P-Seminar Outdoormathematik 2015/17 am Rottmayr-Gymnasium Laufen Aufgabenheft
Kreisberechnung (S.9) Strahlensatz (S.14) Lineare Funktionen (S.4)
Vorwort S itzt ihr auch manchmal im Matheunterricht und fragt euch halb schlafend, halb gelangweilt, was das alles soll? Warum ihr mit den unverständlichen Gedankenflausen lange toter Männer, denen all ihr mathematischer Verstand nichts gegen das Sterben und Verfallen geholfen hat, abmühen müsst, und noch dazu in völlig weltfremden und weit hergeholten Modellen, die aber absolut und überhaupt nichts mit der Welt zu tun haben? F ür euch, und weil wir es genauso kennen gelernt haben wie ihr, auch ein bißchen für uns, haben wir diesen Aufgabenweg erstellt; und Weg sagt es schon: es gibt ein Ziel! Dieses eine Mal haben wir versucht, euch eine Mathematik zu zeigen, die mehr ist als gelangweilter, apathischer und emotionsloser Zwang zu besseren Noten; geht in die Natur, nutzt euren eigenen Verstand, euren eigenen Intellekt, eure eigene Kreativität um die Aufgaben zu lösen und macht Mathematik so wie sie sein sollte! Viel Spaß in Laufen mit ein wenig natürlicher Mathematik wünscht euch das P-Seminar Outdoormathematik! 3
1. Lineare Funktionen 4
Kirchberg Die Stadt Laufen überlegt im Zuge einer Renovierung der Altstadt, wie lang eine Rampe zum Transport von Baumaterial sein müsste, damit man den Kirchturm erreicht. Die vorgeschlagene Steigung kann an einem nahe gelegenen Berg gemessen werden. Berechne die Steigung des Kirchbergs und bestimme damit, wie lang die Straße sein müsste, sodass sie die Spitze des Kirchturms erreicht. (Höhe des Turms: 57m) lineare Funktionen Maßband Meterstab 5
Steigung des Stadtbergs 1. Ein großer LKW muss eine Baustelle in der Altstadt beliefern, doch der einzige Weg führt über den Stadtberg. Schafft es der Lastwagen zur Baustelle, wenn er eine Steigung von maximal 14% bewältigen kann? lineare Funktionen Meterstab 6 2. Auch eine Baufirma interessiert sich für die Steigung, da sie überlegt, ob man auf der hangabwärtigen Seite eines Hauses eine Tür mit 2m Höhe in den Keller bauen könnte, wenn man davon ausgeht, dass der Keller auf der anderen Seite genau mit der Strasse abschließt. Berechne mithilfe einer Gleichung, ob dies bei einer Hauslänge von 10m möglich ist.
Der Kirchenkreuzweg 1. Berechne die Steigung der Schräge der Mauer des Kreuzwegs. Fertige davon eine Skizze an um dir den Sachverhalt veranschaulicht darzustellen. 2. Kann man durch Verlängern der Schräge den im Bild rot eingezeichneten Bildrand erreichen, oder berührt die Verlängerung die Wand unterhalb der roten Linie? lineare Funktionen Maßband Meterstab 7
Brunnen Beim Wandertag in diesem Jahr, haben 17 von 27 Schülern der Klasse von Herr Trezka nur leere Flaschen dabei. Um diese aufzufüllen macht Herr Trezka am Brunnen am Rupertusplatz Pause. Löse alle Aufgaben mithilfe einer einfachen linearen Funktion. lineare Funktionen a) Berechne die Länge der Pause, die benötigt wird um alle 17 0,75l Flaschen bis zum Flaschenhals zu füllen? b) Wie viele Flaschen kann man innerhalb von 45 Minuten auffüllen Maßband Meterstab Stoppuhr 0,5l Flache 8
2. Kreisberechnung 9
Schaukelspass Auf jedem Spielplatz ist eine Schaukel vorzufinden. Doch ihren mathematischen Gehalt erkennen nur wenige. 1. Man geht davon aus, dass man mit der höheren Schaukel in einem Halbkreis schaukelt. Welche Strecke legt man beim Schaukeln zurück? Kreisberechnung 2. Wieviel Prozent mehr Strecke legt man mit der niedrigeren Schaukel zurück? Maßband 10
Durchfahrt Verboten! Eine Lackiererei stellt die Farbe für Straßenschilder her und interessiert sich für den Anteil der Farbe des Schildes 1. Welchen prozentualen Anteil der Gesamtfläche des Straßenschildes bildet der rote Ring? 2. Welchen prozentualen Anteil der Gesamtfläche des Straßenschildes bildet der linke Scheinwerfer des Autos? Kreisberechnung Meterstab 11
Das Fussball-1-Mal-1 Franz Beckenbauer und sein Sohn möchten gemeinsam auf dem Spielplatz Fußball spielen. Als dieser jedoch zu fest auf das Tor schießt, löst sich der obere Ring des Tores und rollt entlang der gelb eingezeichneten Linie. Berechne, wie viele umdrehungen der Ring auf dem Weg vom Torpfosten zum Baum durchläuft. Kreisberechnung Maßband 12
Holz als Grundbaustoff Holz ist der wichtigste Grundbaustoff der Welt. Rund 30% der Erdoberfläche sind mit Wald bedeckt. 1. Berechne, welcher Anteil eines Baumes für dieses Gerüst verwendet wurde, wenn man davon ausgeht, dass man aus einem Baum 1m3 Holz gewinnt? (Volumen eines Zylinders = Grundfläche Höhe) 2. 12% des Holzes, das für den Spielplatz gebraucht wurde, wurde für das Gerüst verwendet. Berechne, ob für den gesamten Spielplatz mehr als ein Baum gefällt wurde. Kreisberechnung Maßband 13
3. Strahlensatz Wer sagt, dass mathematische Aufgaben nur mit Lineal, Zirkel etc. lösbar sind? Du kannst deinen eigenen Körper als Hilfe für die Berechnung von Höhen und Breiten nutzen. Bevor du mit den Aufgaben beginnst, lies dir die Anleitung zum Daumensprung und zur Stockpeilung durch und erfahre so, wie du deinen Körper zur Berechnung einsetzen kannst. 14
Daumensprung Anleitung Berechnung der Breite oder Entfernung eines entfernten Objektes mit Hilfe des Daumens Miss zuerst deine Armlänge b und deinen Augenabstand a. Dann, kannst du mit dieser Methode bestimmen, wie breit ein Objekt ist, wenn du weißt wie weit es entfernt ist oder umgekehrt. Durchführung: Man streckt einen Arm aus und hält den Daumen nach oben. Dann schließt man das linke Auge und hält den Daumen an den linken Rand des zu schätzenden Objektes. Man öffnet das linke und schließt das rechte Auge, merkt sich, an welchem Punkt vor dem Objekt der Daumen jetzt erscheint, wechselt wieder die Augen und platziert den Daumen an diesem Punkt. Dies wiederholt man, bis das ganze Objekt mit dem linken Auge hinter dem Daumen durchlaufen wurde (dieser Wert muss keine ganze Zahl sein, sondern kann auch z.b. 0,5 oder 2,3 betragen). a= Augenabstand; b= Armlänge; c= Gesamtlänge zu dem anfangs angepeiltem Objekt; d= Länge die man berechnen will (zwischen Zwei Objekten) Beispiel: Angenommen man ist 25 Meter von zwei nebeneinander stehenden Bäumen entfernt, jedoch liegen sie am anderen Ufer eines nicht durchquerbaren Flusses und man soll den Abstand der Bäume berechnen. Dies gelingt mit dem Daumensprung, ich kenne meinen Augenabstand a, der bei ca. 7 cm liegt und meine Armlänge b, die bei ca. 70 cm liegt. Nun habe ich ein Verhältnis von 1/10, c ist bekannt: 25 Meter. Löst man die Gleichung nun nach d auf ergibt sich: => Ein Daumensprung ist also 2,5m breit. Stehen die Bäume drei Daumensprünge auseinander, sind sie daher 7,5m voneinander entfernt. 15
Stockpeilung Anleitung Die Stockpeilung ist eine einfache Methode, um die Höhe von Objekten zu bestimmen. Die Höhe wird bei der Stockpeilung nach den Strahlensätzen ermittelt. Durchführung: 1. Miss den Abstand b zwischen deinem Standpunkt und dem zu messenden Objekt. 2. Greife den Stock (am besten verwendet man einen Meterstab) so weit unten wie möglich, strecke deinen Arm ganz aus und peilen den untersten Punkt des Objekts an, dann die Spitze des Objekts. Verschiebe dabei den Stock nicht. 3. Jetzt kannst du ablesen, wie weit der unterste Punkt und die Spitze des Objektes am Stock voneinander entfernt sind (c). 4. Nun musst du noch die Entfernung (a), des Stockes von deinem Auge (Armlänge) abmessen. 5. Nun kannst du die Höhe des Objekts mit der Strahlensatzformel ausrechnen. Strahlensatzformel: 16
Der Brunnen am MArienplatz Stelle dich vor den Brunnen am Marienplatz. Um wie viel Prozent ist der Brunnen am Marienplatz höher als breit? Strahlensatz Meterstab Maßband 17
Die Treppen zum Totenberg Strahlensatz Begib dich für diese Aufgabe zum Europasteg. Wenn du dich auf der Laufener Seite am Beginn des Stegs platzierst, kannst du auf der gegenüberliegenden Seite die auf den Totenberg führende, aus zwei, sich vereinigenden Treppenteilen bestehende Kalvarienstiege ausmachen. Die auf dem Foto gekennzeichnete Strecke zwischen den Teiltreppen soll mithilfe des Abstands (146,7m) von der anfangs beschriebenen Position zu den Treppen ermittelt werden. Meterstab 18
Lange des Haunsbergs Stelle dich auf den freien Platz neben die Eisdiele. Von diesem Punkt aus hast du freie Sicht auf den Haunsberg. Doch wie lang ist dieser? Berechne dazu die Entfernung von der Flugsicherungskugel zum Ende des Berges (wie im Bild eigezeichnet). Ausgehend von diesem Wert kannst du nun die Gesamtlänge des Berges abschätzen. Strahlensatz Meterstab 19
Adler auf der Brucke Am gleichen Standort wie bei der vorherigen Aufgabe findest du eine Infotafel. Diese gibt dir den Abstand bis zum ersten Adler auf der Brücke an. Berechne den Abstand der beiden gegenüberliegenden Adler mithilfe dieser Informationen. Benutze hierfür den Daumensprung. Achtung: Miss nicht die Breite der Straße ab, um die Aufgabe zu lösen. Strahlensatz Meterstab 20
Kirchturmhohe Stelle dich zunächst vor die Tür des Friseursalons Gerlinde. Von hieraus beträgt der Abstand bis zum Kirchturm 70m. Berechne nun die Höhe des Turmes der Stiftskirche in Laufen wie im Bild gezeigt. Strahlensatz Meterstab 21
Tipps lineare Funktionen Aufgabe Kirchberg Steigung des Stadtbergs Der Kirchenkreuzweg Brunnen Kreisberechnung Aufgabe Schaukelspaß Durchfahrt verboten! Das Fußball 1-Mal-1 Tipps Blechschacht als Steigungsdreieck verwenden Steigung = Stufe als Steigungsdreieck verwenden Steigung = Höhenänderung Streckenänderung Miss die Tiefe der Schrägen durch die Treppe links ab Sieh die Kante des Kreuzwegs zwischen Steigung und Boden als Ursprung eines Koordinatensystems an Stoppe die Zeit, bis die Flasche voll ist y=m x+t t=0 Berechne m mit: Volumen Zeit Für die Zeit löse die Gleichung nach x auf / Höhenänderung Streckenänderung Tipps verwende die weiße Fläche zur Hilfe Verwende den Kreisumfang Holz als Grundbaustoff Alle vier Baumstämme besitzen den gleichen Umfang 22
Aufgabe Der Brunnen am Marienplatz Die Treppen zum Totenberg Länge des Haunsbergs Adler auf der Brücke Kirchturmhöhe Tipps siehe Stockpeilung Anleitung Formel für Kreisumfang: U=2π r siehe Daumensprung Anleitung siehe Daumensprung Anleitung siehe Daumensprung Anleitung siehe Stockpeilung Anleitung Strahlensatz 23
Schlusswort Wir haben euch einen Weg erstellt und euch mathematisch einmal von der Schule weg durch Laufen und dann auch wieder zurück geführt, nun liegt es an euch, zu beurteilen was ihr mit dieser Erfahrung macht: Ihr könnt sie jetzt einfach vergessen, oder als langweilige Lernzwangmethode wie Hausaufgaben oder Nachsitzen sehen, bei dem ihr auch noch zu Sport gezwungen werdet; Oder ihr seht diese Mathematik nun in einem anderen Licht, ihr erkennt, dass Laufen nur aus mathematischen Grundformeln aufgebaut ist, die sich mit ein wenig Überlegung leicht erkennen lassen und dass das gar nicht soweit von eurem Leben entfernt liegt. Dass es ein Muster gibt, ein absehbares Ziel, und das ihr, wenn die Einschätzungen stimmen, eurer Endergebnis selbst bestimmen könnt. Das P-Seminar Outdoormathematik 15/17 dankt euch für euren Einsatz und eure Motivation und wünscht euch viel Durchhaltevermögen Und Erfolg! 24