Transformation von Gauß-Krüger(GK)- Koordinaten des Systems MGI in Universal Transversal Mercator(UTM)- Koordinaten des Systems ETRS89

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1 Transformation von Gauß-Krüger(GK)- Koordinaten des Systems MGI in Universal Transversal Mercator(UTM)- Koordinaten des Systems ETRS89

2 1. Inhaltsverzeichnis 1. Inhaltsverzeichnis Leitfaden Ellipsoidparameter und abgeleitete Größen: Gauß-Krüger-Koordinaten geographische Koordinaten UTM-Koordinaten geographische Koordinaten Geographische Koordinaten Gauß-Krüger-Koordinaten Geographische Koordinaten UTM-Koordinaten Gauß-Krüger-Koordinaten Koordinaten des Bundesmeldenetzes Geographische Koordinaten 3D-kartesische Koordinaten D-kartesische Koordinaten geographische Koordinaten Transformation von 3D-kartesischen Koordinaten ETRS89 3D-kartesische Koordinaten MGI (7-Parameter-Transformation)...9 GK_MGI_UTM_ETRS89 Seite 2 von 9

3 2. Leitfaden Der Leitfaden für die Anwendung der nachstehend angeführten Parameter und der Berechnungsformeln wird in Form einer graphischen Übersicht übermittelt. Das jeweils nötige Kapitel ist ebenfalls aus der Grafik ersichtlich. Über das Zahlenbeispiel kann die gesamte Funktionalität überprüft werden. GK_MGI_UTM_ETRS89 Seite 3 von 9

4 3. Ellipsoidparameter und abgeleitete Größen: Parameter Bessel-Ellipsoid: große Halbachse: a = ,15508 m kleine Halbachse: b = ,96290 m Parameter Ellipsoid GRS80: große Halbachse: a = ,00000 m kleine Halbachse: b = ,31425 m davon abgeleitete Größen: Polkrümmungsradius: c = a2 b Abplattung: f = a - b a 1. numerische Exzentrizität e 2 = a2 - b 2 a 2 2. numerische Exzentrizität e' 2 = a2 - b 2 von der geographischen Breite abhängige Größen: b 2 Meridiankrümmungsradius M = ormalkrümmungsradius t = tan ϕ η 2 = e' 2 cos 2 ϕ V = 1 η 2 = c V c V 3 Länge des Meridianbogens: B ϕ = α ϕ - β sin 2ϕ γ sin 4ϕ - δ sin 6ϕ (1) α = A a (1 - e2 ) ρ ρ = 180 π β = B 2 a (1 - e2 ) γ = C 4 a (1 - e2 ) δ = D 6 a (1 - e2 ) GK_MGI_UTM_ETRS89 Seite 4 von 9

5 A = e e e e e10... B = C = D = 3 4 e e e e e e e e e e e e10... z.b.: für das Bessel-Ellipsoid : α = ,61962 m/ β = ,6385 m γ = 16,7300 m δ = 0,0218 m Fußpunktsbreite: ( geographische Breite einer bestimmten Meridianbogenlänge B φ ) ϕ = Bϕ α β α sin 2ϕ - γ α sin 4ϕ δ sin 6ϕ (2) α Bestimmung durch Iteration! 4. Gauß-Krüger-Koordinaten geographische Koordinaten Geographische Breite ϕ: 2 y t ϕ = ϕ x (-1 - η 2 4 y t ) ( 5 3 t 2 6η 2-6 t 2 η 2-3η 4-9 t 2 η 4 ) y t ( t 2-45 t η t 2 η 2 45 t 4 η 2 ) y t ( t t t 6 ) ur notwendig für das UTM-System mit einer Streifenbreite ±3 Geographische Länge λ: λ = λ 0 y cosϕ x y cosϕ x ( -1-2 t 2 - η 2 ) y cosϕ x ( 5 28 t 2 24 t 4 6η 2 8 t 2 η 2 ) y cosϕ ( t t t 6 ) X ur notwendig für das UTM-System mit einer Streifenbreite ±3 GK_MGI_UTM_ETRS89 Seite 5 von 9

6 Das jeweils letzte angegebene Glied der Gleichungen kann für die GK-Abbildung vernachlässigt werden. Anm.: ϕ x auch als Fußpunktsbreite bezeichnet, ist die geogr. Breite für den Meridianbogen mit der Länge x (x-komponente der GK-Koordinate) und wird mit den Formeln (2) gewonnen. Diese Größe wird anschließend für die Berechnung aller von der geographischen Breite abhängigen Variablen verwendet. λ 0 ist die geographische Länge des Bezugsmeridians der Abbildung. Im Falle des österreichischen Landessystems (Bessel) sind dies die Meridiane 28, 31 und 34 im System Ferro ( λ Ferro - λ Greenwich = ' ), im Falle von UTM (ETRS89) sind dies die Meridiane 9 und 15 im System Greenwich. H Bessel = h Bessel h Bessel ellipsoidische Höhe (über Bessel-Ellipsoid) MGI-Gebrauchshöhe Geoidundulation bezogen auf Bessel-Ellipsoid 5. UTM-Koordinaten geographische Koordinaten Zur Abbildung nach UTM sind grundsätzlich die selben Formeln wie in Punkt 4 zu verwenden, die UTM- Koordinaten müssen aber vorab in eine andere Form gebracht werden. y = (Easting(E) ) / x = orthing() / Easting (E) und orthing () ist die internationale Bezeichnung für der Rechtswert (RW) und Hochwert (HW) der UTM-Abbildung. H GRS80 = h GRS80 ellipsoidische Höhe (über GRS80-Ellipsoid) h orthometrische Höhe (Bezugspegel Amsterdam) GRS80 Geoidundulation bezogen auf GRS80-Ellipsoid 6. Geographische Koordinaten Gauß-Krüger-Koordinaten Hochwert x: x = B ϕ 2 λ2 sinϕ cosϕ 24 λ4 sinϕ cos 3 ϕ ( 5 - t 2 9 η 2 4 η 4 ) 720 λ6 sinϕ cos 5 ϕ ( t 2 t 4 ) λ 8 sinϕ cos 7 ϕ ( t t 4 t 6 ) ur notwendig für das UTM-System mit einer Streifenbreite ±3 GK_MGI_UTM_ETRS89 Seite 6 von 9

7 Rechtswert y: y = λ cosϕ 6 λ3 cos 3 ϕ ( 1 - t 2 η 2 ) 120 λ5 cos 5 ϕ ( 5-18 t 2 t 4 14 η 2-58 η 2 t 2 ) 5040 λ7 cos 7 ϕ ( t t 4 - t 6 ) ur notwendig für das UTM-System mit einer Streifenbreite ±3 Das jeweils letzte angegebene Glied der Abbildungsgleichungen kann für die GK-Abbildung vernachlässigt werden. B ϕ ist aus (1) zu berechnen λ = λ - λ 0 λ 0...Bezugsmeridian der Abbildung (28, 31 und 34 im System Ferro) h = H BESSEL BESSEL H BESSEL BESSEL... Gebrauchshöhe ellipsoidische Höhe (über Bessel-Ellipsoid) Geoidundulation bezogen auf Bessel-Ellipsoid 7. Geographische Koordinaten UTM-Koordinaten Zur Abbildung nach UTM sind grundsätzlich die selben Formeln wie in Punkt 6 zu verwenden, dass Ergebnis ist aber noch mit einem Massstabsfaktor von zu multiplizieren. Eine Additionskonstante wird am Rechtswert angebracht, um immer positive Werte zu bekommen. Easting(E) = y * orthing() = x * λ = λ - λ 0 λ 0...Bezugsmeridian der UTM-Abbildung (Zone 32 = 9, Zone 33 = 15 ) h = H GRS80 GRS80... orthometrische Höhe H GRS80 GRS80 ellipsoidische Höhe (über GRS80-Ellipsoid) Geoidundulation bezogen auf GRS80-Ellipsoid GK_MGI_UTM_ETRS89 Seite 7 von 9

8 8. Gauß-Krüger-Koordinaten Koordinaten des Bundesmeldenetzes xbm = x ybm = y konst konst ist abhängig von den Meridianstreifensystemen M28, M31 und M34 konst = für M28 konst = für M31 konst = für M34 9. Geographische Koordinaten 3D-kartesische Koordinaten X = b a ( H) ( H) 2 cos ϕcosλ cos ϕsin λ Hsin ϕ = X Y Z H ormalkrümmungsradius ellipsoidische Höhe 10. 3D-kartesische Koordinaten geographische Koordinaten tan λ = Y X tan ϕ = Z e' 2 b sin 3 ϑ X 2 Y 2 - e 2 a cos 3 ϑ mit ϑ = arctan Z a X 2 Y 2 b H = X 2 Y 2 cosϕ - H ormalkrümmungsradius ellipsoidische Höhe GK_MGI_UTM_ETRS89 Seite 8 von 9

9 11. Transformation von 3D-kartesischen Koordinaten ETRS89 3D-kartesische Koordinaten MGI (7-Parameter- Transformation) X BESSEL = C (1 dm) R X ETRS89... Matrizengleichung R = 1 α (z) -α (y) -α (z) 1 α (x) α (y) -α (x) 1... Rotationsmatrix (Coordinate Frame Convention) C = ( X Y Z ) α(x) α(y) α(z) dm Verschiebungsvektor Drehung um die X-Achse Drehung um die Y-Achse Drehung um die Z-Achse Massstabsdifferenz zwischen beiden Systemen Die Matrizengleichung explizit: X BESSEL = X (1dm) * [X ETRS89 Y ETRS89 * α(z) - Z ETRS89 * α(y)] Y BESSEL = Y (1dm) * [- X ETRS89 * α(z) Y ETRS89 Z ETRS89 * α(x)] Z BESSEL = Z (1dm) * [X ETRS89 * α(y) - Y ETRS89 * α(x) Z ETRS89 ] Österreichweiter Parametersatz: Transformationsparameter X = m Y = m Z = m dm = α(x)= α(y)= α(z)= Achtung: Die Drehwinkel in obigen Gleichungen sind im Bogenmaß einzusetzen! (Winkel im Bogenmaß = Winkel in Altgrad * Pi / 180) GK_MGI_UTM_ETRS89 Seite 9 von 9