ea Gymnasium Hinweise zum Im sind 94 Bewertungseinheiten (BE) von insgesamt 10 BE erreichbar. Am Ende jeder Teilaufgabe sind die erreichbaren Bewertungseinheiten angegeben. Auswahl der Aufgaben Sie erhalten sechs Aufgaben in drei Blöcken. Block 1 Analysis (46 BE) Block Stochastik (4 BE) Block 3 Lineare Algebra / Analytische Geometrie (4 BE) Aufgabe 1A Aufgabe A Aufgabe 3A Aufgabe 1B Aufgabe B Aufgabe 3B Wählen Sie aus jedem Block genau eine Aufgabe zur Bearbeitung aus. Andere Kombinationen sind nicht zulässig. Auswahlzeit: 30 Minuten Bearbeitungszeit: 40 Minuten Hilfsmittel für den 1. Zeichenmittel. eingeführter Taschenrechner vom Typ wie im Kopf der Aufgabe angegeben (mit Handbuch) 3. von der Schule eingeführte gedruckte Formelsammlung Niedersächsisches Kultusministerium 1 von 8
Aufgabe 1A ea Block 1 Gymnasium Der Sprung eines Fallschirmspringers soll in drei Phasen modelliert werden. In Phase A, beginnend zum Zeitpunkt t 0 = 0, wird der Springer bei geschlossenem Fallschirm immer schneller. In Phase B fällt er aufgrund des Luftwiderstandes mit konstanter Sinkgeschwindigkeit. Mit Öffnen des Fallschirms soll Phase C beginnen, in der der Fallschirm den Springer zunächst deutlich abbremst, so dass er schließlich eine zum Landen geeignete nahezu konstante Sinkgeschwindigkeit erreicht. Während des gesamten Sprungs werden die Höhe in Metern über dem Boden und die Zeit in Sekunden gemessen. a) Der Springer misst während der Phase B zum Zeitpunkt t 1 und zum Zeitpunkt t = 14 s die Höhe h = 800 m. = 10 s die Höhe h1 = 1000 m Weisen Sie mithilfe dieser Daten nach, dass sich die Höhe des Fallschirmspringers in Abhängigkeit von der Zeit t im Zeitraum der Phase B durch die Funktion h B mit h (t) = 1500 50 t beschreiben lässt. B Die Höhe des Fallschirmspringers in Phase A soll näherungsweise durch eine quadratische Funktion h A mit h A(t) = a t + b t + c modelliert werden. Diese soll zum Zeitpunkt t 3 = 8 s stetig und differenzierbar an h B anschließen. Ihr Graph soll durch den Punkt (4 150) verlaufen. Bestimmen Sie mithilfe dieser Informationen die Funktionsgleichung für h A. Skizzieren Sie die entsprechenden Graphen für die Phasen A und B bis zum Zeitpunkt t = 14 s und markieren Sie die Grenze zwischen den beiden Phasen. (17 BE) b) Nach 16 Sekunden öffnet der Springer den Fallschirm und leitet damit die Phase C ein. Die Höhe in dieser Phase soll durch die Funktion h C mit 45 t+ 3 h C(t) = e 5 t + 757,5 modelliert werden. Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Springer den Boden erreicht. Für eine sichere Landung sollte die Sinkgeschwindigkeit in etwa den Richtwert von erreichen. Bestimmen Sie den Zeitpunkt t S, zu dem eine Geschwindigkeit erreicht wird, die nur m noch 0,05 von dem Richtwert abweicht. s Begründen Sie anhand des Terms der Geschwindigkeitsfunktion, dass ab dem Zeitpunkt t S die Sinkgeschwindigkeit nicht mehr als m 5 s m 0,05 s vom Richtwert abweicht. (14 BE) c) Unabhängig von der obigen Modellierung kann die Sinkgeschwindigkeit mit Fallschirm auch durch die Funktion v mit t v(t) = 45 e 5, t in Sekunden, v(t) in Metern pro t Sekunde, beschrieben werden. (Hinweis: v (t) = 90 e ) Zeigen Sie, dass diese Funktion die Differentialgleichung des begrenzten Wachstums v (t) = k (G v(t)), mit k 0, für geeignete Werte von k und G erfüllt. Klassifizieren Sie die Graphen der Lösungen der Differentialgleichung unabhängig von dem Sachzusammenhang, indem Sie die Vorzeichen der Parameter k und G variieren. (15 BE) Niedersächsisches Kultusministerium von 8
Aufgabe 1B ea Block 1 Gymnasium Ein Holzfass ist h = 0,80 m hoch, hat in der Mitte einen Radius von R = 0,35 m und an Boden und Deckel den Radius r = 0,7 m. Das Fass wird entsprechend der Abbildung im Koordinatensystem symmetrisch zur y-achse liegend betrachtet. a) Die Mantellinie kann näherungsweise mithilfe einer Parabel beschrieben werden. Bestimmen Sie für die Mantellinie des Fasses mit den oben genannten Maßen eine Gleichung der Funktion p mit p(x) = a x + b, a IR, b IR. Berechnen Sie damit das Rotationsvolumen des Fasses. Johannes Kepler entwickelte die folgende Formel zur Berechnung des Volumens eines Fasses: = π V h (8 R + 4 R r + 3 r ). 15 Vergleichen Sie Ihr Ergebnis für das Rotationsvolumen des Fasses mit dem Ergebnis, das Sie mithilfe der Keplerschen Fassformel erhalten. Die Mantellinie des Fasses wird in einer anderen Modellierung für 0 x 0,4 beschrieben durch Funktionsgraphen der Schar f k mit k 3 f (x) =,5 x 1,5 x + k x + 0,35, k IR, x IR. (11 BE) b) Begründen Sie, dass die Mantellinie für 0,4 x 0 beschrieben wird durch die Funktionsgraphen der Schar g k mit k 3 g (x) =,5 x 1,5 x k x + 0,35, k IR, x IR. Die Graphen der Modellierungsfunktionen der Scharen f k und g k sollen die Wölbung des Fasses an der Stelle x = 0 jeweils sprung-, knick- und krümmungsruckfrei beschreiben. Zeigen Sie, dass diese Forderungen erfüllt werden, wenn gilt: k = 0. (13 BE) Unabhängig vom Sachzusammenhang werden die Funktionen der Schar f k nun für alle x IR betrachtet. In der Anlage sind beispielhaft zwei Graphen der Schar f k dargestellt. Betrachtet werden im Folgenden auch die Tangenten t k an die Graphen der Schar f k an der Stelle x = 0. c) Bestimmen Sie die Gleichung dieser Tangenten t k. (Zur Kontrolle: t k (x) = k x + 0,35 ) Entscheiden Sie mithilfe des Verhaltens der Funktionsgraphen an der Stelle x = 0, welcher der Graphen in der Anlage zu einer Funktion mit positivem Parameter k gehört. d) Die Graphen der Funktionenschar f k haben mit den jeweils zugehörigen Tangenten t k die Punkte B k(0 f k(0)) und S k(0,6 f k(0,6)) gemeinsam. Bestimmen Sie den Parameter k so, dass die Punkte B k und S k den kleinsten Abstand voneinander haben. Untersuchen Sie, ob der Inhalt der Fläche, die von jedem Graphen und der zugehörigen Tangente t k eingeschlossen wird, vom Parameter k abhängig ist. (9 BE) (13 BE) Niedersächsisches Kultusministerium 3 von 8
ea Block 1 Gymnasium Fortsetzung Aufgabe 1B Material Anlage: Graphen zu Teilaufgabe c) Niedersächsisches Kultusministerium 4 von 8
Aufgabe A Betrachtet werden Glücksräder mit zwei Sektoren. ea Block Gymnasium a) Beim Drehen eines solchen Glücksrads wird der Sektor Stern mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % angezeigt. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ergebnisse Stern, wenn das Rad dreimal gedreht wird. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an. Bestimmen Sie die Mindestanzahl der Drehungen so, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens einmal das Ergebnis Stern auftritt. Die Zufallsgröße Y beschreibt die Anzahl der Ergebnisse Stern, wenn das Rad 90-mal gedreht wird. Bestimmen Sie den Erwartungswert von Y. Erläutern Sie, wie man ohne weitere Berechnungen die Wahrscheinlichkeiten für Y = 30, Y = 33 und Y = 36 bei 90 Drehungen vergleichen kann. (1 BE) b) Ein Glücksrad steuert die Bewegung einer Spielfigur auf dem unten abgebildeten Spielfeld nach folgenden Regeln: Zeigt das Rad Stern, so wird die Figur um ein Feld nach rechts gerückt. Zeigt das Rad nicht Stern, so wird die Figur um ein Feld nach links gerückt. Ist eines der beiden Zielfelder erreicht, so ist das Spiel beendet. Das Glücksrad wird bei einem Spiel höchstens sechsmal gedreht. Ziel Start Ziel Für dieses Glücksrad gibt p den Anteil des Sektors Stern an. Erläutern Sie, dass die Wahrscheinlichkeit für das Erreichen eines der beiden Zielfelder 6 4 5 durch den Term (1 p) + p + 4 (1 p) p berechnet werden kann. Die Wahrscheinlichkeit für das Erreichen eines der beiden Zielfelder soll mindestens 15 % betragen. Ermitteln Sie die möglichen Werte für p. (Genauigkeit der Angaben: zwei Nachkommastellen) (1 BE) Niedersächsisches Kultusministerium 5 von 8
Aufgabe B ea Block Gymnasium In der Zeitung DIE ZEIT vom 1.03.013 war zum Intelligenzquotienten (IQ) Folgendes zu lesen: Der IQ gibt an, wie intelligent eine Testperson im Vergleich zu anderen Gleichaltrigen aus derselben Bevölkerung ist. Intelligenzvergleiche zwischen sehr unterschiedlichen Gruppen, etwa Völkern, verbieten sich, weil Intelligenztests kulturell geprägt sind. Mit einem IQ von 100 verfügt man über durchschnittliche Intelligenz [...]. Zwei Drittel der Bevölkerung haben einen IQ zwischen 85 und 115. Rund 17 Prozent können mit einem IQ von mehr als 115 als überdurchschnittlich intelligent gelten, und Prozent mit einem IQ von mehr als 130 als hochbegabt. Die Zufallsgröße X, die jeder zufällig ausgewählten Person ihren IQ zuordnet, wird als normalverteilt angenommen. a) Erläutern Sie, dass unter diesen Voraussetzungen der Erwartungswert µ = 100 und die Standardabweichung σ = 15 der Zufallsgröße X mit den Aussagen des obigen Textes näherungsweise ermittelt werden können. Berechnen Sie mithilfe der Zufallsgröße X die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person einen IQ hat, der größer als 115 ist. Berechnen Sie mithilfe der Zufallsgröße X den Anteil der Bevölkerung mit einem IQ, der größer als 95 und kleiner als 105 ist. b) Eine zufällig ausgewählte Person ist mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa,3 % hochbegabt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter 10 zufällig ausgewählten Personen mindestens eine hochbegabte Person befindet. Der Wahrscheinlichkeitswert von,3 % für das Vorhandensein einer Hochbegabung wird angezweifelt. Es wird deshalb eine Stichprobe von 450 zufällig ausgewählten Personen untersucht. Die Untersuchung ergibt, dass sich in der Stichprobe 16 hochbegabte Personen befinden. Entscheiden Sie mithilfe eines Vertrauensintervalls, ob man bei einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von γ = 95 % davon ausgehen kann, dass die Zweifel berechtigt sind. (9 BE) (8 BE) 1 c) Für die obige normalverteilte Zufallsgröße X ist ϕ mit ϕ (t) = e 15 π Dichtefunktion. Bestimmen Sie in den beiden Gleichungen für a und b. Es soll gelten: c d ϕ (t) dt + ϕ (t) dt = 1. a ϕ (t) dt = 0, und b 1 t 100 15 die ϕ (t) dt = 0,8 die Werte Begründen Sie, dass daraus c + d = 100 folgt. (7 BE) Niedersächsisches Kultusministerium 6 von 8
Aufgabe 3A ea Block 3 Gymnasium Stehende Gewässer weisen eine Schichtung des Wassers auf. Modellhaft werden drei Schichten unterschieden: die kalte Tiefenschicht, die warme Oberflächenschicht und die dazwischenliegende Sprungschicht, in der die Temperatur mit der Tiefe sinkt. Oberflächenschicht Sprungschicht Tiefenschicht Durch unterschiedliche Vorgänge kommt es zu einem gewissen Austausch zwischen den Schichten, sodass sich die Schichtdicken verändern. Die nebenstehende Tabelle beschreibt die Übergänge zwischen den Schichten pro Zeiteinheit. Für diese Modellierung wird vorausgesetzt, dass sich diese Entwicklung in der beschriebenen Weise fortsetzen wird. nach von O S T O 0,9 0,1 0 S 0,1 0,85 0,1 T 0 0,05 0,9 a) Stellen Sie die Daten aus der Übergangstabelle in einem Übergangsgraphen dar. Erläutern Sie die Werte der mittleren Zeile der Tabelle im Sachzusammenhang. Bestimmen Sie die Schichtdicken nach fünf Zeiteinheiten auf Zentimeter genau, wenn zu Beginn jede der Schichten 3 m dick ist. b) Nach diesem Modell werden die Oberflächen- und die Sprungschicht mit der Zeit gleich dick. Erstellen Sie begründet eine veränderte Übergangsmatrix so, dass die Sprungschicht auf lange Sicht dicker ist als die Oberflächenschicht. c) Für eine andere Modellierung eines 9 m tiefen Gewässers wird die Übergangsmatrix a b 0 N = 1 a 1 b c angegeben. 0 b 1 c Geben Sie an, welche Werte b annehmen darf. Bestimmen Sie eine Matrix N so, dass sich eine stabile Verteilung mit einer 1 m dicken Oberflächen-, einer 3 m dicken Sprung- und einer 5 m dicken Tiefenschicht ergibt. (10 BE) (6 BE) (8 BE) Niedersächsisches Kultusministerium 7 von 8
Aufgabe 3B Eine Gruppe Bergsteiger gerät am Berg in Not und funkt nach Hilfe. In einem passenden Koordinatensystem befindet sich die Bergwacht im Ursprung O(0 0 0). Ein Hubschrauber befindet sich im Punkt H( 4 6 1). Alle Koordinaten haben die Einheit km. ea Block 3 Gymnasium 1 a) Der Notruf der Bergsteiger wird von der Bergwacht aus der Richtung u = 3 aufgenommen. Der Hubschrauber nimmt den Notruf aus der Richtung v = 4 auf. 1 Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes N, in dem sich die Bergsteigergruppe aufhält. (Zur Kontrolle: N( 6 4) ) Der Hubschrauber fliegt sofort zum Aufenthaltsort der Bergsteigergruppe. Vereinfachend km wird angenommen, dass seine Geschwindigkeit konstant 50 beträgt. h Berechnen Sie seine Flugzeit bis zum Eintreffen im Punkt N in Minuten. Der Hubschrauber nimmt die Bergsteigergruppe auf und fliegt vom Aufenthaltsort in Punkt N zur Bergwacht. Dabei fliegt er die Bergwacht jedoch nicht direkt an, sondern er fliegt zunächst zu einem Punkt P und von dort weiter zur Bergwacht. 1 b) Der Hubschrauber fliegt vom Punkt N aus zunächst mit dem Kurs k = 0 bis zum 0,5 Punkt P und ändert dort seinen Kurs zu m =. 1 Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P. (Zur Kontrolle: P(1,5 6 3) ) Berechnen Sie den Winkel, unter dem der Hubschrauber seinen Kurs im Punkt P ändert. c) Der Pilot überlegt eine alternative Route von N über einen Punkt P z(1,5 6 z) zur Bergwacht. Er möchte so fliegen, dass er seinen Kurs in P z unter einem Winkel von 90 ändert. Untersuchen Sie, ob es entsprechende Werte für z gibt. (9 BE) (8 BE) (7 BE) Niedersächsisches Kultusministerium 8 von 8