reflektiert. Dieser Strahl legt also denselben Weg wie der ursprüngliche, aber in umgekehrter Richtung, zurück. Das Reflexionsgesetz gilt auch für diffuse Reflexion: Auf einer rauen Oberfläche trifft ein parallel einfallendes Strahlenbündel auf viele verschieden geneigte Reflexionsebenen und wird deshalb in viele verschiedene Richtungen reflektiert. Links: http://www.leifiphysik.de >> Optik >> Lichtreflexion 2.2 Abbildung am ebenen Spiegel Das Bild zeigt einen Spiegel, vor dem eine Flasche steht. Man sieht die Flasche vor dem Spiegel und man sieht eine zweite Flasche, die hinter dem Spiegel zu stehen scheint. Das Spiegelbild hinter dem Spiegel hat vom Spiegel denselben Abstand wie die echte Flasche. Man sieht dies, wenn man einen Massstab dazulegt. Ausserdem befindet sich das Spiegelbild genau in der Verlängerung der Senkrechten, die man von der richtigen Flasche auf den Spiegel zeichnen kann. 14
Wie kommt dieses Spiegelbild zustande? Um es zu verstehen, genügt es, das Reflexionsgesetz anzuwenden. P sei ein bestimmter Punkt eines Gegenstandes. Von P geht Licht aus, und zwar in die verschiedensten Richtungen. Im Bild sind drei der vielen Strahlen eingezeichnet. Alle drei Strahlen treffen auf den Spiegel. Ausserdem sind die entsprechenden reflektierten Strahlen eingezeichnet. Verlängert man nun die reflektierten Strahlen nach hinten, so treffen sie sich in einem Punkt P. Die reflektierten Strahlen kommen vom Spiegel, und zwar von den verschiedenen Punkten A, B und C der Spiegeloberfläche. Sie scheinen aber alle von einem einzigen Punkt P auszugehen, der hinter dem Spiegel liegt. In diesem Bild wurde der Spiegel ersetzt durch eine Fensteröffnung. Und dort, wo im vorherigen Bild das Spiegelbild zu liegen schien, ist jetzt eine Lichtquelle. Das Licht aus der Fensteröffnung ist nicht zu unterscheiden von dem Bild, das vorher vom Spiegel kam. Wenn man nun einen ganzen Gegenstand betrachtet, so gibt es zu jedem Punkt des Gegenstandes einen Bildpunkt hinter dem Spiegel. Das Spiegelbild des Gegenstandes ist ein virtuelles Bild. Man kann die Abbildung am ebenen Spiegel wie folgt zusammenfassen: Das durch einen ebenen Spiegel erzeugte Bild ist virtuell, aufrecht, gleich gross wie der Gegenstand und ebenso weit hinter dem Spiegel, wie sich der Gegenstand vor dem Spiegel befindet. Die nebenstehende Figur illustriert diesen Sachverhalt anhand der Abbildung eines Pfeils AB. Das zugehörige Spiegelbild A B entsteht durch Spiegelung der beiden Punkte A und B. 15
Aufgaben 1. Konstruiere das Spiegelbild des Gegenstandes: 2. Konstruiere den Weg des Lichtstrahls, der von A nach B geht und am Spiegel reflektiert wird. 16
3. Konstruiere die Lichtstrahlen für die Hose H, die Fingerspitze F und den Scheitel S. Wie gross muss der Spiegel sein, damit sich die Person in voller Körpergrösse sehen kann? 4. Versteck-Spiel (Lösung siehe LEIFI-Seite): Klein-Ernst und Klein-Kathrin spielen Verstecken. Kathrin hat sich in dem Zimmer dessen Grundriss unten skizziert ist hinter dem Schrank versteckt. In diesem Zimmer befindet sich noch ein Spiegel und Ernst. (a) Kann Kathrin den Ernst im Spiegel sehen? (b) Konstruiere nun den gesamten Bereich des Zimmers, von dem Ernst im Spiegel wahrgenommen werden kann. (c) Kennzeichne denjenigen Bereich des Zimmers, den Ernst mit Hilfe des Spiegels überblicken kann. 17
5. Toter Winkel beim Aussenspiegel (Lösung siehe LEIFI-Seite): Ein Autofahrer kann durch Schulterblick maximal bis zur gestrichelten Linie nach links hinten blicken. Bestimme den auch bei Verwendung des Aussenspiegels nicht einsehbaren Bereich links vom Auto. Konstruiere dazu den Bereich, den der Fahrer im Aussenspiegel sehen kann und schraffiere die Fläche, die weder im Spiegel noch durch Schulterblick einsehbar ist. Überlege dir, welche weiteren Bereiche für den Fahrer schwer einzusehen sein werden. 18
6. Beim Friseur (Lösung siehe LEIFI-Seite): Flexon ist beim Friseur. Damit Flexon sehen kann, dass die Haare auch am Hinterkopf schön geworden sind, bekommt Flexon vom Friseur einen kleinen Handspiegel. Erläutere, wie Flexon mit Hilfe des Handspiegels seinen Hinterkopf sehen kann. Wie weit hinter dem Handspiegel liegt das Bild von Flexons Hinterkopf? Drücke die Entfernung durch a, b und c aus. 7. Spiegelung in einem Bergsee (Lösung siehe LEIFI-Seite): Das Foto zeigt die Spiegelung des Watzmanns bei Berchtesgaden in einem kleinen Bergsee. In der Mitte des Sees siehst du die Bergspitze, von der du weisst, dass sie ca. 2000 m höher liegt als der Bergsee. Das gegenüberliegende Ufer ist ca. 40 m von der Kamera entfernt. Die Kamera befand sich etwa 4.5 m über dem Wasserspiegel. Schätze ab, wie weit der Watzmann vom Aufnahmepunkt entfernt ist? Löse die Aufgabe anhand einer geeigneten Planfigur mit anschliessender Rechnung. 19
2.3 Gewölbte Spiegel 20
2.4 Parabolspiegel Parabolspiegel werden verwendet, wenn die Abbildung präzise sein muss. Dies ist der Fall in der Astronomie, bei Sonnenkollektoren zur Warmwassererzeugung oder in der Telekommunikation bei Satellitenantennen (dort wird nicht Licht im sichtbaren Bereich reflektiert, sondern elektromagnetische Wellen). Muss die Abbildung nicht exakt sein, können auch kugelförmige Spiegel verwendet werden. Wir untersuchen zunächst die Abbildungseigenschaften von Parabolspiegeln. Eigenschaften des Parabolspiegels Parabolspiegel bündeln Licht im Brennpunkt. Dazu müssen die Lichtstrahlen parallel eintreffen. Dies ist z.b. bei Sonnenlicht der Fall. Umgekehrt kann eine Glühlampe in den Brennpunkt eines Parabolspiegels gebracht werden, dann strahlt der Spiegel parallele Lichtstrahlen aus. 21
Aufgaben 8. Konstruiere die Reflexion der parallelen Strahlen, die an den Punkten P 1,..., P 4 an der Parabel reflektiert werden. 9. Geometrische Definition einer Parabel: Gegeben sind ein Punkt B (Brennpunkt) und eine Gerade l (Leitgerade). Gesucht sind alle Punkte P, die gleich weit von B wie von l (senkrechter Abstand) entfernt sind. Konstruiere weitere Punkte. 22
Die Brennpunkteigenschaft der Parabel 23
2.5 Kugelspiegel Unter einem Kugelspiegel versteht man einen verspiegelten Teil einer Kugel. Ist die Innenseite spiegelnd, so hat man einen Konkav-, Sammel- oder Hohlspiegel, wird die äussere Seite verspiegelt, so spricht man von einem Konvex-, Zerstreuungs- oder Wölbspiegel. 2.6 Hohlspiegel Wir behandeln nun den sphärischen Hohlspiegel. Wird nur ein kleiner Teil der Kugel gewählt, so erhält man einen Hohlspiegel, der nur wenig gekrümmt ist. Diese Art von Hohlspiegel unterscheidet sich kaum vom Parabolspiegel. Lichtstrahlen, welche parallel zur optischen Achse einfallen, werden in einem Punkt, dem Brennpunkt oder Focus F, gesammelt. 24
Wir wollen diese Eigenschaft des sphärischen Hohlspiegels mit Hilfe der Reflexionskonstruktion für einen achsenparallel einfallenden Strahl untersuchen: Liegt X nahe beim Scheitel S, so gilt näherungsweise: Aus folgt F X F S F X = F M F M = F S Wir bestimmen zu diesm Zweck den Schnittpunkt F des reflektierten Strahls mit der optischen Achse. Es gilt: α = β (Reflexionsgesetz) Daraus folgt: Also: α = γ (Wechselwinkel) β = γ d.h. das Dreick XF M ist gleichschenklig: F X = F M Der Brennpunkt F befindet sich also (näherungsweise) in der Mitte zwischen dem Scheitel S und dem Mittelpunkt M des Hohlspiegels. Diese Näherung gilt fast exakt, falls der Winkel α 10 ist. Die Strecke SF bezeichnet man als Brennweite f und es gilt: f = r, r: Krümmungsradius des Spiegels 2 Katakaustik Aus der Herleitung ist ersichtlich, dass nur achsennahe Parallelstrahlen (näherungsweise) in den Brennpunkt reflektiert werden. Achsenferne oder Randstrahlen werden so reflektiert, dass sie die optische Achse in Punkten schneiden, die näher beim Spiegel liegen als der Brennpunkt. Die Gesamtheit der reflektierten Strahlen hüllt eine charakteristisch geformte Fläche mit einer Spitze in F ein, die als Brennfläche oder Katakaustik bezeichnet wird. 25
Die folgende Figur zeigt einen Vergleich zwischen dem Parabolspiegel und dem sphärischen Hohlspiegel. 2.7 Abbildung am Hohlspiegel Am Hohlspiegel gehen achsenparallele Strahlen in Brennpunktstrahlen über und umgekehrt. Ein Mittelpunktsstrahl (Strahl durch den Mittelpunkt der Kugel) geht auf gleichem Weg wieder zurück. Diese Strahlen können verwendet werden, um die Abbildungen am Hohlspiegel zu konstruieren. 26
Aufgaben 10. Konstruiere das Bild B des Gegenstandes G mit Hilfe des achsenparallelen Strahls und des Brennpunktstrahls: 11. Konstruiere das Bild B des Gegenstandes G mit Hilfe des achsenparallelen Strahls und des Brennpunktstrahls: Reelles Bild Die Konstruktion zeigt, dass wenn sich der Gegenstand G ausserhalb des Brennpunkts befindet, so wird ein Bild B erzeugt mit den folgenden Eigenschaften: Reelles Bild (kann auf einem Schirm gesehen werden) Umgekehrtes Bild 27
Virtuelles Bild Befindet sich der Gegenstand G innerhalb des Brennpunkts, so wird ein Bild B erzeugt mit den folgenden Eigenschaften: Virtuelles Bild (kann nicht auf einem Schirm gesehen werden) Aufrechtes Bild Vergrössertes Bild Anwendungen des virtuellen Bildes sind Schmink- und Rasierspiegel. Berechnungen Durch Einführung der folgenden Grössen f: Brennweite des Spiegels (halber Radius) G: Gegenstandsgrösse g: Gegenstandsweite (Abstand Gegenstand vom Spiegel) B: Bildgrösse b: Bildweite (Abstand Bild vom Spiegel) gelten folgende Rechengesetze B G = b g und 1 f = 1 g + 1 b Die Grössen b und B sind negativ, falls es sich um ein virtuelles Bild handelt. Aufgaben 12. Berechnungen: (a) f = 12 cm, G = 6 cm, g = 18 cm. Berechne B und b. (b) f = 12 cm, G = 6 cm, g = 24 cm. Berechne B und b. (c) f = 12 cm, G = 6 cm, g = 6 cm. Berechne B und b. 13. Was passiert im Grenzfall, wo der Kugelradius r und damit auch die Brennweite f sehr gross wird? 28
2.8 Abbildung am Wölbspiegel Am Wölbspiegel verwenden wir die gleichen speziellen Strahlen. Die achsenparallele Strahlen gehen in Brennpunktstrahlen über und umgekehrt. Ein Mittelpunktsstrahl (Strahl durch den Mittelpunkt der Kugel) geht auf gleichem Weg wieder zurück. Diese Strahlen können verwendet werden, um die Abbildungen am Wölbspiegel zu konstruieren. Aufgaben 14. Konstruiere das Bild B des Gegenstandes G mit Hilfe des achsenparallelen Strahls und des Brennpunktstrahls: Virtuelles Bild Beim Wölbspiegel gibt es nur virtuelle Bilder mit den Eigenschaften: Virtuelles Bild (kann nicht auf einem Schirm gesehen werden) Aufrechtes Bild Verkleinertes Bild 29
Anwendungen des virtuellen Bildes sind Verkehrsspiegel. Berechnungen Es gelten die gleichen Rechengesetze B G = b g und 1 f = 1 g + 1 b Die Brennweite f und auch b und B sind negativ. Aufgaben 15. Berechnungen (a) f = 12 cm, G = 6 cm, g = 18 cm. Berechne B und b. (b) f = 12 cm, G = 6 cm, g = 6 cm. Berechne B und b. Experiment 3 (Wie wird das Licht am Hohlspiegel reflektiert?). Seiten 63 64 Experiment 4 (Warum sieht man sich in einem polierten Löffel umgekehrt und verkleinert?). Seiten 67 68 Experiment 5 (Wie wird das Licht am Wölbspiegel reflektiert?). Seiten 71 72 Experiment 6 (Warum sieht man sich in einer silbernen Kugel verkleinert?). Seiten 75 76 30
Lösungen 1. 2. 3. 4. LEIFI 5. LEIFI 6. LEIFI 7. LEIFI 8. 9. 31
10. 11. 12. Berechnungen: (a) b = 36 cm, B = 12 cm (b) b = 24 cm, B = 6 cm (c) b = 12 cm, B = 12 cm (virtuelles Bild) 32
13. Dann wird 1 f = 0, d.h. b = g. Dies entspricht dem normalen ebenen Spiegel. Es ergibt sich ein virtuelles Bild, welches gleich weit hinter dem Spiegel ist, wie der Gegenstand davor. 14. 15. (a) b = 7.2cm, B = 2.4cm (b) b = 4cm, B = 4cm 33