Algorithmen für geographische Informationssysteme

Algorithmen für geographische Informationssysteme. Vorlesung:. Oktober 01 Jan-Henrik Haunert

Bezugssysteme und Kartenabbildungen Welche Form hat die Erde? Wie gebe ich eine Position an? Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion

Geodätische Grundlagen Quelle: Autodesk

Geodätische Grundlagen Geodäsie: Wissenschaft von der Ausmessung und Abbildung der Erdoberfläche Friedrich Robert Helmert (1843-1917) Quelle: wikipedia

Welche Form hat die Erde? Ebene Kugel (zuerst ca. 500 v. Chr bekannt) Ellipsoid (um 1736 nachgewiesen) Geoid (ab 188) Radius 6370 km gr. Halbachse a 6378 km kl. Halbachse b 6357 km Abplattung f = a b a 1:300 106 bis +85 m Abweichung von Ellipsoid

Welche Form hat die Erde? Geoid Quelle: wikipedia Das Geoid entspricht einer ruhend gedachten Meeresoberfläche (fortgesetzt unter den Kontinenten). Geoid = Fläche gleichen Schwerepotentials

Welche Form hat die Erde? Meeresoberfläche (Geoid) Meeresgrund Geoid? (a) (b)

Welche Form hat die Erde? Meeresoberfläche (Geoid) Meeresgrund Geoid (a) (b)

Welche Form hat die Erde? Ebene als lokale Näherung; Distanzmessungen > 10 km müssen auf Kugel reduziert werden (Kahmen, 1997) Kugel Ellipsoid als Grundlage für Karten als Grundlage für Karten mit Maßstab < 1: Mio. mit Maßstab 1: Mio. (Hake et al., 00) Geoid für Höhen

Wie gebe ich eine Position an? Geodätisches Datum bestimmt Ursprung, Orientierung und Maßstab eines Bezugssystems X, Y, Z im Verhältnis zu einem grundlegenden absoluten System.

Wie gebe ich eine Position an? Geodätisches Datum bestimmt Ursprung, Orientierung und Maßstab eines Bezugssystems X, Y, Z im Verhältnis zu einem grundlegenden absoluten System. Außerdem: Form eines Bezugsellipsoids

Wie gebe ich eine Position an? Beispiel 1 Z Berlin X, Y Rauenberg-Datum (auch Potsdam-Datum) Form: Lage: Verwendung: lokal an Deutschland angepasst (Bessel-Ellipsoid) Lage Fundamentalpunkt Rauenberg & Azimut zur Marienkirche in Berlin festgelegt Deutsches Hauptdreiecksnetz, auch heute noch Grundlage vieler Daten

Wie gebe ich eine Position an? Beispiel 𝑍 𝑋, 𝑌 WGS84 Form: Lage: Verwendung: global angepasst Zentrum des Ellipsoids = Massenschwerpunkt Erde; z-achse in Richtung Nordpol; Greenwich in x-z-ebene; Realisiert durch Fundamentalstationen GPS Quelle: wikipedia

Wie gebe ich eine Position an? Beispiel 3 𝑍 𝑋, 𝑌 ETRS89 Form: Lage: Verwendung: global angepasst zum 1.1.1989 wie WGS84, danach an eurasische Platte gebunden Deutsche Landesvermessungen ab 1991

Wie gebe ich eine Position an? In dreidimensionalen kartesischen Koordinaten: 𝑍 b 𝑝 = 𝑋𝑝, 𝑌𝑝, 𝑍𝑝 𝒁𝒑 𝑿𝒑 𝒀𝒑 a 𝑋 𝑌 Verwendung: z.b. Rechnen mit Raumstrecken Quelle: wikipedia

Wie gebe ich eine Position an? In geographischen Koordinaten (Breite 𝝋, Länge 𝝀): 𝑍 b 𝑝 𝝋 a 𝝀 𝑋 𝒉 𝑌 𝒉 = ellipsoidische Höhe von 𝒑 (wird selten verwendet, aber zur Berchnung von 𝑋𝑝, 𝑌𝑝, 𝑍𝑝 aus geogr. Koord. erforderlich)

Wie gebe ich eine Position an? In geographischen Koordinaten (Breite 𝝋, Länge 𝝀): 𝑍 Einheiten: b 𝝋 a 𝝀 𝑋 𝒉 𝑌 𝑝 𝝋 = 𝟔𝟐 𝟏𝟒 𝟏𝟑. 𝟑𝟑 Bogenminuten (60 = 1 ) Bogensekunden (60 = 1 ) = 𝟔𝟐. 𝟐𝟑𝟕𝟎𝟑𝟔 Faustregel: 𝟏 𝟑𝟎 𝐦

Wie gebe ich eine Position an? In geographischen Koordinaten (Breite 𝝋, Länge 𝝀): 𝑍 Zusammenhang: b 𝒉 𝑵 a 𝝀 𝑋 𝝋 𝑝 𝑋 𝑌 = 𝑍 𝑁 + ℎ cos 𝜑 cos 𝜆 𝑁 + ℎ cos 𝜑 sin 𝜆 𝑁 + ℎ sin 𝜑 1 + 𝑒 mit 𝑌 𝑁= 𝑎 𝑎 cos 𝜑 + 𝑏 sin 𝜑 𝑏 𝑎 𝑒 = 𝑏

Wie gebe ich eine Position an? In geographischen Koordinaten: 𝑍 in Kartenkoordinaten bzw. projizierten Koordinaten: 𝑥 b 𝑝 𝝋 a 𝝀 𝑋 𝒉 𝑥𝑝, 𝑦𝑝 𝑌 Kartenabbildung 𝑥𝑝 𝑦𝑝 = 𝑓 𝜑𝑝, 𝜆𝑝 𝑦

Wie gebe ich eine Position an? In geographischen Koordinaten: 𝑍 in Kartenkoordinaten bzw. projizierten Koordinaten: 𝑥 b 𝑝 𝝋 a 𝝀 𝑋 𝒉 𝑥𝑝, 𝑦𝑝 𝑌 Kartenabbildung 𝑥𝑝 𝑦𝑝 = 𝑓 𝜑𝑝, 𝜆𝑝 𝑦 normalerweise: Höhen in Karte beziehen sich aufs Geoid

Wie gebe ich eine Position an? 𝑍 b 𝑝 Quelle: wikipedia 𝝋 a 𝝀 𝑋 𝒉 𝑌 verschiedene Abbildungen für verschiedene Zwecke

Wie gebe ich eine Position an? Merke: Zu jeder Koordinatenangabe 𝑋, 𝑌, 𝑍 gehört die Angabe - eines geodätischen Datums.

Wie gebe ich eine Position an? Merke: Zu jeder Koordinatenangabe 𝜑, 𝜆 gehört die Angabe - eines geodätischen Datums (inkl. Form d. Ellipsoids).

Wie gebe ich eine Position an? Merke: Zu jeder Koordinatenangabe 𝑥, 𝑦 gehört die Angabe - eines geodätischen Datums (inkl. Form d. Ellipsoids). und - der verwendeten Kartenabbildung.

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? x y = f φ, λ Gesucht!

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝜑, 𝜆 Gesucht! Einfachste Abbildung: Plattkarte 𝑥 𝑅𝜆 𝑦 = 𝑓 𝜑, 𝜆 = 𝑅𝜑 Quelle: wikipedia

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝜑, 𝜆 Gesucht! Einfachste Abbildung: Plattkarte 𝑥 𝑅𝜆 𝑦 = 𝑓 𝜑, 𝜆 = 𝑅𝜑 Nachteil: Breitenkreise werden extrem gestreckt Proportionen (auch lokal!) gehen verloren Quelle: wikipedia

Quelle: autobild.de Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Es gibt keine Abbildung, die alle Distanzen unverzerrt abbildet!

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Mögliche Eigenschaften: Flächentreue Winkeltreue (Konformität) Längentreue für bestimmte Linien...

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Mögliche Eigenschaften: Flächentreue Winkeltreue (Konformität) Längentreue für bestimmte Linien... Aufgabe: Finde eine Abbildung f, die bestimmte Vorgaben erfüllt.

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion (für Kugel) Quelle: wikipedia Quelle: wikipedia Gerhard Krämer (151-1594)

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion (für Kugel) Vorteil: Konformität (Winkeltreue) Quelle: wikipedia Nachteil: Flächenverzerrungen Quelle: wikipedia Gerhard Krämer (151-1594)

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion X Y Z = N + h cos φ cos λ N + h cos φ sin λ N + h sin φ 1 + e N = a a cos φ + b sin φ e = a b b

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion X Y Z = N = N + h cos φ cos λ N + h cos φ sin λ N + h sin φ 1 + e a a cos φ + b sin φ X = X Y Z = R cos φ cos λ R cos φ sin λ R sin φ für Kugel (a = b = R und h = 0) e = a b b

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion 𝑍 𝑅 cos 𝜑 cos 𝜆 𝑋 𝑋 = 𝑌 = 𝑅 cos 𝜑 sin 𝜆 𝑅 sin 𝜑 𝑍 R 𝝋 𝝀 𝑋 𝑌 𝑝

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion 𝑍 R 𝝋 𝝀 𝑋 𝑌 𝑝 𝑅 cos 𝜑 cos 𝜆 𝑋 𝑋 = 𝑌 = 𝑅 cos 𝜑 sin 𝜆 𝑅 sin 𝜑 𝑍 Tangentialvektoren: = 𝑅 sin 𝜑 cos 𝜆 𝑅 sin 𝜑 sin 𝜆 𝑅 cos 𝜑 𝑅 cos 𝜑 sin 𝜆 = 𝑅 cos 𝜑 cos 𝜆 0

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion 𝑍 R 𝝋 𝝀 𝑋 𝑌 𝑝 𝑅 cos 𝜑 cos 𝜆 𝑋 𝑋 = 𝑌 = 𝑅 cos 𝜑 sin 𝜆 𝑅 sin 𝜑 𝑍 Tangentialvektoren: = 𝑅 sin 𝜑 cos 𝜆 𝑅 sin 𝜑 sin 𝜆 𝑅 cos 𝜑 𝑅 cos 𝜑 sin 𝜆 = 𝑅 cos 𝜑 cos 𝜆 0

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion 𝑍 Zylinderabbildung: 𝑥 𝑅𝜆 𝑥= 𝑦 = 𝑓 𝜑 R 𝒚 𝝋 𝑋 𝒙 𝝀 𝑌 𝑝

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion 𝑍 R 𝒚 𝝋 𝑋 𝒙 𝝀 𝑌 𝑝 Zylinderabbildung: 𝑥 𝑅𝜆 𝑥= 𝑦 = 𝑓 𝜑 Tangentialvektoren: 0 = 𝑓 𝜑 𝑅 = 0

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion 𝑍 R 𝒚 𝝋 𝑋 𝒙 𝝀 𝑌 𝑝 Konformität: Gleiches Seitenverhältnis der aufgespannten Rechtecke =

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion 𝑍 R 𝒚 𝝋 𝑋 𝒙 𝝀 𝑝 Konformität: Gleiches Seitenverhältnis der aufgespannten Rechtecke = 𝑌 Proportionen (lokal gesehen) bleiben erhalten!

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion 𝑍 R 𝒚 𝝋 𝑋 𝒙 𝝀 𝑝 Konformität: Gleiches Seitenverhältnis der aufgespannten Rechtecke 𝑌 = =

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion 𝑍 R 𝒚 𝝋 𝑋 𝒙 𝝀 𝑝 Konformität: Gleiches Seitenverhältnis der aufgespannten Rechtecke 𝑌 = = Koeffizienten der ersten Fundamentalform der Kugel

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion x φ = 0 f φ = f φ

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion x φ = 0 f φ = f φ x λ = R 0 = R

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion x φ = 0 f φ = f φ x λ = R 0 = R X φ = R sin φ cos λ R sin φ sin λ R cos φ = R sin φ cos λ + R sin φ sin λ + R cos φ = R sin φ cos λ + sin λ + R cos φ = R sin φ + cos φ = R

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion x φ = 0 f φ = f φ x λ = R 0 = R X φ = R sin φ cos λ R sin φ sin λ R cos φ = R sin φ cos λ + R sin φ sin λ + R cos φ = R sin φ cos λ + sin λ + R cos φ = R sin φ + cos φ = R X λ = R cos φ sin λ R cos φ cos λ 0 = R cos φ sin λ + R cos φ cos λ = R cos φ sin λ + cos λ = R cos φ

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion R 𝒚 𝝋 𝑋 𝒙 𝝀 𝑌 𝑝 Konformität: Gleiches Seitenverhältnis der aufgespannten Rechtecke 𝑓 𝜑 = = 𝑅 = 𝑅 𝑅 cos 𝜑

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion R 𝒚 𝝋 𝑋 𝒙 𝝀 𝑌 𝑝 Konformität: Gleiches Seitenverhältnis der aufgespannten Rechtecke 𝑓 𝜑 = = 𝑅 = 𝑅 𝑓 𝜑 = 𝑅 cos𝜑 𝑅 cos 𝜑

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion R 𝒚 𝝋 𝑋 𝒙 𝝀 𝑌 𝑝 Konformität: Gleiches Seitenverhältnis der aufgespannten Rechtecke 𝑓 𝜑 = = 𝑅 = 𝑅 𝑅 cos 𝜑 𝑓 𝜑 = 𝑅 cos𝜑 𝑓 𝜑 = 𝑅 ln tan 𝜑 + 𝜋 4

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion R Z Achtung: Trotz Winkeltreue gilt α α! Quelle: wikipedia X a α b Y a α b c c

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion R Z Achtung: Trotz Winkeltreue gilt α α! Quelle: wikipedia X a α b Y a α b c c Winkeltreue gilt nur für differentiell kleine Dreiecke!

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion Quelle: Spata (010) in transversaler Lage (Mittelmeridian kann beliebig gewählt werden)

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion Gauß-Krüger-Koordinaten: Erde wird in 3 breite Streifen zerlegt Jeder Streifen wird mit einer transversalen Mercatorprojektion abgebildet (Mittelmeridian = Streifenzentrum) Quelle: wikipedia Verwendung deutsche Landesvermessungen (mit Potsdam Datum) ab 1991 durch UTM abgelöst

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion Universal Transversal Mercator (UTM): Prinzip wie Gauß-Krüger Streifenbreite jedoch 6 Zylinder schneidet Kugel Quelle: wikipedia Verwendung GPS-Koordinaten (mit Datum WGS84) Deutsche Landesvermessungen (mit Datum ETRS89)

Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Aufgabe: Flächentreue Zylinderabbildung R 𝒚 𝝋 𝑋 𝒙 𝝀 𝑌 𝑝 Flächentreue: Gleicher Flächeninhalt der aufgespannten Rechtecke

Quellen N. de Lange: Geoinformatik in Theorie und Praxis, Springer, Berlin, 006. http://www.springerlink.com/content/978-3-540-891-4 F. J. Gruber & R. Joeckel: Formelsammlung für das Vermessungswesen, Teubner, Stuttgart, 007. http://www.springerlink.com/content/978-3-8351-019-0 G.Hake, D. Grünreich, L. Meng: Kartographie, de Gruyter, Berlin, 00. H. Kahmen: Vemessungskunde, de Gruyter, Berlin, 1997.