KOORDINATENSYSTEME Geodätische Grundlagen

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1 1 KOORDINATENSYSTEME Geodätische Grundlagen Vorlesung für Master Geoinformation Wilfried Korth Stand: 9. Oktober 2009

2 INHALTSVERZEICHNIS 2 Inhaltsverzeichnis 1 BEGRIFFSBESTIMMUNGEN 5 2 GRUNDLEGENDE KOORDINATENSYSTEME Kartesisches 3D-System Polares 3D-System Ellipsoidisches Koordinatensystem Verschiedene Breiten und Längen Beispiele fürkoordinatenumformungen GRUNDBEZIEHUNGEN FÜR DAS ROTATIONSELLIPSOID Geometrie HilfsgrößenundFunktionen Krümmungsverhältnisse auf dem Rotationsellipsoid Koordinatenrechnung für einen Punkt P MERIDIAN- UND PARALLELKREISBÖGEN Meridianbogenlänge Parallelkreisbogenstück GEODÄTISCHE LINIE Gleichung der geodätischen Linie OBERFLÄCHENKOORDINATENSYSTEME Ellipsoidische Polarkoordinaten Rechtwinklige ellipsoidische Koordinaten GAUSS-KRÜGER-ABBILDUNG Geometrische Veranschaulichung der GKK AllgemeineVorbemerkungen Theorie der konformen Abbildung Konforme Abbildung für das Ellipsoid Einführung isometrischer Koordinaten für das Ellipsoid

3 INHALTSVERZEICHNIS Berechnung von GK-Koordinaten aus B & L Umkehrung: Berechnung von B & L aus GK-Koordinaten Reduktionsgrößen Meridiankonvergenz Vergrößerungsverhältnis Reduktion von Strecken Richtungen und Flächen Streifentransformation ÜBERBLICK ÜBER WEITERE ABBILDUNGEN Mercatorabbildung Transversale Mercatorabbildung Schräge Mercatorabbildung Lambertsche Kegelabbildung Azimutale Projektionen Parameter einiger Rotationsellipsoide DATUMSTRANSFORMATIONEN Allgemeines Beispiele für Koordinatenumformungen Koordinatentransformationen Helmerttransformation Systematisierung von Transformationen (2D) Transformationsgleichungen Möglichkeiten der Parametriesierung verschiedener 2-D- Transformationen Parametrisierung und Ausgleichungsmodell für die 3-D- Transformation Genauigkeitsbewertung Zuverlässigkeitsbewertung Interpretation der Transformationsergebnisse Regeln für die praktische Nutzung von Transformationen

4 INHALTSVERZEICHNIS 4 EINFÜHRUNG Informationen in geodätischen, kartographischen oder GIS- Produkten liegen normalerweise georeferenziert vor. Georeferenzierung bedeutet, daß einzelnen Punkten Koordinaten zugewiesen sind bzw. werden können. Das Referenz bzw. Bezugssystem kann sich dabei für einzelne Produkte erheblich unterscheiden: globale Bezugssysteme, die mit Satellitenverfahren (z.b. GPS) realisiert werden können WGS 84, GRS 80, ITRF,... regionale Referenzsysteme für einzelne Länder (oder Erdteile) DHDN (Deutsches Hauptdreiecksnetz), System 42/83 (früher Osteuropa),... Es können verschiedenste Koordinatansysteme (Abbildungsvorschriften) verwendet werden Zu jeder Koordinatenangabe ist daher auch die Kenntnis von Referenzsystem und Koordinatensystem notwendig. Auf Karten der deutschen Landesvermessung sind z.b. derartige Angaben in der Legende enthalten. Der nachfolgende Stoff soll einerseits den richtigen Umgang mit Koordinaten und Referenzsystemen ermöglichen, andererseits sollen die wichtigsten Grundlagen der ellipsoidischen Geodäsie, soweit sie für die Nutzung in Kartographie und GIS Bedeutung haben, behandelt werden. Es werden Grundlagen zu verschiedenen Abbildungen des Ellipsoids in die Ebene (Gauß-Krüger-Koordinaten, UTM) und zu Umformungen zwischen verschiedenen Koordinatensystemen sowie Transformationen zwischen Bezugssystemen dargestellt.

5 1 BEGRIFFSBESTIMMUNGEN 5 1 BEGRIFFSBESTIMMUNGEN Bezugssystem / Referenzsystem Physikalisch definiertes grundlegendes Bestimmungssystem. Zur Erfassung, Speicherung, Darstellung und Nutzung von topographischen Sachverhalten in Verbindung mit thematischen Informationen auf, unter oder über der Erdoberfläche wird es als Ordnungssystem benötigt. Es gestattet die gegenseitige räumliche Zuordnung von Informationen zueinander. (a, b, α, Maßstab,GM,ω,...) z.b. GRS 80 Die praktische Realisierung erfolgt durch die Festlegung der Koordinaten von (vermarkten) Punkten. (engl.: reference system [Definition] bzw. referenz frame [Realisierung]) Koordinatensystem Mathematische Abbildungsvorschrift zur Beschreibung der Lage von Punkten im Raum. Jedes Bezugssystem kann in unendlich viele krummlinige Koordinatensysteme abgebildet werden. Innerhalb eines Bezugssystems kann zwischen verschiedenen Koordinatensystemen beliebig umgerechnet werden ( Koordinatenumformung) Punkte eines Festpunktfeldes, die ein bestimmtes Referenzsystem realisieren, werden in ein Koordinatensystem abgebildet. Geodätisches Datum Positionierung und Orientierung eines geodätischen Festpunktfeldes (und damit der Realisierung eines Bezugssystems) im Raum. Es sind sieben Parameter erforderlich: X 0,α,β,γ,Maßstab Beispiele für Datumsbezeichnungen: Datum Rauenberg (Bessel) (= Potsdam Datum) Datum Pulkowo (Krassowski) Koordinatentransformation Umrechnung von Punktkoordinaten von einem Bezugssystem in ein anderes. Koordinatenumformung Umrechnung von Punktkoordinaten von einem Koordinatensystem in ein anderes innerhalb eines Bezugssystems mittels a-priori per Definition bekannter Beziehungen und Formeln.

6 2 GRUNDLEGENDE KOORDINATENSYSTEME 6 2 GRUNDLEGENDE KOORDINATENSYSTEME 2.1 Kartesisches 3D-System Z P Kartesische Koordinaten eines Punktes P : r P (x, y, z) Y X Abb.: Kartesische und polare Koordinaten. 2.2 Polares 3D-System Kugelkoordinaten eines Punktes P : P (ϕ, λ, r) 2.3 Ellipsoidisches Koordinatensystem Ellipsoidische (oder geodätische) Koordinaten eines Punktes P : P (B, L, H) Die ellipsoidische Breite B ist der Winkel zwischen Ellipsoidnormale in P und Äquatorebene. Die ellipsoidische Länge L ist der Winkel zwischen Nullmeridian und Meridian von P Die ellipsoidische HöheistdermetrischeAbstand des Punktes P von der Ellipsoidoberfläche (P ) entlang der Ellipsoidnormalen. Die Ellipsoidnormale in P enthält i.a. nicht den Ellipsoidmittelpunkt! (Ausnahmen: Pole und Äquator) Ellipsoidnormalen sind i.a. windschief zueinander. P P H P B L P Abb.: Ellipsoidische Koordinaten.

7 3 GRUNDBEZIEHUNGEN FUR DAS ROTATIONSELLIPSOID Verschiedene Breiten und Längen ellipsoidische Koordinaten B, L, H sind i.a. nicht direkt meßbar (Ausnahme: GPS) astronomische Koordinaten Φ, Λ astronomisch bestimmbar (B Φ, L Λ) Kugelkoordinaten ϕ, λ 2.5 Beispiele für Koordinatenumformungen Umformung zwischen kartesischen und Kugelkoordinaten P (x, y, z) P (φ, λ, r) x = r cos ϕ cos λ y = r cos ϕ sin λ z = r sin λ r =(x 2 + y 2 + z 2 ) z tan ϕ = x 2 +y 2 tan λ = y/x Umformung zwischen kartesischen und ellipsoidischen Koordinaten P (x, y, z) P (B, L, H) Umformung zwischen ellipsoidischen und Gauß-Krüger-Koordinaten P (B, L, H) P (H o,r e,h) 3 GRUNDBEZIEHUNGEN FÜR DAS ROTATIONS- ELLIPSOID 3.1 Geometrie Es werden in diesem Abschnitt keine vollsändigen Ableitungen geliefert. Z.T. erfolgen nur Mitteilung und Definition von Zusammenhängen und Beziehungen.

8 3 GRUNDBEZIEHUNGEN FUR DAS ROTATIONSELLIPSOID 8 Z P c b a A a F M f K2 F c 1 A X K 1 P Abb.: Geometrische Grundbeziehungen der Ellipse. Beziehung für die Ellipse (bzw. das Ellipsoid) Beziehung für den Kreis (bzw. die Kugel) Hauptgrößen (Halbachsen) a und b r x Gleichung (Ellipse) 2 + z2 =1 x 2 + z 2 = r 2 a 2 b 2 x Gleichung (Ellipsoid) 2 + y2 z 2 =1 x 2 + y 2 + z 2 = r 2 a 2 a 2 b 2 wenn a b Formparameter α = a b a lineare Exzentrizität f = a 2 b 2 1. numerische Exzentrizität e = f/a e 2 = a2 b 2 a 2 2. numerische Exzentrizität e = f/b e 2 = a2 b 2 b 2 Polkrümmungsradius c = PK 1 = a 2 /b Äquatorkrümmungsradius c 1 = AK 2 = b 2 /a

9 3 GRUNDBEZIEHUNGEN FUR DAS ROTATIONSELLIPSOID Hilfsgrößen und Funktionen Die nachfolgenden Hilfsgrößen und Funktionen sind für die spätere Vereinfachung bzw. (Verkürzung) von Ableitungen und Reihenentwichlungen sinnvoll. W 2 =1 e 2 sin 2 B V 2 =1+e 2 cos 2 B aw = bv Eine geometrische Veranschaulichung von W und V ist möglich, an dieser Stelle wird aber darauf verzichtet ( Literatur). η = e cos B t =tanb m = a2 b 2 a 2 + b 2 n = a b a + b 3.3 Krümmungsverhältnisse auf dem Rotationsellipsoid P NE 1 NE: Normalschnittebenen in P Krümmungen der Normalschnitte k 1 und k 2 : k1 n k 2 NE 2 Abb.: Ellipsoidsegment mit zwei Normalschnitten k 1 und k 2 in P. 1/R 1 1/R 2 R 1 und R 2 sind die entsprechenden Krümmungsradien. Die Extremwerte für k nennt man Hauptkrümmungen. ( Normalschnitte heißen dann Hauptschnitte) Zusammengehörige Hauptschnitte schneiden sich orthogonal. Für Krümmungslinien schneiden sich die Ellipsoidnormalen (nicht windschief). Hauptkrümmungen für das Ellipsoid: Meridiankrümmung Meridiankrümmungsradius M Querkrümmung Querkrümmungsradius N M = R min N = R max An den Polen gilt: M = N Nabelpunkt Krümmung im Azimut A k A =1/R A Satz von Euler k A = cos2 A + sin2 A M N MN R A = N cos 2 A+M sin 2 A Gaußsche Krümmung (Totalkrümmung) k T =1/ MN R T = MN Gaußsche Schmiegungskugel R = MN Der Radius der Gaußschen Schmiegungskugel ist der Mittelwert sämtlicher Normalschnittkrümmungsradien in einem Punkt P. Damit ist diese Kugel für sphärische

10 3 GRUNDBEZIEHUNGEN FUR DAS ROTATIONSELLIPSOID 10 Approximationen in P geeignet. Berechnung von M und N: M = c V 3 = a W 3 (1 e2 ) N = a W = c V N M = V Koordinatenrechnung für einen Punkt P Umformung zwischen kartesischen und ellipsoidischen Koordinaten P (x, y, z) P (B, L, H) Z P Z P N+H r L B Y Y X Ellipsoid: X Kugel zum Vergleich: X = (N + H)cosB cos L Y = (N + H)cosB sin L Z = [N(1 e 2 )+H]sinB X = r cos ϕ cos λ Y = r cos ϕ sin λ Z = r sin ϕ Inverse Lösung, Umrechnung von kartesischen in ellipsoidische Koordinaten: Berechnung der ellipsoidischen Länge nach: L = arctan Y X Die ellipsoidische Höhe ergibt (nach Berechnung von B) sich aus: H = X cos B cos L N oder H = x2 + y 2 cos B N Ableitung für die Breite:

11 4 MERIDIAN- UND PARALLELKREISBOGEN 11 X 2 + Y 2 = (N + H) 2 cos 2 B da cos 2 L +sin 2 L =1 X2 + Y 2 = (N + H)cosB Z = [N(1 e 2 )+H]sinB = (N + H)sinB Ne 2 sin B = (N + H)cosB tan B Ne 2 sin B Z = X 2 + Y 2 tan B Ne 2 sin B ( Z + Ne 2 ) sin B B = arctan X2 + Y 2 Das Ergebnis ist eine nichtlineare ellipsoidische Gleichung für B. Eine Lösung ist durch Iteration möglich, wobei als Startwert die sphärische Näherung B 0 ausreicht: B i+1 = arctan Z + e2 N i sin B i i =0, 1, 2,... X2 + Y 2 B 0 = arctan Z X2 + Y 2 4 MERIDIAN- UND PARALLELKREISBÖGEN 4.1 Meridianbogenlänge B db M G B dg dg = Mdb B G B = Mdb M = a 0 W (1 3 e2 ) = B a(1 e 2 db ) 0 W 3 B = a(1 e 2 ) (1 e 2 sin 2 B) 3 2 db 0 elliptisches Integral nicht analytisch lösbar Lösungsmöglichkeitenl: numerische Integration Abb.: Meridianbogen G B Reihenentwicklung und gliedweise Integration Die Reihenentwicklung des Integranden liefert (B in rad): B ( G B = a(1 e 2 ) e2 sin 2 B + 15 ) 18 e4 sin 4 B +... db

12 4 MERIDIAN- UND PARALLELKREISBOGEN 12 G B = A 1 B + A 2 sin 2B + A 3 sin 4B + A 4 sin 6B +... mit den Koeffizienten (c Polkrümmungsradius): A 1 = c A 2 = c A 3 = c A 4 = c A 5 = c A 6 = c ( e e e e ) e ( 3 8 e e e e ) e ( e e e ) e ( e e ) e ( e ) e ( 693 ) e Umgekehrte Entwicklung: gegeben G B, gesucht B Länge eines Meridianquadranten: G π = π [ 2 2 a 1 1+n ( n2 + 1 ] 64 n4 +...) und daraus die mittlere Länge eines Meridianradianten : ergibt sich die Breite B aus einem gegebenen Meridianbo- mit der Beziehung σ = gen G zu: G rad = G G rad a 1+n ( n n4 +...) B = σ (n 9 16 n3 )sin2σ n2 sin 4σ n3 sin 6σ +... Die Reihenentwicklungen konvergieren für ein Rotationsellipsoid mit α 1/300 sehr schnell.

13 5 GEODATISCHE LINIE Parallelkreisbogenstück P B P B = N cos B N p 12 ist Parallelkreisbogenstück zwischen den Meridianen L 1 und L 2 B p 12 = N cos B(L 2 L 1 )=N cos Bl (Winkel in Bogenmaß) 5 GEODÄTISCHE LINIE Was ist eine geodätische Linie? Kurvenhauptnormale fällt in jedem Punkt mit der Flächennormale zusammen Schmiegungsebene der Kurve enthält stets Flächennormale geodätische Krümmung (Tangentialkrümmung) ist Null n t b { t, n} Schmiegungsebene { n, b} Normalebene { t, b} rektifizierende Ebene (Streckebene) Abb.: Kurvenbegleitendes Dreibein Die kürzeste Verbindung zweier Punkte ist stets eine geodätische Linie. Aber nicht jede geodätische Linie ist zwingend die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Z.B. ist auf der Kugel der Großkreis eine geodätische Linie. Es gibt zwischen zwei Punkten auf der Kugel immer zwei Verbindungslinien (Großkreisbogenstücken). Beispiele: Ebene Gerade zwischen zwei Punkten Kugel Großkreis zwischen zwei Punkten Meridiane sind g.l. Parallelkreise sind keine g.l. Auf allen Rotationskörpern sind die Meridiane geodätische Linien. Die Geodätische Linie zwischen zwei Punkten auf dem Rotationsellipsoid fällt i.a. nicht

14 5 GEODATISCHE LINIE 14 mit den Normalschnitten zusammen. P 2 P 2 S 21 A 21 P 1 M N 1 N 2 Äquator S A P 1 Abb.: Geodätische Linie S und Normalschnitte n 12 und n 12 auf dem Ellipsoid. E Normalschnittebenen E 12 := P 1 N 1 P 2 = n 12 E 21 := P 2 N 2 P 1 = n 21 Normalschnitte liefern keine eindeutigen Figuren (z.b. bei Dreiecksnetzen). Daher ist Reduktion der Normalschnitte auf die geodätische Linie erforderlich. Die beiden Winkel δ 12 und δ 21 sind sehr kleine Korrektionen. 5.1 Gleichung der geodätischen Linie Einführung von allgemeinen Oberflächenkoordinaten u, v (Gauß). 1. Grundform (metrische Fundamentalform): ds 2 = Edu 2 +2Fdudv+ Gdv 2 v=const ds u+du v+dv du bei orthogonalem Parameterkurvennetz wird F =0 ds 2 = Edu 2 + Gdv 2 u,v dv u=const Übergang u B und v L:

15 6 OBERFLACHENKOORDINATENSYSTEME 15 B A ds NcosBdL MdB L ds 2 = M 2 db 2 + N 2 cos 2 BdL 2 E = M G = N cos B Differentialgleichung der geodätischen Linie auf dem Ellipsoid: db = cos A ds M dl = ds sin A N cos B (Mitteilung ohne Ableitung) da = tan B sin A ds N Wegen Vollständigkeit an dieser Stelle angegeben: Satz von Clairaut (gilt für alle Rotationsflächen) p sin A =const Das Produkt aus Parallelkreisradius und Sinus des Azimutes ist für die geodätische Linie eine Konstante. 6 OBERFLÄCHENKOORDINATENSYSTEME 6.1 Ellipsoidische Polarkoordinaten O A s P mda ds' ds P' Abb.: Ellipsoidische Polarkoordinaten 1. Grundform: Koordinaten: A Azimut s geodätischer Radius (geod. Linie) Koordinatenlinien: geodätische Linien durch O geodätische Kreise (i.a. keine geodätischen Linien) ds 2 = Eds 2 + GdA 2 = ds 2 + m 2 da 2 E =1 G = m m ist die sog. reduzierte Länge der geodätischen Linie. [ ] m = s 1 s2 (1 + η 6N 0)

16 6 OBERFLACHENKOORDINATENSYSTEME Rechtwinklige ellipsoidische Koordinaten Soldnersche Koordinaten (Johann Georg von Soldner, ) X ndx P dy ds Koordinatenursprung: O TP 1. Ordnung X-Achse: Meridian durch O Koordinatenlinien: O Abb.: Rechtwinklige ellipsoidische Koordinaten Normalen zum Grundmeridian geodätische Linien geodätische Parallelen (keine geodätischen Linien) 1. Grundform: ds 2 = Edx 2 + Gdy 2 = n 2 dx 2 + dy 2 E = n G =1 n Verjüngungsfaktor der geodätischen Parallelen n 1 y2 2N0 2 Bei y =50km wird n =1 0, 00003, d.h. bei Δx =1km 3cm Verzerrung. Verwendung: ältere Katastersysteme Katastersystem Berlin amtliches Landessystem in Baden-Würtemberg vor 1990 Formeln zur Berechnung von x, y aus B, L z.b. in: W. Großmann: Geodätische Rechnungen und Abbildungen in der Landesvermessung.

17 7 GAUSS-KRUGER-ABBILDUNG 17 7 GAUSS-KRÜGER-ABBILDUNG 7.1 Geometrische Veranschaulichung der Gauß-Krüger- Koordinaten (GKK) P N 3 (6 ) querachsiger elliptischer Zylinder (Meridinaellipse) P S Koordinatenursprung Abb.: Prinzip der GK-Abbildung Mittelmeridian (Berührungsmeridian) wird längentreu abgebildet X-Achse Als Koordinaten werden Hochwert und Rechtswert bezüglich des Ursprungs eingeführt. Zum Rechtswert werden 500 km addiert, um negative Koordinaten zu vermeiden. Bei Punkten auf der Südhalbkugel werden aus gleichem Grund zusätzlich oder km zum Hochwert addiert. Die Gesamtfläche des Ellipsoides wird in mehrere 3 oder 6 breite Streifen abgebildet, die mittels einer Streifenkennzahl unterschieden werden, die dem Rechtswert vorangestellt wird. Mittelmeridian L 0 = Streifenkennziffer z z =1/3L 0 Bildung der Streifenkennziffern für das 3 -System Mittelmeridian L 0 = Streifenkennziffer z z =1/6(L 0 +3 ) Bildung der Streifenkennziffern für das 6 -System Geschichtliches: Gauß, theoretische Arbeiten 1866 Schreiber Weiterentwicklung für Belange der Praxis 1912 Krüger Weiterentwicklung für Belange der Praxis

18 7 GAUSS-KRUGER-ABBILDUNG Allgemeine Vorbemerkungen Welche Abbildung des Ellipsoids in die Ebene ist zweckmäßig? = KONFORME ABBILDUNG konform heißt: winkeltreu im Differentiellen d.h. es treten keine Winkelverzerrungen auf aber dafür: Streckenverzerrungen Flächenverzerrungen Richtungsverzerrungen l 1 P 1 A S P 2 P 3 X Bild des Meridians durch P 1 A' P 1 t T s P 2 P 3 L 0 Ellipsoid L 1 quator GK-Ebene Abb.: Geometrische Zusammnehänge auf der Ellipsoidoberfläche und in der Gauß- Krüger-Ebene. Y Richtungsverzerrung: da = A A = f r (B,l,A) Streckenverzerrung: m = ds ds s(b,l,a) Flächenverzerrung: ΔF = F F = f F (B,l,A (Form) ) Meridiankonvergenz: c = A T Richtungskorrektion: δ = T t 7.3 Theorie der konformen Abbildung Ausgangspunkt ist die 1. Grundform der Flächentheorie auf den beiden Flächen Urbild und Abbild: Urbild: ds 2 = Edu 2 +2Fdudv+ Gdv 2 Abbild: d s 2 = Ēdū2 +2 Fdūd v + Ḡd v2

19 7 GAUSS-KRUGER-ABBILDUNG 19 Konformität heißt: E : F : G = Ē : F : Ḡ bei Orthogonalität der Parameterlinien wird: F = F =0 = E : G = Ē : Ḡ bei isometrischen Koordinaten gilt außerdem: E = G und Ē = Ḡ u und v sind dann isometrische (oder isothermische) Flächenparameter. v=const v+dv=const v+2dv=const u+2du=const u+du=const Bem.: Isometrische Parameter treten häufig in der Theorie der Wärmeleitung auf und werden daher auch als isothermische Parameter bezeichnet = ISOTHERMISCHE KOORDINATEN ds 2 = Edu 2 + Gdv 2 u=const Abb.: Parameterliniennetz da E = G kann man auch schreiben: ds 2 = λ 2 (du 2 + dv 2 ) Wenn keine isometrischen Koordinaten vorliegen, ist E G. Eine Überführung in isometrischen Koordinaten ist jedoch möglich, wobei für eine der beiden Koordinatenrichtungen dieser Übergang erfolgen muß: mit λ 2 = G dū 2 = E G du2 Wofür sind isometrische Koordinaten nötig? SATZ 1: SATZ 2: Jede analytische Funktion einer komplexen Variablen vermittelt eine konforme Abbildung. Jede stetige Funktion, die zwischen isometrischen Parametern einer Fläche und isometrischen Parametern einer anderen Fläche definiert werden kann, ist eine analytische Funktion. Fazit: Es ist eine Funktion gesucht, die zwischen B und L (B + il) einerseits und x und y (x + iy) andererseits vermittelt. Da B und L wegen der ellipsoidischen Meridiankonvergenz keine isometrischen Koordinaten sind, müssen auf dem Ellipsoid isometrische Koordinaten eingeführt werden.

20 7 GAUSS-KRUGER-ABBILDUNG Konforme Abbildung für das Ellipsoid Abb.: Gauß-Krüger- Abbildung (links) und UTM-Abbildung (rechts), schematisch Einführung isometrischer Koordinaten für das Ellipsoid Die 1. Grundform in geodätischen Koordinaten lautet ds 2 = Edu 2 + Gdv 2 ds 2 =(MdB) 2 +(N cos BdL) 2 E = M 2 G = N 2 cos 2 B = λ 2 Beim Übergang zu isometrischen Koordinaten muß gelten (mit Q isometrische Breite): ds 2 = λ 2 (dq 2 + dl 2 ) ds 2 = N 2 cos 2 B ( ( M N cos B )2 db 2 + dl 2) Damit erhält man das Differential der isometrischen Breite und durch Integration Q = B 0 dq = M N cos B db ( ( π dq = ln tan 4 + B 2 )( ) 1 e sin B e ) 2 1+esin B Abb.: Geometrische Veranschaulichung der isometrischen Breite. Die Parameterlinien Q = const werden zum Pol hin immer enger, um die Konvergenz der Meridiane L = const auszugleichen.

21 7 GAUSS-KRUGER-ABBILDUNG 21 G Berechnung von GK-Koordinaten aus B & L Als Abbildungsgleichung wird eine analytische Funktion zwischen den komplexen Variablen L 0 L 1 l P f P 0 x O Äquator y P G B f = const B = const Q=const B=0 gewählt. z = x + iy und w = Q + il z = F (w) (l = L L 0 ) Entwicklung in eine Taylorreihe: z = F (Q+il) =F 0 (Q)+F 0(Q)il+F 0 (Q) (il) ! Für analytische Funktionen sind die Ableitungen richtungsunabhängig; deshalb kann in Meridianrichtung (nach Q) differenziert werden. x + iy = G + i dg dq l d2 G dq 2 l 2 2 id3 G dq 3 l Trennung in Real- und Imaginärteil liefert: x = G + a 2 l 2 + a 4 l y = a 1 l + a 3 l 3 + a 5 l mit den Koeffizienten: a 1 = N cos B a 2 = 1tN 2 cos2 B a 3 = 1N 6 cos3 B(1 t 2 + η 2 ) a 4 = 1 N sin B 24 cos3 B(5 t 2 +9η 2 +4η 4 ) a 5 = 1 N 120 cos5 B(5 18t 2 + t 4 +14η 2 58η 2 t 2 +13η 4 64η 4 t 2 ) a 6 = 1 N sin B 720 cos5 B(61 58t 2 + t η 2 330η 2 t 2 ) a 7 = 1 N 5040 cos7 B(61 479t t 4 t 6 ) a 8 = 1 N sin B cos7 B( t t 4 t 6 ) Für 3 -Streifen sind die Koeffizienten bis a 5 l 5 erforderlich und für 6 -Streifen die Koeffizienten bis a 8 l 8. Die Berechnung der Meridianbogenlänge G erfolgt nach den Formeln in Abschnitt Umkehrung: Berechnung von B & L aus GK-Koordinaten Ein inverser Ansatz liefert wie in Abschnitt 7.4.2: B = B f + b 2 y 2 + b 4 y l = b 1 y + b 3 y 3 + b 5 y

22 7 GAUSS-KRUGER-ABBILDUNG 22 mit den Koeffizienten: 1 b 1 = N f cos B f b 2 = t f 2M f N f b 3 = 1+2t2 f +η2 f 6N 3 f cos B f b 4 = t f 24M f N 3 f (5 + 3t 2 f + η 2 f 9η 2 ft 2 f 4η 4 f) b 5 = 1 120N 5 f cos B f (5 + 28t2 f +24t 4 f +6η 2 f +8η 2 ft 2 f) Hierbei sind alle breitenabhängigen Größen für die Fußpunktsbreite B f zu nehmen. B f ist die Breite für G = x. 7.5 Reduktionsgrößen Vereinbarungen zu den Formelzeicen in diesem Abschnitt: Element Ellipsoid Ebene Srecke geodätische Linie s Gerade S Richtung Azimut A Richtungswinkel t = A c δr Meridiankonvergenz x Die Ebene Meridiankonvergenz ist der Winkel zwischen dem Abbild des Meridians und Gitternord in einem Punkt P. Meridian c P N cosb dl c dy dx P' P" -M db y tan c = dx dy = Eine Reihenentwicklung liefert: MdB N cos BdL = dq dl c = l sin B + l3 3 sin B cos2 B(1 + 3η 2 )+... oder c = t f N f y t f (1 + t 2 3Nf 3 f ηf)y Vergrößerungsverhältnis m 2 = ds2 ds = dx 2 + dy 2 2 N 2 cos 2 B(dQ 2 + dl 2 ) ds ist das differentielle Streckenelement zwischen P und P (siehe Skizze im Abschnitt Meridiankonvergenz ). dq = 0

23 7 GAUSS-KRUGER-ABBILDUNG 23 dx = x L L dy = y L L [ ( ) 2 ( ) ] x m 2 L + y 2 dl 2 L = N 2 cos 2 BdL 2 = 1 N 2 cos 2 B ( ) 2 x + L ( ) 2 y L nach Reihenentwicklung ergibt sich : m = 1+ 1+η2 2 l 2 cos 2 B + 5 4t2 l 4 cos 4 B und nach Reihenumkehr entsprechend : m = 1+ y2 2MN + y4 24N Reduktion von Strecken Richtungen und Flächen Streckenreduktion Δs = S s = s Für Strecken mit s<10km genügt ( y 2 m 2R 2 + Δy2 24R 2 + y4 m 24R 4 ) Δs = S s = s y2 m 2R 2 ( Soldnerkoordinaten : n = y2 2N 2 0 ) Zahlenwerte: y m 30km 60km 100km 150km 200km 250km Δs 1,1cm 4,4cm 12,3cm 27,8cm 49,3cm 77cm Richtungsreduktion δ 12 = (x 2 x 1 )( ym 1 2R 2 6 (y 2 y 1 ) y3 ) m (y 2 y 1 ) + η 2 t 3R 2 R 3 1 ym 2 δ 21 = (x 1 x 2 )( ym 1 2R 2 6 (y 1 y 2 ) y3 ) m (y 1 y 2 ) + η 2 t 3R 2 R 3 2 ym 2 Für Netzelemente mit s 10km genügt δ 12 = (x 2 x 1 ) 2R 2 ( ym 1 6 (y 2 y 1 ) ) δ 21 = (x 1 x 2 ) 2R 2 ( ym 1 6 (y 1 y 2 ) )

24 7 GAUSS-KRUGER-ABBILDUNG 24 und für Netzelemente mit s 5km genügt δ 12 = δ 21 = (x 2 x 1 ) y 2R 2 m Flächenreduktion ΔF = F F = F y2 m R Streifentransformation Streifentransformationen dürfen nur auf ein und demselben Ellipsoid durchgeführt werden. Ellipsoid- (Datums-) Übergange müssen gesondert behandelt werden (sihe Abschnitt 9) a) Einfachste Lösung (Indirekter Weg): Umrechnung der G.-K.-Koordinaten in geodätische Koordinaten B und L und dann Abbildung des Punktes P (B,L) in den anderen Meridianstreifen nach den Formeln der Abschnitte und P (x, y) L01 = P (B,L) = P (x, y) L02 - relativ rechenintensiv (bei heutigen Computern kein Problem mehr) b) Direkter (eleganter) Weg: System I wird in System II konform abgebildet. z = x + iy z = x + iy w = q + il w = q + il Für die Reihenentwicklung wird ein Hilfspunkt P 0 auf dem Grenzmeridian beider Systeme ausgewählt. Die Rechnung erfolgt mit Koordinatenunterschieden. Dadurch wird die Anzahl der zu berechnenden Glieder der Reihenentwicklungen stark reduziert. x = x 0 + k 11 Δx k 12 Δy + k 21 (Δx 2 Δy 2 ) 2k 22 ΔxΔy + +k 31 (Δx 3 3ΔxΔy 2 )+k 32 (Δy 3 3Δx 2 Δy) y = y 0 + k 12 Δx + k 11 Δy + k 22 (Δx 2 Δy 2 )+2k 21 ΔxΔy + +k 32 (Δx 3 3ΔxΔy 2 ) k 31 (Δy 3 3Δx 2 Δy) mit den Koeffizienten: k 11 =1 2cos 2 Bt 2 l cos4 B(2t 2 t 4 )l k 12 =2cosBtl cos3 Bt(1 2t 2 +3η 2 )l

25 8 UBERBLICK UBER WEITERE ABBILDUNGEN 25 k 21 = 3 N cos2 Bt(1 + η 2 )l k 22 = 1 cos B(1 + N η2 )l 1 6N cos3 B(1 + 31t 2 )l k 31 = 1 cos 2 B(3 4t 2 )l N 2 k 32 = 1 cos Bt(1 + 5η 2 )l N 2 Alle Breitenabhängigen Größen sind für die Breite B 0 des Hilfspunktes P 0 zu nehmen. l bei Korrektionsgliedern durch l 0 ersetzen. Δx = x P x P0 Δy = y P y P0 8 ÜBERBLICK ÜBER WEITERE ABBILDUNGEN Projektionen und Abbildungen vermitteln zwischen den Koordinaten auf Urbild und Abbild Projektionen können sowohl geometrisch als auch in mathemetischen Zusammenhängen realisiert werden (Projektionszentrum, Projektionsstrahlen,...) Projektionen sind auch Abbildungen Abbildungen werden i.a. nur durch mathemetische Zusammenhänge realisiert (Abbildungsgleichungen) 8.1 Mercatorabbildung (Projektion) - konforme Zylinderprojektion - Äquator längentreu P P' x=r tan( ) - Pole werden im Unendlichen abgebildet - rechtwinkliges Gitter der Meridiane und Parallelkreise Bedeutung in Seenavigation (Seekarten) Kurse als Geraden! Abb.: (Kugel)) r O Mercatorprojektion Notwendige Angaben für Abbildung des Ellipsoids in die Mercator-Ebene: Ellipsoidparameter (a, α) Zentralmeridian (Koordinatenursprung) Koordinatenzuschläge (Δx, Δy)

26 8 UBERBLICK UBER WEITERE ABBILDUNGEN (Universale)Transversale Mercatorabbildung (GK- Abbildung, UTM) - konforme Abbildung mit querachsigem Zylinder - Mittelmeridian längentreu -für große N-S ausgedehnte Gebiete geeignet GKK: Australien, China, GUS, BRD, UK, Irland, Italien, Norwegen, USA (tw.),... UTM: NATO, Australien, Belgien, BRD, Nordafrika, Ostafrika, Norwegen,... Notwendige Angaben für Abbildung des Ellipsoids in die Ebene: Ellipsoidparameter (a, α) Mittelmeridian Maßstabsfaktor (GKK: 1, UTM: ) Koordinatenzuschläge (Δx, Δy) 8.3 Schräge Mercatorabbildung - konforme Abbildung mit schrägem(!) Zylinder -Berührungslinie längentreu -für entlang dieser Berührungslinie ausgedehnte Gebiete geeignet Borneo, Alaska,... Notwendige Angaben für Abbildung des Ellipsoids in die Ebene: Ellipsoidparameter (a, α) Zentralmeridian (Koordinatenursprung) Azimut der Zentrallinie (oder zwei Punkte auf der Linie) Maßstabsfaktor Koordinatenzuschläge (Δx, Δy)

27 8 UBERBLICK UBER WEITERE ABBILDUNGEN Lambertsche Kegelabbildung - konforme Kegelabbildung -längentreu entlang von ein oder zwei Standardparallelen -für O-W ausgedehnte Gebiete geeignet Frankreich (2Parallele), Nordafrika (1 Parallel), Belgien, USA (Alaska, Texas; 2 Parallele)... Notwendige Angaben für Abbildung des Ellipsoids in die Ebene: Ellipsoidparameter (a, α) Mittelbreite, Mittelmeridian Standard (Berührungs-) parallelkreis(e) Maßstabsfaktor Koordinatenzuschläge (Δx, Δy) 8.5 Azimutale Projektionen (i.a. nicht konform) orthographische Projektion (Z im Unendlichen) gnomonische Projektion (Z = M im Mittelpunkt) Z' Z'' Z stereographische Projektion (Z im Gegenpol) Antarktis (ADD Antarctic Digital Database) Z''' M P P P' P'' P''' Notwendige Angaben für Abbildung des Ellipsoids in die Ebene: Ellipsoidparameter (a, α) Mittelbreite, Bezugsmeridian (Koordinatenursprung) Maßstabsfaktor Koordinatenzuschläge (Δx, Δy)

28 8 UBERBLICK UBER WEITERE ABBILDUNGEN Parameter einiger Rotationsellipsoide Ellipsoid großse Halbachse kleine Halbachse Abplattung GRS-80 a = b = α = WGS-60 a = b = α = WGS-66 a = b = α = WGS-72 a = b = α = WGS-84 a = b = α = Bessel a = b = α = Krassowski a = b = α = ED-50 a = b = α = International a = b = α = NAD-83 a = b = α = NAD-27 a = b = α = SAD69 a = b = α =

29 9 DATUMSTRANSFORMATIONEN 29 9 DATUMSTRANSFORMATIONEN 9.1 Allgemeines Koordinatensysteme: Bezugssysteme: kartesische Koordinaten ellipsoidische Koordinaten Gauß-Krüger-Koordinaten UTM-Koordinaten Soldner-Koordinaten... Potsdam-Datum RD (Bessel-Ellipsoid) WGS 84, (ETRF 89) Pulkovo-Datum (Krassowski-Ellipsoid) ED 50, (NATO)... natürliche (astronomische) Koordinaten sind anholonom! 1 Koordinatenumformungen zwischen verschiedenen Koordinatensystemen sind streng realisierbar! Zwischen verschiedenen Bezugssystemen sind Datumstransformationen erforderlich! - meist nur näherungsweise über identische (Paß-)Punkte möglich - Transformation mit bekannter Datumsdifferenz Beispiele für Koordinatenumformungen (Siehe vorhergehende Abschnitte) Umformung zwischen kartesischen und Polarkoordinaten Umformung zwischen kartesischen und ellipsoidischen Koordinaten Umformung zwischen ellipsoidischen und Gauß-Krüger-Koordinaten... 1 Anholonom bedeutet, daß die geodätischen Grundaufgaben der Koordinatenrechnung nicht eindeutig analytisch lösbar sind, d.h. aus Strecke und Richtung lassen sich von einem Punkt aus z.b. nicht die Koordinaten eines anderen bestimmen. Anholonome Systeme sind für den praktischen Gebrauch ungeeignet.

30 9 DATUMSTRANSFORMATIONEN Koordinatentransformationen Problem: In der Praxis liegen häufig Koordinaten in verschiedenen Bezugssystemen bzw. deren Realisierungen vor! P (X I,Y I,Z I ) =?= P (X II,Y II,Z II ) Lösung: Koordinatentransformationen als rechnerische Verknüpfung zwischen verschiedenen Bezugssystemen. P (X I,Y I,Z I ) = TRANSFORMATION = P (X II,Y II,Z II ) Transformationsparameter: a) a-priori bekannte Parameter (geodätisches Datum der Systeme bzw. Datumsdifferenzen) b) Bestimmung mittels identischer (holonomer) Punkte als Ausgleichungsproblem 9.2 Helmerttransformation Beschränkung auf kartesische rechtwinklige Koordinaten und Bestimmung der Transformationsparameter durch Ausgleichung Systematisierung von Transformationen (2D) Mögliche Transformationsparameter: Translationen in Richtung der Koordinatenachsen Rotationen um die Koordinatenachsen Skalierungen für das Gesamtsystem oder die Achsrichtungen getrennt Scherungen (unterschiedliche Rotationen zwischen den entsprechenden Achsen von Start- und Zielsystem) Übersicht über Transformationen (2D):

31 9 DATUMSTRANSFORMATIONEN 31 Art der Parameter Eigenschaften Bemerkungen Transformation (Anzahl der Parameter) Kongruenz 2 Translationen winkeltreu z.b. zur Einpassung von (3) 1 Rotation streckentreu maßstäblich Restklaffungen relativ festliegenden Blöcken aussagekräftig Ähnlichkeit 2 Translationen winkeltreu klassische (4) 1 Rotation nicht streckentreu 1 Maßstab Interpretation der Restklaffungen Helmerttransformation schwierig 5-Parameter 2 Translationen weder winkel- (5) 1 Rotation noch streckentreu 2 Maßstäbe Affinität 2 Translationen weder winkel- z.b. für Transformation (6) 1 Rotation noch streckentreu zwischen Soldner- 2 Maßstäbe und Gauß-Krüger-Systemen 1 Scherung anwendbar Kongruenz Ähnlichkeit 5-Parameter Affinität Abb.: Prinzipdarstellung der verschiedenen 2D-Transformationsmöglichkeiten

32 9 DATUMSTRANSFORMATIONEN Transformationsgleichungen x' x" x" P Beispiel: Rotation um die Z-Achse um den Winkel Θ (vgl. Abb. links). x' P P X II = X I cos Θ + Y I sin Θ Y II = X I sin Θ + Y I cos Θ Z II = Z I y" P y' P y" y' X II = R(Θ) X I Rotationsmatrizen R(γ) (Drehung um die Z-Achse), R(β) (Drehung um die Y-Achse) und R(α) (Drehung um die X-Achse): R(γ) = cos γ sin γ 0 sin γ cos γ R(α) = R(β) = cosα sin α 0 sin α cos α cos β 0 sin β sin β 0 cosβ und entsprechend für kleine Winkel (cos(ω) = 1und sin(ω) = ω, mitω = α, β, γ): 1 γ β R(γ) = γ 1 0 R(β) = R(α) = 0 1 α β α 1 Eine Zusammenfassung der drei Rotationsmatrizen liefert: R(α)R(β)R(γ) =R = 1 γ β γ 1 α β α 1 Vollständige 3-D-Transformationsgleichung einer Ähnlichkeitstransformation: X II = X 0 + m R(α) R(β) R(γ) X I Die Bestimmung von X 0, m, α,β und γ ist durch Ausgleichung möglich, wenn mehr identische Punkte als notwendig vorliegen. Bei großen Rotationsbeträgen sind Näherungswerte für die Winkel (aus Koordinaten berechenbar) und/oder ggf. eine iterative Bestimmung der Transformationsparameter erforderlich. Die Transformation von Koordinaten muß dann ohne die Näherungen cos(ω) =1

33 9 DATUMSTRANSFORMATIONEN 33 und sin(ω) =ω erfolgen. Dabei muß unbedingt die Reihenfolge der Drehungen beachtet werden. Z.B.: R 1 = R(α)R(β)R(γ) und R 2 = R(γ)R(β)R(α) R 1 = R 2 = cos β cos γ cos β sin γ sin β sin α sin β cos γ cos α sin γ sin α sin β sin γ +cosαcos γ sin α cos β cos α sin β cos γ +sinαsin γ cos α sin β sin γ sin α cos γ cos α cos β cos β cos γ cos α sin γ +sinαsin β cos γ sin α sin γ cos α sin β cos γ cos β sin γ cos α cos γ +sinαsin β sin γ sin α cos γ +cosαsin β sin γ sin β sin α cos β cos α cos β Möglichkeiten der Parametriesierung verschiedener 2-D- Transformationen Affinität (6 Parameter) X II = X 0 + ax I + by I Y II = Y 0 + cx I + dy I a d und b c wenn m 1 m 2 1 und Rotation & Scherung klein. 5-Parameter X II = X 0 + ax I + by I Y II = Y 0 + cx I + dy I Nebenbedingung: a/d = b/c, d.h. z.b. Substitution: c = b(d/a) Ähnlichkeit (2D-Helmertransformation, 4 Parameter) X II = X 0 + ax I + by I Y II = Y 0 bx I + ay I Kongruenz (3 Parameter) X II = X 0 + X I + by I Y II = Y 0 bx I + Y I Parametrisierung und Ausgleichungsmodell für die 3-D-Transformation Transformationsgleichungssystem ohne Berücksichtigung von Scherungen: X II = X 0 + mrx I

34 9 DATUMSTRANSFORMATIONEN 34 X II = X 0 + m x (X I + γy I βz I ) Y II = Y 0 + m y ( γx I + Y I + αz I ) Z II = Z 0 + m z (βx I αy I + Z I ) Alternative Parametrisierung: XII = X 0 + ax I + by I + cz I Y II = Y 0 + dx I + ey I + fz I Z II = Z 0 + gx I + hy I + iz I Designmatrix A für m = m x = m y = m z 1 und α β γ 0 sowie m 0 =1und α 0 = β 0 = γ 0 =0: X I 0 Z I Y I Y I Z I 0 X I A = Z I Y I X I und entsprechend für m x m y m z und α β γ 0: X I Z I Y I Y I 0 Z I 0 X I A = Z I Y I X I und Normalgleichungsmatrix N: N = A T A bzw. N = A T PA Entsprechend lassen sich auch die Normalgleichungen für eine Auswahl von Parametern (z.b. Transformation ohne Maßstab) aufstellen Genauigkeitsbewertung Redundanz als Maß für die Überbestimmtheit der Transformation von n Punkten mit n p Parametern ( Freiheitsgrad): R 2D =2n n p (2 dimensional) R 3D =3n n p (3 dimensional) Standardabweichung einer Koordinate: σ 0 = σ x = σ y = [v2 x + vy] 2 σ 0 = σ x = σ y = σ z = [v2 x + vy 2 + vz] 2 R 2D R 3D Lagestandardabweichung: Mittlere Restklaffungen: [v 2 v x = x ] n σ L = σ 0 2 [v 2 v y = y ] n v z = [v 2 z ] n

35 9 DATUMSTRANSFORMATIONEN 35 Koordinaten sind bei der (Helmert-)Transformation nur fingierte Beobachtungen. Die Standardabweichung sagt daher nur aus, mit welcher Genauigkeit sich die holonomen Punkte der beiden Systeme aufeinander transformieren lassen. Über die Genauigkeit der Systeme selbst kann allein aus den Restklaffungen v i keine Aussage getroffen werden. Hierfür sind a-priori Informationen nötig. Start- und Zielsystem werden nur selten gleichgenau sein Zuverlässigkeitsbewertung Insbesondere bei nur wenigen holonomen Punkten werden die Restklaffungen klein und damit kommt es u.u. zu irreführenden Interpretationen der Ergebnisse. Es können erhebliche Differenzen in einem Paßpunkt durch die übrigen aufgefangen ( verschmiert ) werden. Die Gefahr einer Fehleinschätzung der Güte der Transformation ist umso geringer, je größer die Zahl und je günstiger die Anordnung der Paßpunkte ist. Die Redundanz R läßt sich rechnerisch auf die einzelnen Paßpunkte aufteilen. Es ergibt sich die individuelle Überbestimmtheit jeder einzelnen Paßpunktkoordinate. Die Redundanz r i drückt aus, welcher Anteil des Fehlers einer Koordinate sich in der Restklaffung niederschlägt, und der Term (1 r i ), welcher sich auf andere Paßpunkte aufteilt. r i =1 x2 i + y 2 i [x 2 + y 2 ] 1 n Es ist immer sinnvoll, sowohl die Restklaffungen, als auch die individuelle Konfiguration eines Paßpunktes zu betrachten. Gewichtete Restklaffungen: Normierte Restklaffungen: v i = v inorm = v i ri v i σ 0 ri Grenzwert (Um welchen Betrag müßte eine Koordinate verändert werden, damit die Restklaffung v i =0wird?): G i = v i r i Interpretation der Transformationsergebnisse Rotationswinkel Bei Einpassung von örtlichen (lokalen) Koordinaten in ein übergeordnetes System i.a. nicht von Interesse. Anderenfalls sind Aussagen über Orientierungsgenauigkeit, Meridiankonvergenz, magnetische Deklination o.ä. möglich. Maßstab Durch Maßstabsdifferenzen können individuelle Klaffungen verwischt werden. Maßstabsdifferenzen müssen immer im Zusammenhang mit a-priori Maßstabsgenauigkeiten der Systeme oder Meßverfahren betrachtet werden.

36 36 Translationen Bei Bezug der Koordinaten der holonomen Punkte auf deren Schwerpunkt gleich Null (Schwerpunktsdifferenz gleich Translation). Es können starke Korrelationen mit den Rotationen auftreten (z.b. bei geozentrischen dreidimensionalen Datensätzen). Restklaffungen Die Bewertung von Beträgen, Redundanzanteilen und Grenzwerten reicht u.u. allein nicht aus. Es sollte immer auch eine Betrachtung der Geometrie der Klaffungen und der Nachbarschaftsbeziehungen erfolgen (grafische Veranschaulichung sinnvoll). 9.3 Regeln für die praktische Nutzung von Transformationen Die Nutzung von a-priori Kenntnisse über Qualität und Besonderheiten der ineinander zu transformierenden Systeme sind immer sinnvoll. Sie können bei der Interpretation der Transformationsergebnisse sehr hilfreich sein. Maßstabsfaktoren sind nur für Systeme mit erwartungsgemäß homogenem Maßstab sinnvoll. Die Suche nach fehlerhaften holonomen Punkten bei gleichzeitiger Maßstabsbestimmung kann mitunter schwierig sein. Die Eliminierung von Paßpunkten muß immer begründet erfolgen. Gleiches gilt für die Änderung von Gewichten von Punkten oder einzelner Komponenten. Es darf grundsätzlich nicht extrapoliert werden. Transformationen gelten immer nur innerhalb der durch Paßpunkte überdeckten Fläche. Bei nur wenigen Paßpunkten (3 5) darf wegen der geringen Überbestimmung nicht zwangsläufig auf eine gute, d.h. zuverlässige Einpassung geschlossen werden, selbst wenn die Restklaffungen klein sind. QUELLENHINWEISE (Auswahl) [Großmann] Großmann, W., 1949: Geodätische Rechnungen und Abbildungen in der Landesvermessung. Wiss. Verlagsanstalt K.G., Hannover [Hooijberg] Hooijberg, M., 1997: Practical Geodesy Using Computers. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg [Snyder] Snyder, J. P. & P. M. Voxland, 1989: An Album of Map Projections. U. S. Geological Survey Professional Paper 1453 WWW-Adressen:

37 37 //gibs.leipzig.ifag.de/cgi-bin/transform.cgi?de