Orthografische Projektion!

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1 Kartenprojektionen!

2 Orthografische Projektion!

3 Immer der Nase nach! Großkreise statt Geraden! α = 15 Blick von der Seite! Steigungswinkel α { 15, 45, 75 }

4 Was ist denn das?!

5 Verzerrungsellipsen (Indikatrix von Tissot)!

6 Carl Friedrich Gauß! ! Theorema egregium:!! Es gibt keine isometrische Abbildung! von der Kugel auf die Ebene.!

7 verzerrungsfreie! Theorema egregium:!! Es gibt keine isometrische Abbildung! von der Kugel auf die Ebene.! Carl Friedrich Gauß! !

8 Carl Friedrich Gauß! ! Theorema egregium:!! Es gibt keine isometrische Abbildung! von der Kugel auf die Ebene.!! Hingegen gibt es:!! flächentreue Karten (equivalent)! winkeltreue Karten (conformal)!

9 Typische Kartenträger :!! Tangentialebene! Azimutalentwurf!! Berührender Zylinder! Zylinderentwurf!! Berührender Kegel! Kegelentwurf!

10 Abstandstreue (mittelstandstreue) Entwürfe:!! Meridiane längentreu!

11 Plattkarte: Abstandstreuer Zylinderentwurf! Meridiane und Äquator längentreu!

12 Plattkarte: Abstandstreuer Zylinderentwurf! Meridiane und Äquator längentreu!

13 Plattkarte: Abstandstreuer Zylinderentwurf! Meridiane und Äquator längentreu! Aufgabe 4.2a!

14 Abstandstreuer Azimutalentwurf! Andere Tangentialebene?!

15 Abstandstreuer Azimutalentwurf! Andere Tangentialebene?!

16 Abstandstreuer Azimutalentwurf! Andere Tangentialebene?!

17 Abstandstreuer Kegelentwurf!

18 Abstandstreuer Kegelentwurf!

19 Abstandstreuer Kegelentwurf!

20 Abgewickelter Kegelmantel!

21 Abgewickelter Kegelmantel!

22 Abgewickelter Kegelmantel!

23 Abgewickelter Kegelmantel!

24 Gnomonische Projektion! N ϑ tan( ϑ ) P P M S

25 Gnomonische Projektion!

26 Gnomonische Projektion! Würfelmodell!

27 Gnomonische Projektion! Würfelmodell!

28 Flächentreue und winkeltreue Karten!

29 Theorie! Flächentreue und winkeltreue Karten! Zylinderentwurf: Netzvierecke vergleichen! u ϕ ( ) =? N π 0 π λ S

30 Theorie! Flächentreue und winkeltreue Karten! Zylinderentwurf: Netzvierecke vergleichen! u ϕ ( ) =? N π 0 π λ S dϕ du cos( ϕ)dλ dλ

31 Theorie! Flächentreue Karten! Netzvierecke gleicher Flächeninhalt! dϕ du cos( ϕ)dλ dλ

32 Theorie! Flächentreue Karten! Netzvierecke gleicher Flächeninhalt! dϕ cos( ϕ)dλdϕ = dλdu du cos( ϕ)dλ du = cos( ϕ)dϕ u( ϕ) = du = cos ϕ ( )dϕ dλ = sin( ϕ) + C u( 0) = 0 C = 0 u( ϕ) = sin( ϕ)

33 Theorie! Flächentreue Karten! Netzvierecke gleicher Flächeninhalt! dϕ cos( ϕ)dλdϕ = dλdu du cos( ϕ)dλ du = cos( ϕ)dϕ u( ϕ) = du = cos ϕ ( )dϕ dλ = sin( ϕ) + C u( 0) = 0 C = 0 u( ϕ) = sin( ϕ)

34 Theorie! Flächentreue Karten! Netzvierecke gleicher Flächeninhalt! dϕ cos( ϕ)dλdϕ = dλdu du cos( ϕ)dλ du = cos( ϕ)dϕ u( ϕ) = du = cos ϕ ( )dϕ dλ = sin( ϕ) + C u( 0) = 0 C = 0 u( ϕ) = sin( ϕ)

35 Theorie! Flächentreue Karten! Netzvierecke gleicher Flächeninhalt! dϕ cos( ϕ)dλdϕ = dλdu du cos( ϕ)dλ du = cos( ϕ)dϕ u( ϕ) = du = cos ϕ ( )dϕ dλ = sin( ϕ) + C u( 0) = 0 C = 0 u( ϕ) = sin( ϕ)

36 Theorie! Winkeltreue Karten! Netzvierecke gleiche Form! cos( ϕ)dλ dϕ dϕ cos( ϕ)dλ = du dλ du = dϕ cos ϕ ( ) u( ϕ) = du = dϕ cos ϕ = ln tan ϕ 2 + π 4 ( ) du dλ ( ( )) + C u( 0) = 0 C = 0 ( ) = ln tan ϕ 2 + π 4 u ϕ ( ( ))

37 Theorie! Winkeltreue Karten! Netzvierecke gleiche Form! cos( ϕ)dλ dϕ dϕ cos( ϕ)dλ = du dλ du = dϕ cos ϕ ( ) u( ϕ) = du = dϕ cos ϕ = ln tan ϕ 2 + π 4 ( ) du dλ ( ( )) + C u( 0) = 0 C = 0 ( ) = ln tan ϕ 2 + π 4 u ϕ ( ( ))

38 Theorie! Winkeltreue Karten! Netzvierecke gleiche Form! cos( ϕ)dλ dϕ dϕ cos( ϕ)dλ = du dλ du = dϕ cos ϕ ( ) u( ϕ) = du = dϕ cos ϕ = ln tan ϕ 2 + π 4 ( ) du dλ ( ( )) + C ( ) = 0 C = 0 u 0 Formelsammlung! ( ) = ln tan ϕ 2 + π 4 u ϕ ( ( ))

39 Theorie! Winkeltreue Karten! Netzvierecke gleiche Form! cos( ϕ)dλ dϕ dϕ cos( ϕ)dλ = du dλ du = dϕ cos ϕ ( ) u( ϕ) = du = dϕ cos ϕ = ln tan ϕ 2 + π 4 ( ) du dλ ( ( )) + C u( 0) = 0 C = 0 ( ) = ln tan ϕ 2 + π 4 u ϕ ( ( ))

40 Theorie: Zusammenfassung! dϕ du cos( ϕ)dλ dλ Flächentreu:!!! Winkeltreu:! u ϕ u( ϕ) = sin( ϕ) ( ( )) ( ) = ln tan ϕ 2 + π 4

41 Praxis! Flächentreue Karten! Zylinderentwurf! u( ϕ) = sin( ϕ) N P P ϕ sin( ϕ) S

42 Flächentreue Karten! Zylinderentwurf! u( ϕ) = sin( ϕ) Archimedes / Lambert! Aufgabe 4.2c!

43 Flächentreue Karten! Zylinderentwurf! u( ϕ) = sin( ϕ) Winkeltreu am Äquator! Archimedes / Lambert! Aufgabe 4.2c!

44 Flächentreue Karten! Zylinderentwurf! u( ϕ) = sin( ϕ) Archimedes! BC! Johann Heinrich Lambert! !

45 Winkeltreue Karten! Zylinderentwurf! ( ) = ln tan ϕ 2 + π 4 u ϕ ( ( ))

46 Winkeltreue Karten! Zylinderentwurf! ( ) = ln tan ϕ 2 + π 4 u ϕ ( ( )) ( ) = ln tan ϕ 2 + π 4 u ϕ -2 ( ( )) geht ins Unendliche!

47 Winkeltreue Karten! Zylinderentwurf! ( ) = ln tan ϕ 2 + π 4 u ϕ ( ( )) Mercator-Karte! Aufgabe 4.2b! Aufgabe 4.3!

48 Winkeltreue Karten! Zylinderentwurf! ( ) = ln tan ϕ 2 + π 4 u ϕ ( ( )) Mercator-Karte! Aufgabe 4.2b! Aufgabe 4.3!

49 Winkeltreue Karten! Zylinderentwurf! ( ) = ln tan ϕ 2 + π 4 u ϕ ( ( )) Gerhard Mercator! !

50 Winkeltreue Karten! Zylinderentwurf! Loxodrome: Kurve mit! konstantem Winkel! α gegenüber Meridianen! α = 45 Mercator-Karte!

51 Winkeltreue Karten! Zylinderentwurf! Loxodrome: Kurve mit! konstantem Winkel! α gegenüber Meridianen! α = 45 Kugel!

52 Winkeltreue Karten! Zylinderentwurf! Loxodrome: Kurve mit! konstantem Winkel! α gegenüber Meridianen! α = 80 Mercator-Karte!

53 Winkeltreue Karten! Zylinderentwurf! Loxodrome: Kurve mit! konstantem Winkel! α gegenüber Meridianen! α = 80 Kugel! Aufgabe 4.4!

54 Quer und schief!

55 Querachsige Mercatorkarte!

56 Querachsige Mercatorkarte!

57 Querachsige Mercatorkarte!

58 Bezugsmeridiane! 30 -Segmente! Querachsige Mercatorkarte!

59 Querachsige Mercator-Karte(n)! Gauß-Krüger: Bezugsmeridiane 3 Abstand, 60 Zylinder! früher: Deutschland, Österreich! UTM (universale transversale Mercator-Karte):! Bezugsmeridiane 6 Abstand, 30 Zylinder! heute weit verbreitet!

60 Sonderfall Schweiz: Schiefachsige Mercator-Karte! Bern!

61 Sonderfall Schweiz: Schiefachsige Mercator-Karte! Die Schweizerkarte, global erweitert!

62 Flächentreue Karte von Mercator / Sanson!

63 Plattkarte! an den Polen zu Punkt einbrutzeln!

64 an den Polen zu Punkt einbrutzeln!

65 an den Polen zu Punkt einbrutzeln!

66 an den Polen zu Punkt einbrutzeln!

67 Flächentreue Karte von Mercator / Sanson! Auch als sinusoidale Projektion bezeichnet!

68 Erinnerung an die Schule!! Kreis und Dreieck!

69 Erinnerung an die Schule!! Kreis und Dreieck! Grundlinie = 2rπ Höhe = r Flächeninhalt = 2rπ r 2 = r 2 π

70 Erinnerung an die Schule!! Kreis und Dreieck! Grundlinie = 2rπ Höhe = r Flächeninhalt = 2rπ r 2 = r 2 π

71 Erinnerung an die Schule!! Kreis und Dreieck!

72 Flächentreu (equivalent), Herzkarte von Stab / Werner 1514!

73 Flächentreu (equivalent), Herzkarte von Stab / Werner 1514! Aufgabe 4.1!

74 Flächentreu (equivalent), Herzkarte von Stab / Werner 1514! Johannes Stabius! vor ! Aufgabe 4.1!

75 Flächentreu (equivalent), Herzkarte von Stab / Werner 1514! Aufgabe 4.1!

76 Etwas größeres Dreieck!

77 Etwas größeres Dreieck!

78 Bildsequenz!

79 Karte von Bonne!

Orthografische Projektion!

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