1.16 Torsions-Oszillator (für Biologen) 165 1.16 Torsions-Oszillator (für Biologen) Ziel In diesem Versuch sollen die Eigenschaften mechanischer Schwingungen anhand eines Torsionsoszillators untersucht werden. Näher werden die Phänomene Dämpfung und Resonanz beobachtet und ausgewertet. Stichworte Torsionsfeder, rücktreibendes Drehmoment, homogene/inhomogene Differentialgleichung, harmonische Schwingung, Eigenfrequenz, gedämpfte Schwingung, Dämpfung, Wirbelstrombremse, erzwungene Schwingung, Einschwingvorgang, Phasenverschiebung Zubehör TeachSpin Torsional Oscillator 2 Umlenkrollen Angelschnur 2Gewichteà50g 400g Wavetek Sinusgenerator Rigol digitales Speicheroszilloskop USB-Stick 3 Kabel: BNC BNC Adapter: 4 mm Federstecker BNC Grundlagen Das Trägheitsmoment Rotiert ein starrer Körper um eine raumfeste Drehachse, so besitzen alle Punkte des Körpers die gleiche Winkelgeschwindigkeit ω. Für die Geschwindigkeit v i eines einzelnen Punkts x i gilt dann v i = ω r i, (1.16.1) wobei r i für den senkrechten Abstand des Punkts zur Drehachse steht. Bei dieser nichtvektoriellen Schreibweise ist zu beachten, dass die Drehachse, der Abstand des Punkts x i von der Drehachse und die Richtung der Geschwindigkeit v i senkrecht aufeinander stehen. Die Rotationsenergie E rot bei insgesamt N Massenpunkten mit den Einzelmassen m i lässt sich berechnen über
166 1. Versuche zur Mechanik E rot = = 1 2 N i=1 1 2 m iv 2 i N m i ri 2 ω 2 i=1 = 1 2 Θω2. (1.16.2) Θ = N i=1 m ir 2 i heißt Trägheitsmoment eines Körpers und ist abhängig von der Position der Drehachse. Gleichung 1.15.2 ist sehr ähnlich zur Formel E kin = 1 2 mv2 für die kinetische Energie, so dass bei einer Rotationsbewegung die Winkelgeschwindigkeit mit der Geschwindigkeit einer Vorwärtsbewegung und das Trägheitsmoment mit der Masse bei einer Vorwärtsbewegung verglichen werden kann. Das für diesen Versuch wichtige Trägheitsmoment ist das Trägheitsmoment eines Hohlhylinders, der um seine Körperachse rotiert: Θ Hohlzylinder = 1 2 m(r2 1 + r 2 2) Dabei sind r 1 und r 2 der Innen- bzw. Außenradius des Hohlzylinders. Für weitere Erklärungen zum Trägheitsmoment ziehen Sie bitte die Versuchsanleitung zum Trägheitsmoment aus Drehschwingungen heran. Der Torsionsoszillator Der Torsionsoszillator der Firma TeachSpin besteht im Wesentlichen aus einer Kupferscheibe, die an einem Stahlseil, der sog. Torsionsfeder oder dem sog. Torsionsfaden aufgehängt ist. Diese Scheibe kann um etwa ± 90 aus ihrer vertikalen Achse ausgelenkt und zu Schwingungen angeregt werden. Über eine Welle aus Aluminium können mit Hilfe einer Angelschnur Gewichte außerhalb des Gehäuses angebracht werden, die den Oszillator permanent statisch auslenken. Alternativ kann der Torsionsoszillator über einen Sinusgenerator zu erzwungenen Schwingungen angeregt werden, indem die Helmholtzspulen mit dem Signal des Sinusgenerators gespeist werden und den Permanentmagneten der Welle auslenken. Die Helmholtzspulen können während der freien Schwingung, bei dem sie nicht für den Antrieb benötigt werden, zum Auslesen der Geschwindigkeit des Systems verwendet werden, indem in ihnen vom Permanentmagneten der Welle eine Spannung induziert wird. Seitlich an der Kupferscheibe angebrachte Magnetschuhe aus Permanentmagneten dienen dazu, die Scheibe bei Bedarf mit Hilfe von induzierten Wirbelströmen zu bremsen und somit eine gedämpfte Schwingung zu erzeugen. Die elektronische Bestimmung der Auslenkung erfolgt über einen Kondensator, der je nach Auslenkung seine Kapazität verändert. Die Torsionskonstante Ähnlich einer Federkonstanten beim Federpendel existiert auch beim Torsionsoszillator eine materialabhängige Konstante, welche das Schwingverhalten des Mediums beschreibt.
1.16 Torsions-Oszillator (für Biologen) 167 Abbildung 1.16.1: Foto des Versuchsaufbaus Torsionsoszillator mit Beschriftung der wichtigsten Teile. Die Gewichte werden seitlich außerhalb des Gehäuses angebracht und sind hier nicht zu sehen. Die Hohlzylinderviertel werden im Versuch für Studierende der Biologie nicht benötigt. Diese Torsionskonstante D bestimmt den linearen Zusammenhang zwischen einem Verdrillwinkel ϕ und dem sich daraus ergebenden Torsionsmoment M. M = D ϕ (1.16.3) Dieses Torsionsmoment entspricht dem Betrag des Drehmoments, welches aufgrund der Verdrillung wirkt. Das Drehmoment ist allgemein gegeben als mit M = r F (1.16.4) r = Abstandsvektor zur Drehachse, F = Kraft, die an dieser Stelle angreift. Es lässt sich ebenfalls analog zum Federpendel die Periodendauer T der Schwingung bestimmen. Θ T =2π (1.16.5) D mit Θ als Trägheitsmoment des schwingenden Körpers. Die Theorie zum Torsionsoszillator entspricht im Wesentlichen der Theorie des Pohlschen Resonators. Sie können daher für weiterführende Informationen auf die Versuchsanleitung des Pohlschen Resonators zurückgreifen.
168 1. Versuche zur Mechanik Die Wirbelstrombremse Beim Torsionsoszillator kann die Dämpfung der Schwingung u. a. durch eine sog. Wirbelstrombremse realisiert werden. Diese besteht aus Permanentmagneten, deren Felder die Schwungscheibe aus Kupfer durchsetzen. Bewegt sich die Scheibe durch das Magnetfeld, so wird dem Faradayschen Induktionsgesetz entsprechend eine Spannung im Kupfer induziert, die zu ringförmig geschlossenen Strömen ( Wirbelströmen ) führt. Diese Ströme erzeugen ein Magnetfeld, das mit dem Magnetfeld der Permanentmagnete wechselwirkt und zwar entsprechend der Lenzschen Regel in einer Weise, die die Bewegung des Schwingers bremst. Gleichzeitig entsteht am ohmschen Widerstand des Kupfers Wärme, so dass die Bewegungsenergie des Schwingers nach und nach in Wärmeenergie umgewandelt wird. Die Wirbelströme werden umso stärker, je schneller sich der Schwinger bewegt. Die bremsenden Kraft ( Reibung ) hängt dabei linear von der Winkelgeschwindigkeit ab. Das Oszilloskop Ein Oszilloskop ist ein elektronisches Messgerät, welches zeitlich veränderliche Spannungen zweidimensional darstellt. Es sind verschiedene Darstellungsformen wählbar. Üblicherweise wird auf der horizontalen Achse die Zeit aufgetragen und auf der vertikalen Achse die angelegte Spannung. Für diesen Versuch eignet sich ein Oszilloskop deshalb sehr gut, weil Schwingungsvorgänge graphisch veranschaulicht werden können. In diesem Abschnitt sollen grundlegende Funktionen und speziell die Bedienung des Rigol DS1022C für diesen Versuch erklärt werden. Das Rigol DS1022C ist in der Lage, bis zu zwei Eingangssignale gleichzeitig darzustellen. Diese Signale werden über die Kanäle CH1 (X) bzw. CH2 (Y) angeschlossen. Mit Hilfe der Drehknöpfe Position und Scale im Funktionsbereich Vertical bzw. Horizontal können die angezeigten Signale in ihrer Position und Skalierung verändert werden. Die Skalierung wird am unteren Bildschirmrand gezeigt. Beide Signale können auch unabhängig voneinander angezeigt oder bearbeitet werden. Hierzu dient das Menü des jeweiligen Kanals. Diese werden über die Tasten CH1 bzw. CH2 (de-)aktiviert. Die Menüführung erfolgt dann entweder mit den blauen Tasten am Bildschirmrand oder mit dem Drehknopf. Eine Auswahl wird durch Drücken des Drehknopfes übernommen. Durch einen Druck auf die Taste Menu on/off wird das Menü wieder ausgeblendet. Zur genaueren Information über die Tastenfunktionen reicht es aus, die jeweilige Taste oder den jeweiligen Drehknopf einige Sekunden zu drücken. Es wird dann ein Hilfetext eingeblendet. Bedienung für diesen Versuch Ab Versuchsteil 2 werden sowohl Kanal 1 als auch Kanal 2 angeschlossen. Sollte die Darstellung nicht auf Deutsch sein, können Sie dies über Utility Language ändern. Es ist wichtig, dass zunächst eine Reihe von Einstellungen vorgenommen werden:... in den Menüs der beiden Kanäle die Kopplung auf DC geschaltet ist: CH1
1.16 Torsions-Oszillator (für Biologen) 169 Kopplung DC... im Funktionsbereich Horizontal die Zeitbasis auf Y-T gestellt ist: Horizontal - Menu Zeitbasis Y-T... die horizontale Position so weit verändert wird, bis das orange T (Trigger) ganz am linken Rand ist. Dies ist wichtig, damit die Anzeige möglichst in Echtzeit aktualisiert wird: Horizontal - Position - Folgende weitere Einstellmöglichkeiten werden Sie im Laufe des Versuchs benötigen: Um ein Phasendiagramm zu erhalten, müssen Sie das Oszilloskop auf X-Y- Darstellung umschalten: Horizontal - Menu Zeitbasis X-Y Für die Darstellung der Phasenebene ist ein Nachleuchten sinnvoll. Dieses kann wie folgt an- und ausgeschaltet werden: Display Persistent Unendlich/Aus Speichern eines eingefrorenen Oszilloskopbildes, bzw. der zugehörigen Daten auf dem USB-Stick: Run/Stop Storage Speicherung Bitmap Para. Save OFF Extern Neue Datei Speichern Hinweis: Anstatt der Speicherung als Bitmap ist auch eine Ausgabe als.csv-datei möglich. 1 Dazu muss die Auflösung Datentiefe im Menü Storage auf Maximum gesetzt werden. Diese Variante liefert deutlich bessere Auswertungsmöglichkeiten, erfordert jedoch grundlegende Kenntnisse in Programmen wie Microsoft Excel oder OpenOffice.org Calc. 2 Das Cursor- bzw. das Measure-Menü bietet die Möglichkeit einer recht genauen Bestimmung von Phasenverschiebungen, bzw. einer automatischen Bestimmung von Periodendauern und Amplituden: 1 Comma Separated Values 2 Bei den Optionen zum Einlesen der.csv-datei ist darauf zu achten, dass Spaltentrennungen durch Kommata gegeben sind und Dezimaltrennungen durch Punkte (wie im Englischen).
170 1. Versuche zur Mechanik Cursor Modus Manuell Typ X, z.b. für Phasenverschiebungen oder Periodendauern. Quelle CH1 Positionieren der Cursor A und B über den Drehknopf links vom Cursor-Menü. Automatisch die Frequenz (Freq) oder die Periodendauer (Prd) des Sinusgenerators anzeigen lassen (letzter Versuchsteil): Measure CH2 Zeit Freq oder Prd (Auswahl bestätigen durch Druck auf.) Automatisch das Doppelte der Amplitude des Torsionsoszillators anzeigen lassen (letzter Versuchsteil): Measure CH1 Spannung V pp (Auswahl bestätigen durch Druck auf.) V pp ist die Peak-to-Peak-Voltage, d. h. das doppelte der Spannungsamplitude. V pp anstatt V min oder V max anzuzeigen ist sinnvoll, da die Schwingung meist nicht exakt um Null sein wird und V min oder V max somit falsche Amplituden liefern würden. Das Oszilloskop mittelt über die auf dem Display angezeigten Perioden, so dass es sinnvoll ist, sich mehrere Perioden ( 4) anzeigen zu lassen. Versuchsdurchführung Hinweis: Beachten Sie während der gesamten Versuchszeit, dass 1. die Schwungscheibe zu keinem Zeitpunkt mehr als 1.5 rad ausgelenkt werden sollte, weil dadurch der Torsionsfaden beschädigt werden kann und es außerdem zu einem nichtlinearen Verhalten zwischen Auslenkung und Torsionsmoment kommt. 2. in der Ruhelage beide Kanäle des Oszilloskops näherungsweise 0 V anzeigen sollten. Wenn dies nicht der Fall ist, kann mit dem Zero-Adjust Drehknopf am Torsionsoszillator nachgeregelt werden. Statische Bestimmung der Torsionskonstante 1. Machen Sie sich kurz mit der Funktionsweise des Torsionsoszillators vertraut. Achten Sie darauf, dass Ihr Versuchsaufbau nicht direkt parallel zum Nachbarversuch steht, da sonst Kopplungen über die Permanentmagnete auftreten können. Entfernen Sie eventuelle Hohlzylinderviertel aus Messing, die auf der Kupferscheibe aufgesteckt sein können.
1.16 Torsions-Oszillator (für Biologen) 171 Ablenkrolle R Ablenkrolle Schraube Abbildung 1.16.2: Befestigung der Angelschnur. 2. Bestimmen Sie auf der radialen Messskala die Ruhelage der Schwungscheibe. Sie können bei allen statischen Messungen die Magnetschuhe zur Dämpfung der Scheibenschwingung benutzen, so dass diese schneller in der Gleichgewichtsposition zur Ruhe kommt. 3. Positionieren Sie die Umlenkrollen auf den Pins an den Seiten des Oszillators und befestigen Sie die Angelschnur am Torsionskolben nach Abbildung 1.16.2. Führen Sie diese so über die Umlenkrollen, dass Gewichte angehängt werden können. 4. Messen Sie nun in 100 g-schritten (50 g-schritte auf jeder Seite) die Auslenkung aus der Ruhelage. Schwingungen 5. Entfernen Sie nun den Aufbau zur Bestimmung der Torsionskonstanten (Schnur, Gewichte, Umlenkrollen). Sollten Sie die Magnetschuhe im vorigen Versuchsteil zur Dämpfung verwendet haben, schrauben Sie sie jetzt ganz nach außen, so dass das System frei schwingen kann. 6. Verbinden Sie den Angular Position Ausgang mit Kanal 1 des Ozilloskops und den Angular Velocity Ausgang mit Kanal 2. Achten sie darauf, dass der Velocity Readout Kippschalter rechts positioniert ist. 7. Schalten Sie das Oszilloskop und die Stromversorgung des Torsionsoszillators ein. 8. Machen Sie sich mit den Grundlagen des Ozilloskops vertraut (siehe Grundlagenteil). 9. Regen Sie an der Klemme an der unteren Saitenhälfte von Hand eine Schwingung an. Beobachten Sie nun das Schwingungsbild in X-Y-Phasenebene und der Y-T-Ebene am Oszilloskop. Speichern Sie beide Oszilloskopbilder auf dem USB-Stick. 10. Messen Sie die Schwingungsdauer für 10 Schwingungen und bestimmen Sie daraus die Periodendauer. 11. Erzeugen Sie durch die Magnetvorrichtung eine gedämpfte Schwingung. Die Dämpfung sollte nicht zu stark eingestellt sein. Es sollten noch einige Schwingvorgänge deutlich erkennbar sein.
172 1. Versuche zur Mechanik 12. Beobachten und speichern Sie das Oszilloskopbild und bestimmen Sie wiederum die Periodendauer. 13. Wiederholen Sie Punkt 12 mit mindestens vier weiteren Dämpfungen. 14. Beobachten und notieren Sie kurz, was für maximale Dämpfung geschieht. Resonanz Channel 1 Angular Position Monitor Kippschalter (auf linker Pos.) Channel 2 (Masse) Sinusgenerator (50 Ω - Out) Abbildung 1.16.3: Verschaltung mit dem Sinusgenerator. 15. Schließen Sie nun den Sinusgenerator nach Abbildung 1.15.3 an, indem Sie Angular Position mit CH1, Monitor mit CH2 und den Federsteckeradapter am Torsionsoszillator mit dem 50 Ω Ausgang des Sinusgenerators verbinden. Schalten Sie den Velocity Readout Kippschalter auf die linke Position, um das System über die Helmholtzspulen treiben zu können. Hinweis: Vor dem Einschalten des Sinusgenerators ist darauf zu achten, dass die Amplitude auf einen moderaten Wert eingestellt ist. 16. Dämpfen Sie das System schwach mit der Magnetvorrichtung, um eine zu große Schwingungsamplitude ( Resonanzkatastrophe ) zu verhindern. 17. Suchen Sie im Bereich von 0 Hz 2 Hz nach der Resonanzfrequenz. Hierbei ist zu beachten, dass die Kupferscheibe nach einer Veränderung der Erregerfrequenz eine gewisse Zeit zum Einschwingen benötigt. Erst wenn dieser Vorgang beendet ist können gute Messungen vorgenommen werden.
1.16 Torsions-Oszillator (für Biologen) 173 18. Bestimmen Sie für mindestens 12 Erregerfrequenzen im Bereich der Resonanzfrequenz jeweils die Amplitude der erzwungenen Schwingung (= 0.5V pp ) und die Phasenverschiebung durch Ablesen am Oszilloskop. Die Anzeige des Sinusgenerator unterliegt einer gewissen Ungenauigkeit. Es ist daher besser, die Frequenzen über das Oszilloskop abzulesen. Hinweis: Um diesen Versuchsteil möglichst zügig bearbeiten zu können, sollten Sie die Measure-Funktion des Oszilloskops verwenden. Das Measure-Menü kann prinzipiell auch Phasenverschiebungen anzeigen, allerdings nur bei mehr als 200 mv Versatz, so dass die Phasenverschiebung in aller Regel über das Cursor-Menübe- stimmt werden muss. Prüfen Sie, besonders zu Beginn, ob die angezeigten Werte realistisch sind! Auswertung Für die Auswertung werden folgende zusätzlichen Daten benötigt: Maße der Kupferscheibe: äußerer Durchmesser: 12.57 cm innerer Durchmesser: 2.59 cm Masse: 962 ± 2g Maße Welle: äußerer Durchmesser: 2.54 cm innerer Durchmesser: 0.97 cm Masse: 283 g Versuchsteil 1 1. Stellen Sie in einem Diagramm den Zusammenhang zwischen angehängtem Gewicht und Auslenkung aus Ihren Messungen grafisch dar. 2. Bestimmen Sie aus diesen Werten die Torsionskonstante D. 3. Bestimmen Sie aus Ihrem Wert für D und dem Trägheitsmoment der Schwungscheibe die Frequenz des Systems. Versuchsteil 2 4. Bestimmen Sie für alle Dämpfungsgrade die Frequenz f g des gedämpften Systems und bestimmen Sie gemittelt über so viele wie mögliche Amplitudenverhältnisse pro Dämpfungsgrad das logarithmische Dekrement Λ = ln [ϕ(t)/ϕ(t + T g )].
174 1. Versuche zur Mechanik 5. Unter der Annahme, dass A =0ist,hängt die Frequenz f g wie folgt vom logarithmischen Dekrement Λ ab: f g (Λ) = f Λ 2 +1 4π 2, (1.16.6) wobei f die Eigenfrequenz des ungedämpften Systems ist. Stellen Sie das theoretisch erwartete Verhalten f g (Λ) mit Ihren Messwerten zusammen graphisch dar. Versuchsteil 3 6. Tragen Sie die relative Phasenlage der Schwingungen über die Frequenz auf. Was stellen Sie diesbezüglich für die Resonanzfrequenz fest? Erklären Sie diesen Zusammenhang. 7. Stellen Sie in einem Diagramm für alle eingestellten Erregerfrequenzen die Amplitude dar. 8. Vergleichen Sie die Resonanzfrequenz mit den ermittelten Schwingungsfrequenzen aus den vorigen Versuchsteilen. Was stellen Sie fest? Begründen Sie Ihre Aussage. Fragen und Aufgaben Beantworten Sie in kurzen Sätzen... 1.... warum es wichtig ist, dass die Angelschnur tangential am Torsionskolben anliegt. 2.... von welchen Materialeigenschaften die Torsionskonstante D abhängt. 3.... was bei maximaler Dämpfung geschieht. Wie heißt hierzu der Fachbegriff? 4.... welche anderen Möglichkeiten es gibt, ein schwingendes System zu dämpfen. 5.... warum es besser ist, für die Bestimmung der Periodendauer über mehrere Perioden zu mitteln. 6.... warum sich für Winkelgeschwindigkeit und Winkelposition eine Ellipse im Phasendiagramm ergibt. 7.... warum wir Resonanz im dämpfungsfreien Fall genau bei einer Phasenverschiebung von 90 beobachten. Literaturhinweise [ @@@@@@ ] Literaturverzeichnis [ @@@@@@ ] @@@@@@ : @@@@@@.