Ellipsoidnormale, Schwerevektor, Normalschwerevektor und Schwerestörungsvektor

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Nikolas Junge
vor 5 Jahren
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1 1 von :12 Ellipsoidnormale, 1. Ellipsoidnormale Bei der Festlegung der Position eines Punktes bezieht man sich auf ein Referenzellipsoid, welches sich möglichst gut der Erdoberfläche anpaßt. Dieses Referenzellipsoid ist zunächst durch seine Halbachsen a und b festgelegt und wird so positioniert, das seine drei Körperachsen mit den Basisvektoren des globalen, terrestrischen Systems zusammenfallen. Jeder Punkt im Raum kann nun mit Hilfe der Flächennormalen (Ellipsoidnormale ) beschrieben werden. Dabei ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen den ellipsoidischen Koordinaten und den kartesischen Koordinaten in Bezug auf das terrestrische System : N: Querkrümmumgshalbmesser mit 2. Schwerevektor Der Schwerevektor ist der Gradient des Schwerepotentials W. In jedem Punkt P kann durch astronomische und gravimetrische Messungen der Schwerevektor bestimmt werden. Seine Richtung wird durch die astronomische Breite und die astronomische Länge in einer orthonormalen Basis dargestellt. Da zwischen den Systemen und Achsparallelität herrscht, werden die Komponenten von nach einer entsprechenden Verschiebung im globalen, terrestrischen Systems angegeben.

2 2 von :12 Der Betrag des Schwerevektors, die Schwere g, nimmt mit größer werdendem Abstand von der Erdoberfläche ab. Die Richtung des Vektors zeigt also nach unten (Erdoberfläche). Aus diesem Grund führt man seine Vektorkomponenten mit einem negativen Vorzeichen ein. Im lokalen, astronomischen Zenitsystem zeigt somit in die entgegengesetzte Zenitrichtung. 3. Lotabweichung Alle geodätischen Messungen unterliegen dem Einfluß des Schwerefeldes. So beschreibt ein am Meßinstrument installiertes Lot die Richtung des Schwerevektors. Da man sich aber bei Berechnungen auf das Ellipsoid und damit auf die Ellipsoidnormale bezieht, muß die Messung mit Hilfe der Lotabweichung, dem Winkel zwischen Ellipsoidnormale und Schwerevektor, umgerechnet werden. Zur Veranschaulichung der Lotabweichung legt man in den Punkt P eine Einheitskugel, auf welcher sich die Zenitrichtung der lokalen, astronomischen Basis und die Zenitrichtung der lokalen ellipsoidischen Basis als Durchstoßpunkte abbilden. Verwendet man für die Einheitskugel eine zur globalen, terrestrischen Basis parallele Basis, stellt sich die Lotabweichung als sphärischer Abstand

3 3 von :12 zwischen den Durchstoßpunkten dar. und sind dabei die sphärischen Abstände der Durchstoßpunkte auf dem Meridian bzw. auf dem Kleinkreis und geben die Nord-Süd - bzw. die Ost-West-Komponente von an. Das auf der Einheitskugel entstandene sphärische Dreieck bildet die Grundlage für die Berechnung der Lotabweichungskomponenten. Nachdem in den Gleichungen für die sphärischen Dreiecksbeziehungen Vereinfachungen wegen kleiner Winkel eingeführt werden, erhält man die Formeln:, wodurch sich auch die Vorzeichenfestlegungen für und ergeben. 4. Normalschwerevektor Zur mathematischen Beschreibung von W definiert man sich zunächst ein Schwerepotential U mit Bezug auf ein Referenzellipsoid, welches in der Literatur als Normalpotential bezeichnet wird.die Differenz des tatsächlichen Erdschwerepotentials W und des Normalpotentials U ergibt das Störpotential T. Der Gradient des Normalpotentials ist der Normalschwerevektors. Die Komponenten von sind ebenso wie die Komponenten von Funktionen von Parametern des Referenzellipsoides. Beide Vektoren liegen damit in der gleichen Meridianebene mit der ellipsoidischen Länge und unterscheiden sich nur in ihrer Breite bzw.. Die Abweichung zwischen und wird ebenfalls in Nord-Süd bzw. Ost -West-Komponenten aufgeteilt. Der Winkel in Ost-West-Richtung ist in diesem Fall wiederum. In Nord-Süd-Richtung

4 4 von :12 entsteht jedoch ein anderer Winkel, der als bezeichnet wird. Legt man wiederum die Einheitskugel in den Punkt P, stellen sich die Winkel wie folgt dar: Definiert man mittels des Normalschwerevektors ein lokales Koordinatensystem, dessen Hauptrichtung in die entgegengesetzte Richtung von zeigt, lauten die Komponenten von : 5. Schwerestörungsvektor Der zum Störpotential T gehörende Gradient wird als Schwerestörungsvektor Es ergibt sich aus der Formel: T = W-U für den Gradienten von T: bezeichnet. grad T = grad W - grad U. Daraus folgt:

5 5 von :12 Um die Komponenten von berechnen zu können, müssen und im gleichen lokalen System vorliegen. wird deshalb ins lokale, astronomische Zenitsystem transformiert. Das lokale Normalschweresystem ist genau wie die lokale, astronomische Basis ein Linkssystem, so daß für die Aufstellung der Rotationsmatrizen gilt: Für die Basistransformation ergibt sich folgende Formel:! Da sich die Vektorkomponenten wie die Basis des Vektors transformieren, erhält man die Komponenten von im System auf die gleiche Art und Weise.. Nach Einführung der Vereinfachungen mit lauten die Formeln:

6 6 von :12 Der Normalschwerevektor im lokalen, astronomischen Zenitsystem lautet dann: Jetzt läßt sich die Differenz bilden: Nach dem Ausklammern des Vorzeichens ergeben sich die Komponenten des Schwerestörungsvektors im lokalen astronomischen System:

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