PLANIMETRIE, STEREOMETRIE UND TRIGONOMETRIE DER EBENE

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1 PLANIMETRIE, STEREOMETRIE UND TRIGONOMETRIE DER EBENE 21. Auflage Mit 581 Bildern, 556 Aufgaben mit Lösungen 150 Wiederholungsaufgaben ohne Lösungen, einer Beilage mit 15 Raumbildern und einer Formelsammlung A Fachbuchverlag Leipzig

2 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 15 Planimetrie Winkel Punkt, Linie, Fläche Arten von Winkeln Neben- und Scheitelwinkel Winkel an geschnittenen Parallelen Winkel mit senkrecht aufeinanderstehenden Schenkeln Symmetrie und geometrische örter Arten der Symmetrie Zentral8ymmetrie Zentralsymmetrie bei Parallelen... * Zentralsymmetrie bei Flächen Axialsymmetrie Axialsymmetrie bei Geraden und Winkeln Axialsymmetrie bei Flächen Geometrische örter Fundamentalkonstruktionen Dreiecke Vorbetrachtungen Arten der Dreiecke Dreieckstransversalen * Sätze über das Dreieck 36

3 8 Inhaltsverzeichnis Sätze über die Winkel im und am Dreieck Winkelsummensatz Außen-und Innenwinkel Summe der Außenwinkel Sätze über die Seiten eines Dreiecks Sätze über die Seiten und Winkel im Dreieck Schnittpunkte der Dreieckstransversalen Schnittpunkt der Mittelsenkrechten Schnittpunkt der Höhen Schnittpunkt der Seitenhalbierenden Schnittpunkt der Winkelhalbierenden Kongruenz Vorbetrachtungen Kongruenzsätze Ähnlichkeit Strahlensätzo Streckenverhältnisse Strahlensätze Streckenteilung als Anwendung der Strahlensätze Ähnlichkeitssätzo Begriff der Ähnlichkeit Ähnlichkeitssätze ". 52 Aufgaben 1 bis Dreieckskonstruktionen Vorbetrachtungen Dreieckskonstruktionen mit gegebenen Winkeln und Seiten Dreieckskonstruktionen mit Transversalen Berechnung des Dreiecks ' Allgemeines Dreieck Vorbetrachtungen Berechnung des allgemeinen Dreiecks Rechtwinkliges Dreieck Flächenberechnung Satz des EUKLID Satz des PYTHAGORAS Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck. 72 Aufgaben 13 bis Gleichschenkliges Dreieck Berechnung des gleichschenkligen Dreiecks Sonderfälle des gleichschenkligen Dreiecks Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck Gleichseitiges Dreieck 79 Aufgaben 50 bis 73 83

4 Inhaltsverzeichnis 9 6. Vierecke Allgemeines Viereck Parallelogramm Sonderfälle des Parallelogramms Rechteck Rhombus und Quadrat Trapez Berechnung des Vierecks Rhomboid und Rechteck Rhombus und Quadrat 90 Aufgaben 74 bis Trapez Trapezmethode Trapezformel 96 Aufgaben 110 bis Vielecke Unregelmäßiges Vieleck Regelmäßiges Vieleck Winkel und Seiten im regelmäßigen Vieleck Konstruktion regelmäßiger Vielecke Vorbetrachtungen Regelmäßiges Vier- und Achteck Regelmäßiges Sechs- und Dreieck Regelmäßiges Zehn- und Fünfeck Näherungskonstruktion Berechnung des regelmäßigen Vielecks Allgemeine Berechnungen Seitenbeziehungen zwischen einem n- und einem 2n-Eck bei gleichem Umkreisradius Seitenbeziehung zwischen einem Sehnen-und einem Tangentenvieleck Sonderfälle 106 Aufgaben 137 bis Kreis Vorbetrachtungen Linien, Strecken und Winkel am und im Kreis Flächen HO 8.2. Sätze über die Strecken und Linien am und im Kreis Sehne und Bogen HO

5 10 Inhaltsverzeichnis Radius und Tangente Winkel am und im Kreis Mittelpunkts-und Umfangswinkel Sehnentangentenwinkel Sehnenviereck Tangentenviereck Streckenverhältnisse am Kieis Konstruktionsbeispiele Berechnungen am Kreis Streckenberechnungen Kreisumfang Kreisbogen Sehne Flächenberechnungen Fläche des Sehnenvierecks 123 Aufgaben 167 bis Fläche von Kreis und Kreisring Fläche des Sektors Fläche des Segments 127 Aufgaben 169 bis Stereometrie Lage von Linien und Ebenen im Baum Gerade und Ebene Ebenen im Raum Körperliche Ecke, Allgemeines über mathematische Körper Ebenflächig begrenzte Körper Eulerscher Polyedersatz Wichtige Polyeder Berechnung des Würfels Berechnung des Rechtkantes, 144 Aufgaben 247 bis Prismatische Körper VoTliotrachtungen Berechnung des geraden Prismas 148 Aufgaben 275 bis

6 Inhaltsverzeichnis Satz des CAVALIERI Pyramide und Pyramidenstumpf Vorbetrachtungen Berechnung der Pyramide Berechnung des Pyramidenstumpfes Näherungsf ormel zur Berechnung des Pyramidenstumpf es 161 Aufgaben 298 bis Prismoide Vorbetrachtungen Berechnung der Prismoide 166 Ausgaben 324 bis Fünf regelmäßige Polyeder Vorbetrachtungen Eigenschaften der regelmäßigen Polyeder Tetraeder Oktaeder Hexaeder Ikosaeder Dodekaeder Berechnung der regelmäßigen Polyeder 177 Aufgaben 338 bis Krummflächig begrenzte Körper Kreiszylinder Vorbetrachtungen Berechnung des vollen und des hohlen Kreiszylinders Gerader Voll-und Hohlzylinder Schiefer Voll-und Hohlzylinder Schief geschnittener gerader Kreiszylindor 183 Aufgaben 351 bis 387, Zylinderhuf 189 Aufgaben 388 bis Kegel und Kegelstumpf, Vorbetrachtungen Berechnung des geraden und des schiefen Kegels Berechnung des Kegelstumpf es Wichtige Beziehungen an Kegel und Kegelstumpf Näherungsformeln zur Berechnung des Kegelstumpfes. 198 Aufgaben 395 bis Kugel und ihre Teile 20, Vorbetrachtungen Volumen der Kugel Volumen der Kugelschicht Volumen des Kugelsegmentes 207

7 12 Inhaltsverzeichnis Volumen des Kugelsektors Volumen des Hohlkugelsektors Oberfläche der Kugel Fläche der Kugelkappe Fläche der Kugelzone 211 Aufgaben 424 bis Trigonometrie der Ebene Vorbetrachtungen 217 Aufgaben 470 bis Trigonometrische Funktionen für spitze Winkel Definition der trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck Sinusfunktion Cosinus-, Tangens- und Cotangensfunktion Funktion und Cofunktion Erklärung der trigonometrischen Funktionen am Einheitski'eis und ihr Verlauf im I. Quadranten Funktionswerte für besondere Winkel Zusammenhang zwischen den Funktionen desselben Winkels Trigonometrische Funktionswerte 229 Aufgaben 478 bis Berechnung des rechtwinkligen Dreiecks Fünf Grundaufgaben Zahlenbeispiele und Anwendungen 233 Aufgaben 487 bis Trigonometrische Funktionen beliebiger Winkel Verallgemeinerung des Winkelfunktionsbegriffs Verlauf der Winkelfunktionen Veranschaulichung des Funktionsverlaufs Periodizität der Winkelfunktionen Quadrantenrelationen Beziehungen für zwei Winkel, die sich zu ganzen Vielfachen von 90 f-^-) ergänzen Beziehungen für zwei Winkel, die sich um ganze Vielfache von 90 I -~-) unterscheiden Beziehungen zwischen positiven und negativen Winkeln 246 Aufgaben 503 bis

8 Inhaltsverzeichnis Additionstheoreme und andere goniometrische Formeln Funktionen von Winkelsummen und -differenzen (Additionstheoreme) Funktionen von Winkel-vielfachen und Winkelteilen Funktionen des doppelten Winkels Funktionen des mehrfachen Winkels Funktionen des halben Winkels; fortgesetzte Winkelhalbierung Summen und Differenzen von Funktionen und ihre Verwandlung in Produkte 257 Aufgaben 508 bis Goniometrische Gleichungen Goniometrische Gleichungen mit einer Unbekannten Lineare Gleichungen mit einer Funktion des unbekannten Winkels Quadratische Gleichungen mit derselben 'Funktion des unbekannten Winkels Gleichungen mit derselben Funktion verschiedener Argumente Gleichungen mit verschiedenen Funktionen gleicher Argumente Gleichungen mit verschiedenen Funktionen verschiedener Argumente Goniometrische Gleichungen mit zwei Unbekannten Beide Gleichungen enthalten Winkelfunktionen der unbekannten Winkel Eine Gleichung enthält eine Beziehung zwischen den unbekannten Winkeln selbst. 280 Aufgaben 513 bis Berechnung des schiefwinkligen Dreiecks Sinussatz Cosinussatz Lösung der Grundaufgaben für Seiten und Winkel mit dem Sinus- und Cosinussatz -. ' Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben Fall WSW " FallSWW Zwei Seiten und ein Winkel sind gegeben Fall SSW (doppeldeutiger Fall) Fall SWS Drei Seiten sind gegeben (Fall SSS) Betrachtungen über bequeme und genaue Berechnung Cosinusformel und Tangensformel Gleichungen von MOLLWEIDE und NEPER 295

9 14 Inhaltsverzeichnis Halbwinkelsätze Berechnung weiterer Stücke des echiefwinkligon Dreiecks Umkreisradius des Dreiecks Inkreisradius des Dreiecks und die Dreiecksfläche Zweckmäßigste Verfahren für die Auflösung des Dreiecks Fall SWS FallSSS Anwendungen 304 Aufgaben 516 bis Zyklometrische Funktionen 314 Aufgaben 553 bis Rechnen mit kleinen Winkeln 321 Aufgaben 555 bis Wiederholungsaufgaben 1 bis 160 (ohne Lösungen) 328 Lösungen zu den Aufgaben 1 bis Sachwortverzeichnis 380 Beilagen: 15 nach dem Anaglyphen verfahren hergestellte Raumbilder 1 Rot-Blau-Brille Formelsammlung