Abteilung GHS Hedwig Gasteiger Schellingstr. 155, 80797 München Ergebnisanalyse der Orientierungsarbeiten 2004/05 Mathematik Jahrgangsstufe 2 1. Testergebnisse 1.1 Gesamtergebnis (Zahlen des Vorjahres in Klammern) Teilnehmer 121210 (119618) Durchschnittlich erreichte Punkte von 18 10,5 Prozentual erreichte Punkte 58,3% (63,4%) Tabelle 1 635 Schüler mit Legasthenie bzw. anerkannter Lese-Rechtschreibschwäche nahmen an den Orientierungsarbeiten Mathematik (Jahrgangsstufe 2) zwar teil, ihre Ergebnisse wurden jedoch nicht an das ISB rückgemeldet. Die Gewährung des Nachteilsausgleiches lag in der Verantwortung der Lehrkräfte. 1.2 Überblick über die Ergebnisse der einzelnen Aufgaben Die Teilnahme der 1090 Schüler mit diagnostiziertem sonderpädagogischen Förderbedarf (Art. 41 Abs. 1 BayEUG) sowie der 2288 (550) Schüler nichtdeutscher Muttersprache, die weniger als zwei Jahre in Deutschland sind und über unzureichende Fähigkeiten der deutschen Sprache verfügen, lag im Ermessen der Lehrkraft. Die Ergebnisse dieser Schüler wurden ebenfalls nicht an das ISB gemeldet. Nr. Kurzbeschreibung der Aufgabe Lösungsquotplatz Rang- 1 Addition 82% 1 2 Subtraktion 60% 6 3 Malaufgaben mit Ergebnis 12 Tauschaufgaben 81% 2 4 Flächen parkettieren: Bildkarten 61% 5 5a Multiplikation: Hundebeine 81% 2 5b Multiplikation: Vogelbeine 81% 2 5c Multiplikation: Goldfischbeine 74% 3 6a Zahlenmauer: Zielstein fehlt 82% 1 6b Zahlenmauer: rechter Grundstein fehlt 74% 3 6c Zahlenmauer: linker Grundstein fehlt 50% 7 7a Geobrett: Rechteck 44% 8 7b Geobrett: Dreieck 61% 5 8 Sachsituation: Autoschlange 31% 11 9 unterbestimmte Sachsituation 40% 10 10 Sachsituation: Schwimmbad 15% 13 11 Wege im Raum 41% 9 12 Sachsituation: Gruppenbildung 24% 12 13 Verdopplung 67% 4 Tabelle 2 Im Vorjahr wurden 12 von 19 möglichen Punkten erreicht. Der Wert fehlt in der Tabelle, da er sich mit dem Wert dieses Jahres aufgrund der unterschiedlichen Gesamtpunktzahl nicht vergleichen lässt. Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung - 1 -
2. Inhaltsbereiche und Anforderung Die Aufgaben überprüften Kenntnisse und Fähigkeiten aus den Inhaltsbereichen Geometrie, Zahlen und Rechnen, Sachbezogene Mathematik. 2.1 Kompetenzmodell Zur besseren Interpretation der Schülerergebnisse und zur genaueren Beschreibung der erreichten Leistung lassen sich die Aufgaben in fünf Kompetenzstufen einteilen. Das im Auswertungsbericht zu den Orientierungsarbeiten 2004 verwendete dreistufige Modell wurde ausdifferenziert. Die fünf Kompetenzstufen sind so angelegt, dass sie eine Einordnung der Aufgaben nach aufsteigendem Anspruch und zunehmender Komplexität ermöglichen. Während auf den unteren Stufen Routinewissen und Routineprozeduren zum Einsatz kommen, geht es im oberen Bereich darum, das eigene aktive Denken der Kinder zu unterstützen, sie zur kritischen Nutzung von Informationen anzuleiten, ihre Reflexionsfähigkeit zu stärken und dabei auch einen Sachkontext angemessen einzubeziehen. Die Aufgaben der unteren Kompetenzstufen beruhen in der Regel auf einer einfachen, leicht erkennbaren Struktur. Schwierigere Aufgaben müssen von den Kindern selbstständig strukturiert werden. Sie sind darauf angelegt zu zeigen, ob die Schüler das nötige mathematische Werkzeug besitzen und entsprechend flexibel einsetzen können, um Probleme mit Hilfe der Mathematik zu lösen. Kompetenzstufe I Grundlagenwissen Hier geht es um einfaches Wissen zum Umgang mit Zahlen. Die Aufgaben sind so angelegt, dass sie nur Grundkenntnisse zu den jeweiligen, im Lehrplan definierten Zahlenräumen und den dort vorgegebenen Operationen voraussetzen. Sie erfordern in allen Jahrgangsstufen das Beherrschen des kleinen Einspluseins. Insgesamt beschränken sich die Aufgaben auf einfaches Zahlenmaterial. Die zugrunde liegende mathematische Struktur ist leicht erkennbar und die Aufgaben berücksichtigen keinerlei Anwendung in Sachzusammenhängen. Kompetenzstufe II Sicheres Ausführen von Routinen Diese Kompetenzstufe verlangt die Fähigkeit, strukturelle Zusammenhänge des dekadischen Systems in Rechenoperationen anzuwenden. Die Aufgaben erfordern Basiswissen zu den im Lehrplan festgelegten Grundrechenarten, Größen und zur Geometrie. Sie können verschiedene Zahldarstellungen enthalten. Die Verwendung einfacher geometrischer Begriffe in Standardsituationen wird verlangt. Kompetenzstufe III Verknüpfung von Operationen und Prozessen Hier werden sicheres Beherrschen der Grundrechenarten sowie der sichere Umgang mit Größen im curricularen Umfang verlangt. Im Bereich Geometrie wird Basiswissen in Aufgaben angewandt. Einfache Sachzusammenhänge werden mathematisch interpretiert und rechnerisch gelöst. Darüber hinaus erfordern die Aufgaben die Verknüpfung von Operationen. Kompetenzstufe IV Anwenden mathematischer Fertigkeiten und Fähigkeiten in komplexeren Kontexten Die Aufgaben verlangen die eigenständige Auseinandersetzung mit komplexeren mathematisch interpretierbaren Situationen. Dabei wird ein erweitertes geometrisches Verständnis vorausgesetzt. Die Kenntnisse in den Grundrechenarten werden im gegebenen Kontext angewandt. Aufgaben dieser Kompetenzstufe erfordern Fähigkeiten, wie z. B. systematisches Probieren oder das Interpretieren bzw. Kombinieren verschiedener Informationen. Kompetenzstufe V Kreatives Problemlösen Auf Kompetenzstufe V werden anspruchsvolle Problemstellungen bearbeitet, die eigenes Denken, flexibles Kombinieren und einen systematischen Umgang mit Informationen erfordern. Diese werden gegebenenfalls aus unterschiedlichen Darstellungen entnommen. Für die Lösung der Aufgabe ist oftmals das Entwickeln individueller Lösungsstrategien erforderlich. Insgesamt handelt es sich um Aufgabenstellungen mit erhöhter Komplexität, bei denen der Weg zur Lösung unbekannt oder ungeübt ist und die Kreativität der Schüler fordert. Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung - 2 -
2.2 Aufgabenzusammenstellung Bei der Testerstellung wurde darauf geachtet, mit den Aufgaben zu erfassen, ob die Schüler ein gewisses Maß an mathematischer Grundbildung erreicht haben, d. h. die Schüler sollen zeigen, ob sie Operationen beherrschen und über mathematisches Wissen verfügen, aber vor allem auch, ob sie die Mathematik flexibel zur Problemlösung in authentischen, inner- und außermathematischen Kontexten verwenden können. Kann ein Schüler die Aufgaben der Kompetenzstufen I und II lösen, so kann davon ausgegangen werden, dass wichtige Grundlagen im mathematischen Bereich vorhanden sind bzw. Routineprozeduren beherrscht werden. Eine unumgängliche Voraussetzung für die Anwendung von mathematischen Fähigkeiten in verschiedenen Kontexten ist das Verknüpfen verschiedener Operationen und Prozesse. Bei den Aufgabenstellungen der Gruppe III können die Schüler unter Beweis stellen, ob ihnen dies gelingt. Diese beiden Anforderungen (Sicheres Ausführen von Routinen und Verknüpfen von Operationen und Prozessen) stellen das Werkzeug dar, das benötigt wird, um Probleme mit Hilfe der Mathematik lösen zu können. Die komplexeren Aufgaben der Gruppe IV und V verlangen die Verknüpfungen von Inhalten und O- perationen, aber auch deren flexiblere Anwendung. Sie weichen von häufiger vorkommenden, routinemäßigen Anwendungen ab und zeichnen sich zum Teil auch durch einen problemlösenden Aspekt aus. Die Bewältigung dieser Aufgaben lässt den Schluss auf ein sichereres Beherrschen der jeweiligen Inhalte zu bzw. auf die Fähigkeit, mit Hilfe der Mathematik Probleme modellieren und lösen zu können. Die Aufgabenzusammenstellung erfolgte aufgrund der Pilotierungsuntersuchung, die zeitgleich zur Vollerhebung 2004 mit 30 Klassen in Bayern durchgeführt wurde. Die Auswahl wurde so vorgenommen, dass eine Lösungswahrscheinlichkeit zwischen 50% und 60% zu erwarten war, um eine gleichmäßigere Verteilung der Ergebnisse zu erreichen. Damit wurde der Test insgesamt etwas schwieriger (vgl. auch 4.). Der Test der Jahrgangsstufe 2 enthielt keine Aufgaben, die Kompetenzstufe I entsprechen. Im Schuljahr 2005/06 soll der Test das gesamte Kompetenzspektrum abdecken. Das oben beschriebene Kompetenzmodell wurde auch für die Jahrgangsstufe 3 verwendet. Die Grundlage für die Aufgabenerstellung lieferte jeweils der entsprechende Lehrplan der Jahrgangsstufe 2 bzw. 3. Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung - 3 -
3. Interpretation der Ergebnisse 3.1 Überblick Für die nachfolgende Interpretation der Ergebnisse werden die Aufgaben nach den Kompetenzstufen geordnet. Erzieltes Ergebnis in Prozent 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Ergebnisse der Aufgaben - unterschieden nach Kompetenzstufen 82% 82% 81% 81% 81% 74% 74% 67% 61% 60% Abb. 1 Aus dieser Gesamtübersicht wird die abfallende Lösungshäufigkeit in Bezug auf die Kompetenzstufen deutlich. Die Aufgaben 5c und 7b fallen etwas heraus, was bei der Einzelanalyse näher beleuchtet wird. Nachfolgend werden die Ergebnisse der Aufgaben innerhalb der einzelnen Kompetenzstufen genauer analysiert. Insgesamt betrachtet ergab sich für die einzelnen Kompetenzstufen folgendes Bild: 50% 61% 44% 41% 40% Erreichte Punkte innerhalb der Kompetenzstufen 31% 24% 1 6a 3 5a 5b 6b 13 5c 4 2 6c 7b 7a 11 9 8 12 10 Aufgabennummer Kompetenzstufe II Kompetenzstufe III Kompetenzstufe IV Kompetenzstufe V 15% II 78% 22% III IV 43% 61% 57% 39% gelöst nicht gelöst V 20% 81% 0% 20% 40% 60% 80% 100% 120% Abb. 2 Der Test der Jahrgangsstufe 2 enthielt keine Aufgaben, die Kompetenzstufe I entsprechen (vgl. 2.2). Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung - 4 -
3.2 Aufgaben aus dem Bereich Sicheres Ausführen von Routinen Kompetenzstufe II 1 Addition 82% 6a 3 5a 5b Zahlenmauer: Zielstein fehlt Malaufgaben mit Ergebnis 12 Multiplikation: Hundebeine Multiplikation: Vogelbeine 82% 81% 81% 81% 6b Zahlenmauer: rechter Grundstein fehlt 74% 13 Verdoppelung 67% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Abb. 3 Bei den sieben Aufgaben zu diesem Kompetenzniveau konnten durchschnittlich 78% der erreichbaren Punkte erzielt werden (vgl. Abbildung 2). Hierbei handelt es sich um Aufgaben zu den Grundrechenarten Addition, Subtraktion und Multiplikation. Die Aufgaben zur Addition und Multiplikation wurden mit Lösungsquoten von ca. 80% gut gelöst. Die Aufgabe zur Addition mit Zehnerübergang (1) wurde gleich gut gelöst wie die Additionsaufgabe ohne Zehnerübergang im Format Zahlenmauer (6a). Das Aufgabenformat Zahlenmauer erfordert obwohl in vielen Schulbüchern behandelt offensichtlich die Interpretation der Darstellung, bevor die Lösung der Aufgabe erfolgt. 74% der Schüler lösten die Anforderung, einen fehlenden Grundstein in der Zahlenmauer zu finden. Diese Aufgabe konnte durch Ergänzen, mit Hilfe der Umkehraufgabe oder auch durch Rückgriff auf die Verdopplung gelöst werden. Zehnerüberschreitendes Rechnen ist nicht notwendig. Vier Malaufgaben mit Ergebnis 12 zu finden (3), gelang 81% der Schüler. Diese Aufgabe erforderte neben der Automatisierung von Kernaufgaben auch die Kenntnis der Kommutativität der Multiplikation. Nur durch das Wissen, dass es zu jeder Multiplikationsaufgabe auch eine Tauschaufgabe gibt, kann die vierte Aufgabe gefunden werden. Die beiden Multiplikationsaufgaben im Sachkontext (5a, b) wurden ebenfalls von 81% der Schüler gelöst. Dabei handelt es sich um Kernaufgaben, die in der Jahrgangsstufe 2 automatisiert werden müssen. Die Verdoppelung von 39 (13) konnten 67% richtig lösen, 15% weniger als die Addition 37 + 28 (1). Da es sich bei beiden Aufgaben um eine ähnliche arithmetische Anforderung handelt, liegt der Schluss nahe, dass der Begriff Verdoppeln manchen Kindern nicht so geläufig ist wie die Notationsform einer Gleichung. Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung - 5 -
3.3 Aufgaben aus dem Bereich Verknüpfung von Operationen und Prozessen Kompetenzstufe III 5c Multiplikation: Goldfischbeine 74% 4 Parkettieren 61% 2 Subtraktion 60% 6c Zahlenmauer: Grundstein links fehlt 50% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Abb. 4 Bei den vier Aufgaben der Kompetenzstufe III konnten durchschnittlich 61% der erreichbaren Punkte erzielt werden (vgl. Abbildung 2). Es handelt sich dabei um Aufgaben zur Subtraktion und zum Verständnis der Multiplikation, um eine Aufgabe aus der Geometrie sowie um eine weitere Aufgabe des Formats Zahlenmauer. Die Aufgabe zum Verständnis der Multiplikation (5c), bei der nach der Anzahl der Beine von sieben Goldfischen gefragt wurde, konnte mit 74% erreichter Punkte besser gelöst werden als die Aufgabe zur Verdopplung, die Kompetenzstufe II zugeordnet ist, und sie wurde deutlich besser gelöst, als in der Pilotierungsuntersuchung. Dieses deutlich bessere Ergebnis lässt sich aufgrund der vorliegenden Daten nicht erklären. Die Aufgabe 5c wurde Kompetenzstufe III zugeordnet, da die Malaufgaben mit Null im Gegensatz zu den bei 5a und b geforderten Malaufgaben (5 4, 8 2) nicht zwangsläufig zu den automatisierten Einmaleinssätzen gehören. Die Aufgabe zum Parkettieren (4), die Raumvorstellung und das Handeln in der Vorstellung bzw. das Entwickeln einer Strategie zur Lösung verlangt, konnten 61% der Schüler lösen. Die Diskrepanz zwischen den Lösungsquoten bei den Aufgaben zur Addition (1) und Subtraktion (2) im Zahlenraum bis 100 ist wie auch in den Vorjahren nach wie vor deutlich. Die Lösungsquote bei der Subtraktion ist um 22% niedriger als bei der Addition. Beide Aufgaben weisen einen Zehnerübergang auf. Bei der Subtraktion bietet sich als Lösungsweg zusätzlich zum schrittweisen Abziehen auch das Ergänzen an. Um zu vermeiden, dass die Schüler bei zwei auf den ersten Blick ähnlich aussehenden Aufgaben bei der zweiten Aufgabe dasselbe Rechenzeichen wie bei der ersten verwenden, wurden die Aufgaben in diesem Schuljahr getrennt gestellt. Die Ergebnisse der Pilotierungsuntersuchung zeigen, dass eine häufige Fehllösung dieser Aufgabe durch Subtraktion des jeweils kleineren Stellenwertes vom größeren entsteht. Diesem Lösungsweg fehlt das Verständnis für die Stellenwertschreibweise und die Operation der Subtraktion. Die individuelle Fehleranalyse ermöglicht weiterführende Aussagen über die Gründe der Diskrepanz zwischen den Ergebnissen der Additionsund der Subtraktionsaufgabe. Die dritte Aufgabe des Formats Zahlenmauer (6c) verlangte die Umkehrung der Operation und zusätzlich einen Zehnerübergang. Sie wurde von 50% der Schüler gelöst. Die im Vergleich zur Aufgabe 6b deutlich geringere Lösungshäufigkeit erklärt sich durch die höhere rechnerische Anforderung. Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung - 6 -
3.4 Aufgaben aus dem Bereich Anwenden mathematischer Fertigkeiten und Fähigkeiten in komplexeren Kontexten Kompetenzstufe IV 7b Geobrett: Dreieck 61% 7a Geobrett: Rechteck 44% 11 Wege im Raum 41% 9 SA: unterbestimmt 40% 8 SA: Autoschlange 31% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Abb. 5 Bei den fünf Aufgaben zu dieser Kompetenzstufe konnten durchschnittlich 43% der erreichbaren Punkte erzielt werden (vgl. Abbildung 2). Hierbei handelt es sich um Aufgaben aus den Bereichen Sachrechnen und Geometrie. 61% der Schüler bewältigten die Aufgabe, auf einem Geobrett in der Vorstellung oder zeichnerisch nach Vorgabe ein Dreieck zu spannen und dieses auch richtig zu benennen (7b). Die analoge Aufgabe zum Rechteck (7a) gelang nur 44% der Schüler. Vermutlich erklärt sich dieser Unterschied durch die verlangte Bezeichnung der gespannten Form: der bereits in Jahrgangsstufe 1 erarbeitete Begriff Rechteck scheint nicht so gesichert wie der Begriff Dreieck. Eine häufige Schülerlösung mag sicher auch Viereck gelautet haben. Es wird aufgrund der Lerninhalte in Jahrgangsstufe 1 jedoch die exakte Bezeichnung der Flächenform gefordert. Die Aufgabe 7b wurde besser gelöst als einige Aufgaben der Kompetenzstufe III. In der Pilotierungsuntersuchung lag die Lösungsquote dieser Aufgabe deutlich unter denen der Aufgaben 2 und 6c, die beide Subtraktion im Zahlenraum bis 100 erfordern. Eventuell konnte aufgrund des frühen Testzeitpunktes in diesem Schuljahr die Subtraktion noch nicht in dem Maße gesichert werden, wie zum Pilotierungszeitpunkt, der im Schuljahresvergleich drei Wochen später war. Einen Weg nach Anweisung auf einem Gitternetz (11) zu gehen, schafften 41% der Schüler. Dies erforderte einen mehrmaligen Perspektivenwechsel. Die Analyse des eingezeichneten Weges zeigt, ob die Schüler die Lagebegriffe richtig verwenden können und ob ihnen dies auch von verschiedenen Standorten gelingt. Informationsentnahme aus Texten und zu erkennen, dass zur Berechnung weitere Angaben notwendig wären, verlangte die Aufgabe 9. Dieses genaue Erfassen einer Sachsituation und das Durchdenken verschiedener Möglichkeiten gelang 40% der Schüler. Derartige Aufgaben sensibilisieren die Schüler für reale Sachsituationen, bei denen man in den seltensten Fällen die exakte, zur Lösung nötige Anzahl an Informationen zur Hand hat. 31% lösten die Sachsituation Autoschlange (8). Bei dieser Aufgabe ist es erforderlich, sich ein Bild von der Situation zu machen. Ein unreflektiertes Verknüpfen der gegebenen Daten führt zwangsläufig zu einer falschen Lösung. Das Aufgabenheft gab den Schülern den nötigen Platz für eine Skizze eine Möglichkeit, sich die Situation vor Augen zu führen. Die Analyse der Schülerlösungen lässt erkennen, ob die Informationsentnahme und die Modellierung der Situation gelang und gibt unter Umständen einen entscheidenden Hinweis, mit welchen Schwerpunkten die Arbeit an Sachsituationen im Unterricht sinnvoll weitergeführt wird. Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung - 7 -
Durch Anforderungen wie sie z. B. durch die Aufgaben 8 und 9 gegeben sind, können die Schüler zeigen, ob es ihnen gelingt, die Mathematik zur Problemlösung in authentischen Kontexten zu verwenden. 3.4 Aufgaben aus dem Bereich Kreatives Problemlösen Kompetenzstufe V 12 24% SA: Gruppenbildung 10 15% SA: Schwimmbad 0% 20% 40% 60% 80% 100% Abb. 6 20% der bei den Aufgaben von Kompetenzstufe V vergebenen Punkte wurden insgesamt erreicht. Für diesen Bereich wurden zwei Aufgaben zu Sachsituationen ausgewählt, die das Entwickeln individueller Lösungsstrategien erforderlich machen bzw. flexibles Kombinieren und einen systematischen Umgang mit Informationen fordern. Beide Aufgaben erforderten die Bewältigung einer mathematischen Situation, die die Interpretation des Restes einer Divisionsaufgabe notwendig macht, die sich aber auch durch Ausprobieren lösen lässt. Bei Aufgabe 12 musste zunächst die Ausgangsmenge rechnerisch ermittelt werden, die dann möglichst gleichmäßig in fünf Gruppen aufgeteilt werden soll. Etwa einem Viertel der Schüler gelang die Lösung dieser Aufgabe. Rückmeldungen zufolge ließen sich manche Schüler durch die Darstellung der Antwort verwirren. Die ökonomische Betrachtung von Eintrittspreisen thematisierte die Aufgabe 10. Die Schüler sollten ermitteln, ab wie vielen Besuchen eine Monatskarte rentabel ist. Diese Aufgabe konnten 15% der Schüler lösen. Der Begriff Monatskarte ist nach einigen Rückmeldungen nicht allen Schülern dieser Altersstufe geläufig. Inwieweit mangelndes Verständnis für die Sachsituation ausschlaggebend für das individuelle Ergebnis der Aufgabe war, kann durch die Analyse der Ergebnisse vor Ort festgestellt werden. 4. Wertung und Vergleich mit den Vorjahresergebnissen Da bei den Orientierungsarbeiten 2003/04 andere Aufgabenstellungen verwendet wurden, ist ein Vergleich der Ergebnisse beider Jahre nur sehr bedingt möglich. In allen Inhaltsbereichen wurden summiert man die erreichten Punkte der einzelnen Aufgaben zu jedem Bereich zwischen 28% und 73% der Punkte erreicht. Die Aufgaben aus dem Bereich Zahlen und Rechnen (in diesem Jahr wurden beide Bereiche zusammengefasst) wurden am besten gelöst. Der Bereich Sachbezogene Mathematik ist wie im letzten Jahr an letzter Stelle, was aber gemessen am Anforderungsniveau der Aufgaben zu erwarten war. Dieser Bereich enthält nur Aufgaben zu den Kompetenzstufen IV und V, wohingegen die Aufgaben zum Bereich Zahlen und Rechnen auf den Kompetenzstufen II und III angesiedelt sind. Dieses Ungleichgewicht ergibt sich unter anderem durch die kurze Testdauer in Jahrgangsstufe 2. Zu jedem Inhaltsbereich Aufgaben aus verschiedenen Kompetenzstufen zu prüfen und dabei auch die Lehrplaninhalte möglichst umfassend zu berücksichtigen, ist bei der Anzahl von 18 Einzelaufgaben problematisch. So können sich auch die deutlichen Unterschiede in den Lösungsquoten der drei Inhaltsbereiche erklären lassen. Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung - 8 -
Lösung der Aufgaben nach Inhaltsbereichen Zahlen und Rechnen 73% 27% Geometrie 52% 48% gelöst nicht gelöst Sachbezogene Mathematik 28% 73% 0% 20% 40% 60% 80% 100% Abb. 7 Im Bereich Sachbezogene Mathematik hatten die Schüler in diesem Jahr anspruchsvolle Aufgaben zu bewältigen. Sie wurden gezielt so ausgewählt, dass geprüft werden kann, ob Verständnis für die Sachsituation vorliegt. Das Mathematisieren der Sachsituation und die Zurückstellung des Ergebnisses in den Sachzusammenhang erfordern eine intensive Durchdringung der Aufgabe. Keine der Sachaufgaben konnte allein durch das Kombinieren der vorhandenen Daten gelöst werden. Diese Art der Arbeit an Sachsituationen fordert auch der Lehrplan. In den letzten Jahren war immer auch eine einfachere Sachsituation zu bearbeiten. So lässt sich die Diskrepanz in diesem Bereich im Vergleich zu den Vorjahren erklären. Erfreulich sind auch in diesem Jahr wieder die hohen Lösungsquoten bei den Aufgaben zur Addition und zur Multiplikation. Die Lösungsquote für die Aufgabe zur Addition im Zahlenraum bis 100 hat sich im Vergleich zum Vorjahr nicht verändert. Die Aufgabenstellung unterscheidet sich minimal (2004: 47+46, 2005: 37 + 28). Das Ergebnis bei der Subtraktion ist geringfügig besser als im Vorjahr. Bei beiden Subtraktionsaufgaben wurde der Zehnerübergang geprüft, wobei in diesem Jahr Minuend und Subtrahend etwas näher zusammen liegen. Der Lösungsweg des Ergänzens ist für die Schüler dadurch unter Umständen näher liegend als im Vorjahr (2004: 82 59, 2005: 54 36). Die Diskrepanz zwischen Addition und Subtraktion ist mit 22% Unterschied in der Lösungsquote nach wie vor sehr hoch und zeigt den Bedarf an individueller Fehleranalyse, intensiver Übung und Reflexion des Erarbeitungsprozesses im Bereich der Subtraktion. Sollte sich zeigen, dass die Schüler Fehlvorstellungen zur Subtraktion haben (z. B. den kleineren vom größeren Stellenwert abziehen, vgl. 3.3), muss dem durch Handlung mit geeigneten Materialien entgegengesteuert werden. Die Aufgaben zur Multiplikation verlangten in diesem Jahr zusätzlich zur reinen Rechenoperation die Interpretation eines einfachen Sachzusammenhangs (Aufgabe 5) bzw. die Kenntnis und Anwendung von Tauschaufgaben (Aufgabe 3). Die Ergebnisse der Aufgaben zur Multiplikation sind trotzdem sehr nahe an denen vom letzten Jahr. Insgesamt ist das Durchschnittsergebnis bei den Orientierungsarbeiten in diesem Schuljahr etwa 5 % schlechter als im letzten Jahr. Die Zusammenstellung der Aufgaben wurde so getroffen, dass der Test etwas schwieriger wurde, um eine gleichmäßigere Verteilung der Ergebnisse zu erreichen. Um sowohl im unteren als auch im oberen Leistungsbereich noch differenzieren zu können, werden die Tests so erstellt, dass ein mittlerer Schwierigkeitsgrad (50-60%) angestrebt wird. Deshalb gibt es auch in jedem Test Aufgaben, die ca. 80-90% der Schüler lösen können, aber auch Aufgaben, deren Lösung man nur etwa von 10-20% der Schüler erwartet. Wäre der Test so angelegt, dass insgesamt Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung - 9 -
eine Lösungshäufigkeit von z. B. 70% erreicht wird, so hätte man einen gewissen Deckeneffekt. Man könnte im oberen Leistungsbereich nicht mehr differenzieren. Diagnostische Hinweise würden dadurch verloren gehen. 5. Fazit / Weiterarbeit Die Aufgaben zum Bereich Sachbezogene Mathematik wurden in diesem Jahr vergleichsweise schlechter gelöst als im letzten Jahr (Erklärungsansatz siehe unter 4.). Die Arbeit mit Sachsituationen, die aus dem Erfahrungsbereich der Kinder stammen, die jedoch eine intensive Auseinandersetzung mit dem Sachzusammenhang erfordern, ist für den Unterricht von großer Wichtigkeit. Auch das Schulen von Strategien und der flexible Umgang mit Lösungshilfen tragen zur Kompetenzsteigerung in diesem Bereich bei. Im Bereich Geometrie zeigt sich durch die Analyse der Ergebnisse vor Ort unter Umständen die Notwendigkeit der Wiederholung von Flächenformen. Gerade die Unterscheidung von Rechteck und Quadrat sollte in der Jahrgangsstufe 2 wiederholt und erneut thematisiert werden. Der handlungsorientierte Umgang mit den Flächenformen spielt dabei eine wichtige Rolle. Wie auch in den vergangenen Jahren erfolgt aufgrund der Ergebnisse der Hinweis auf die Notwendigkeit der intensiven, durchdringenden Erarbeitung und Übung der Subtraktion. Mit diesem Auswertungsbericht erhalten die Schulen Vergleichsgrundlagen für die Einschätzung des Leistungsstandes ihrer Schule und ihrer Klassen. Sie können Vergleiche zwischen den Ergebnissen auf Landesebene und auf Schulebene ziehen, sowie die Ergebnisse einzelner Klassen der Schule vergleichen und im Vergleich zu den Landesergebnissen betrachten. Für die unterrichtliche Weiterarbeit ist jedoch die Auswertung und Interpretation der einzelnen Aufgaben weitaus aufschlussreicher. Die Interpretation der Lösungshäufigkeit einer Aufgabe vor dem Hintergrund ihrer spezifischen Anforderung und der Gegebenheiten in der eigenen Klasse (Stoffverteilung, Klassenzusammensetzung, Unterrichtsgestaltung, Rahmenbedingungen, ) kann wertvolle Hinweise für die eigene Arbeit geben. Eine Hilfestellung für die individuelle Analyse und die sich anschließende Förderung kann die Zusammenstellung der Möglichkeiten zur Weiterarbeit sein, die vom ISB erstellt wurde und unmittelbar nach der Durchführung der Orientierungsarbeiten an die Schulen geschickt wurde. Gleichzeitig sei auf die umfangreiche Fachliteratur verwiesen und auch auf die Abhandlungen zur Weiterentwicklung des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts im Rahmen des Projekts SINUS-Grundschule. Unter www.sinus-grundschule.de finden sich Beschreibungen in Form von Modulen zur Verbesserung des Unterrichts, zur Steigerung der Aufgabenqualität und zur Berücksichtigung individueller Zugänge zur Mathematik. Ein Deckeneffekt tritt auf, wenn die Schwierigkeit des Tests so gering ist, dass Schüler, die nicht zur Leistungsspitze gehören, auch die maximale Punktzahl erreichen können. Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung - 10 -
6. Literatur Eine Auswahl an Fachliteratur für den Bereich Mathematik in der Grundschule: H. Radatz/W. Schipper/A. Ebeling/R. Dröge: Handbuch für den Mathematikunterricht 1. Schuljahr. Schroedel-Verlag, Hannover 1996. Theorie und Anregungen zur Unterrichtspraxis H. Radatz/W. Schipper/A. Ebeling/R. Dröge: Handbuch für den Mathematikunterricht 2. Schuljahr. Schroedel-Verlag, Hannover 1998. Theorie und Anregungen zur Unterrichtspraxis H. Radatz/W. Schipper/A. Ebeling/R. Dröge: Handbuch für den Mathematikunterricht 3. Schuljahr. Schroedel-Verlag, Hannover 1999. Theorie und Anregungen zur Unterrichtspraxis W. Schipper/A. Ebeling/R. Dröge: Handbuch für den Mathematikunterricht 4. Schuljahr. Schroedel-Verlag, Hannover 2000. Theorie und Anregungen zur Unterrichtspraxis E. Ch. Wittmann/G. N. Müller: Handbuch produktiver Rechenübungen, Bd. 1. Vom Einspluseins zum Einmaleins. Klett-Verlag, Stuttgart 1994. Theorie und Anregungen zur Unterrichtspraxis E. Ch. Wittmann/G. N. Müller: Handbuch produktiver Rechenübungen, Bd. 2. Vom halbschriftlichen zum schriftlichen Rechnen. Klett-Verlag, Stuttgart 1992. Theorie und Anregungen zur Unterrichtspraxis Ch. Selter/H. Spiegel: Kinder & Mathematik. Kallmeyer-Verlag. Seelze-Velber 2003. Überblick über mathematisches Lernen von Kindern und adäquate Methoden - auch für Eltern Hengartner Elmar (Hrsg.): Mit Kindern lernen. Standorte und Denkwege im Mathematikunterricht. Klett und Balmer Verlag, Zug 1999. (Klett Schweiz) Standortbestimmungen mit der Klasse, offene Aufgaben: Produktionen von Kindern interpretieren, unterschiedliche Rechenstrategien ermitteln, individuelle Lernwege erkunden. Akademie für Lehrerfortbildung und Personalführung/ Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung: Rechenstörungen. Diagnose, Förderung, Materialien. Auer-Verlag. Donauwörth 2004. Überarbeitung unter Berücksichtigung des neuesten Forschungsstandes. Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung - 11 -