Formelsammlung Mathematik

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1 Formelsammlung Mathematik Inhaltsverzeichnis 1 Bezeichnungen und Symbole 1.1 Zahlenmengen Griechisches Alphabet Logische Symbole Arithmetik und Algebra.1 Voraussetzungen Potenz- und Wurzelgesetze Binomische Formeln Lineare und quadratische Gleichungen Lineare und quadratische Funktionen Unterrichtsinhalt Exponential- und Logarithmusfunktionen Folgen und Reihen Geometrie Voraussetzungen Ebene Figuren Körper Winkel Kongruenz und Ähnlichkeit Unterrichtsinhalt Winkelmasse Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck Trigonometrie am allgemeinen Dreieck Trigonometrie am Einheitskreis Trigonometrische Grundbeziehungen Formel von Pick Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Kombinatorik Vertiefung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Version vom 18. Februar 015 Lg, Fr 1

2 1 Bezeichnungen und Symbole 1.1 Zahlenmengen N = {1,, 3,...} Z = {...,, 1, 0, 1,,...} Q = { p p Z, q N} q R 1. Griechisches Alphabet natürliche Zahlen ganze Zahlen rationale Zahlen reelle Zahlen A, α Alpha H, η Eta N, ν Nü T, τ Tau B, β Beta Θ, θ, ϑ Theta Ξ, ξ Xi Υ, υ Ypsilon Γ, γ Gamma I, ι Iota O, o Omikron Φ, ϕ Phi, δ Delta K, κ Kappa Π, π Pi X, χ Chi E, ε Epsilon Λ, λ Lambda P, ρ Rho Ψ, ψ Psi Z, ζ Zeta M, µ Mü Σ, σ, ς Sigma Ω, ω Omega 1.3 Logische Symbole <, kleiner, kleiner gleich und Teilmenge von >, grösser, grösser gleich oder keine Teilmenge von ungefähr Schnittmenge Element von ungleich Vereinigung / kein Element von Arithmetik und Algebra.1 Voraussetzungen.1.1 Potenz- und Wurzelgesetze a, b > 0 und n, m R a, b > 0 und k, n, m N a m a n = a m+n a n b n = (a b) n a m = a m n a n a n ( a ) n = b n b (a m ) n = a m n a n = 1 a ( n a ) ( n b = b a ) n n am = a m n a 1 n = 1 n a n a n b = n a b n a n b = n a b ( n a m ) k = n a mk n k am = nk a m kn a km = n a m.1. Binomische Formeln (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b) (a b) = a b

3 .1.3 Lineare und quadratische Gleichungen a) lineare Gleichungen ax + b = 0 x = b a b) quadratische Gleichungen ax + bx + c = 0 x 1, = b ± b 4ac a Satz von Vieta: x 1 + x = b a und x 1 x = c a.1.4 Lineare und quadratische Funktionen a) lineare Funktionen y = mx + q m = y ist die Steigung x q ist der y-achsenabschnitt b) quadratische Funktionen Normalform y = ax + bx + c Scheitelpunkt S( b, 4ac b ) a 4a Scheitelpunktform y = a(x u) + v Scheitelpunkt S(u, v) Nullstellenform y = a(x x 1 )(x x ) Nullstellen x 1, x (falls es Nullstellen hat) a > 0: Parabel nach oben geönet a < 0: Parabel nach unten geönet c) Nullstellen und Schnittpunkte i) Nullstelle der linearen Funktion: x 0 = q m ii) Nullstellen x 1, x der quadratischen Funktion: Lösungen der Gleichung ax + bx + c = 0 resp. a(x x 1 )(x x ) = 0 iii) Zur Bestimmung der Schnittpunkte SP 1, SP sind die Funktionen gleichzusetzen. 3

4 . Unterrichtsinhalt..1 Exponential- und Logarithmusfunktionen Denition Dekadischer Logarithmus natürlicher Logarithmus Basiswechselsatz Logarithmengesetze x = log a (b) a x = b log 10 (b) = lg(b) log e (b) = ln(b) log a (x) = lg(x) lg(a) log a (pq) = log a (p) + log a (q) log a ( pq ) = log a (p) log a (q) log a (p n ) = n log a (p) y = e x e.7188 natürliche Exponentialfunktion y = b a x a > 0, a 1, b Anfangswert allgemeine Exponentialfunktion a = 1 ± p 100 Wachstum resp. Zerfall y = log a (x) x > 0, a > 0, a 1 allgemeine Logarithmusfunktion y = ln(x) x > 0 natürliche Logarithmusfunktion.. Folgen und Reihen Folge (a n ) n N, a n n-tes Folgenglied Reihe (Teilsummenfolge) s n = a 1 + a + a a n = n arithmetische Folge: d = a n+1 a n a n = a 1 + (n 1) d a n+1 = a n + d arithmetische Reihe: s n = n (a 1 + a n ) = a 1 n + n (n 1) d konstante Dierenz explizite Darstellung rekursive Darstellung geometrische Folge: q = a n+1 a n konstanter Quotient, q 0, q 1 a n = a 1 q n 1 explizite Darstellung a n+1 = a n q rekursive Darstellung geometrische Reihe: s n = a 1 1 qn 1 q s = a q für q < 1 a k k=1 4

5 3 Geometrie 3.1 Voraussetzungen A Flächeninhalt M Inhalt der Manteläche h Höhe O Inhalt der Oberäche V Volumen u Umfang G Inhalt der Grundäche π Kreiszahl r Radius Ebene Figuren Dreieck: allgemeines Dreieck: A = g h g Grundlinie h zugehörige Höhe rechtwinkliges Dreieck: A = a b = c h Satz des Pythagoras: a + b = c Höhensatz: h = p q Kathetensatz: a = p c, b = q c gleichseitiges Dreieck: A = 3 4 s h = 3 s Viereck: Trapez: A = (a + c) h Deltoid: A = e f Parallelogramm: A = a h a Rechteck: A = a b d = a + b Rhombus (Raute): A = s h = e f Quadrat: A = s d = s Kreis: A = r π u = rπ = dπ mit d Durchmesser Kreissektor: A = r πα 360 Kreisbogen: b = rπα 180 5

6 3.1. Körper Prisma: O = G + M V = G h Quader: O = (ab + ac + bc) V = abc Raumdiagonale d = a + b + c Würfel: O = 6s V = s 3 Raumdiagonale d = 3 s Zylinder: O = r πh + rπh M = rπh V = r πh Kugel: O = 4r π V = 4 3 r3 π Pyramide: O = G + M V = G h 3 Pyramidenstumpf: O = G 1 + G + M V = h 3 (G 1 + G 1 G + G ) gerader Kegel: O = r π + rπs M = rπs V = r πh 3 gerader Kegelstumpf: O = r 1 π + r π + (r 1 + r )πs M = (r 1 + r )πs V = πh 3 (r 1 + r 1 r + r ) 6

7 3.1.3 Winkel Winkel an Geraden: Nebenwinkel: Zwei Nebenwinkel ergeben zusammen einen gestreckten Winkel. α + β = 180 Scheitelwinkel: Scheitelwinkel (α) sind gleich gross. Stufenwinkel: Stufenwinkel (α) an geschnittenen Parallelen (h g) sind gleich gross. Wechselwinkel: Wechselwinkel (β) an geschnittenen Parallelen sind gleich gross. Winkel am Kreis: b = AB Kreisbogen AB Kreissehne γ Peripheriewinkel (Umfangswinkel) auf dem Bogen b δ Peripheriewinkel auf dem Ergänzungsbogen zu b ϕ Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel) Alle Peripheriewinkel auf demselben Bogen b sind gleich gross. Ein Peripheriewinkel ist halb so gross wie der zugehörige Zentriwinkel: γ = ϕ Ein Peripheriewinkel und ein solcher auf dem Ergänzungsbogen ergeben zusammen einen gestreckten Winkel. γ + δ = 180 Satz des Thales: Liegt ein Punkt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB, so gilt ACB = 90. Umkehrsatz: Hat das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel, so liegt C auf dem Kreis über AB Kongruenz und Ähnlichkeit Kongruenzsätze: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in Folgendem übereinstimmen: sss in ihren drei Seitenlängen. sws in zwei Seitenlängen und in dem eingeschlossenen Winkel. Ssw in zwei Seitenlängen und in jenem Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt. wsw in einer Seitenlänge und in den dieser Seite anliegenden Winkeln. 7

8 Ähnlichkeitssätze: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in Folgendem übereinstimmen: sss im Verhältnis aller drei entsprechenden Seiten. sws im Verhältnis zweier entsprechender Seiten und dem eingeschlossenen Winkel. Ssw im Verhältnis zweier entsprechender Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel. ww in zwei Winkeln. In ähnlichen Dreiecken sind einander entsprechende Seitenverhältnisse gleich. Strahlensätze: 1. Strahlensatz: AB A B SA : SA = SB : SB und SA : AA = SB : BB. Strahlensatz: AB A B SA : SA = AB : A B Die Strahlensätze gelten auch, falls der Scheitel S zwischen den beiden Parallelen liegt. Die Umkehrung des. Strahlensatzes gilt nicht. Das kleinere Fünfeck (A, B) wird mit dem Faktor k am Zentrum Z gestreckt. Dabei entsteht das grössere Fünfeck (A, B ) mit ZA = k ZA. Sein Flächeninhalt ist k -mal so gross. 3. Unterrichtsinhalt 3..1 Winkelmasse Gradmass α = 180 b π Bogenmass b = α π 180 Gradmass π π π π Bogenmass 0 π π Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck G Gegenkathete, A Ankathete, H Hypotenuse sin α = G H cos α = A H tan α = G A = sin α cos α cot α = A G = 1 tan α 8

9 3..3 Trigonometrie am allgemeinen Dreieck Sinussatz a sin α = b sin β = c sin γ = r (r Umkreisradius) Cosinussatz Flächenberechnung a = b + c bc cos α b = a + c ac cos β c = a + b ab cos γ ab sin γ A = = bc sin α = = r sin α sin β sin γ ac sin β = abc 4r = s (s a) (s b) (s c) (s = a + b + c ; Heron) Inkreisradius ϱ = A s = (s a) (s b) (s c) s 3..4 Trigonometrie am Einheitskreis 3..5 Trigonometrische Grundbeziehungen cos α + sin α = 1 Trigonometrischer Pythagoras sin(90 α) = sin(90 + α) = cos α = cos( α) cos(90 α) = sin(180 α) = sin α cos(90 + α) = sin(180 + α) = sin α = sin( α) cos(180 + α) = cos(180 α) = cos α 3.3 Formel von Pick Für die Fläche von Gitterpolygonen gilt F = r + i 1 r = Anzahl Punkte auf dem Rand i = Anzahl Punkte im Inneren 9

10 4 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik 4.1 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Ω Ergebnisraum n Anzahl Versuche ω Ergebnis n ω absolute Häugkeit von w E Ereignis h ω relative Häugkeit von w E Gegenereignis P (E) Wahrscheinlichkeit von E A B: A oder B (alles farbige) A B: A und B (alles zweifarbige) relative Häugkeit Gleichwahrscheinlichkeit h ω = n ω n P (E) = g m = Anzahl der günstigen Fälle Anzahl der möglichen Fälle Gegenwahrscheinlichkeit P (E) = 1 P (E) Additionssätze P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A) + P (B) für A, B unvereinbar Baumdiagramm: 1. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses eines mehrstugen Zufallsexperiments ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades. Beispiel: P (A B) = p q 1. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die in E enden. Beispiel: P (B) = p q 1 + p q 10

11 4. Kombinatorik im Folgenden gilt: n, k N mit k n Fakultät Binomialkoezient n! = n 0! = 1 1! = 1 ( ) n = n! k k! (n k)! n (n 1)... (n k + 1) = 1... k ( ) ( ) n n = = 1 n 0 ( ) n = n 1 Variation (mit Beachtung der Reihenfolge) (a, b) (b, a) aus n Objekten k auswählen Kombination (ohne Beachtung der Reihenfolge) {a, b} = {b, a} aus n Objekten k auswählen Permutation (k i Elemente der i-ten Art) n Objekte, alle kommen vor ohne Wiederholung mit Wiederholung (ohne Zurücklegen) (mit Zurücklegen) {a, b, c} {a, a, b} n! (n k)! n k ( ) ( ) n n + k 1 k k n! n! k 1! k!... k s! 11

12 4.3 Vertiefung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Bernoulli - Experiment (Ziehen mit Zurücklegen) (Binomische Verteilung) n Gesamtumfang der Stichprobe k Anzahl der Erfolge p Wahrscheinlichkeit für Erfolg q = 1 p Wahrscheinlichkeit für Misserfolg P n (k) = P (genau k Erfolge in n Versuchen) ( ) n = p k k q n k Hypergeometrische Verteilung (Ziehen ohne Zurücklegen) N Gesamtumfang der Stichprobe n kleine Stichprobe aus dem Gesamtumfang T 1 1. Teilmenge T. Teilmenge T 1 + T = N k Anzahl der Erfolge aus T 1 P n (k) = P (genau k der Teilmenge T 1 ) = T 1 k T N n n k 1